Pamintul si stiinta navigatiei

PAMINTUL SI STIINTA NAVIGATIEI

§1 Forma si dimensiunile Pamintului

Relieful suprafetei Pamintului are o forma neregulata, care nu este susceptibila vreunei definitii geometrice. Neregularitatile acestui relief sint insa nein­semnate in raport cu distantele la centrul Pamintului.

Stiintele aplicate, care au ca obiect de studiu Pamintul sau aplicarea cunos­tintelor despre Pamint in diferite domenii, necesitau asimilarea formei pla­netei noastre cu aceea a unui corp geometric regulat. O asemenea suprafata geometrica regulata, imaginara, cea mai apropiata de cea reala, avea sa ofere acestor stiinte, intre care enumeram geodezia, astronomia, cartografia, navigatia etc., posibilitatea stabilirii unor relatii matematice riguroase pentru calcu­larea diferitelor elemente necesare.

Ca un prim pas in intentia asimilarii reliefului Pamintuli la o forma geo­metrica regulata, s-a imaginat ca suprafata sa se confunda cu nivelul mediu al oceanelor prelungit pe sub continente si invelind intreg globul terestru (fig. aceasta suprafata fictiva poarta denumirea de geoid. Geoidul consti­tuie obiectul de studiu al geodeziei.

Suprafata geoidului este normala in orice punct al ei la verticala locului si constituie nivelul de referinta fata de care se exprima altitudinile punctelor de pe suprafala terestra; de aceea, geoidul se mai defineste ca fiind suprafata de nivel de altitudine zero.

Pozitia unui punct de pe suprafata Pamintului deci, in raport cu geoidul, se determina prin proiectia punctului pe suprafata de nivel a geoidului si alti­tudinea lui fata de aceasta suprafata.

Geoidul se obtine prin determinarea verticalei locului in diferile puncte ale globului terestru, fata de care suprafata geoidului se considera normala si prin stabilirea nivelului mediu al marii, acolo unde aceasta operatiune este posibila. Observatiile geodeziei au relevat insa faptul ca directia verticalei locului, ca si intensitatea campului gravitational, nu variaza regulat pe suprafata Pamantului, datorita repartitiei neuniforme a densitatii maselor din constitutia planetei noastre, atat din compozitia scoartei terestre, cat si in profunzime.

Acest fapt face ca geoidul sa nu prezinte o suprafata geometrica regulata; in aceste conditii, determinarea marimilor unghiulare si a distantelor intre diferitele puncte terestre reprezentate pe geoid ar implica anumite dificultati, ca urmare a faptului ca geoidul nu se poate supune unor relatii geometrice precise.

Studiul atent al geoidului conduce la concluzia ca acesta se apropie foarte mult de o sfera, care prezinta o oarecare bombare la ecuator si o usoara tur­tire la poli. Astfel, in cadrul stiintelor aplicate, din randul carora face parte si navigatia, intr-o prima aproximatie, Pamintul se considera de forma unei sfere; cand calculele sau operatiunile de efectuat impun o mai mare precizie, cum este cazul in geodezie, astronomie sau hidrografie, intr-o a doua aproximatie, Pamintul se considera de forma unui elipsoid de revolutie, denumit elipsoid terestru. Daca geoidul se inscrie intr-un elipsoid se constata ca aceste corpuri sint foarte apropiate, diferentele de nivel masurate pe verticala locului putand fi practic considerate ca neglijabile

(nedepasind 150 m). In concluzie, elipsoidul esfe corpul geomeiric regulat cel mai apropiat de geoid.

Elipsoidul de revolutie reprezentand elipsoidul terestru se obtine prin rotirea elipsei PQP'Q' in jurul axei mici PP (fig.

Axa mica a elipsoidului terestru PP' reprezinta axa de rotatie a Pamantului de la vest la est si se numeste axa pollor terestri. Punctele de inlersectie ale axei PP' cu suprafata elipsoidului terestru se numesc poli terestri: Polul nordl (P) si Polul sud (P')

Intersectia elipsoidutui terestru cu un plan care contine axa polilor determina o elipsa denumita elipsa meridiana (PQP'Q'); jumatatile de elipsa cuprin­se intre cei doi poli (PQP' si PQ'P') se numesc meridiane. Meridianul care trece prin observatorul astronomic din Greenwich (de linga Londra) se numeste meridian Greenwich, meridian zero, primul meridian sau meridian international.

Semiaxa mare (a) a elipsei, prin rotatie, determina planul ecuatorului teres­tru; intersectia acestui plan cu suprafata elipsoidului determina un cerc, denu­mit cercul mare ecuatorial sau ecuatorul terestru.

Intersectia elipsoiduhti terestru cu un plan perpendicular pe axa polilor, paralel cu planul ecuatorului terestru, determina un cerc denumit cerc paralel sau paralel.

Suprafata elipsoidului terestru generata prin rotirea elipsei meridiane in jurul axei sale se considera determinata, daca se cunosc elementele acestei elip­se. Pentru determinarea elipsei meridiane s-a procedat la slabilirea lungimii arcului de meridian de 1°, la diferite latitudini, din care s-au dedus valorile cele mai probabile ale elementelor ce caracterizeaza elipsoidul teresiru si anum e :

- semiaxa mare (a);

- sem iaxa mica (b) ;

- turtirea ():

(1-1)

excentricitatea (e):

e = (1-2)

Dupa cum se poate vedea din relatiile de mai sus, pentru determinarca elip­sei meridiane a elipsoidului terestru este suficient sa se cunoasca lungimea celor doua semiaxe, lungimea uneia dintre semiaxe si turtirea sau excentrici­tatea elipsoidului.

Tabelul 1-1 reda elementele elipsoidului terestru determinate de diferiti oameni de stiinta.

TabeIul 1-1

Conferinta internationala de geodezie si geofizica de la Madrid din anul 192 a adoptat elementele elipsoidului terestru stabilite de catre Hayford,fiind folosite in multe state ca elernente ale elipsoidului terestru de referinta, cunoscut sub denumirea de elipsoidul international.

In Uniunea Sovietica, elipsoidul Krasovski a fost adoptat in 1946 ca elipsoid terestru de referinta pentru lucrarile de geodezie si cartografie; elementele acestui elipsoid stau la baza intocmirii Tablelor Nautice MT -53 folosite si la bordul navelor noastre.

Dupa cum se poale vedea din datele tabelului 1-1, turtirea elipsoidului terestru este mica, diferenta dintre semiaxa mare si semiaxa mica dupa elementele elipsoidului internalional, fiind de numai 21476 m; practic deci, se poate afirma ca elipsoidul terestru se aprolpie foarte mult de o sfera. De aceea, elipsoidul terestru mai este cunoscut si sub denumirea de sferoid terestru. Aspectul de sferoid este scos in evidenta si de comparatia care se poate face intre lungimea ecuatorului terestru si cea a elipsei meridiane: circumferinta ectuatorului este de 40077 km, iar conturul elipsei meridiane de 40009 km.

Avandu-se in vedere cele aratate mai sus, in navigatie pamintul se consi­dera de forma unei sfere, denumita sfera terestra.

Asimilarea geoidului cu elipsoidul de revolutie s-a facut din ratiunea obtinerii unei suprafete regulate, care sa poata fi supusa unor relatii matematice riguroase, necesitate reclamata de Stiintele aplicate.

Asimilarea elipsoidului terestru cu sfera terestra se face pe baza constatarii diferentei, practic neinsemnate, intre cele doua suprafete, in scopul simplifi­carii rezolvarii problemelor in navigatie si a anumitor probleme ale cartogra­fiei, stiut fiind faptul ca proprietatile geometrice ale sferei sint considerabil mai simple decit ale elipsoidului.

Sfera terestra se considera drept o sfera, care are volumul egal cu cel al elipsoidului terestru. Raza sferei terestre (R) se calculeaza deci din egalitatea dintre volumul sferei terestre si cel al elipsoidului terestru:

de unde:

R=6371 Km (1-3)

Aceasta valoare a razei sferei terestre, cu o diferenta de ordinul metrilor, se poate obtine si daca se considera egalitatea suprafetei elipsoidului cu cea a sferei. In sfirsit, o valoare apropiata pentru raza sferei terestre se obtine si daca se calculeaza din semisuma semiaxelor elipsoidului terestru de referinta:

R= ≈ 6368 Km

§2 Elementele sferei terestre. Determinarea pozitiei unui punct pe suprafata sferei terestre

Elementele sferei terestre

Sfera terestra, in mod analog cu elipsoidul terestru, este definita de urma­toarele elemente de referinta (fig. 1-3):

- axa polilor (P_N, P_s in jurul careia Pamintul executa miscarea de rotatie de la vest la est. Axa polilor inteapa sfera terestra in doua puncte: Polul nord (P_N), indreptat spre steaua Polara (sau polul de unde Pamintul se vede rotindu-se in sens direct) si Polul sud (P_S), la extremitatea opusa;

- planul ecuatorului terestru, perpendicular pe axa polilor ce trece prin centrul Pamintului. Intersectia acestui plan cu suprafata sferei terestre deter­mina un cerc mare denumit ecuatorul terestru. Planul ecuatorului imparte sfera terestra in doua emisfere: emisfera nordica, ce contine Polul nord si emisfera sudica, ce contine Polul sud. Intersectia sferei terestre cu un plan oare­care paralel cu planul ecuatorului terestru, perpendicular deci pe axa polilor, determina un cerc mic denumit cerc paralel sau paralel.

Intersectia sferei terestre cu un plan care contine asa polilor determina un cerc mare (P_N Q P_S Q'). Semicercul cuprins intre cei doi poli se numeste mcri­dian (P_N Q P_S semicercul opus, cuprins in acelasi plan, se numeste antemeri­dian (P_NQ' P_S). Meridianul Greenwich (rneridianul zero, primul meridian sau meridianul international) imparte sfera terestra in doua ernisfere: emisfera estica si emisfera vestica. Considerindu-ne intr-un punct oarecare al meridianului Greenwich, stand cu

fata spre Polul Nord, emisfera estica este situata in dreapta, iar emisfera vestica in stinga.

Antimeridianul meridianului Greemvich este denumit meridianul 180^o sau meridianul de schimbare a datei.

2. Coordonate geografice

Pozitia unui punct oarecare pe suprafata sferei terestre se deterrnina in raport de doua cercuri mari ale caror plane sunt reciproc perpendiculare (fig. 1-3):

- ecuatorul terestru;

- meridianul Greenwich.

Orice punct (ex. A sau B) de, pe suprafata sferei terestre se afla la inter­sectia unui paralel cu un meridian, denumite paralelul locului si, respectiv, meridianul locului.

Pozitia punctului A pe sfera terestra, de exemplu, se obtine prin determi­narea paralelului si meridianului locului, la intersectia carora se afla punctul respectiv. Paralelul locului se determina prin latitudinea sa, iar meridianul locului prin longitudine. Pozitia unui punct pe suprafata Pamantului se deter­mina deci cu ajutorul a doua coordonat^-e: lafitudinea si longitudinea, denumite coordonafe geografice.

Latitudinea unui punct pe suprafata Pamantului este arcul de meridian sau triunghiul la centru corespunzator, masurat de la ecuator pina la paralelul locului.

Latitudinea punctului A deci este egala cu MA = MOA. Toate punctele situate pe aceeasi paralela au aceeasi latitudine de aceea, cercurile paralele pe sfera terestra mai poarta si denumirea de paralele de latitudine.

Latitudinea poate lua valori cuprinse intre 0^o (la ecuator) Si 90° (la poli); latitudinea se considera nordica sau pozitiva daca punctul este situat in emi-sfera nordica si sudica sau negativa, daca locul se afla in emisfera sudica. Se noteaza cu simbolul astfel:

_A = 44^o 32'.5 N sau _A = + 44^o 32'.5

_B 51^o 49'.0 S sau _B 51^o 49'.0

Deoarece verticala locului, normala la suprafata sferei terestre in punctul considerat, trece prin centrul Pamantului, latitudinea mai poat.e fi definita si ca unghiul dintre verticala locului si planul ecuatorului.

Longitudinea unui punct pe suprafata Pamantului este arcul de ecuator terestru sau unghiul la centru corespunzator,masurat de la meridianul Green­wich, spre est sau vest, pina la meridianul locului. Longitudinea punctului A este egala deci cu arcul TM = TOM . Toate punctele situate pe acelasi me­ridian au aceeasi lungitudine.

Longitudinea mai poate fi definita si ca unghiul sferic (la pol) cuprins intre planul meridianului Greenwich si planul meridianului locului, contat spre est sau vest.

Longitudinea poate lua valori de la 0° (punctele situate pe meridianul Greenwich) pina la 180° (punctele situate pe meridianul 180°); longitudinea este considerata estica sau pozitiva, daca locul este situat in emisfera estica si vestica sau negativa daca punctul se afla in emisfera vestica. Se noteaza cu litera , aslfel:

_A =33°23'.7 E sau _A

_B =29°48'.2 W sau _B

Meridianul Greenwich a fost stabilit ca meridian de origine pentru masu­rarea longitudinilor la Conferinta Internationala de Ia Washington, din anul

La intersectia paralelului Iocului, determinat de latitudine, cu meridianul locului, determinat de longitudine, se obtine pozitia punctului considerat pe sfera terestra.

In navigatie, coordonatele geografice ale pozitiei navei se exprima la precizie de 0'. in situatiile in care coordonatele geografice sunt folosite ca elemente de calcul se recomanda sa fie notate cu semnele lor algebrice (+ sau -) si nu cu sensurile de contare (N, S, E, W), pentru a usura efectuarea operatiunilor.

Pozitiile reciproce a doua puncte pe sfera terestra. Diferente de coordonate

Pozitiile reciproce a doua puncte pe sfera terestra se determina cu ajutorul diferentelor lor de coordonate: diferenta de latitudine si diferenta de longitudine.

Sa consideram ca o nava merge de-a lungul meridianului locului, din punctul de plecare A (fig. 1-4) pana in punctul de sosire B; se observa ca longitudinea ramane neschimbata pe tot parcursul, latitudinea insa se schimba. Latitudinea punctului B este diferita de latitudinea punctului A - cu o cantitate egala cu masura arcului AB = AOB care poarta denumirea de diferenta de latitudine.

Diferenta de latitudine poate fi definita deci ca fiind arcul de meridian sau unghiul la centru corespunzator, cuprins intre paralelul punctului de plecare si paralelul punctului de sosire. Diferenta de latitudine a doua puncte se inseamna cu Δφ.

Notand latitudinea punctului de plecare A cu φ₁ si a punctului de sosirc B cu , rezulta ca valoarea diferentei de latitudine Δφ este data de relatia al­gebrica:

Δφ = (1-4)

Diferenta de latitudine poate lua valori cuprinse intre 0° si 180°, spre nord sau sud; diferenta de latitudine ia valoarea de 180° cind s-ar realiza deplasarea din Polul nord pana in Polul sud sau invers.

Diferenta de latitudine se considera pozitiva sau nordica (si se noteaza cu + sau N), daca nava - in raport cu paralelul locului, se deplaseaza spre Polul nord; diferenta de latitudine se considera negativa sau sudica (si se no­teaza cu - sau S), daca nava - in raport cu paralelul locului, se deplaseaza spre Polul sud. De exemplu:

Δφ = + 3 sau Δφ = 3°17'.4 N

sau °23'. 6 S

Sa consideram acum ca o nava se deplaseaza de-a lungul paralelului locului, din punctul de plecare C (Fig. 1-5) pina in punctul de sosire D; se observa ca Iatitudinea locului ramine aceeasi pe tot parcursul; longitudinea insa se schimba. Longitudinea punctului D este diferita de longitudinea punctului C cu o cantitate egala cu masura arcului MN = <) MON, care poarta denumirea de diferenta de longitudine.

Diferenta de longitudine poate fi definita, deci, ca fiind arcul de ecuator sau unghiul la centru corespunzator, cuprins intre meridianul punctului de plecare si meridianul punctului de sosire. Diferenta de longitudine mai poate fi definita ca unghiul sferic (la pol), format intre meridianul punctului de plecare si meridianul punctului de so­sire.

Diferenta de longitudine se inseamna cu

Notand longitudinca punctului de plecare C cu ₁ si longitudinea punctului de sosire D cu _z, rezulta ca valoarea diferentei de longitudine este data de relatia algebrica:

= _z - ₁ (

Diferenta de longitudine poate lua valori cuprinse intre ° si spre est sau vest.

Diferenta de longitudine se considera pozitiva sau estica (si se noteaza cu + sau E), daca nava, in raport cu meridianul locului, se deplaseaza spre est; diferenla de longitudine se considera negativa sau vestica (si se noteaza cu - sau W), daca nava, in raport cu meridianul locului, se deplaseaza spre vest. De exemplu:

= + sau =4°32'.5 E ;

= -1°10' sau  =1°10' W

Este necesar sa se sublinieze faptul ca diferenta de longitudine poate lua valori numai pina la 180°; in cazul punctelor C si D (fig. 1-5) deci, diferenta de longitudine este egala cu masura arcului MN si nu cu cea a arcului MQ'QN.

In cazul cind nava se deplaseaza intre doua puncte E si F (fig. 1- 6) situate pe meridiane si paralele diferite, se realizeaza atit o diferenta de latitudine (= GF= GOF), cit si o diferenta de longitudine (=HI= HOI). Dife­rentele de coordonate Δφ si , asa cum s-a aratat mai sus, se obtin scazandu-se algebric coordonatele punctului de plecare din coordonatele punctului de sosire.

In practica navigatiei, se pot pune doua probleme in legatura cu pozitiile reciproce a doua puncte pe suprafata Pamantului si anume:

- determinarea diferentei de latitudine si a diferentei de longitudine, cuns­cindu-se coordonatele punctului de plecare si ale celui de sosire. Considerind punctul de plecare E (fig. 1-6) de coordonate cunoscute ₁ si ₁ si punctul F, de coordonate₂ si ₂ diferentele de coordonate se obtin din relatiile si (1 5):

Δφ = ₁ - ₂

= ₁ - ₂

determinarea coordonatelor punctului de sosire, cunoscandu-se coordo­natele punctului de plecare si diferentele de coordonate. Considerind cunoscute coordonatele ₁ si ₁ ale punctului de plecare E(fig. 1-6) si diferentele de coor­donate Δφ si realizate prin deplasarea naei, coordonalele ₂ si ₂ ale punc­tului de sosire F se obtin din relaitiile algebrice:

₂ = ₁ + Δφ (1-6)

₂ = ₁ + (1-6')

Exemplul . O nava pleaca din punctul A de coordonate ₁ = + 44^o 28';

₁ = + 30 ^o 10' si soseste in punctul B, de coordonate ₂ = + 43^o 22';

₂ = + 31^o 35'.5.

Se cer diferentele de coordonate Δφ si .

Rezolvare: 

Exemplul 2. 0 nava pleaca din punctul C de coordonate ₁= + 42^o ₁ = + 31^o si realizeaza o diferenta de latitudine Δφ = + 2°21' si o diferenta de longitudine = - 1°18' . Sa se calculeze coordonatele punctului de sosire ₂ si _2.

Rezolvare:  ₁ = + 42°12'  ₁ = +

+ Δφ= + + = -

₂ = + ₂

§3 Determinarea pozitiei unui punct pe elipsoidul terestru. Coordonate geodezice

Pozitia unui punct, pe elipsoidul terestru in sistemul de coordonate geodezice, in mod analog cu sistemul de coordonate geografice sferice, se determina cu ajutorul longitudinii si latitudinii. In figura 1-7, consideram punctul A si normala ZA la suprafata elipsoidului terestru in A

Longitudinea geodezica (λ se defineste la fel ca in cazul sferei terestre, ca arcul de ecuator terestru sau unghiul la centru corespunzator, masurat de la meridianul Greemwich spre est sau vest pana la rnerdianul locului (fig.

Longitudinea punctului A, de exemplu, este MQ= MOQ

Latitdinea geodezica (φ) este unghiul dintre normala la elipsoidul terestru in punctul considerat A cu planul ecuatorului terestru; latitudinea geodezica a punctului A este ABQ. Latitudinii geodezice i se da sensul N (S), respectiv semnuI + ca si in cazul latitudinii geografice sferice.

Normala la elipsoidul terestru intr-un punct dat face un anumit unghi cu verticala Iocului (directia firului cu plumb), de valoare redusa, care poarta denumirea de deviatia verticalei in planul meridianului.

Unghiul fiind de o valoare redusa, peutru simplificarea prezentarii acestor notiuni, se considera ca cele doua directii normala cu verticala locului, se confunda.

Verticala locului nu trece prin centrul elipsoidului, asa cum se considera in cazul sferei terestre. Unghiul format intre directia la centrul elipsoidului terestru (OA) si planul ecuatorului se numeste latitudine geocentrica latitudinea geocentrica a punctului A este e AOQ.

Unghiul BAO pe care il face verticala locului (considerata confundandu-secu normala) cu directia la centrul elipsoidului terestru se numeste unghiul verticalei sau unghiul de reducere la centrul pamantului. Din figura 1-7 se observa ca:

φ= φ'+

Valoarea aproximativa in functie de latitudine a unghiului verticalei este data de relatia:

β= 11'35''.7 sin2

avand valoarea maxima de 11'35''.7 la latitudinea de 45˚

§4 Determinarea formei si dimensiunilor elipsoidului terestru

Daca Pamantul se considera sferic, raza sferei terestre (R) se poate determina astfel (fig. 1

se aleg doua puncte apropiate A si B situate pe acelasi meridian si se masoara distanta intre ele AB=d;

- se determina unghiul θ format la centrul Pamantului intre verticalele celor doua locuri (AOB). Se observa ca acest unghi este egal cu diferenta latitudinilor celor doua locuri:

raza sferei terestre R se obtine din relatia:

R= (1-7)

Cunoscandu-se raza, sfera terestra se considera determinata.

Acesta a fost principiul procedeului folosit pentru determinarea marimii sferei terestre de catre invatatul grec al scolii din Alexandria, Eratostene, principiu care si-a pastrat valoarea pina in zilele noastre. In anul 240 i.e.n., cu toata simplitatea mijloacelor folosite pentru stabilirea marimilor care intra in calcul, Eratostene a reusit sa determine raza sferei terestre la valoarea de 6450 km, foarte apropiata de cea reaia.

Marimea unghiului θ se calculeaza prin procedee astronomice, din diferenta latitudinilor celor doua locuri, determinate din inaltimile meridiane sau circummeridiane ale unui astru mai simplu, unghiul poate fi obtinut din diferenta distantelor zenitale sau a inaltimilor aceluiasi astru, masurate simultan in punctele A si B, in momentul culminatiei.

Lungimea arcului de meridian AB s-a determinat cu mijloace rudimentare pana in secolul al XVII-lea, cind invatatul olandez W. Snellius a fundamentat metoda triangulatiei. Dupa introducerea acestei metode, precizia rezultatelor s-a marit considerabil si la scurt timp s-a ajuns la concluzia ca Iungimea arcului de meridian creste cu latitudinea, ca Pamantul are o forma apropiata de cea a unui elipsoid de revolutie.

Principiul determinarii elipsei meridiane terestre, care caracterizeaza
elipsoidul terestru este intrutotul analog, cu cel folosit in cazul sferei terestre.
Consideram pe elipsoidul terestru doua puncte apropiate A si B, pe acelasi
meridian (fig. 1-9); normalele la elipsoidul terestru in cele doua locuri A si B

se intalnesc in punctul C. Arcul eliptic de meridian AB fiind mic, se poate con­sidera confundandu-se cu un arc de cerc a carui raza este egala cu raza de curbura CA = CB. Prin analogie cu relatia (1 -7), pentru determinarea razei sferei terestre R, raza de curbura ρ a unui arc mic de meridian eliptic se obtine din relatia:

ρ=

unde d este lungimea arcului de meridian AB, φ₂ , latitudinea geodezica a punc­tului B si φ₁ latitudinea geodezica a punctului A.

Rezulta ca pentru determinarea razei de curbura intr-un punct al meridianului eliptic (cuprins pe arcul AB este necesar sa se cunoasca:

- masura arcului de meridian AB;

latitudinile locurilor (A si B) care delimiteaza arcul de meridian.

Latitudinile si se determina prin procedee astronomice.

Masura unui arc mic de meridian eliptic se obtine prin metoda triangulatiei, fundamentata asa cua s-a aratat mai sus de catre W. Snellius. Principiul triangulatiei aplicat pentru determinarea Iungimii arcului de meridian eliptic AB este urmatorul (fig. 1-10):

- se stabilesc punctele A si B de-a lungul aceluiasi meridian;

- se masoara cat mai precis posibil distanta b dintre doua obieete vizi­bile C si D, care intersecteaza meridianul considerat, denumita "baza" trian­gulatiei;

- se alege un numar de obiecte vizibile E,F, ,H, care constiluie varfu­rile triunghiurilor, destinate a forma sistemul care leaga punctele A si B;

cu un teodolit sau cu un cerc azimutal, se masoara unghiurile triunghiului ACD s.a.m.d. pana la ultimul triunghi al sistemului, GHB;

cu ajutorul bazei b si a unghiurilor triunghiului ACD, se determina lungimea celorlalte doua laturi AC si AD ale acestui triunghi. Procedind in mod analog, din aproape in aproape, se determina laturile tuturor triunghiurilor sistemului: DEF, , GHB;

se determina directia meridianului, de exemplu cu ajutorul unghiului aAD (sau aAC), ceea ce permite rezolvarea triunghiului ADa (sau Aca). Pro­cedand in mod analog, se rezolva triunghiurile partiale aDc, aEd, fHB.

Masura arcului de meridian eliptic AB este deci:

AB= Aa + ac + cd + de + ef + fB

Cunoscandu-se masura arcului eliptic de meridian AB si latitudinile celor doua puncte A si B, se poate calcula raza de curbura a arcului mic AB.

Masura razei de curbura de-a lungul unui intreg meridan eliptic terestru indica urmatoarele:

raza de curbura creste de la ecuator la poli. Raza de curbura, in functie de elementele elipsoidului terestru si latitudine, este data de relatia:

=a (1 - 2 ) (1-9)

Sau de formula aproximativa:

Ρ=

Raza de curbura ia deci valori cuprinse intre:

= cand = 0^o (la ecuator); si;

ρ₂ = cand ^o ( la poli)

Stiindu-se ca masura arcului unitar creste cu raza, rezulta ca lungimea arcu­Iui unitar de meridian creste cu latitudinea, de la ecuator spre poli;

- locul centrelor de curbura C ale meridianului eliptic QABP este curba ECD.

Daca se efectueaza aceleasi masuratori pentru toate meridianele elipsoidului terestru se obtin aceleasi rezultate, elipsa meridiana fiind deci aceeasi pentru toate longitudiniIe.

Metoda expusa mai sus pentru determinarea elipsei meridiane poarta denumirea de metoda arcelor; in ultima perioada, in geodezie, metoda arcelor a fost inlocuita cu metoda ariilor, fundamentata de catre Hayford.

Masuratorile si calculele efectuate au condus la stabilirea elementelor care definesc elipsoidul terestru; in tabelul 1-1 au fost prezentate rezultatele principale ale acestor lucrari.

§5 Lungimea arcului de meridian de 1'

Lungimea arcului de meridian eliptic de 1' functie de raza de curbura si latitudine

Consideram un arc mic de meridian eliptic AB (fig. 1-9); normalele la elip­soidul terestru in punctele A si B se intalnesc in centrul de curbura C. Arcul eliptic AB fiind mic se poate considera ca se confunda cu un arc de cerc cu centrul in C, de raza egala cu raza de curbura =CA=CB.

Lungimea arcului AB (considerat ca arc de cerc) este data de relatia: arc AB = ρ ∙ <) ACB

Considerand <) ACB = 1' si arc AB = S se poate scrie:

S= sin 1'= ρ

Introducind relatia (1-10) care il exprima pe se obtine:

S =

Dand lui a si b valorile elipsoidului international, se obtine:

S=1852.3 -9.3 cos2

Lungimea arcului de meridian de functie de excentricitatea elipsoidului terestru si latitudine

Pentru a stabili relatia care exprima lungimea arcului de meridian de 1', functie de excentricitatea elipsoidului terestru si latitudine, trebuie mai intai sa stabilim ecuatiile care dau abscisa si ordonata unui punct oarecare situat pe meridianul eliptic, in raport cu un sistem de axe rectangulare, care se confunda cu axele elipsei meridiane.

Fig. 1-11

Consideram sectiunea meridiana PQP'Q' in elipsoidul terestru si punctul A de latitudine situat pe meridianul PQP' (fig. 1-11). Ecuatia canonica a elipsei este:

Diferentiind aceasta ecuatie, in functie de x si y - se obtine:

lnmultind cu si simplificand, se obtine:

Tangenta unghiului (90˚+ format intre tangenta geometrica in punctul A al elipsei cu axa x-ilor, tinand seama de interpretarea geometrica a diferentialei unei functii este egala cu raportul deci:  

Din ultima egalitate reiese ca:

y =

Introducand valoarea lui y, data de egalitatea (1- 12), in ecuatia elipsei, se obtine:  (1-13)

Din formula excentricitatii elipsei se obtine:

Introducand ultima egalitate in formula (1-13) rezulta:

sau:

Dand factor comun pe x²:

Stiind ca: 1+ tg² φ= sec² rezulta ca:

x (sec² φ - e tg² )= a²

sau:

x e sin² )= a²cos

De unde:

(1-14)

Inlocuind valoarea lui x in formula se obtine:

Stiind insa ca b =a (1-e

(1-15)

Ecuatiile (1-14 si (1-15) dau abscisa si respectiv ordonata unui punct oare­care pe meridianul eliptic, in functie de latitudine si excentricitatea elipsoi­dului terestru.

Trecem acum sa stabilim ecuatia razei de curbura a punctului A, in funcite de latitudinea punctului si de excentricitatea elipsoidului terestru.

Consideram arcul AB=dS, care reprezinta arcul de meridian corespunzator cresterii d a latitudinii.

Arcul eliptic AB fiind mic, poate fi considerat egal cu un arc de cerc cu centrul in C, de raza egala cu raza de curbura AC=

Lungimea arcului AB (ca arc de cerc) este egala cu masura unghiului la centru corespunzator inmultita cu raza:

AB=dS= . d

Se duc prin punctele A si B - paralele la axele xx' si yy'; din triunghiul dreptunghic ABD considerand AD=dx si BD =dy) se obtine:

dS=

Insa:

deci:

dS = dx

Din cele doua egalitati care exprima pe dS rezulta:

ρ . d =dx cosec

sau:

ρ= cosec

Diferentiind expresia (1-14) in functie de x si se obtine:

Inmultind atat numaratorul cit si numitorul cu (1-e ² sin dupa simplificarea expresiei, rezulta:

de unde raza de curbura a arcului AB este data de expresia:

(1-16)

S-a neglijat semnul minus al egalitatii deoarece intereseaza valoarea absoluta a razei de curbura a arcului AB.

Considerind <)ACB =1', lungimea S a arcului corespunzator AB este data de relatia:

S=

Transformind in continuare ultima egalitate si dezvoltand in serie binominala, se obtine:

S= a( 1-e ) (1- e ² sin ² φ) sin 1'= a(1-e ² ) (1+ e ² sin ² φ)sin1'=

= a(1-e + e² sin² φ)sin 1'

Ultima egalitate mai poate fi scrisa si sub forma:

S= a ( 1-

Sau:

S= a

Stiind insa ca (1-2 sin )= cos 2φ, ultima egalitate ia forma:

S= a () (1-17)

sau:

S= a [] sin1'

Dind lui a si e, din ultima expresie, valorile elipsoidului international, lungimea arcului de meridian de 1' in functie de latitudine este data de egali­tatea:

S=1 852.3-9.3 cos 2

Se observa ca formulele (1-11) si (1-18) sint identice.

Dind latitudinii valori din 15 in 15^°, pe baza formulei (1-18) se obtin urmatoarele marimi pentru lungimea arcului de meridian de 1' (Tabelul 1-2):

Tabelul 1- 2

Limitele intre care variaza deci lungimea arcului de meridian eliptic de 1' sunt cuprinse intre 1 843 m (pentru =0°) si 1 861.6 m (pentru ), dife­renta fiind de 18.6 m.

§6 Unitati de masura folosite in navigatie

1. Unitati de lungime deduse din masuratori geodezice

A. Metrul

Metrul este unitatea de masura pentru spatiu care reprezinta 1/10 000 000 din lungimea cadranului de meridian terestru.

Sistemul metric a fost creat in anul 1795; in urma masuratorilor efectuate in acea perioada s-a stabilit lungimea metrului si s-a construit asa-numitul metru etalon. Metrul etalon a fost adoptat ca unitate de masura de catre Confe­rinta inlernationala de masuri si greutati tinuta la Paris in anul 1899. La ince­putul secolului al XX-lea, metrul etalon a fost inlocuit cu prototipul interna­tional din platina, de forma unei bare, depus la pavilionul de masuri si greutati din Sevres si denumit metru legal.

Metrul legal este definit ca lungimea prototipului international din platina la temperatura de 0^°C.

Masuratorile si calculele geodezice efectuate ulterior au stabilit ca metrul legal nu corespunde cu rigurozitate raportului aratat fata de lungimea meridia­nului eliptic; astfel, lungimea metrului legal este mai mica cu 0,23 mm fata de 1/10 000 000 parte a cadranului meridianului eliptic al elipsoidului inter­national de referinta. Pentru a nu se modifica intreg sistemul metric, cu mul­tiplii si submultiplii lui, in scopul de a-l pune mereu de acord cu noile rezul­tate obtinute de geodezie privind lungimea meridianului terestru, s-a hotarit sa se mentina metrul legal adoptat de conferinta internationala amintita.

In documentatia de navigatie romaneasca, precum si in cea apartiuind celor­lalte staie europene, cu exceptia celei engleze si irlandeze, metrul este folosit pentru a indica adancimea apei si inaltimea reperelor de navigatie.

De asemenea, metrul constituie unitatea de mastura de referinta pentru toate celelalte unitati de masura specifice navigatiei, precum si pentru sistemul anglo-saxon.

B. Mila marina (nautical mile)

Mila marina (Mm) este lungimea arcului de meridian terestru la latitudinea de 45°. Este folosita in navigatie pentru masurarea distantelor.

Asa cum s-a aratat la § 5 formula (1-11), respectiv (1-18), lungimea arcului (S) de meridian de 1' variaza in functie de latitudinea elipsoidului terestru

S = 1 852.3 - 9.3 cos 2

intre 1 843 m la ecuator si 1 861.6 m la poli. Lungimea arcului de meridian iercstru la latitudinea de 45° este de 1 852.3 m.

Conferinta hidrografica internationala din anul 1929 a adoptat lungimea milei marine de 1852 m; aceasta valoare reprezinta lungimea la precizie de metru a arcu­lui de meridian terestru la latitudinea de 45°.

Valoarea de 1 852 m a milei marine reprezinta, de asemenea, lungimea la precizie de metru a arcului de meridian de 1' al sferei terestre, data de expre­sia:

1Mm =

in care a si b sint egale cu valorile semiaxelor elipsoidului international. Lungimea arcului de meridian de 1' pe sfera terestra este constanta, indiferent de latitudine si este egala cu lungimea oricarui arc de cerc mare de aceeasi masura.

Romania, ca si o serie de alte state europene, intre care, Franta, Germania, Spania si Suedia au adoptat lungimea milei marine recomandata de conferinta internationala, de 1 852 m.

In marina engleza, mila marina se considera egala cu lungimea arcului de meridian de 1' la latitudinea la care se afla nava; pentru o nava care naviga in apele Marii Britanii, mila marina se considera egala cu 1853.182 m, repre­zentind lungimea arcului de meridian terestru de 1' la latitudinea de 48°.

In S.U.A., mila marina se considera egala cu 1 853.248 m, reprezentand lungimea arcului de meridian de 7' al sferei terestre, de o suprafata egala cu cea a elipsoidului terestru.

In Italia, Danemarca si Olanda, mila marina are valoarea egala cu 1 851.85 m, reprezentind lungimea unui arc de 1' din cadranul de meridian considerat de 10 000 000 m; deci:

1Mm =

Diferentele intre masurile milei marine adoptate in diferitele tari, asa cum s-a aratat mai sus, sint neglijabile in practica navigatiei.

Mila marina are un submultiplu si un multiplu, astfel:

- cablul = 1/10 din mila marina = 185.2 m;

- leghea marina = 3 mile marine = 5556 m, unitate de masura care nu se mai utilizeaza in navigatie.

Observatii

Notiunea de mila, ca unitate de masura pentru distante, se mai exprima si in alte forme, intre care principalele sint:

A - mila ecuatoriala, egala cu lungimea arcului (Se) de ecuator de 1' a elipsoidului terestru. Stiind ca raza ecuatorului este egala cu semiaxa mare a elipsoidului terestru, lungimea milei ecuatoriale este data de relatia:

Se = a sin 1'=  

Mila ecuatoriala corespunde lungimii arcului de meridian eliptic de 1' la latitudinea de aproximativ 55°.

B - mila statuara (statute mile), unitate de masura utilizata in Anglia si S.U.A., care nu are nici o relatie cu dimensiunile Pamintului; se foloseste pentru masurarea distantelor la uscat. Are lungimea de 1609.343 m-5280 picioare.

2. Unitati de lungime anglo-saxone folosite in navigatie

Cu exceptia milei marine, explicata mai sus, unitatile de lungime folosite in documentatia de navigatie engleza aflata in uz constituie obiectul unor definitii conventionale, fara a avea raporturi determinate cu dimensiunile Pamintului.

ln Anglia, unitatea de referinta este yardul (yard)=0.914 m. Yardul este distanta intre doua semne de aur, marcate pe o bara de bronz, la temperatura de 62°F(=12°2/3 C) denumita "Imperial Standard Yard'.

Yardul are cinci multipli si cinci submultipli, intre care in navigatie prezinta importanta doar urmatorii:

- piciorul (foot, feet) =0.3048 m, reprezentand 1/3 dintr-un yard

- inci (inch, inches) =0.0254 m =25,4 mm, egal cu 1/12 dintr-un picior, respeciiv 1/36 dintr-un yard.

Pescajul prova (Tpv) al unei nave, de exemplu, de 23 picioare si 6 inci se noteaza astfel:

Tpv =

folosind deci semnele pcntru minutul si secunda de arc;

- bratul (fathom)=1.83 m, egal cu 2 varzi, respectiv cu 6 picioare. Bratul se foloseste la exprimarea adincimii apei in hartile marine. Bratul este aproxi­mativ 1/1000 parte dintr-o mila marina;

- cablul (cable)= 183 m, egal cu 100 brate, 200 yarzi, respectiv 600 picioare. Are valoarea apropiata de cablul definit mai sus, ca submultiplu al milei ma­rine, de 1/10 parte din mila marina (=185.2 in).

Tablele Nautice folosite la bordul navelor contin diferite table pentru trans­formarea unitatilor de masura din sistemul metric in sistemul englez si invers.

Astfel, Tablele Nautice MT-53 ofera posibilitatea urmatoarelor transfor­mari:

- Tablele 41 a si 41 b, pentru transformarea lungimilor din mile marine in kilometri si invers;

- Tablele 43 a, pentru transformarea masurilor din picioare (feet) in metri si invers;

Tablele 43 b, pentru transformarea masurilor din brate (fathoms) in me­tri si invers.

Unitati de masura a vitezei navei

Nodul (knot) este unitatea de masura pentru viteza navei. Se spune ca o nava merge cu viteza de un nod (Nd), atunci cind parcurge disianta de o mila marina in timp de o ora; deci 1 Nd=1 Mm/h.

In rezolvarea diferitelor probleme de navigatie se pune deseori problema transformarii vitezei navei din noduri, in metri pe secunda sau cabluri pe minut si invers.

Transformarea nodurilor in metri pe secunda si invers. O nava care merge cu viteza de 1 Nd parcurge 0.514 m/s sau aproximativ 0.5 m/s, deci:

n(Nd)=n (Mm/h) = n 0.514 (m/s) 2 (m/s).

Rezulta ca pentru a transforma viteza navei din noduri in metri pe secunda se imparte numarul nodurilor la doi. Invers, pentru a transforma viteza din m/s in noduri, se inmulteste viteza in m/s cu doi.

Aproximatia operatiei satisface nevoile practice ale navigatiei pentru cazu­rile in care se aplica.

Exemplu:

V₁= 16 Nd ≈ 8 m/s

V₂= 6.5 m/s 13 Nd

Transformarea nodurilor in cabluri pe minut(cab./min.) si invers. O nava care merge cu viteza de n(Nd)=n (Mm/h) parcurge 10 n cabluri pe ora (considerind cablul= 1/10 din mila marina), deci:

n (N_d)=n (Mm/h)= 10 n (cab./h)= (cab./min.)= (cab./min.).

Rezulta ca pentru a transforma viteza navei din noduri in cabluri pe minut, se imparte numarul nodurilor la sase. Invers, pentru a transforma viteza navei din cabluri pe minut in noduri, se inmulteste viteza in cabluri pe minut cu sase.

Exemplu:

V₁= 18 Nd = 3 cab./ min.

V₂= 2 cab./min. 12 Nd

§7 Proiectia elipsoidului pe sfera terestra

Consideram elipsoidul si sfera terestra concentrice, avind axele polilor si planele ecuatoriale comune (fig. 1-12). Pe elipsoidul terestru se considera un punct A, avand longitudinea geodezica λA si latitudinea geodezica A, verticala locului ZA

confundindu-se cu normala la suprafata elipsoidului in punc­tul A.

Se adopta ca imagine a punctului A pe sfera terestra un punct A', care este continut in planul elipsei meridiane a locului A si a carei verticala Z'A' este paralela cu verticala locului A.

Acest mod de proiectare, facuta in scopul substituirii elipsoidului cu sfera terestra, necesara in navigatie, cartografie etc. prezinta urmatoarele pro­prietati:

- axa polilor si planui ecuatorului sint elemente de referinta comune, atat pentru elipsoid, cit si pentru sfera terestra;

- meridianul punctului A de pe elipsoid si meridianul proiectiei acestui punct A' pe sfera terestra sunt continute in acelasi plan.

Ca urmare, unghiurile diedre formate intre elipsele meridiane ale diferite­lor puncte de pe elipsoid sint egale cu unghiurile diedre ale meridianelor care contin proiectiile acestor puncte pe sfera terestra.

In consecinta, se pot conclude urmatoarele:

- valoarea coordonatelor unui punct oarecare de pe Pamint se mentine aceeasi pe ambele suprafete de reprezentare, atit pe elipsoid, cat si pe sfera terestra;

- unghiurile si distantele sunt usor deformate, cind se trece de pe elipsoid pe sfera si invers. Aceste deformatii sint insa practic neinsemnate, deoarece turtirea elipsoidului este mica. Inlocuirea elipsoidului terestru prin sfera tere­stra poate determina erori maxime de 11'.6 pentru marimile unghiulare si de 1/200 din spatiu pentru marimile liniare;

- pe elipsoidul terestru, lungimea arcului de meridian de 1' variaza intre 1843 m la ecuator si 1861.6 m la poli. Lungimea arcului de meridian de 1', ca de altfel a oricarui minut de arc de cerc mare pe sfera terestra este constanta si are valoarea de 1852 m, ceea ce reprezinta lungimea arcului de meridian eliptic la latitudinea de aproximativ 45^°. Prin substituirea elipsoidului cu sfera, folosirea lungimii milei marine reprezentand lungimea de cerc mare de 1' nu afecteaza precizia navigatiei, diferentele fiind practic neglijabile.

Cele aratate mai sus justifica pe deplin utilizarea sferei terestre pentru re­prezentarea globului pamintesc in rezolvarea problemelor de navigatie. In cartografie, unde se solicita o precizie superioara, se aplica de cele mai multe ori principiul dublei proiectii; acest principiu consta din proiectarea elipsoidului pe sfera, ceea ce da nastere la mici deformatii care se pot calcula, apoi se proiec­teaza sfera pe un plan, in scopul intocmirii hartilor.