Tehnologie Afaceri Scoala Didactica Legislatie Familie

  Dobanda. Rata dobanzii simple. Rata dobanzii compuse

Proiect

1. Dobanda. Conceptul de dobanda

Literatura de specialitate mentioneaza doua principale concepte:

conceptul clasic

conceptul neoclasic

Conceptul clasic abordeaza dobanda ca un rezultat al interactiunii dintre cerere si oferta in care prima identifica necesarul de resurse financiare pentru derularea unei investitii, iar oferta concretizeaza resursele financiare realizate pe seama economiilor.

Deficientele acestui concept constau intr-o abordare statica, adica, nu se tine seama de influenta factorului timp, de cresterea complexitatii fenomenelor economice (aparitia companiilor multi si transnationale, fenomenul de globalizare, etc.), de modul in care se formeaza dobanda de ratele de schimb valutar, rata inflatiei etc.

Conceptul neoclasic incearca sa se adapteze noilor conjuncturi economice facand apel la noi termeni ca: productivitatea marginala a capitalului, implicarea inflatiei ca un fenomen de cvasipermanenta si influentare directa, nemijlocita asupra dobanzii si nu in ultimul rand asupra deciziilor investitionale ca si a metodelor de actualizare, ceea ce ii confera factorului de timp importanta si influenta necesara.

2. Dobanda simpla

Calculul sumei finale pe care o are de primit creditorul are in vedere numai suma initiala, iar pentru perioadele urmatoare sa nu se cumuleze suma initiala cu valoarea dobanzii, deci pe parcursul duratei de imprumut suma initiala ramane aceeasi, nemodificata.

Formula uzuala este:

Δd =

in care:

Δd – suma (volumul dobanzii de plata pentru valoarea ratei dobanzii);

K – volumul creditului;

r_ds – rata dobanzii simple;

t – perioada de timp aferente creditului, exprimata in zile.

Se conosc trei proceduri de calcul referitoare la un an bancar:

procedura germana la care anul bancar are 360 de zile, iar luna bancara are 30 de zile;

procedura franceza la care anul bancar are 360 de zile, iar luna bancara este identica cu luna calendaristica;

procedura engleza la care anul bancar are 365 de zile, iar luna bancara coincide cu luna calendaristica.

Daca pentru mai multe perioade de timp suma initiala (volumul creditului, K) ramane neschimbata ca si rata anuala a dobanzii simple, suma finala ce urmeaza a fi restituita se calculeaza cu relatia:

K_f = K + n * K * r_ds = K(1+n*r_ds)

in care n - numarul de ani.

Dar sunt si situatii in care durata de acordare a creditului este exprimata in luni, trimestre sau decade.

In aceste conditii:

a) n = , daca durata este exprimata in luni;

b) n = , daca durata este exprimata in trimestre;

c) n = , daca durata este exprimata in decade.

Revenind la relatia: Δd =

in mod logic se mai poate calcula:

a) volumul creditului:

K = ;

b) perioada de timp pentru care s-a acordat creditul:

t = ;

c) rata dobanzii simple:

r_ds = .

Pentru creditor se pune problema evaluarii capitalului final (credit + dobanda) pe care il are de primit:

K_f = K+ Δd = K+ = K(1+)

In care:

K_f – valoarea capitalului final;

Δd – volumul dobanzii.

In continuare pe baza ultimei relatii se pot calcula:

a)     volumul creditului

K =

b)  rata dobanzii simple:

r_ds =

Aplicatii

Problema nr. 1. O banca plaseaza un capital de 40.000.000 de lei intr-un credit pe o perioada de 240 de zile, la o rata a dobanzii simple anuale de 23%. Sa se calculeze valoarea dobanzii aferenta imprumutului si valoarea capitalului final.

Δd = = = 6.049.315 lei

K_f = K+Δd = 40.000.000+6.049.315 = 46.049.315 lei

Problema nr. 2. Pe seama unui capital plasat intr-un credit pe o perioada de 180 de zile si cu o rata a dobanzii simple de 23% se va incasa o dobanda de 40.000.000 lei. Sa se calculeze valoarea creditului acordat si valoarea capitalului final.

K = = = 352.657.004,83 lei

K_f = K+Δd = 352.657.004,83+40.000.000 = 392.657.004,83 lei

Calculul dobanzii simple cand rata dobanzii simple este variabila de la o perioada la alta

Relatia de calcul este:

Δd = K(r_ds1*t₁+r_ds2*t₂+r_ds3*t₃+ … +r_dsn*t_n)

sau:

Δd₁ = K*r_ds1*t₁

Δd₂ = K*r_ds2*t₂

Δd₃ = K*r_ds3*t₃

Δd_n = K*r_dsn*t_n

Deci : Δd = Δd₁+Δd₂+Δd₃+…+Δd_n

In cazul in care duratele de timp sunt exprimate in zile, luni sau trimestre, valoarea capitalului initial se calculeaza cu relatia:

K = +++

K = +++

K = +++

Rata dobanzii simple:

r_ds = ++..+

Respectiv:

r_ds = +++

r_ds = +++

Durata pentru care a fost acordat creditul:

n = r_ds = +++

In fapt situatia se refera la cazul in care rata dobanzii simple capata valori diferite de la un an la altul, de la o perioada la alta:

Δd = Δd₁+Δd₂+Δd₃+…+Δd_n = K*r_ds1*n₁+ K*r_ds2*n₂++ K*r_dsn*n_n

Dar: n₁ = n₂ == n_n = n

Δd = K*n(r_ds1+ r_ds2++ r_dsn)

In situatiile in care duratele de timp sunt exprimate in zile, luni sau trimestre, relatiile de calcul devin:

a)     Δd = K*r_ds1*+ K*r_ds2*+…+ K*r_dsn*

b)     Δd = K*r_ds1*+ K*r_ds2*+…+ K*r_dsn*

c)     Δd = K*r_ds1*+ K*r_ds2*+…+ K*r_dsn*

in care: n_z – numar de zile;

n_l - numar de luni;

n_t – numar de trimestre.

Procedura de echivalenta in regim de dobanda simpla

Pentru o mai usoara asimilare propunem sa ne bazam pe un exemplu practic: O banca acorda un credit unui intreprinzator in valoare de 16.000 euro, rambursabil in urmatoarele conditii: prima rata de 4.000 de euro sa fie rambursabila dupa 30 de zile cu r_ds=9%, a doua rata de 5.000 de euro sa fie rambursata dupa 45 de zile cu r_ds=8%, iar a treia rata de 7.000 de euro sa fie rambursata dupa 80 de zile cu r_ds=14%.

Volumul total al dobanzii va fi de:

Δd = Δd₁+Δd₂+Δd₃ = K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t₂+ +K₃*r_ds3*t₃  =

=4000*0.09*+5000*0.08*+7000*0.14* = 29,58+8,88+214,79 = 253,25

Fata de aceste conditii initiale, creditorul si intreprinzatorul, de comun acord accepta intre timp ca imprumutul si dobanda sa fie restituita la un anumit termen (o singura data) diferit fata de termenele intermediare prestabilite si care sa nu conduca la modificarea volumului dobanzii. In acest caz avem de-a face cu o procedura de echivalenta in regim de dobanda simpla. In aceasta situatie este evident ca:

t₁ = t₂ = t₃ == t

Si intrucat cunoastem volumul dobanzii se va obtine:

Δd = K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t+ K₃*r_ds3*t3 = t(K₁*r_ds1+ K₂*r_ds2+ K₃*r_ds3)

253,25 = t(4000*0,09+5000*0,08+7000*0,14) = 1740*t

De unde rezulta :

t = = 0,145 ani = 53,10 zile

In acest tip de produs i echivalenta in regim de dobanda simpla ne putem confrunta cu urmatoarele tipuri de situatii:

a)     r_ds sa fie egale pentru fiecare interval de timp;

b)     ratele de credit sa fie egale.

a) Δd = K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t+ K₃*r_ds3*t₃

253,25 = 4000* r_ds1*+5000* r_ds2*+7000* r_ds3*

Deoarece: r_ds1 = r_ds2 = r_ds3 = r_ds relatia devine :

253,25 = r_ds(4000*+5000*+7000*) = 2479,42* r_ds

r_ds = = 0,102 = 10,2%

Putem verifica daca volumul dobanzii se modifica daca r_ds este de 10,2% pentru toate intervalele de timp:

Δd = 4000*0,102*+5000*0,102*+7000*0,102* =

=33,5+62,8+156,49 = 252,89253,12 €

b) Δd = K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t+ K₃*r_ds3*t₃

K₁ = K₂ = K₃ = K relatia devine :

Δd = K(0,09*+0,08*+0,14*)

253,12 = K(0,0073+0,098+0,0306) = 0,0477*K

K = = 5309,22 €

Procedura financiara multipla in regim de dobanda simpla

In activitatea practica se pot intalni situatii in care creditorul acorda intreprinzatorului mai multe credite (K₁, K₂, K₃, K_n) cu rate ale dobanzii aferente fiecarui credit, diferite (r_ds1,r_ds2,r_ds3,r_dsn) pe perioade diferite (t₁, t₂, t₃, t_n). Se considera ca doua proceduri financiare multiple in regim de dobanda simpla devin echivalente daca volumul dobanzilor este acelasi Δd₁ = Δd₂.

Se urmareste, daca exista interes reciproc de a inlocui procedura P₁ cu procedura P₂ si daca variabilele procedurii P₂ pot inlocui variabilele procedurii P₁, cu alte cuvinte sunt substituibile. Sa propunem ca exista urmatoarea procedura multipla care este exprimata in forma matriceala:

P₁ =

Sunt doua situatii care prezinta interes in activitatea practica:

A) sa vedem daca procedura financiara multipla P₁, prezentata anterior in forma matriceala, poate fi inlocuita cu alta procedura matriceala P₂, dar in care, pe rand, elementele de pe orizontala sunt egale intre ele (K, t si r_ds):

a) K₁ = K₂ = K₃ == K_n = K;

b) t₁ = t₂ = t₃ == t_n = t ;

c) r_ds1 = r_ds2 = r_ds3 =…= r_dsn = r_ds.

Volumul total al dobanzii:

Δd = K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t+…+ K_n*r_dsn*t_n

a) Volumul total al dobanzii se calculeaza astfel :

Δd = K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t+…+ K_n*r_dsn*t_n

Procedurile P₁ si P₂ devin echivalente daca volumul dobanzii aferent fiecarei proceduri sunt egale:

Δd₁ = Δd₂

Δd₁ = K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t₂+…+ K_n*r_dsn*t_n

Δd₂ = K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t₂+…+ K_n*r_dsn*t_n

Dar : K₁ = K₂ = K₃ == K_n = K

De unde se poate calcula valoarea lui K:

K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t+…+ K_n*r_dsn*t_n = K*r_ds1*t₁+ K*r_ds2*t+…+ K*r_dsn*t_n=

=K(r_ds1*t₁+r_ds2*t+…+r_dsn*t_n)

K =

b)     In aceasta situatie se presupune ca in procedura P₁ se inlocuieste procedura multipla matriceala P₃ de forma:

t₁ = t₂ = t₃ == t_n =t

P₃ =

Atunci: Δd₃ = K₁*r_ds1*t+ K₂*r_ds2*t+…+ K_n*r_dsn*t

Δd₁ = Δd₃

K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t₂+…+ K_n*r_dsn*t₃ = K₁*r_ds1*t+ K₂*r_ds2*t+…+ K_n*r_dsn*t=

= t(K₁*r_ds1+ K₂*r_ds2+…+ K_n*r_dsn)

De unde se poate calcula valoarea necunoscuta a lui t₀:

t =

c)     Sa presupunem ca procedura P₁ va fi inlocuita de o procedura matriceala multipla P₄ de forma:

r_ds1 = r_ds2 = r_ds3 =…= r_dsn = r_ds

P₄ =

Δd₄ = K₁*r_ds*t₁+ K₂*r_ds*t₂+…+ K_n*r_ds*t_n

Δd₁ = Δd₄

K₁*r_ds1*t₁+ K₂*r_ds2*t₂+…+ K_n*r_dsn*t₃ = K₁*r_ds1*t+ K₂*r_ds2*t+…+ K_n*r_dsn*t=

= r_ds(K₁*t₁+ K₂*t₂+…+ K_n*t_n)

Deci se poate calcula valoarea necunoscuta a ratei dobanzii simple:

r_ds =

3. Dobanda compusa

Daca pentru o suma initiala/credit K depusa sau creditat, volumul dobanzii se modifica periodic iar valoarea corespunzatoare pentru un interval de timp devine valoarea initiala pentru urmatorul interval de timp si se aplica procedeul de “dobanda la dobanda” avem de-a face cu ceea ce se numeste dobanda compusa. Pentru primul interval de timp volumul dobanzii (Δd) va fi Δd₁ = K*r_d1. Pentru al doilea interval de timp: Δd₂ = K+ Δd₁ s.a.m.d.

Dobanda aferenta unui credit care nu e restituita la momentul de timp stabilit de comun acord, se va acumula cu creditul imprumutat, care va genera o noua dobanda (dobanda la dobanda) iar suma corespunzatoare devine suma initiala pentru urmatorul interval de timp. Cu alte cuvinte, capitalul initial (K) se modifica periodic prin capitalizarea dobanzii calculate pentru perioada anterioara.

Pentru generalizare vom concepe urmatorul tabel:

Deci la sfarsitul celor n ani capitalul final va fi:

K_f = K(1+r_ds)ⁿ

Valoarea dobanzii Δd = K_f-K = K(1+r_ds)ⁿ-K = K[(1+r_ds)ⁿ-1]

Se poate calcula valoarea prezenta sau actualizata:

K =

K_f = K(1+r_ds)ⁿ

= (1+r_ds)ⁿ

Apoi: ln = ln(1+r_ds)ⁿ relatie care nu permite sa calculam numarul de ani pentru

care s-a acordat creditul:

n =

In aceste conditii putem calcula si r_ds:

= n*

=

= e = e = ()

r_s = ()-1 = -1

Volumul dobanzii se calculeaza astfel:

Δd = K_f-K=K[(1+r_ds1)+ (1+r_ds2)+…+ (1+r_dsn)]-K=K[(1+r_ds1)+ (1+r_ds2)+…+ (1+r_dsn)-1]

Presupunand ca: r_ds1 = r_ds2 = r_ds3 =…= r_dsn =r_ds

K_f = K(1+r_ds)ⁿ

Intrucat este vorba de rata dobanzii compuse se aplica principiul “dobanda la dobanda r_ds va fi numita r_dc, rata dobanzii compuse.

3.1. Rata dobanzii compuse variabile

Aidoma situatiei de la rata dobanzii simple si in acest caz se pleaca de la ideea ca si rata dobanzii compuse poate avea valori diferite pe parcursul anumitor intervale de timp.

Ramane valabila constatarea ca pentru intervalul de timp urmator, valoarea initiala (suma credit) este valoarea finala (suma credit) a anului anterior.

Problema nr.3. O suma de 5000 de euro e depusa la o banca pe o perioada de 3 ani cu o rata a dobanzii de 7% pentru primul an, 9% pentru cel de-al doilea an si 11% pentru cel de-al treilea an.

Pentru primul an:

Δd₁ = K*r_d1 = 5000*0,07 = 350 €

K₁ = K+ Δd₁ = 5000+350 = 5350 €

Sau: K₁ = K(1+ r_ds1) = 5000*1,07 = 5350 €

Sau: Δd1 = K₁-K = 5350-5000 =350 €

Pentru al doilea an:

Δd₂ = K(1+*r_ds1)*r_d2 = 53500*0.09 = 481,5 €

K₂ = K₁+ Δd₂ =K(1+ r_ds1)+K(1+ r_ds2)(1+r_d2)=K(1+r_ds1) (1+r_ds2)=5350+481,5=5831,5 €

Δd₂ = K₂- K₁ = K(1+ r_ds1)(1+r_ds2)- K(1+ r_ds1) = K(1+ r_ds1)[ (1+ r_ds2)-1] = 481,5 €

Pentru al treilea an:

Δd₃ = K(1+ r_ds1) (1+ r_ds2)* r_ds3 = 641,46 €

K₃ = K₂+ Δd₃ = K(1+ r_ds1) (1+ r_ds2) (1+ r_ds3) = 6472,96 €

Δd₃ = K₃-K₂ = K(1+ r_ds1)(1+ r_ds2)(1+ r_ds3)-K(1+r_ds1)(1+r_ds2) = K(1+r_ds1) (1+r_ds2)* 

*[(1+r_ds3)-1] = 641,46 €

In forma generala suma finala (credit, valoare) se calculeaza cu relatia:

K_f = K(1+ r_ds1) (1+ r_ds2) (1+ r_ds3)*…* (1+ r_dsn)

Iar volumul dobanzii:

Δd₃ = K_f-K = K(1+ r_ds1) (1+ r_ds2) (1+ r_ds3)*…* (1+ r_dsn)-K =

= K[(1+ r_ds1) (1+ r_ds2) (1+ r_ds3)*…* (1+ r_dsn)-1] =

= K[(1+ r_ds1) (1+ r_ds2) (1+ r_ds3)*…* (1+ r_dsn-1)]*r_dsn