OSII SI ARBORI

1 Definitii. Rol functional. Forme constructive

Osiile sunt OM de forma cilindrica sprijinite pe reazeme (lagare) si servesc pentru sustinerea organelor de rotatie (scripeti, soti de material rulant, roti de cablu, brate articulate la mecanisme etc). Ele sunt solicitate numai la incovoiere. Nu transmit momente de rasucire. In functie de mobilitatea lor se intalnesc:

osii fixe (fig. 1,a);

osii mobile, ce se rotesc impreuna cu organele de rotatie fixate pe ele (fig. 1,b).

Arborii cu destinatie generala sunt OM de forma cilindrica (arbori drepti) care, fiind sprijiniti pe reazeme (lagare) servesc servesc pentru sustinerea organelor de rotatie (roti de curea, roti dintate, cuplaje etc). Ei sunt solicitati la incovoiere avand functiunea de a transmite si momente de rasucire (fig. 2). Datorita acestui fapt exista portiuni de arbori care sunt solicitati:

a)      numai la rasucire;

b)      numai la incovoiere;

c)      atat la rasucire cat si la incovoiere;

Fig. 1 Reprezenrarea schematica a utilizarii osiilor:

a)-osii fixe; b)-osii mobile.

Fig. 2 Arbori de uz general (arbori drepti). Solicitari si diagrame de eforturi: M_i, M_r

Peste aceste solicitari se pot suprapune si solicitari axiale (intindere si/sau compresiune).

Formele constructive pentru arborii drepti sunt foarte diverse. Ele se pot incadra totusi in cateva categorii de forme (fig. 3):

arbori cu sectiune constanta (fig. 3,a);

arbori in trepte cu canale de pana (fig. 3,b);

arbori canelati (fig. 3,c);

arboricu flanse (fig. 3,d);

arbori pinion (fig. 3,e);

arbori melcati (fig. 3,f).

Arborii cu destinatie speciala sunt:

arbori cotiti;

arbori cu came;

arbori cu manivele;

arbori cu excentric.

Fig. 3. Forme constructive de arbori

Materialele utilizate pentru fabricarea arborilor de uz general trebuie sa indeplinesca urmatoarele cerinte: rezistenta mecanica si tenacitate ridicata, rezistenta la soc (rezilienta) buna, duritate pana la 3500 Mpa, rezistenta la oboseala ridicata si cu pret de cost scazut. Aceste cerinte sunt indeplinite de urmatoarele materiale metalice:

oteluri carbon : OL 50, OL 60, OL 70 (STAS 500/1-89, 500/2-80 si 500/3-80), utilizate in stare normalizata pentru constructia arborilor putin solicitati. Nu necesita alte tratamente termice.

oteluri carbon de calitate (STAS 880-88) cu % mediu de C: OLC 35, OLC 45, OLC 50 supuse unui tratament de imbunatatire (calire + revenire inalta);

oteluri slab aliate de imbunatatire: 40C10, 40BC10, 41MoCr11

fontele cu grafit nodular (SR 13169): Fgn 800, Fgn 900, Fgn 1000 si fontele maleabile perlitice (Fmp 450, Fmp 500, Fmp550) sunt utilizate in ultimul timp pentru constructia arborilor turnati de forme complaxe, deoarece aceste fonte pot asigura o buna tenacitate si o rezistenta la oboseala satisfacatoare.

Calculul si proiectarea osiilor si arborilor

Strategia cea mai folosita pentru calculul si proiectarea osiilor si arborilor este urmatoarea:

a) predimensionarea din conditia de rezistenta, utilizand pentru aceasta relatiile:

pentru solicitari simple (incovoiere sau rasucire): s_ni s_ai ; t_nr t_ar

pentru solicitari compuse (incovoiere + rasucire): s_ei s_ai

Deoarece exista incertitudini in privinta evaluarii tensiunilor admicibile, dupa acest calcul se stabileste o prima forma constructiva (preliminara) care este verificata la oboseala, folosind relatiile dintre coeficientii de siguranta:

pentru solicitari simple (incovoiere sau rasucire): c_ns c_a ; c_nt c_a

pentru solicitari simple (incovoiere + rasucire): c_e c_a

In urma calculului de verificare rezulta o forma constructiva corectata.

b) verificareai la alte conditii impuse presupune verificarea la:

criteriul (conditia) de rigiditate are la baza limitarea deformatilor: D D_a

criteriul (conditia) de stabilitate, daca este cazul;

criteriul de rezistenta la uzura;

criteriul de stabilitate la vibratii urmareste evitarea efectelor daunatoare ale vibratiilor (de incovoiere, rasucire sau axiale) si in special a fenomenului de rezonanta;

criteriul de asigurare a ungerii;

crtiteriul de limitare a incalzirii.

c) stabilirea unei forme constructiva definitiva care se materializeaza intr-un desen de executie

Etapele de proiectare ale osiilor si arborilor se bazeaza pe strategia generala de proiectare a acestora:

1. Stabilirea sarcinilor (solicitarilor) de calcul si modelul de calcul:

- schematizarea aplicarii sarcinilor: uniform/neuniform distribuite sau concentrate;

- modul de variatie a acestora in timp, in scopul incadrarii lor intr-unul dintre cazurile particulare de solicitare: cvasistatic (cazul I), pulsant nul (cazul II), si alternant simetric (cazul III);

Predimensionarea arborilor (osiilor):

adoptarea materialelor si a tratamentelor termice;

stabilirea caracteristicilor mecanice;

determinarea tensiunilor admisibile;

calculul diametrilor in sectiunile caracteristice.

3. Proiectarea formei constructive a arborilor (osiilor) pe baza calculului de predimensionare tinand seama de urmatoarele considerente:

adoptarea unor dimensiuni mai mari sau egale decat cele calculate;

- valorile adoptate pentru diametre vor apartine seriei dimensiunilor normale (STAS 72-75), in special pentru suprafetele functionale;

realizarea unor montaje si tehnologii simple si a scopurilor functionale impuse;

respectarea prescriptiilor standardizate;

asigurarea asamblarii cu piesele conjugate.

4. Verificarea la alte conditii - oboseala, deformatii, vibratii, asigurare a ungerii, limitare a incalzirii, a uzarii etc si stabilirea formei constructive definitive tinand seama si de alte conditii impuse ansamblului constructiei: importanta si rolul functional al constructiei, mediul de lucru, regimul de lucru si destinatia produsului. Rezultatul este materializat intr-un desen de executie.

3. Stabilirea regimului si categoriilor de solicitare ale osiilor si arborilor

In calculele de predimensionare si verificare (la oboseala) sau pentru alte conditii este necesara cunoasterea regimului de solicitare si incadrarea lui intr-unul din categoriile particulare de solicitare I, II sau III .

1. Regimurile si categoriile de solicitare ale osiilor fixe la incovoiere sunt prezentate in tab. 1 din care se observa ca variatia in timp a tensiunii de solicitare urmareste (la o anumita scara) variatia in timp a solicitarii exterioare reale.

Regimurile si categoriile de solicitare ale osiilor mobile si arborilor la incovoiere sunt la prima vedere diferit fata de cel al osiilor fixe solicitate la incovoiere. Acest lucru provine din faptul ca in acest caz arborele (osia) se rotesc fiind in acelasi timp solicitate la incovoiere. Apare deci notiunea de incovoiere rotativa. Cel mai bun exemplu il ofera arborele din fig. 4 la care momentul incovoietor in sectiunea 3, desi este constant, tensiunea dintr-o fibra longitudinala exterioara (A-A) este variabila in timp (compresiune-maxima, 0, intindere-maxima, 0 samd), datorita rotirii arborelui, cand fibra (a) are diferite pozitii fata de axul de rotatie. Pe durata unei rotatii complete tensiunea in aceasta fibra (a) variaza in timp dupa un ciclu ce poate fi foarte bine asimilat cu un ciclu alternant simetric.

Prin urmare, in cazul incovoierii rotative osiile si arborii desi sunt solicitati la momente de incovoiere constante, tensiunea de incovoiere variaza dupa un ciclu alternant simetric. Tinand seama de aceasta precizare, in tab. 2 sunt prezentate regimurile si categoriile de solicitare ale osiilor mobile si arborilor la incovoiere.

3. Regimurile si categoriile de solicitare ale arborilor la rasucire reproduc simplificat si la o anumita scara, variatia in timp a incarcarii exterioare reale (tabelul 3)

4. Predimensionarea osiilor si arborilor la conditia de rezistenta

Etapele ce trebuiesc parcurse la predimensionarea osiilor si arborilor la conditia de rezistenta sunt:

determinarea reactiuilor, stabilirea diagramelor de eforturi (N, M_i, M_r);

alegerea rationala a materialului, a tratamentelor termice si a caracteristicilor mecanice de rezistenta necesare;

determinarea tensiunilor admisibile;

stabilirea diametrelor in sectiunile caracteristice tinand seama de tipul solicitarii si de natura sectiunii (plina sau tubulara); in acest caz se deosebesc trei cazuri :

1 - osii si arbori (sau portiuni din osii si arbori) solicitati numai la incovoiere;

2 - osii si arbori (sau portiuni din osii si arbori) solicitati numai la rasucire;

3 - osii si arbori solicitati la solicitari compuse (incovoiere + rarucire).

1. Predimensionarea osiilor si arborilor solicitati numai la incovoiere. Plecand de la relatia de definitie a tensiunii nominale la incovoiere si aplicand criteriul de rezistenta exprimat in tensiuni, rezulta (cu notatiile din fig. 5) relatia de verificare:

(1)

in care: M_i - momentul incovoietor in sectiunea de calcul, [Nmm];

W - modulul de rezistenta axial, [mm³], care se detrmina cu relatiile:

Tabelul 1

Regimurile si categoriile de solicitare ale osiilor fixe la incovoiere

Fig. 4 Variatia in timp a tensiunii unei fibre oarecare (a) dintr-un arbore solicitat la incovoiere

Tabelul 2

Regimurile si categoriile de solicitare ale osiilor mobile si arborilor la incovoiere

pentru sectiuni rotunde pline:

(2)

Tabelul 3

Regimurile si categoriile de solicitare ale arborilor la rasucire

(s_{ai ns} - tensiunea admisibila la incovoiere pentru una dintre categoriile particulare de solicitare ( in cazul incovoierii, categoriile I sau III), [Mpa].

Inlocuind valorile lui W in realtia (1) rezulta relatiile de dimensionare pentru osii si arbori (sau portiuni din osii si arbori) solicitati numai la incovoiere:

pentru sectiuni rotunde pline:

(4)

Relatiile de verificare se mai pot scrie :

pentru sectiuni rotunde pline:

(6)

Predimensionarea arborilor solicitati numai la rasucire. Plecand de la relatia de definitie a tensiunii nominale la rasucire si aplicand criteriul de rezistenta exprimat in tensiuni, rezulta relatia de verificare (vezi si fig. 5):

(8)

in care: M_r - momentul de rasucire in sectiunea de calcul, [Nmm];

W_p - modulul de rezistenta polar, [mm³], care se detrmina cu relatiile:

pentru sectiuni rotunde pline:

(9)

(t_{ar nt} - tensiunea admisibila la rasucire pentru una dintre categoriile particulare de solicitare ( in cazul rasucirii, categoria II), [Mpa].

Inlocuind valorile lui W_p in realtia (1) rezulta relatiile de dimensionare pentru arbori (sau portiuni arbori) solicitati numai la rasucire:

pentru sectiuni rotunde pline:

(11)

Relatiile de verificare se mai pot scrie :

pentru sectiuni rotunde pline:

(13)

Fig. 5 Sectiuni rotunde de osii si arbori

3. Predimensionarea arborilor la solicitari compuse (incovoiere + rasucire). Solicitarea compusa cel mai frecvent intalnita in cazul arborilor este cea de incovoiere (M_i) + rasucire (M_r).Pe baza teoriilor de rezistenta se stabileste o tensiune echivalenta la incovoiere de tipul:

s_ei = f(M_i, M_r) s_ai)_ns

care este o tensiune fictiva la solicitarea simpla de incovoiere care ar produce acelasi efect ca si (s_ni t_nr care ar actiona simultan.

Rezistenta materialelor stabileste mai multe teoriile (ipoteze) de rezistenta (I si II sunt aplicabile la fonte, iar III si IV pentru oteluri). In forma adaptata pentru solicitari variabile, teoriile de rezistenta III si IV conduc la expresii diferite pentru tensiune echivalenta la incovoiere:

(15)

Conditia de rezistenta se pune in termeni de tensiuni:

s_ei s_ai)_ns

in care: M_ei - momentul echivalent;

- coeficient de corectie, in cele patru teorii (x = I, II, III, IV) si care poate apare sub forma:

- coeficient care face doar corectii la teoria de rezistenta in cazul solicitarilor statice;

- coeficient care doar adapteaza teoria de rezistenta la solicitari variabile, fara a face corectii;

- coeficient care adapteaza teoria de rezistenta la solicitari variabile facand si corectii la aplicarea acesteia. Acest coeficient va fi utilizat cu precadere la calculul arborilor la solicitari compuse variabile. Expresia lui generala este:

(16)

in care: k_x - coeficient functie de teoria de rezistenta aplicata (tab. 4)

Tabelul 4

Valorile coeficientului k_x in functie de teoria de rezistenta aplicata

Tabelul 5

Valorile coeficientului a''_III in functie de natura ciclurilor de solicitare la incovoiere si rasucire

Pentru calculul de predimensionarea al arborilor supusi la solicitari compuse (incovoiere + rasucire) se utilizeaza cu precadere teoria III de rezistenta. Exista doua posibilitati frecvent intalnite la calculul de predimensionarea al arborilor supusi la solicitari compuse (incovoiere + rasucire), in functie de natura ciclului de solicitare la incovoiere si rasucire (tab. 5):

Pentru teoria III de rezistenta si sectiuni rotunde, tensiune echivalenta la incovoiere este:

Stiind ca:

; ,

Rezulta tinand seama si de relatiile (15) relatia de verificare:

(17)

Relatiile de dimensionare sunt similare cu cele obtinute la solicitarea de incovoiere cu deosebirea ce M_i M_e

5 Verificarea la oboseala a osiilor si arborilor

Dupa stabilirea formei constructive a osiilor si arborilor tinand seama de recomandarile de la pc. 2, se trece la verificarea la oboseala. Verificarea la oboseala se face pentru fiecare sectiune in care, prin forma constructiva specifica s-au introdus concentratori de tensiune: salt de diametru, canal de pana, filet, crestaturi, gauri, strangeri pe rulment, caneluri etc.

In acest scop se stabileste un coeficient de siguranta nominal pentru:

solicitari simple de incovoiere, c_ns

solicitari simple de rasucire, c_nt

solicitari compuse de de incovoiere, c_ne - coeficient nominal echivalent,

dupa care se compara cu coeficientul de siguranta admisibil care va fi calculat utilizand indicatiile de la pc. 1.7.

1. Verificarea la oboseala a osiilor si arborilor supusi numai la solicitari de incovoiere se efectueaza prin calculul coeficientului de siguranta nominal la incovoiere, c_ns utilizand relatiile din Rezistenta materialelor, folosind schematizarea Soderberg, cu criteriul de periculozitate R = const.:

(22)

in care: s_m - tensiunea medie a ciclului de solicitare la incovoiere cu valori date in tab.6;

s_v - amplitudinea ciclului de solicitare la incovoiere cu valori date in tab.6;

b_ks - coeficient de concentrare a eforturilor la incovoiere, functie de tipul concentratorului;

s_s - coeficient dimensional de oboseala la incovoiere;

g_s - coeficient de oboseala la incovoiere care tine seama de calitatea suprafetei;

s_{-1 -} rezistenta la oboseala pentru solicitari de incovoiere dupa un ciclu alternant simetric;

s - rezistenta la oboseala pentru solicitari de incovoiere pulsant nul pozitive.

Verificarea la oboseala a arborilor supusi numai la solicitari de rasucire se efectueaza prin calculul coeficientului de siguranta nominal la incovoiere, c_nt care are o forma similara cu relatia (22) in care se inlocuieste s t

(23)

in care: t_m - tensiunea medie a ciclului de solicitare la rasucire cu valori date in tab.7;

t_v - amplitudinea ciclului de solicitare la incovoiere cu valori date in tab.7;

b_kt - coeficient de concentrare a eforturilor la rasucire, functie de tipul concentratorului;

e_t - coeficient dimensional de oboseala la rasucire;

g_t - coeficient de oboseala la rasucire care tine seama de calitatea suprafetei;

t_{-1 -} rezistenta la oboseala pentru solicitari de rasucire dupa un ciclu alternant simetric;

t - rezistenta la oboseala pentru solicitari de rasucire pulsant nul pozitive.

Tabelul 6

Caracteristicile ciclurilor s_m si s_m la solicitarea de incovoiere

Tabelul 7

Caracteristicile ciclurilor t_m si t_m la solicitarea de rasucire

Verificarea la oboseala a arborilor supusi la solicitari compuse (incovoiere + rasucire) se face astfel:

se calculeaza coeficientului de siguranta nominal la incovoiere, c_ns cu relatia (22);

se calculeaza coeficientului de siguranta nominal la rasucire, c_nt cu relatia (23);

se calculeaza coeficientului de siguranta nominal echivalent, c_ne cu relatia:

Pentru solicitarile oscilante compuse, se determina un coeficient de siguranta nominal echivalent:

(24)

6 Verificarea osiilor si arborilor la conditia de limitare a deformatiilor

1. Osii si arbori solicitati la incovoiere. Datorita incarcartilor exterioare, osiile si arborii sufera deformatii de la forma initiala (neincarcata). Aceste deformatii se regasesc sub forma de (fig. 5):

sageti (f);

rotiri j

Aceste deformatii au efecte daunatoare asupra functionarii OM montate pe osii (arbori) sau a intregului susansamblu:

gripari de lagare de alunecare, distrugerea rulmentilor;

inrautatirea conditiilor de angrenare;

solicitari suplimentare in cuplaje (in special la cuplajele fixe, fara mobilitati transversale sau unghiulare.

Din aceste motive deformatiile la incovoiere trebuiesc limitatela valori admisibile stabilite experimental sau statistic. Limitarea deformatiilor la valori admisibile echivaleaza cu satisfacerea conditiei de rigiditate, care se pune pentru fiecare sectiune periculoasa (i) solicitata la incovoiere:

f_i f_a ; j_i j_a

Valorile nominale ale deformatiilor se stabilesc utilizand relatiile din rezistenta materialelor.

Fig. 6 Deformatiile unui arbore la incovoiere

Se dau mai jos limitele (valorile admisibile) ale deformatiilor la incovoiere, pentru cateva OM montate pe osii (arbori):

- sageti: - in general: j_a 10^-4) l , [mm]

in care: l - lungimea (distanta dintre reazeme) , [mm]

- rotiri: - in dreptul rotilor dintate: j_a , [rad]

Osii si arbori solicitati la rasucire. Dim motive similare se impune verificarea arborilor la deformatiile de rasucire. Conditia de rigiditate la rasucire se pune comparand valoarea nominala a deformatiei totale de rasucire (pentru intreaga lungime a arborelui solicitata la rasucire) cu cea admisibila:

De cele mai multe ori conditia de rigiditate la rasucire se raporteaza la o lungime unitara a asborelui:

In mod uzual, daca nu sunt specificate conditii mai restrictive de limitare a deformatiei de rasucire: q_ma , [grd/m]

Valorile nominale si admisibila se determina in acelasi mod ca si la solicitarea de incovoiere.

Practic se procedeaza in felul urmator:

se izoleaza arborele si se prevad solicitarile exterioare de rasucire;

se construiesc diagramele de eforturi pentru momentele de rasucire;

se determina pentru fiecare portiune a arborelui supuse la solicitari M_r = const. (tronson), valorile deformatiei totale ale deformatiei la rasucire (fig. 7) folosind relatia:

, [rad] (25)

in care: l - lungimea tronsonului;

G - modulul de elasticitate transversal;

I_p - momentul de inertie polar;

Pentru toate tronsoanele arborelui rezulta:

, [rad (26)

iar daca se raporteaza pa unitatea de lungime:

(27) Predimensionarea arborilor din conditia de limitare a deformatiilor la rasucire. Pentru arbori cu portiuni de sectiune constanta, solicitati la rasucire cu moment de rasucire M_r = const., utilizand relatiile din Rezistenta materialelor, se poate obtine o relatie de predimensionare din conditia de rigiditate la rasucire. Conditia de rigiditate la rasucire se mai poate scrie:

in care: - deformatia nominala de rasucire ,[grd]

(28) Pentru sectiuni rotunde din otel , [mm⁴] ; G = 83 000 Mpa; M_r, [Nmm] ; d, [mm]

Prin transformarea din [rad] [grd] relatia (28) devine:

(29)

Inlocuind expresiile lui G si I_p se obtine:

(30)

Rezulta in acest fel o relatie de dimensionare de forma:

(31)

Fig. 7 Schema de calcul a deformatiilor unui arbore la rasucire

Daca in relatia (31) se introduc expresiile momentului de torsiune in functie de putere si turatie:

, [Nmm] ; P, [kW] ; [grd/m], si notand:

,

rezulta

(32)

Daca se face notatia:

Facand calculele rezulta relatiile de predimensionare:

- in functie de putere:

(33)

- in functie de momentul de rasucire:

(34)

7. Comparatii intre calculul arborilor din otel la conditia de rezistenta

limitarea deformatiilor (rigiditate)

Se stie ca:

in cazul arborilor din otel, pentru utilizare in conditii normale de temperatura, valorile G si E sunt constante (indiferent de marca otelului);

- rigiditatea unui arbore este proportionala cu produsul EI (la incovoiere) si cu produsul GI_p (la rasucire) si nu depinde de caracteristicile de rezistenta ale materialului; diametrul unui arbore determinat din conditia de limitare a deformatiilor, d_D = const., (la solicitari constante de incovoiere si/sau rasicire (M_i si/sau M_r), este direct proportional cu G si E, (vezi si relatiile de la pc. 6), ceea ce inseamna ca o curba de variatie d_D in coordonate s_r - d este de forma constanta (fig. 8); rezulta ca sub aspectul rigiditatii nu este justificata utilizarea otelurile cu caracteristici mecanice superioare;

- diametrul unui arbore determinat din conditia de rezistenta, d_s este invers proportional cu rezistenta la rupere a materialului (la solicitari constante de incovoiere si/sau rasicire, M_i si/sau M_r), conform relatiilor de la pc. 4., astfel ca o curba de variatie d_s = f(s_r) in coordonate s_r - d are o aliura descrescatoare (fig. 8); acest lucru inseamna ca sub aspectul rezistentei se justifica utilizarea otelurile cu caracteristici mecanice superioare;

Pentru valori d_D si d_s comparabile in functie de pozitia celor curbe in planul s_r - d pot aparea trei situatii distincte:

I - conditia de rezistenta este mult mai severa decat cea de rigiditate, diametrele determinate din conditia de rezistenta sunt mult mai mari decat cele determinate din conditia de rigidiate;

II - conditiile de rezistenta si rigiditate sunt comparabile: la stanga punctului de intersectie primeaza conditia de rigiditate, iar la dreapta punctului de intersectie primeaza conditia de rezistenta;

III - conditia de rigiditate este mult mai severa decat cea de rezistenta, diametrele determinate din conditia de rigiditate sunt mult mai mari decat cele determinate din conditia de rezistenta.

Fig. 8 Situatii ce pot aparea la calculul arborulor la conditia de rezistenta si de limitare a deformatilor