Variabila dependenta (PIB-ul Frantei, exprimat in miliarde euro) si variabila independenta (importuri)

I.          Introducere

In prima parte a proiectului am analizat legatura dintre variabila dependenta (PIB-ul Frantei, exprimat in miliarde euro) si variabila independenta (importuri), intre anii 1960-1980. Apoi, cu ajutorul programului Microsoft EXCEL am realizat calculele pe care le-am interpretat, in timp ce calculele propriu-zise sunt localizate in anexe.

Cea de-a 2 a parte a proiectului o reprezinta regresia bifactoriala. Aici, am adaugat inca o variabila independenta (si anume exporturile), din aceeasi perioada.

II.       Descrierea variabilelor regresiei unifactoriale

In urmatorul tabel avem date referitoare la PIB-ul Frantei (reprezentand variabila dependenta y), cat si informatii despre importuri (fiind insusite variabilei independente x). Valorile sunt exprimate in miliarde euro, iar perioada studiului este 1960-1980.

Sursa datelor prezentate mai sus este: Conturile Nationale - Baza 2000 (Institutul National de Statistica al Frantei)

Cu ajutorul datelor din tabelul de mai sus, vom putea construi un model liniar factorial de forma: y = f (x) +

y = valorile variabilelor dependente;

x = valorile variabilelor independente;

ε = variabila reziduala, reprezentand influentele celorlalti factori ai variabilei y.

Pasul urmator este alegerea unei functii f(x) pe baza careia sa determinam legatura dintre variabile. Construirea unei astfel de legaturi se face prin intocmirea corelogramei (fig. 1)

fig. 1

Din corelograma deducem ca distributia punctelor x_i si y_i poate fi aproximata cu o dreapta, asadar legatura dintre variabile reprezinta un model liniar unifactorial de forma:

y = a + bx + u

a,b - parametrii modelului;

b0 - (panta dreptei) deoarece legatura dintre cele doua variabile este directa.

Legatura ce demonstreaza ca modelul econometric este unul liniar unifactorial este redata in figura urmatoare (fig. 2).

fig. 2

III.           Calculul problemei in EXCEL

Interpretari ale rezultatelor obtinute:

Tabelul SUMMARY OUTPUT

R = 0.9942 denota faptul ca intre PIB si import exista o legatura stransa in economia Frantei

R² 0.9885 arata ca 98% din variatia PIB-ului se datoreaza importurilor masive din Franta

Abaterea medie patratica a erorilor 13.1896 reprezinta abaterea punctelor fata de dreapta de regresie. Valoarea acestui indicator demonstreaza ca functia de regresie este reprezentativa.

Numarul de observatii: 21

Pentru aceasta problema putem afirma ca modelul de regresie liniara simpla este bun.

Tabelul ANOVA

Acest tabel se refera la descompunerea variantei totale (SST), variabila dependenta in doua componente: varianta explicata prin regresie (SSR) si varianta reziduala (SSU).

El este compus din, suma patratelor (SS), numarul gradelor de libertate (df), media patratica (MS), raportul ANOVA (F), si pragul de semnificatie (Signigicance F).

Rezultatele din acest tabel sunt folosite pentru construirea testului F. Totodata, datele furnizate de analiza dispersionala (ANOVA), pot valida sau invalida modelul de regresie construit. Astfel, intrucat F = 1643.2787 si Significance F (pragul de semnificatie) = 6.4651 , valoare care este mai mica decat 0.05, confirma ca modelul este valid deci poate fi utilizat pentru analiza dependentei dintre PIB si Importuri in cadrul economiei franceze din perioada 1960-1980.

Al doilea tabel al analizei ANOVA, reda valorile coeficientilor modelului de regresie (Coefficients), erorile standard ale coeficientilor (Standard Error), dar si informatii pentru aplicarea testului Student pentru fiecare coeficient (t-stat si P-value). Valorile coloanei t-stat se obtin prin impartirea coeficientilor la erorile standard care le corespund, asadar obtinem valorea calculata a testului t pentru fiecare estimator (coeficient). Dupa cum se obisnuieste, aceastea valoare se compara cu cea tabelara din repartitia Student.

Intercept reprezinta termenul liber al functiei, asadar = 37.1899 Acest punct reprezinta locul in care variabila factoriala este 0, adica volumul PIB-ului in miliarde euro in cazul in care importurile tind spre 0. Intrucat = si pragul de semnificatie P-value = 5.7671 valoare mai mica decat 0.05, putem afirma ca coeficientul este semnificativ. Intervalul de incredere al acestui parametru este 28.1248 46.2550

Pe de alta parte, = 4.2536 astfel la cresterea importurilor cu un miliard de euro, PIB-ul Frantei va creste cu 4.2536 miliarde euro. Aplicand acelasi rationament ca la , = 40.5373 si P-value este 6.4651 care este mai mica decat 0.05, deci coeficientul este semnificativ. Intervalul de incredere pentru este 4.0340 4.4733.

IV. Regresie bifactoriala - legatura dintre PIB si importuri si exporturi, in economia Frantei din perioada 1960-1980.

Regresia bifactorialǎ

Daca in prima parte a proiectului, am utilizat ca variabila independenta doar importurile, in ce-a de-a 2 a parte, voi adauga si exporturile in regresie. Perioada este aceeasi.

Sursa datelor prezentate mai sus este: Conturile Nationale - Baza 2000 (Institutul National de Statistica al Frantei)

Interpretarea rezultatelor:

Tabelul SUMMARY OUTPUT

R = 0.9979 denota faptul ca intre PIB si import si export exista o legatura stransa in economia Frantei.

R² 0.9958 arata ca 99% din variatia PIB-ului se datoreaza importurilor si exporturilor. Comparant ce doua valori, deducem ca gradul de determinare in cadrul modelului de regresie bifactoriala a crescut de la 98% la 99%. Deci, influenta celor doua variabile (import si export), determina in proportie de 99% variatia PIB-ului in Franta, cresterea cu un procent fiind datorata exporturilor.

Abaterea medie patratica a erorilor 8.2096 reprezinta abaterea punctelor fata de dreapta de regresie. Valoarea acestui indicator demonstreaza ca functia de regresie este reprezentativa. Observam ca valoarea abaterii medii patratica s-a micsorat de la 13 la 8 (cu aproximatie), asadar modelul de regresie bifactorial este mult mai precis decat cel unifactorial.

Numarul de observatii: 21

Tabelul ANOVA

Datele furnizate de acest tabel in care este calculat testul F valideaza modelul de regresie. Intrucat F = 2136.33685 iar valoarea lui Significance F = 4.02 este mai mica de 0.05 atunci modelul de regresie construit este valid si poate fi utilizat in analiza dependentei PIB-ului fata de importuri si exporturi.

Intercept fiind termenul liber, deci = -0.7416. In acest punct variabilele explicative sunt 0. Deoarece = 10.5348 si P-Value este 3.98214 < 0.05 atunci acest coeficient este semnificativ. Intervalul de incredere pentru acest parametru este 24.6867 36.9858.

Coeficientul este -0.7416 . Inseamna ca daca se majoreaza valoarea importurilor cu un miliard, in conditiile in care exporturile raman constante, PIB-ul Frantei va scadea cu 0.7416. Fiindca = -0.82499 iar P-value = 0.42017 care este mai mare decat 0.05, rezulta ca coeficientul nu este semnificativ.

Coeficientul este 5.25977. Inseamna ca la cresterea exporturilor cu un miliard, in timp ce importurile raman constante, PIB-ul Frantei se va majora cu 5.25977 miliarde euro. Deoarece = 5.571606 si P-value = 0.000027 < 0.05 , inseamna ca acest coeficient este semnificativ. Intervalul de incredere pentru acest parametru este

3.276437 7.2431172.

V.      Anexe

In cele ce urmeaza vom estima valorile parametrilor modelului de

regresie utilizand metoda celor mai mici patrate ( M.C.M.M.P.):

y_i = a + bx_i + ε_i

= + , unde :

= valorile teoretice ale variabilei y_i ( PIB) obtinute in functie de valorile factorului x si de valorile estimatorilor a si b , respectiv si ;

ε_i = y_i - = ( a - )+( b - ) = estimatiile valorilor variabilei reziduale

Astfel , M.C.M.M.P consta in minimalizarea functiei :

, n = 21

Rezolvarea sistemului necesita intocmirea urmatorului tabel:

	PIB (y	Importuri (x	xi2	y2	( yi - )2	( xi - )2	xiX yi
TOTAL	3536.1	647.7			=289182.66	=15799.7116	176270.41

Tabel 1: Valorile intermediare pentru estimarea modelului de regresie

• Calculul variabilelor modelului de regresie

T

T relatia este de forma = 37.19 + 4.25x_i

Dispunand de estimatiile parametrilor se pot calcula valorile estimate ale variabilei endogene cu ajutorul relatiei de mai sus, iar valorile variabilei reziduale vor rezulta din relatia : = y_i - ( vezi tabelul urmator, col.7 )

Tabel 2: Valorile intermediare pentru testarea semnificatiei parametrilor modelului

• Calculul valorilor estimate ale variabilei endogene

Pe baza acestor valori se pot calcula abaterea medie patratica a variabilei reziduale si abaterile medii patratice ale celor doi estimatori , si :

= = = 173.99, unde k = numarul parametrilor

= = 13.19

= = 20.05

= 6.33

In cele ce urmeaza, vom testa parametrii modelului de regresie si astfel:

se stabileste ipoteza nula : = 0

= 0

se stabileste ipoteza alternativa : 0

0

Vom calcula testul care se dovedeste a fi unul de volum redus deoarece n = 21 < 30, deci vom utiliza testul t, lucrand cu un prag de semnificatie = 0,05; = 37.19; = 20.05 si = 4.25; = 6.33

= = = = 1.85

= 0.67

= = = 2,093

< 0.13 < 2,093

< 0.59 < 2,093

Se accepta ipoteza nula conform careia parametrii modelului de regresie sunt 0.

• Testarea validitatii modelului de regresie se face prin stabilirea :

1. Ipotezei nule : modelul nu este valid

2. Ipotezei alternative : modelul este valid

3. Se calculeaza testul F :

285382.532

= = = 173.99

= 1640.22

Din tabela repartitiei F (Fisher ) se preia valoarea tabelata pentru un prag de semnificatie =0,05

4,38

Testul Fisher - Snedecor indica pe baza calculelor faptul ca rezultatele sunt semnificative prin faptul ca F_calc > F_tab T modelul este valid , pentru un prag de semnificatie =0,05

Intensitatea legaturii dintre cele doua variabile se face cu coeficientul de corelatie liniara Pearson

Coeficientul de corelatie liniara este definit in intervalul , ceea ce inseamna ca valoarea obtinuta de 0.99 indica o legatura directa si puternica intre cele 2 variabile.

• Testarea semnificatiei coeficientului de corelatie se realizeaza cu ajutorul testului Student astfel :

1.Ipoteza nula: r nu este semnificativ statistic

2.Ipoteza alternativa : r este semnificativ statistic

3.Se calculeaza statistica "t"

2,093

Pe baza calculelor de mai sus se respinge ipoteza nula , adica, coeficientul de corelatie este semnificativ statistic, cu un prag de semnificatie =0,05.

• Masurarea intensitatii legaturii cu raportul de corelatie R se face , astfel :

Verificarea semnificatiei raportului de corelatie se face cu ajutorul testului Fisher :

= = 49

=

Cum:

T R este semnificativ statistic

Estimarea punctuala se face dupa modelul :

= 37.19 + 4.25x_i

= 37.19 + 4.255.7 = 233.965 61.42 mld.Euro

Ceea ce inseamna ca PIB-ul se ridica la valoarea de 61,42 mld.Euro tinand cont ca exporturile vor atinge valoarea de 46.3 mld.Euro.

Intervalul de incredere pentru valoarea prognozata a PIB-ului in perioada urmatoare se va realiza dupa modelul :

Pe baza calculelor la punctele precedente , valoarea PIB-ului ( y ) se realizeaza dupa distributia Student ( n 30 ) si de = 173.99. Din datele problemei = 5.7 astfel incat :

Intervalul de incredere este :

Valoarea prognozata a PIB-ului pentru perioada urmatoare s-a situat in intervalul cu o probabilitate de 95 %