TEMA PROIECTULUI

Se considera reteaua geodezica din schita 1.

Se dau:

coordonatele plane ale punctelor punctelor vechi A,B,C,D ;

directiile orizontale masurate din aceste puncte catre punctele noi din retea (punctele 1 si 2 ), distante masurate reduse la planul de proiectie;

abaterile standard rezultate in urma compensarii in statie:

s_A=s_B=6^cc,3 ; s_C=s_B=8^cc.6 ; s₁=s₂=4^cc.1

distante masurate si reduse la planul de proiectie.

Se cere:

sa se efectueze prelucrarea datelor respective prin metoda observatiilor indirecte in urmatoarele situatii:

1. Directii orizontale de aceeasi precizie ( fara distante);
2. Directii orizontale de precizii diferite  ( functie de abaterea standard la compensarea in statie si fara distante);
3. Directii orizontale de precizii diferite si distante masurate cu un instrument caracterizat de coeficientii : a =2 mm. si b = 1.5 mm./Km. ;
4. Directii orizontale de precizii diferite si distante masurate cu un instrument caracterizat de coeficientii : a =40 mm. si b = 10 mm./Km.

Proiectul va contine:

1. Tema proiectului : enunt, schita retelei la scara, date initiale;
2. Memoriu tehnic : etape de calcul parcurse si relatii utilizate;

Calcule de compensare : tabele care sa permita urmarirea etapelor si verificarea rezultatelor intermediare;

Rezultate finale ( verificarea compensarii, coordonatele compensate, elipsa erorilor).

Date initiale:

Tema nr. 44

Tabel 1- Inventar de coordonate

Tabel 2 - Directii orizontale masurate, reduse la planul de proiectie

Distante masurate reduse la planul de proiectie

D_A-1 = 4686.413m; D_1-2 = 4596.272m; D_2-C = 4540.515m

MEMORIU TEHNIC

Reteaua data este o retea geodezica planimetrica de triangulatie, in care trebuie sa determinam coordonatele plane finale ale punctelor noi 1 si 2 , precum si erorile cu care acestea au fost determinate.

Prelucrarea observatiilor efectuate in retelele geodezice planimetrice constituie ultima etapa a activitatii geodezice, in urma careia se obtin rezultatele finale.

Prelucrarea observatiilor prin metoda masuratorilor indirecte consta in parcurgerea mai multor etape:

prelucrarea preliminara si reducerea observatiilor la suprafata de referinta;

calculul elementelor provizorii;

formarea modelului functional-stochastic;

aplicarea regulilor de echivalenta, daca este cazul, obtinandu-se un sistem transformat al ecuatiilor de corectii;

normalizarea sistemului de ecuatii ale corectiilor si rezolvarea acestuia;

calculul elementelor compensate, si daca este cazul ,verificarea compensarii;

calcule de evaluare a preciziei.

Etapele de calcul

Calculul elementelor preliminarii si apoi provizorii

Prelucrarea preliminara a observatiilor geodezice efectuate in retele de triangulatie consta in determinarea elementelor necesare construirii modelului functional-stochastic al prelucrarii propriu-zise si in reducerea observatiilor din reteaua considerata la suprafata de referinta

Etape:

a) Calculul coordonatelor preliminarii sau de lucru :

Coordonatele preliminarii se determina cu o precizie scazuta, care depinde in general de scopul urmarit si de lungimea laturilor retelei considerate. In planul de proiectie, pentru fiecare punct nou, coordonatele se determina prin cel putin doua intersectii simple inainte. In retelele in care au fost efectuate si masuratori de distante coordonatele preliminarii pot fi determinate si prin duble radieri, intersectii liniare, etc. Daca diferenta dintre cele doua randuri de valori obtinute se incadreaza in limite acceptabile scopului propus (de ordinul decimetrilor) atunci coordonatele de lucru se determina prin media aritmetica a valorilor obtinute.

b) Reducerea observatiilor la suprafata de referinta :

In tema sunt date observatiile reduse la planul de proiectie.

Calculul elementelor provizorii consta in determinarea coordonatelor provizorii ale punctelor noi din retea. Deoarece aceste coordonate se calculeaza cu observatiile reduse la suprafata de referinta, ele trebuie sa fie mult mai precis determinate. Precizia trebuie sa fie de ordinul centimetrilor.

Etape:

a.      Calculul distantelor si orientarilor intre puncte vechi [tabelul 1.1]

Consideram doua puncte vechi si un sistem de coordonate cartezian cu axa x indreptata spre directia nord.

Orientarea si distanta dintre punctele A si B de coordonate cunoscute se calculeaza cu urmatoarele relatii:

y

yA

yB

Figura 1

Pentru control ,distanta se mai poate determina cu ajutorul orientarii si coordonatelor relative:

b.      Orientarea statiilor cu coordonate cunoscute (orientarea statiilor vechi ) [tabelul 1.2]

Consideram un punct de statie vechi (S) din care au fost efectuate observatii catre puncte vechi (A,B,C) si noi (1,2,3).

Se determina orientarile SA SB SC care se mai numesc si vize orientate.

Cu ajutorul vizelor orientate si al directiilor masurate,centrate si reduse la planul de proiectie,se pot determina atatea valori ale unghiului de orientare a statiei, cate puncte vechi au fost vizate din statia considerata.

Figura 2

In cazul general: unde i=A,B,C,..(puncte vechi vizate din punctul de statie)

Toate aceste valori obtinute trebuie sa fie apropiate ca marime.

Orientarea  reprezinta unghiul format de directia nordului cu o directie oarecare, masurat in sensul acelor de ceasornic de la directia nord la directia considerata

Unghiul de orientare Zs a statiei considerate (S) reprezinta orientarea gradatiei zero a cercului orizontal al instrumentului.

Pentru acest unghi de orientare a statiei ,valoarea cea mai probabila se poate determina prin efectuarea mediei aritmetice ,fie prin calcularea unei medii ponderate pe distante a marimilor determinate.

In cazul general:

t=numarul punctelor vechi vizate din punctul de statie

Orientarile catre punctele noi vizate din punctul de statie se calculeaza cu relatia:

j=1,2,3,.(puncte noi vizate din punctul de statie)

c.       Calculul coordonatelor provizorii [tabelul 1.3]

Coordonatele se determina prin cel putin 2 intersectii inainte simple. Daca valorile difera la centimetru se va face media aritmetica a celor 2 randuri de valori.

Consideram un un punct nou P ale carui coordonate provizorii vrem sa le determinam.

Elementele provizorii ,astfel determinate, constituie elementele de baza ale modelului functional-stochastic utilizat la prelucrarea observatiilor efectuate in retelele geodezice planimetrice.

3) Formarea modelului functional-stochastic:

a) Calculul variatiei orientarii functie de variatia coordonatelor plane [tabelul 1.4]

Se considera doua puncte noi I si J, care au coordonatele provizorii , respectiv, si care se afla in legatura directa si reciproca.

Coordonatele provizorii ale punctelor noi vor primi niste corectii, care adaugate la acestea vor da valorile cele mai probabile ale coordonatelor (coordonate compensate).

si respectiv,

Datorita acestor cresteri de coordonate si orientarea provizorie va primi o crestere, care adaugata la valoarea provizorie va rezulta valoarea cea mai probabila a orientarii dintre cele doua puncte noi.

_ij=⁰_ij+d_ij  d_ij- variatia orientarii

Marimea acestei cresteri a orientarii este functie de marimea cresterilor de coordonate.

Diferentiind aceasta relatie se obtine:

Facand calculele necesare se ajunge la urmatoarea relatie, care exprima variatia orientarii functie de variatia coordonatelor plane:

unde a_ij si b_ij =coeficienti de directie

Coeficientii a_ij si b_ij se numesc coeficienti de directie deoarece prin intermediul lor se exprima variatia orientarii pe unitatea de lungime.

Coeficientii de directie se calculeaza cu urmatoarele relatii:

Pentru un calcul manual este bine ca variatia orientarii sa fie exprimata pe decimetru (se obtin astfel coeficienti apropiati de unitate). In acest caz, elementele care exprima lungimi (distanta sau coordonatele relative) se exprima in kilometri,iar daca se are in vedere gradatia centesimala () atunci relatiile de calcul ale coeficientilor de directie sunt:

Controlul calculelor se va face cu ajutorul relatiilor:

Se poate observa ca :

valoarea cu care variaza orientarea este aceeasi, indiferent de modul cum este considerata directia, adica de la i la j sau de la j la i:

b) Calculul variatiei distantelor functie de variatia coordonatelor plane

Deoarece coordonatele celor doua puncte noi variaza sidistanta provizorie va suferi o modificare, a carei marime este dependenta de marimea variatiei coordonatelor:

unde: A_ij= cos ^O_ij si B_ij= sin ^O_ij

c) Forme ale ecuatiei corectiilor la prelucrarea observatiilor efectuate in retele geodezice

In reteaua geodezica data s-au efectuat observatii unghiulare orizontale si masuratori de distante. Pentru aceste doua tipuri de observatii ,care intervin in prelucrare, se vor scrie ecuatiile de corectie.

Directii azimutale masurate, centrate, si reduse la planul de proiectie

Consideram un punct de statie S in care s-au efectuat observatii unghiulare orizontale catre alte n puncte din retea .

Prin procesul de prelucrare aceste valori ale directiilor vor primi niste corectii si se vor obtine astfel valorile cele mai probabile ale acestora.

i=1,2,.n

In punctul de statie S cunoastem valorile provizorii ale orientarilor catre alte puncte vizate, astfel ca putem calcula unghiurile de orientare corespunzatoare:

i=1,2,.n

Prin medierea acestor valori se obtine o valoare provizorie pentru unghiul de orientare al statiei S.

In urma prelucrarii unghiul mediu provizoriu va primi o corectie dz_s , astfel putem calcula valoarea cea mai probabila a unghiului de orientare a statiei S.

Forma ecuatiilor corectilor pentru o directie azimutala masurata intre 2 puncte noi este:

unde termenul liber al ecuatiei de corectie pentru directiile azimutale este: , iar intr-o statie [l]=0

Distante reduse la planul de proiectie

Consideram doua puncte din reteaua geodezica, i si j, intre care s-au efectuat masuratori pentru determinarea distantei.

Cu valoarea masurata D_ij* si valoarea provizorie D_ij^O determinata din coordonatele provizorii,se poate scrie o relatie de forma:

In urma procesului de prelucrare se obtin corectii care se aplica la valorile masurate ale distantelor rezultand astfel valorile cele mai probabile al acestora.

Deasemenea, in urma procesului de prelucrare datorita variatiei coordonatelor plane variaza si distanta cu o cantitate dD

In urma prelucrarii trebuie indeplinita conditia:

Forma generala a ecuatiei de corectie pentru o distanta intre doua puncte noi i si j este:

unde termenul liber al ecuatiei de corectii pentru distante este:

Formarea modelului functional - stohastic

Modelele utilizate in geodezie se impart in doua categorii principale, in functie de natura variabilelor care intervin in model, si anume modelul functional si modelul stochastic.La prelucrarea observatiilor efectuate in retelele geodezice se pot utiliza mai multe modele functional-stochastice, dintre care cel mai cunoscut model este modelul Gauss-Markov.

Modelul functional - stohastic este reprezentat de relatiile:

V = AX + L (1) unde V - vectorul corectiilor

A - matricea coeficientilor sistemului de ecuatii ale corectilor

X - vectorul parametrilor (necunoscutelor)

L - vectorul termenilor liberi

C_m = Q_m (2) unde C_m -matricea de varianta -covarianta a masuratorilor

Q_{m -} matricea cofactorilor masuratorilor

_ -variatia unitatii de pondere (facor de varianta)

Relatia (1) reprezinta modelul functional sau determinist. El nu contine elemente aleatoare si descrie o relatie pura intre marimi, adica la o valoare data a argumentului corespunde o valoare unica a functiei.

Relatia (2) reprezinta modelul stochastic sau statistic, el contine variabile aleatoare ce corespund efectului posibil al unor factori necontrolabili ce influenteaza procesul modelat si descrie o relatie complexa intre marimi, adica la o valoare data a argumentului corespunde un ansamblu de valori posibile ale functiei.

La formarea modelului functional stohastic trebuie sa se aiba in vedere urmatoarele:

prelucrarea riguroasa a masuratorilor trebuie sa se raporteze la un sistem unitar. Din aceasta cauza, inainte de a fi prelucrate masuratorile geodezice trebuie sa se raporteze la un sistem de referinta ales;

orice prelucrare a observatiilor efectuate intr-o retea geodezica este dirijata prin modelul functional-stochastic;

orice modificare in modelul functional-stochastic modifica rezultatul compensarii;

modelul functional-stochastic adoptat initial poate fi imbunatatit pe baza unor rezultate obtinute dintr-o prima prelucrare, din analiza ponderilor grupelor de masuratori, din examinarea semnificatiei statistice a unor necunoscute utilizate.

Metoda celor mai mici patrate:

Un sistem liniar de ecuatii ale corectiilor este supradeterminat atunci cand numarul ecuatiilor este mai mare decat numarul necunoscutelor. Aceasta supradeterminare indica faptul ca in model au fost luate in considerare mai multe masuratori decat cele necesarepentru determinarea parametrilor necunoscuti si in consecinta se pot determina mai multe valori pentru aceeasi necunoscuta. Pentru geodezie este necesar sa se gaseasca niste valori unice ale parametrilor necunoscuti. Pentru aceasta trebuie ca modelul sa fie reformulat,in sensul ca, pentru a face sistemul sa devina consistent, se introduce un vector al corectiilor (v),care adaugat la vectorul masuratorilor (M*) sa rezulte vectorul valorilor cele mai probabile ale observatiilor (M):

M=M*+v

Solutia prin metoda celor mai mici patrate se obtine prin minimizarea sumei patratelor corectiilor. Valorile efective ale variantelor si covariantelor nu se pot cunoaste si sunt inlocuite cu valori proportionale cu acestea numite coeficienti de pondere,factorul de proportionalitate fiind variatia unitatii de pondere. In legatura cu matricea coeficientilor de pondere Q_m se defineste si matricea ponderilor:

Prelucrarea observatiilor efectuate in retele geodezice se desfasoara sub conditia specifica metodei celor mai mici patrate, componenta principala a modelului stochastic:

Aceasta relatie reprezinta forma generala a conditiei de minim.

Pentru prelucrarile observatiilor efectuate in retelele geodezice ce se efectueaza in mod curent se face o aproximatie prin considerarea masuratorilor ca fiind independente. Aceasta aproximare face ca matricea ponderilor sa devina o matrice diagonala (, pentru ), ceea ce usureaza foarte mult calculele,iar relatia se mai poate scrie si astfel:

[pvv]=minim

Cand cerintele de precizie nu sunt ridicate se mai poate face o aproximatie prin considerarea masuratorilor independente ca fiind de precizii egale:

[vv]=minim

Stabilirea ponderilor

Ponderile pot fi determinate in functie de mai multi factori , cum ar fi : erorile medii de masurare, numarul de masuratori, prelucrari anterioare.

Pentru observatii unghiulare orizontale:

Unde - valoarea abaterii standard a unei directii compensate in statia S

Toate masuratorile dintr-o statie au aceeasi pondere.

4) Transformarea ecuatiilor de corectie dupa regulile de echivalenta

Doua sisteme de ecuatii ale corectiilor sunt echivalente daca prin normalizare se obtine acelasi sistem normal.

Trecerea de la un sistem de ecuatii de corectii la un alt sistem echivalent conduce la micsorarea numarului de necunoscute si la micsorarea numarului de ecuatii ale sistemului liniar.

Pentru prelucrarile geodezice sunt importante trei situatii de echivalenta cunoscute si sub numele de regulile Schreiber de echivalenta .

Prima regula de echivalenta

Forma generala a ecuatiilor corectilor pentru o directie azimutala masurata intre 2 puncte noi:

Sistemul de ecuatii ale corectiilor are 30 de ecuatii si 10 necunoscute, in care una dintre necunoscute dz are acelasi coeficient (-1) in toate ecuatiile sistemului.

Acest sistem este echivalent (se poate inlocui ) cu un alt sistem de ecuatii ale corectiilor care are cu o ecuatie mai mult numita ecuatie suma, dar cu o necunoscuta mai putin pentru fiecare punct de statie.

Prin urmare, vom avea 36 de ecuatii din care se mai elimina si ecuatiile scrise intre punctele vechi 24 de ecuatii si 4 necunoscute.

Unde, intr-o statie toate directiile au aceeasi pondere:

Ponderea ecuatiei suma este negativa si egala cu inversul sumei ponderilor corespunzatoare ecuatiilor componente ale sistemului.

Intr-o statie suma termenilor liberi este zero: [l]=0

A doua regula de echivalenta

Daca intre doua puncte din reteaua planimetrica au fost efectuate observatii unghiulare orizontale in ambele sensuri (vize reciproce) atunci cele doua ecuatii de corectie vor contine, dupa aplicarea primei reguli de echivalenta, aceleasi necunoscute cu aceiasi coeficienti, dar alti termeni liberi si in cazul prelucrarii observatiilor ponderate ,alte ponderi.

a_ij dx_j + b_ij dy_j - a_ij dx_i - b_ij dy_i + l_ij = v'_ij ; p_ij

a_ij dx_j + b_ij dy_j - a_ij dx_i - b_ij dy_i + l_ji = v'_ji ; p_ji

Prin aplicarea celei de-a doua reguli de echivalenta cele doua ecuatii vor fi inlocuite cu o singura ecuatie:

a_ijdx_j + b_ijdy_j - a_ijdx_i - b_ijdy_i + =v"_ij; [p]

Termenul liber se calculeaza ca medie ponderata a celor doi termeni liberi, iar ponderea este egala cu suma ponderilor.

Va rezulta un sistem de 15 ecuatii si 4 necunoscute.

A treia regula de echivalenta

Ecuatiile suma referitoare la punctele stationate au ponderea diferita de unitate.

Este necesar ca si aceste ecuatii sa fie aduse la ponderi egale cu 1.

Orice ecuatie poate fi adusa la ponderea 1 sau -1 daca intreaga ecuatie se inmulteste cu .

Ecuatia suma pentru a fi adusa la ponderea egala cu -1 este necesar sa inmultim intreaga ecuatie cu

Normalizarea sistemului de ecuatii liniare si rezolvarea sistemului normal de ecuatii:

Pentru rezolvarea sistemului de ecuatii normale s-a ales metoda Gauss din care rezulta si valorile coeficientilor de pondere necesari calcularii preciziei. Mai intai se determina necunoscutele apoi corectiile observatiilor.

Determinarea elementelor compensate si controlul compensarii:

a) Determinarea elementelor compensate

Calculul valorilor cele mai probabile ale coordonatelor:

X_i = X⁰_i + dx_i

Y_i = Y⁰_i + dy_i

Calculul variatiilor orientarii functie de coordonatele plane:

d_ij = a_ijdx_j + b_ijdy_j - a_ij dx_i - b_ijdy_i

Calculul corectiilor pentru unghiul de orientare a statiei:

Calculul corectiilor v, pentru toate directiile observate:

v_ij = -dz_i + d_ij + l_ij

Control : Pentru fiecare punct de statie [v] = 0

Calculul valorilor cele mai probabile ale observatiilor unghiulare:

_si = *_si+v^_si

b) Controlul compensarii:

_ij^coordonate=_ij^compensat

_ij^compensat =z⁰_i +dz_i +*_ij +v^_ij

Calcule de evaluare a preciziei

Calculul abaterii standard a unitatii de pondere:

unde:

m reprezinta numarul de masuratori efectuate in retea

n reprezinta numarul de necunoscute implicate in modelul functional stochastic

Calculul lui [pvv] se poate face in doua moduri:

[pvv]= p₁v₁v₁ + p₂v₂v₂ + . + p_nv_nv_n

[pvv]= [pll] + [pal]dx₁ + [pbl]dy₁ + [pcl]dx2 +[pdl] dy2

Determinarea abaterii standard a unei masuratori individuale compensate:

Calculul abaterilor standard de determinare a necunoscutelor :

unde si sunt elementele de pe diagonala principala a matricei cofactorilor

Calculul abaterii standard de determinare a unui punct:

Calculul elementelor elipselor erorilor

Daca se doreste abaterea standard pe o directie oarecare se utilizeaza elipsa erorilor.

unde

Orientarea axei mari a elipsei in raport de axa X a sistemului de coordonate se determina cu relatia: