DESENUL VOLUMELOR

DESENUL VOLUMELOR

Ca sa se ajunga la executarea unui desen corect si complet este bine sa se faca mai intai un crochiu, cu mana libera, adica o schita sumara, pe care sa se stabileasca proportiile diferitelor parti ale volumului. În faza urmatoare se poate proceda la reproducerea geometrica a crochiului sau cum spunem noi, la teu si echer sau la paginarea corecta a crochiului si completarea lui cu detalii, umbre si lumini, fonduri. Asupra acestor tehnici vor reveni atunci cand vom defini si explica perspectiva de observatie.

Pentru desenul tehnic al unui crochiu sunt recomandabile urmatoarele operatiuni:

analiza obiectului cu proportiile lui,

trasarea crochiului in elevatie, plan, profil si sectiune,

cotarea elementelor desenate,

stabilirea si intrebuintarea unei scari de reducere, metrice sau grafice,

Dar sa explicam, mai intai, ce se intelege prin scara metrica sau grafica.

O imagine fotografica este asemenea cu imaginea din realitate, singura deosebire consta in micsorarea sau marirea dimensiunilor, fara a se modifica marimea unghiurilor.

Spunem despre doua figuri geometrice ca sunt asemenea cand laturile au aceleasi proportii, intre ele iar unghiurile pe care le formeaza sunt egale.

Pentru a putea reduce un desen la dimensiunile paginii, folosim metoda micsorarii acestuia sub un raport dat; de exemplu un desen poate fi redus la 1/2, 1/5, 1/10, 1/100, 1/1000, etc. acest raport de marime se numeste scara.

Se intrebuinteaza doua feluri de scari: a) metrica sau zecimala, b) grafica

a)     un obiect desenat de 10 ori mai mic decat in natura, se spune ca este desenat la scara 1/10 sau 0,1 M. Adica marimea reala a unitatii de masura, metrul, a fost micsorat la o zecime.

b)     În cazul cand avem de marit sau de redus, dimensiunile unei figuri, in alte rapoarte decat cele uzuale ale scarilor zecimale, calcularea fiecarei dimensiuni devine greoaie, obositoare, se apeleaza la ajutorul scarii grafice. Sa luam acelasi exemplu: metrul redus la o zecime, ceea ce inseamna ca marimea unui metru din natura este redusa, in desenul nostru, la o linie lunga de 0,1 m, adica 10 cm sau 100 mm. Trasam, deci, o linie orizontala de 100 mm, pe care o impartim in 10 parti egale, numerotate, de la stanga la dreapta, de la 0 la 10.

Aceste gradatii reprezinta decimetri redusi la 1/10, apoi prelungim, in stanga, cu o diviziune, pe care o impartim in 10, aceste gradatii reprezinta centimetri. Pe aceste scari grafice, prin deschiderea compasului sau a distantierului putem extrage orice dimensiune in centimetri. Exemplu: 74 cm, pun acul compasului la 7 si la stanga, il deschid la 4 gradatii.

Pentru marirea sau micsorarea unui desen, pe cale grafica, se poate recurge usor la teorema lui Thalles cu privire la asemanarea triunghiurilor.

Reamintesc, pentru cei care nu au invatat-o in liceu, aceasta teorema:

1. Fie triunghiul ABC si punctele D, E, distincte, diferite de A, D apartinand lui AB, E apartinand lui Ac, astfel incat D si E se afla amandoua fie pe laturile unghiului BAC, fie pe prelungirile acestora. Atunci  daca si numai daca DE este paralela cu BC.

Aceasta teorema are numeroase aplicatii in probleme care cer stabilirea unor relatii intre lungimi de segmente sau in demonstrarea paralelismului a doua drepte.

2. Teorema paralelelor ne-echidistante: se considera dreptele d₁, d₂, . d_n, n>2, d₁ paralel cu d₂ paralel cu  .. d_n, secantele s si k si punctele A₁ pe d₁, A₂ pe d₂ ..A_n pe d_n, la intersectia cu s, B₁ pe d₁, B₂ pe d₂ ... B_n pe d_n la intersectia cu k. Atunci:

Mai practic:

Este o metoda grafica, directa, care permite, chiar pe desenul dat, marirea sau reducerea proportionala la o scara exacta sau oarecare. De exemplu: pentru marire, se propune ca in noul desen, dreapta sa atinga dimensiunea AB", prin A trasam o dreapta AB care contine punctele 1 - 7 la dimensiunile initial date; unind B cu B", prin paralele la BB", se obtin noile pozitii, mentinandu-se proportiile, ale punctelor 1", 2", 3", ...7" precum si a altora intermediare. Pentru micsorare se procedeaza invers, adica segmentul AB" se ia mai mic decat AB.

Pentru usurinta trasarii linilor paralele, unghiul format de cele doua segmente poate fi ales astfel incat BB" sa formeze cu orizontala unghi de 30, 45, 60 de grade pe care le avem pe echer.

Reprezentarea unui obiect oarecare pe o suprafata plana, in planul plansetei, poate fi obtinuta fie prin procedeu perspectiv, fie prin proiectie ortogonala.

Proiectia se numeste reprezentarea unei figuri prin urma pe care o determina dreptele perpendiculare, care se duc din toate punctele figurii, pe unul din cele trei plane principale de proiectie: FRONTAL, ORIZONTAL si LATERAL; aceste trei plane sunt considerate ca perpendiculare unul pe altul, determinand un DIEDRU, insa in desen sunt rabatate unul in continuarea celuilalt.

Perpendiculara pe aceste planuri de proiectie vom masura coordonatele fiecarui punct astfel:

pe directia OX - abscisa

pe directia OY - departarea

pe directia OZ - cota,

Din moment ce astfel putem sa gasim proiectia pe cele trei plane principale de proiectie a unui punct, analog putem gasi proiectia oricarei drepte, a unei suprafete si in sfarsit a corpurilor.

Mai mult, privind epura desfasurata, observam ca in epurele din plan frontal si din cel orizontal, se gasesc toate coordonatele unui punct. Prin urmare, in multe cazuri, ne putem lipsi de proiectia in plan lateral. Epura astfel simplificata se va numi DUBLA PROIECTIE ORTOGONALA a figurii.

Proiectiile unor drepte sau a unor suprafete, nu sunt in adevarata marime, decat in cazurile in care sunt situate, in spatiu, paralel cu acel plan de proiectie, altfel proiectia este mai mica decat dreapta sau suprafata reala, dupa cum variaza unghiul pe care-l formeaza cu planul de proiectie respectiv. Atunci cand dreapta este perpendiculara pe planul de proiectie, proiectia ei este un punct iar planul perpendicular pe un plan de proiectie are ca proiectie o dreapta.

Muchiile sau liniile paralele se proiecteaza, in acelasi plan tot paralele, pastrand si aceleasi dimensiuni.

Aceste notiuni pot fi aprofundate studiind, in orice carte de geometrie descriptiva, capitolele privitoare la pozitiile particulare ale dreptelor si planelor. Noi vom propune, spre analiza, numai unele cazuri particulare ale volumelor in dubla proiectie ortogonala, mai des intalnite in situatii reale, pentru a intelege, mai usor, proiectarea constructiilor, a obiectelor de arhitectura, care sunt, de regula, situate cu baza in planul orizontal de proiectie si se pot proiecta ortogonal in planul de front. Aceste proiectii se numesc, uzual, plan si elevatie.

În reprezentarea poliedrelor, pentru a se putea interpreta in mod egal, toate cazurile de studiat, vom stabili o serie de reguli si explicatii:

poliedrele sunt reprezentate prin punctele si dreptele care le determina, respectiv prin varfurile si muchiile lor,

dreptele care limiteaza poliedrul formeaza un poligon inchis numit contur aparent; in sistemele de proiectie dublu ortogonale, existand doua plane de proiectie, exista de asemenea, doua contururi aparente distincte, determinate de proiectiile in cele doua plane F si H,

poliedrele se presupun opace, asa ca unele muchii sunt vizibile, altele, situate in spatele fetelor vizibile, sunt invizibile; acestea, uneori, sunt trasate cu linie intrerupta, spre deosebire de muchiile vizibile care se traseaza cu linie continua,

proiectia orizontala este considerata de sus, pentru un observator la infinit, in directia proiectantelor fata de planul orizontal. De asemenea, proiectia verticala este considerata pentru un observator asezat in fata planului frontal la infinit in directia proiectantelor fata de planul de front.

Pentru a distinge mai usor muchiile vizibile de cele invizibile s-au stabilit cateva criterii, si anume:

intotdeauna conturul aparent este vizibil,

o fata a poliedrului care contine un punct vizibil este vizibila daca punct nu apartine conturului aparent,

doua muchii ne concurente in spatiu si concurente in epura, in interiorul conturului aparent, sunt una vizibila, alta invizibila,

din doua fete care se intersecteaza dupa o muchie apartinand conturului aparent, una este vizibila, alta invizibila; daca muchia nu apartine conturului aparent, cele doua fete sunt ambele vizibile, cand muchia este vizibila sau ambele invizibile, cand muchia este invizibila,

muchiile concurente intr-un varf, care se proiecteaza in interiorul conturului aparent, sunt toate vizibile sau toate invizibile, dupa cum punctul este vizibil sau nu,

dintre doua puncte care au aceiasi proiectie orizontala este vizibil acela care are cota mai mare, iar dintre doua puncte care au proiectia frontala suprapusa este vizibil acela care are departarea mai mare,

intr-un poliedru convex, orice muchie este in intregime fie vizibila, fie invizibila, prin urmare, este suficient a avea vizibilitatea unui punct pentru a o cunoaste pe aceea a intregii muchii.

În diversele manuale de desen si de geometrie descriptiva planurile principale de proiectie sunt denumite diferit; planul frontal, de exemplu, poate fi numit vertical.

Toate obiectele se pot reprezenta prin cele trei proiectii principale dupa cum sunt proiectate din fata, de sus, sau din lateral. Vom exemplifica, pentru o mai buna intelegere a celor descrise mai sus, cu duble proiectii ortogonale ale unor poliedre regulate si a altor volume simple.

1 TETRAEDRUL REGULAT de muchie M.

Muchia av se proiecteaza in planul de front in adevarata marime, deci, din proiectia in planul de front a lui A se ia in deschiderea compasului marimea muchiei M = ab = ac = bc si se intersecteaza cu verticala ridicata din v; vom obtine proiectia in planul de front a lui V si totodata inaltimea tetraedrului regulat in proiectia de front.

Tot in planul de front se afla adevaratele marimi ale inaltimilor fetelor ABC si VBC.

Schimband pozitia tetraedrului fata de planul de front, deducem pe VH, inaltimea tetraedrului, printr-o constructie simpla in plan orizontal: perpendiculara in v pe inaltimea triunghiului de baza, va fi inaltimea triunghiului format din M si doua inaltimi ale fetelor.

În cazul tetraedrului asezat pe o muchie, intrucat doua muchii opuse ale unui tetraedru regulat sunt drepte perpendiculare in spatiu, muchia opusa muchiei situate in planul H, se poate desena imediat in proiectie orizontala; ea este in adevarata marime si muchia din planul H o imparte in doua.

2 CUBUL, situat in planul H avand o fata II cu F se va proiecta, in dubla proiectie ortogo-nala, prin patrate.

Diversele schimbari prin rotatii de nivel si de front vor rezulta reprezentari diferite in dubla proiec-tie ortogonala.

Atunci cand cubul ajunge in pozitia cu diagonala mare verticala, conturul aparent orizontal este un hexagon regulat.

Cubul este definit de trei drepte caracteristice:

- muchia m,

- diagonala fetei (diago-nala mica) d

- diagonala cubului (dia-gonala mare) D

3 OCTAEDRUL REGULAT, observand ca orice sectiune prin muchiile octaedrului regulat este un patrat, dubla proiectie ortogonala a acestuia asezat rezemat cu un varf in planul H si o diagonala a sectiunii orizontale, II cu F, va reprezenta doua patrate in care muchiile fetelor tetraedrelor sunt, doua cate doua diagonalele acestor patrate.

Din aceasta reprezentare, printr-o schimbare de pozitie se obtine asezarea tot pe un varf, dar cu una din muchii II cu F.

Este suficient sa culcam octaedrul, odata pe o muchie si odata pe o fata si se vor obtine, de fiecare data alte imagini in dubla proiectie.

4 DODECAEDRUL REGULAT si ICOSAEDRUL REGULAT, se pot studia de catre cei ce doresc sa aprofundeze in manualul amintit: GEOMETRIE DESCRIPTIVA SI PERSPECTIVA, ed. Didactica si pedagogica Buc., pag. 96, 97, 98. autori MIRCEA ENACHE si IONESCU IULIUS, din care reproduc desenele de mai jos:

În cazul dode-caedrului regulat, se poate pleca de la pozitia cu o fata situata in H, se poate, deci, desena imediat fata superioara, pentagon regulat ABCDE, si proiectiile muchiilor care pleaca din A, B, C, D si E. Avand dubla proiectie ortogonala a punctelor ce constituie varfurile pentagonului si stiut fiind ca diagonalele II ale pentagoanelor regulate sunt egale, (vezi C, E si C1 E1 in H) se obtin punctele c1 si e1, punctul d1 se poate obtine folosindu-se proprietatea de paralelism intre diagonala unui paralelogram si latura opusa ei. Toate cotele varfurilor celorlalte pentagoane laterale, din partea superioara, sunt egale cu ale lui C, E si respectiv, D. Partea inferioara a dodecaedrului se obtine prin simetrie.

Constructia icosaedrului regulat, asezat pe varf, porneste de la sectiunea orizontala pentagonala ABCDE, care se poate desena imediat in planul H, a doua sectiune diagonala este tot un pentagon regulat, asezat rotit fata de primul.

În REPREZENTARI GEOMETRICE SI DESEN TEHNIC Ed. Didactica si Pedagogica Bucuresti, 1982, la pag. 131, autorii V.IANCAU, V. BARBAT, E. ZETEA, S.ROSA si I. RUSU, fac o alta descriere a constructiei dodecaedrului regulat:

Se construieste un cerc, in care se inscrie un pentagon, avand o latura perpendiculara pe OX. Considerand acest pentagon fata inferioara, latura acestuia va fi c d, iar pentagonul va fi abcde. Proiectia verticala a acestuia este pe linia de pamant.

Se presupune ca cele cinci pentagoane din jurul bazei sunt suprapuse peste acesta si se ridica prin rabatere, de exemplu pentagonul DCKLM. Axa de rabatere va fi d c, care va ramane fixa, iar punctele k, l, m, vor descrie arce de cerc perpendiculare pe axa de rabatere, adica paralele cu linia de pamant. Se observa ca, din cauza simetriei, punctul K va fi pe Oc , adica la intersectia acesteia cu paralela din b la Ox. Punctul m este simetricul acestuia fata de Ao.

Pentru reprezentarea punctului l prin ridicarea din rabatere, se observa ca acesta este pe dreapta ab inainte de ridicarea din rabatere, care intalneste axa de rabatere in y, punct fix in rabatere, ca urmare, la ridicarea din rabatere, punctul va veni pe dreapta yk si anume la intersectia cu paralela la Ox din a. Cunoscand punctele k, i, m, celelalte se regasesc usor pe cercul cu centrul in O si de raza Ok. Proiectiile verticale ale varfurilor F, I, K, M, P vor avea aceiasi cota, de asemenea si ale punctelor G, J, L, N, Q .

5 DESFASURATELE VOLUMELOR, in multe situatii practice, este necesara o reducere la suprafata plana a anvelopei volumelor. Machetele acestora nu pot fi executate decat cunoscandu-se forma exacta, sau cat mai bine aproximata, a suprafetelor ce le compun:

a - Desfasurarea conului Proprietatea esentiala a desfasurarilor conurilor sau a cilindrilor este ca lungimile si unghiurile trasate pe suprafata se mentin.

Luam cazul unui con circular drept, sectionat de un plan, generatoarele de contur sunt in adevarata marime iar prin desfasurare se obtine un sector de cerc, cu lungimea arcului egala cu lungimea cercului de baza.

Punctele de intersectie al generatoarelor se obtin in adevarata marime in planul de front.

Teorema lui Olivier: transformata prin desfasurare a unei sectiuni plane intr-un con are un punct de inflexiune in punctul corespunzator punctului de pe suprafata, pentru care planul tangent este perpendicular pe planul secant.

b - Desfasurarea cilindrului se poate face cu ajutorul unei prisme inscrise in cilindru. Un cilindru drept se desfasoara pe un plan ca un dreptunghi, cu baza egala cu perimetrul bazei iar inaltimea egala cu generatoarele.

Cilindrul oblic, poate fi considerat ca o prisma cu un numar mare de laturi, in care se inscrie o prisma cu un numar suficient de fete, apoi se procedeaza ca si in cazul prismei.

c - Desfasurarea tetraedrului regulat se poate construi usor desenand un triunghi echilateral cu latura 2m impartind fiecare latura in doua segmente egale unite intre ele. Se obtin cele patru triunghiuri echilaterale, fete ale tetraedrului regulat.

d - Desfasurarea cubului se obtine din cele patru fete laterale si a celor doua capace, toate patrate.

e - Desfasurarea octaedrului regulat ne poate conduce la insiruirea de opt triunghiuri echilaterale.

f, g - Desfasurarea dodecaedrului si a icosaedrului pentru dodecaedru se porneste de la un pentagon regulat pe laturile caruia sunt construite alte cinci pentagoane, de care se ataseaza o constructie identica. Desfasurarea icosaedrului regulat presupune 20 de triunghiuri echilaterale:

Prezentarea catorva exemple de constructii in tridimensional si desfasuratele lor, au avut ca scop instigarea celor care se vor apropia, prin pasi la inceput timizi, de ceea ce numim tehnica exprimarii grafice, de a studia, din carti de geometrie descriptiva si a-si lamuri unele lucruri care nu au fost prea complet explicate. Asa cum am afirmat si la inceputul acestei carti, am dorit sa pun la dispozitia cititorului repere de studiu care, prin aprofundare sa faca accesul la stiinta designului si a arhitecturii posibil.

Dupa cum se stie, obiectul creatiei isi gaseste forma definitiva atunci cand este materializat in opera, prezentarea lui, in faza de proiect, are nevoie de o serie de date explicative exprimate in planuri, sectiuni, detalii si perspective prin intermediul carora sa se transmita gandirea proiectantului catre beneficiar si catre constructor.

În capitolul urmator vom arata modul in care planurile, sectiunile si elevatiile pot fi exprimate volumetric, sau cum, prin observare directa, un obiect poate fi reprodus sub toate aspectele lui exterioare, prin perspectiva.