Vectori , scalari si operatori

VECTORI , SCALARI SI OPERATORI

Schimbarea pozitiei unui punct material se numeste deplasare. Daca o particula se deplaseaza de la A la B pe orice drum ACB sau ADB (Fig.1.3), putem reprezenta efectul net al miscarii printr-o lungime (intensitate), o directie si un sens pe acea directie.

O asemenea marime caracterizata prin cele trei caracteristici se numeste vector. O parte dintre marimile fizice sunt vectori, ca de exemplu: forta, viteza, acceleratia, intensitatea campului magnetic si inductia campului magnetic.

Exista insa si marimi care pot fi complet caracterizate de un numar si o unitate si care au deci numai intensitate sau marime, acestea numindu-se scalari. Cateva marimi fizice care sunt scalari sunt: masa, lungimea, timpul, densitatea, energia, si temperatura. Operatiile cu scalari se fac cu ajutorul regulilor din algebra elementara, in timp ce operatiile cu vectori se fac dupa alte reguli.

Orice vector poate fi descompus in trei componente vectoriale in cadrul unui sistem de coordonate triortogonal (Fig.1.4):

28 (1.14)

unde , sunt vectorii unitari pe cele trei directii x, y, z iar a_x, a_y, a_z intensitatile celor trei componente.

Adunarea (compunerea) a doi vectori se face dupa regula paralelogramului (Fig.1.5):

                (1.15)

Compunerea a mai multor vectori se face ca in Fig.1.6, adica:

29 (1.16)

Adunarea este asociativa si comutativa.

Scaderea a doi vectori se face astfel:

30(1.17)

sau:                  

31 (1.18)

deci se va compune (aduna) cu (Fig.1.7).

Inmultirea unui vector cu un scalar n, da un nou vector, , al carui modul este de n ori mai mare decat modulul lui , avand insa aceeasi directie si sens cu .

Atunci cand inmultim o marime vectoriala cu o alta marime vectoriala, trebuie sa facem distinctie intre produsul scalar si produsul vectorial.

Produsul scalar a doi vectori si , notat , este definit prin relatia:

42 (1.19)

unde θ este unghiul facut de cei doi vectori.

Daca si , atunci:

48 (1.20)

ca urmare a faptului ca:

si (1.21)

Produsul scalar este comutativ:

    52 (1.22)

si distributiv:

53(1.23)

dar nu este asociativ:

54 (1.24)

Produsul vectorial a doi vectori si , notat cu , este un vector al carui modul este:

58 (1.25)

unde θ este unghiul dintre cei doi vectori.

Vectorul rezultant este perpendicular pe planul determinat de vectorii si , iar sensul este dat de regula burghiului (Fig.1.8)

Daca:

63 (1.26)

si:

60

(1.27)

rezulta:

64

(1.28)

Efectuand operatiile de inmultire si tinand seama ca:

    si (1.29)

rezulta:

67 (1.30)

Vectorul rezultant poate fi scris si sub forma unui determinant:

68 (1.31)

Produsul vectorial este anticomutativ:

69 (1.32)

nu este asociativ, dar este distributiv:

70 (1.33)

Produsul mixt a trei vectori este definit prin relatia:

71 (1.34)

unde vectorii se pot permuta circular astfel

73 (1.35)

Dublul produs vectorial este explicitat prin relatia:

74 (1.36)

Divergenta unui vector este o marime scalara care in sistemul de coordonate carteziene se scrie

76 (1.37)

Gradientul unei functii scalare este un vector care, in sistemul de coordonate carteziene, se scrie:

77 (1.38)

Rotorul unui vector este definit prin relatia:

79 (1.39)

Laplaceanul (sau operatorul lui Laplace) notat cu Δ, aplicat unei functii Ψ, este dat de expresia

80 (1.40)

Operatorul (nabla)

81 (1.41)

pe de o parte, are un caracter diferential, iar pe de alta parte un caracter vectorial, si poate fi folosit pentru exprimarea tuturor celorlalti operatori. In operatiile cu operatorul nabla trebuiesc respectate urmatoarele criterii de folosinta:    

1. Daca actioneaza aspra unui produs oarecare, se ia in considerare prima data caracterul sau diferential si abia dupa aceea cel vectorial.

2. In rezultatul final toti vectorii sau scalarii, asupra carora nabla nu mai actioneaza trebuie sa figureze inaintea operatorului.

3. Nabla nu poate figura la sfarsitul unei formule concrete.

Operatorul, introdus de Hamilton si reliefat de Einstein are, cu toate deficientele sale in privinta unei juste folosiri, o importanta mare in scrierea simbolica si totodata prescurtata a relatiilor vectoriale.