NOTIUNI DE GEODEZIE ELIPSOIDALA

Figura Pamantului este aproximata in mod curent in geodezie printr-un elipsiod de rotatie cu turtire mica la poli.

In cadrul geodeziei elipsoidale este cuprinsa si studierea suprafetei elipsoidului in general, ca suprafata matematica, pentru a obtine fundamentarea metodelor de rezolvare a problemelor geodezice. De mentionat, de asemenea, ca in mod obisnuit, rezolvarile pe elipsoid au in vedere numai coordonatele geodezice, urmand ca determinarea altitudinilor sa fie realizata in mod separat. Aceasta separare, dintre determinarile de B si L pe de o parte si de H^e pe de alta parte, a fost conditionata in special de dificultatile care caracterizeaza utilizarea in bloc a unghiurilor zenitale si respectiv a unghiurilor (directiilor) orizontale, distantelor s.a. Cele doua categorii de masuratori geodezice sunt influentate in mod diferit de fenomenul de refractie atmosferica si, ca urmare, au precizii si domenii de utilizare diferite.

Numeroase lucrari elaborate in ultimele decenii si probabil si inca multe altele din deceniile care vin, repun si vor repune in discutie posibilitatile concrete de elaborare a unor retele geodezice tridimensionale, a caror prelucrare sa permita elaborarea simultana, in mod unitar, a celor trei coordonate B, L, H^e, care descriu pozitia punctelor pe suprafata Pamantului.

Din considerente de ordin didactic expunerea din manual se va opri la cazul curent intalnit in practica geodezica, de separare a asa-numitei probleme planimetrice de problema altitudinii, prin care se determina pozitia punctelor geodezice. Se intelege ca notiunea de problema planimetrica este improprie, deoarece se opereaza cu coordonatele geodezice B si L, care se refera la suprafata elipsoidului de referinta si nu la un plan oarecare.

Inconsecventa poate fi acceptata deoarece transcalcularea coordonatelor B si L in coordonate plane nu reprezinta dificultati deosebite.

In mod obisnuit, in cadrul geodeziei elipsoidale sunt studiate si reducerile observatiilor geodezice efectuate pe suprafata Pamantului la suprafata elipsoidului de referinta. Din considerente generate de extinderea limitata a cursului, aceste corectii nu vor fi abordate in manual. In acelasi sens se poate mentiona ca obiectul geodeziei elipsoidale cuprinde si alte probleme complexe, cum ar fi de exemplu calculele de trecere de la un elipsoid de referinta la altul (asa-numitele formule diferentiale) a caror expunere depaseste, de asemenea, cadrul acestui manual.

Pentru a oferi legatura cu alte publicatii, din alte tari, se mentioneaza ca pentru notiunea de geodezie elipsoidala se mai intalnesc: geodezie sferoidala (Zakatov 1976, Bagratuni 1962 etc.), geodezie matematica (Jordan 1958 etc.), geodezie geometrica (Heiskanen 1969), obiectul de studiu ramanand, in principiu, acelasi. In unele dintre publicatiile mentionate sunt studiate si teoriile matematice ale proiectiilor cartografice. In manualul de fata aceste aspecte nu vor fi abordate deoarece ele constituie obiectul de studiu al unei alte discipline din planul de invatamant si anume cartografia matematica. Rezultatele obtinute la aceasta disciplina vor fi utilizate insa in exemplificarile numerice care insotesc prezentarea metodelor de prelucrare a observatiilor din retelele geodezice.

1. Parametrii elipsoidului de rotatie. Legaturi intre parametri

Pentru prezentarea formulelor si dezvoltarilor ulterioare este necesara prezentarea parametrilor geometrici prin care se poate defini, un elipsoid de rotatie (Fig. 1.):

Fig. 1. Sisteme de coordonate conventionale.

- semiaxa mare (raza ecuatoriala (1)

- semiaxa mica (2)

- turtirea geometrica (3)

- excentricitatea liniara (4)

- prima excentricitate (numerica (5)

- a doua excentricitate (numerica (6)

- raza de curbura polara.

Elipsoidul de rotatie poate fi definit prin doi parametri geometrici, dintre care unul trebuie sa fie liniar (lungime). Primii trei parametri se mai numesc si parametri principali. In lucrari mai dezvoltate se utilizeaza si alti parametri geometrici.

Intre parametrii geometrici ai elipsoidului de rotatie se pot stabili cu usurinta urmatoarele relatii principale de legatura:

(8)

; (9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Prin dezvoltari in serie se obtine de asemenea:

(16)

Elipsoidul de referinta, este elipsoidul folosit la un moment dat, intr-o tara sau in mai multe tari, pentru rezolvarea problemelor geodezice. Acesta este un elipsoid de rotatie cu turtire mica la poli. Reamintind ca parametrii geometrici ai elipsoidului de rotatie au fost definiti anterior, in Tabelul 1. se prezinta valorile numerice ale parametrilor a si f pentru elipsoizii de referinta care au fost utilizati in decursul anilor in tara noastra, precum si pentru elipsoidul caracteristic Sistemului Mondial de Referinta WGS-84 folosit actualmente in geodezia cu sateliti.

Tabelul 1. Elipsoizi de referinta utilizati in Romania

Lucrarea nr. 2

Se dau parametrii principali a. f pentru elipsoizii de referinta Krasovski si WGS . Sa se calculeze ceilalti parametri: b, e², , E, c.

Tabelul 2. Calculul parametrilor geometrici pentru elipsoizi de referinta

2. Sisteme de coordonate utilizate frecvent in geodezia elipsoidala

Pentru reprezentarea punctului S_t (situat pe suprafata fizica a Pamantului) in geodezie se folosesc. in principal. doua sisteme de coordonate reprezentate in Fig. 2 si descrise in continuare detaliat.

Fig. 1. Sisteme de coordonate utilizate frecvent in geodezia elipsoidala.

2.1. Sistemul cartezian geodezic (X Y Z)

Pentru simplificarea notatiilor renuntam la indicele inferior e la sistemul cartezian.

originea O a sistemului se afla in centrul elipsoidului de referinta;

axa X si axa Y sunt situate in planul ecuatorului elipsoidului;

axa X este situata in meridianul geodezic al celebrului observator astronomic Greenwich situat in apropierea Londrei (meridianul zero sau meridianul origine);

Prin punctul S_t se poate duce o singura normala la elipsoid . care nu trece prin centrul elipsoidului decat in urmatoarele cazuri particulare:

punctul S_t se afla in P sau ;

punctul S_t se afla pe ecuator (deci exista o infinitate de puncte).

normala intersecteaza elipsoidul in punctul S.

Observatii:

In geodezia cu sateliti se determina coordonatele carteziene X_t Y_t Z_t ale punctului S_t de pe suprafata fizica:

; ; . (17)

In geodezia elipsoidala se opereaza cu puncte raportate pe elipsoidul de referinta. de genul punctului S. ale carui coordonate carteziene sunt:

(18)

2.2. Sistemul de coordonate geodezice B. L. Sistemul de coordonate utilizat este acelasi (X Y Z). Punctele S_t si S au insa coordonate diferite:

a)     Latitudinea geodezica B - este unghiul format de normala la elipsoid cu planul ecuatorului (sensul pozitiv de masurare a latitudinii B este de la ecuator spre normala). Rezulta ca exista latitudini nordice si respectiv latitudini sudice.

b)     Longitudinea geodezica L - este unghiul diedru format de meridianul punctului S_t considerat si meridianul origine.

Meridianul unui punct reprezinta sectiunea determinata prin elipsoid de catre un plan care trece prin punctul considerat si prin axa polilor

Ca meridian origine este acceptat unanim meridianul geodezic al observatorului astronomic Greenwich. Acest observator este utilizat si in astronomie (indeplineste rolul de origine pentru longitudinile astronomice si respectiv pentru timp - asa numitul timp universal notat TU).

Atentie. Coordonatele geodezice B. L nu definesc pozitia in spatiu a punctului S_t ci doar a normalei la elipsoid. Pentru definirea in spatiu a punctului S_t mai este necesara o marime:

c)     Altitudinea geodezica

. (19)

Se pot mentiona urmatoarele localitati situate la limite extreme pentru teritoriul tarii noastre:

limita nordica: comuna Horodistea   ;

limita sudica: Zimnicea ;

limita de est: Sulina ;

limita de vest: Beba Veche:

Ca latitudine medie pentru intrega tara se considera B_m = 46

Punctul S. ca proiectie pe elipsoid a punctului S_t. in lungul normalei are aceleasi coordonate geodezice B. L cu cele ale punctului S_t. insa H^e = 0.

Ecuatiile parametrice ale elipsei meridiane

Ecuatia generala a unui elipsoid de rotatie. exprimata sub forma implicita:

(20)

este putin folosita in geodezia eliopsoidala. In mod frecvent se opereaza cu ecuatiile parametrice. in functie de coordonatele geodezice B si L. adica:

(21)

Pentru deducerea acestora este util sa se determine. in prealabil. ecuatiile parametrice ale elipsei meridiane: x = x (B). z = z (B). deoarece legatura dintre coordonatele X. Y. Z si respectiv x. z (Fig. 2) este imediata:

(22)

In formulele de mai sus s-au notat

(23)

Pentru deducerea formulelor de calcul utilizam o figura ajutatoare (a se compara cu Fig.1):

Fig 2. Ecuatiile parametrice ale elipsei meridiane.

Asa cum este cunoscut. ecuatia elipsei meridiane sub forma implicita este:

(24)

Daca se foloseste un alt parametru geometric in locul semiaxei mici:

(9)

rezulta:

(25)

Se prefera formulele parametrice ale elipsei in care intervine singurul parametru al punctului S (latitudinea geodezica B).

Coeficientul unghiular al tangentei la elipsa in punctul S este:

tg (90 + B) = - ctg B.  (26)

Acest coeficient unghiular poate fi exprimat si analitic ca fiind egal cu prima derivata a functiei (24) de doua variabile. Diferentiala totala a acestei functii este:

(27)

Din expresia de mai sus rezulta prima derivata a functiei. a carei semnificatie este panta tangentei la curba:

(28)

Sau sub forma:

(29)

Efectuand calculele necesare rezulta:

(30)

(31)

Din (31) si (28) se obtine o prima relatie de legatura intre coordonatele x si z:

(32)

(33)

Inlocuind acest rezultat in ecuatia (25) rezulta:

(34)

si. in continuare:

(35)

(36)

adica:

(37)

Daca se introduce notatia consacrata:

(38)

se obtine:

(39)

Se poate demonstra. dupa calcule simple:

(40)

unde functia V este. de asemenea. utilizata frecvent:

(41)

In acest fel coordonata x se poate exprima si sub forma:

(42)

Introducand relatiile (39) si respectiv (42) in formula (33) se obtin expresiile de determinare a coordonatei z in functie de latitudinea B:

(43)

(44)

In concluzie. ecuatiile parametrice ale elipsei meridiane sunt:

(45)

(46)

4. Ecuatiile parametrice ale elipsoidului de rotatie

Revenind la observatiile de la inceputul paragrafului anterior si inlocuind in ecuatiile (22) rezultatele obtinute cu relatiile (45) si (46) se obtin ecuatiile parametrice ale elipsoidului de rotatie:

(47)

5. Raze de curbura principale

Prin normala intr-un punct oarecare de pe suprafata elipsoidului pot trece o infinitate de plane. denumite plane normale (deoarece contin ). Aceste plane intersecteaza elipsoidul dupa o infinitate de sectiuni. denumite sectiuni normale.

Sectiunile care nu trec prin normala (care nu contin normala) se numesc sectiuni inclinate (ex.: sectiunea perpendiculara pe axa polilor. care intersecteaza elipsoidul dupa cercul paralel al punctului respectiv).

Dintre sectiunile normale posibile una are raza de curbura maxima si una are raza de curbura minima; acestea se numesc sectiuni normale principale si au proprietatea de a fi perpendiculare intre ele.

5.1. Sectiunea meridiana. Sectiunea meridiana (care. asa cum se va arata in continuare are raza de curbura minima) este reprezentata de meridianul punctului S.

Sectiunea meridiana are forma unei elipse. fiind obtinuta din intersectia planului meridian cu elipsoidul de rotatie. Raza de curbura a acestei elipse se noteaza cu M:

(48)

in care ds este elementul de arc de elipsa:

ds² = dx² + dz². (49)

Rezulta astfel:

(50)

Calculul derivatelor necesare in relatia (50) se realizeaza prin considerarea formulelor (39) si respectiv (46). Astfel. de exemplu. prima derivata din (50) este:

(51)

care. dupa transformari simple. devine:

(52)

Analog. se poate calcula si cealalta derivata necesara. rezultand:

(53)

In acest fel se poate determina expresia razei de curbura a elipsei meridiane:

(54)

Prin transformari simple se poate deduce expresia:

(55)

astfel incat. prin considerarea si a relatiei (40) rezulta o alta posibilitate de exprimare a razei de curbura a elipsei meridiane:

(56)

Se observa ca raza de curbura a elipsei meridiane creste odata cu cresterea latitudinii geodezice B. de la ecuator spre pol.

La ecuator. unde B = 0 . rezulta:

(57)

La pol. unde B = 90 . rezulta:

(58)

5.2. Sectiunea primului vertical este reprezentata de sectiunea normala perpendiculara pe sectiunea meridiana. Sectiunea primului vertical si sectiunea inclinata. a paralelului in punctul considerat. au aceeasi tangenta. Se obtine astfel legatura dintre raza de curbura a primului vertical notata cu N si raza de curbura a paralelului. notata r. legatura care satisface o celebra teorema. a lui Meusnier. din geometria suprafetelor:

(59)

Deoarece r s x (conform cu (23)). se obtine in continuare. prin utilizarea relatiilor (45):

(60)

Din cele de mai sus rezulta semnificatia geometrica a razei de curbura a primului vertical N = SS₀ in Fig. 2.

Se observa ca si raza de curbura a primului vertical are o variatie de la ecuator la pol. crescand in marime odata cu cresterea argumentului B:

La ecuator. unde B = 0 . rezulta:

(61)

La pol. unde B = 90 . rezulta:

(62)

Numai la pol cele doua raze de curbura principale M si N sunt egale. In celelalte situatii raportul dintre razele de curbura ale sectiunilor normale principale va fi:

(63)

Rezulta N M. motiv pentru care raza de curbura N a primului vertical se mai numeste si marea normala.

Raza de curbura a sectiunii meridiane (M) precum si raza de curbura a sectiunii primului vertical (N) se pot calcula in functie de parametrii elipsoidului a. e² si de latitudinea B a punctului S (sunt functii de pozitia punctului pe un anumit elipsoid dat).

6. Raza de curbura a unei sectiuni normale oarecari in functie de razele de curbura principale si azimutul geodezic A

rrrr

	Fig.   Razele de curbura a sectiunilor normale.

Se considera un punct S pe elipsoid (situat pe un anumit meridian si pe un anumit paralel). Prin acest punct se poate duce normala la suprafata (o unica posibilitate). Prin normala trec o infinitate de plane normale. care intersecteaza elipsoidul dupa sectiuni normale. fiecare avand o alta raza de curbura.

Azimutul A este unghiul format de curba c (directia ) cu directia nord a meridianului. Se poate demonstra formula Euler de calcul a razei de curbura a unei sectiuni normale. de azimut A:

(64)

Din relatia de mai sus se observa ca raza de curbura a unei sectiuni normale oarecare este exprimata in functie de azimutul sau A si. in cazul elipsoidului de rotatie. de curburile sectiunii meridianului (M) si. respectiv. a primului vertical (N).

Asa cum este cunoscut. valorile extreme ale functiei se determina efectuandu-se prima derivata in raport de variabila considerata (A). care se egaleaza apoi cu zero:

(65)

Rezulta ca valorile extreme ale functiei (64) au loc in urmatoarele doua cazuri. (deoarece

MN

Cazul I:

sin 2A = 0. ceea ce se poate realiza in doua situatii: A = 0^g si atunci sectiunea normala avuta in vedere este sectiunea meridiana si respectiv pentru A = 100^g si atunci sectiunea normala considerata este sectiunea primului vertical. ceea ce s-a demonstrat in paragraful anterior.

Cazul II:

M = N. situatie intalnita la poli. conform celor demonstrate in paragraful anterior. astfel incat se poate scrie:

(66)

motivatie pentru care c s-a numit raza de curbura polara (1).

Observatie: Din situatia examinata la cazul I. rezulta ca sectiunile normale principale sunt perpendiculare intre ele.

7. Raza de curbura medie Gauss

Media aritmetica a razelor de curbura ale sectiunilor normale care trec printr-un punct situat pe elipsoid. atunci cand numarul acestor sectiuni tinde catre infinit. se numeste raza medie de curbura sau raza medie Gauss. notata R:

(67)

Pentru a realiza media aritmetica din relatia (67) utilizam urmatoarea schita ajutatoare:

Fig. 5. Raza medie Gauss.

Privind in lungul normalei care trece prin punctul S. meridianul (A = 0^g) si primul vertical (A = 100^g) se reprezinta intr-un plan tangent la elipsoid. in acest punct. prin linii drepte. Celelalte sectiuni normale (de azimut oarecare A_i) se reprezinta prin curbe. Intervalul dintre acestea este considerat finit (mic) DA in Fig 5.

La limita. cand DA 0. suma din relatia (67) se poate inlocui cu urmatoarea integrala:

(68)

Pentru calculul ultimei integrale. se introduce urmatoarea schimbare de variabila:

(69)

cu corespondenta dintre limitele celor doua variabile A si respectiv t:

Atunci expresia razei medii Gauss (68) devine:

(71)

Introducand in ultima formula relatiile (54) si (60). rezulta ca in punctul S considerat. raza medie Gauss este:

(72)

Raza medie Gauss variaza. de asemenea. in functie de latitudinea geodezica B. inregistrand la fel cu M si N. o crestere de la ecuator (B = 0 ) la pol (B = 90

(73)

Raza medie Gauss are o aplicabilitate deosebita in geodezie si in cartografia matematica.

Lucrarea nr. 3

Sa se determine razele de curbura M. N. R in punctul S. situat pe elipsoidul de referinta Krasovski determinat prin:

precum si raza de curbura R_A pentru o sectiune normala de azimut

Tabelul Calculul razelor de curbura a sectiunilor normale

n = 3

B =

a = 6378245.000 m

e2 = 0.006693422

= 0.006738525

W = 0.998220308

c = 6399698.902 m

V = 1.001577927

a(1 - e2) = 6335552.715 m

M = 6369499.493 m

N = 6389616.558 m

R = 6379555.096 m

A = 45g.1778753

Ncos2A = 3676948.504 m

Msin2A = 2704130.461 m

Ncos2A + Msin2A = 6381075.995 m

MN = 4.069865936 · 1013 m2

RA = 6378024.562 m

8. Coordonatele punctelor geodezice situate pe suprafata terenului si ale proiectiilor lor pe elipsoid

Revenind la Fig. 2. cu ajutorul marimilor determinate mai inainte. se pot determina:

coordonatele punctului S_t (X_t Y_t Z_t) situat pe suprafata fizica. Acestea intervin in operatiile specifice geodeziei cu sateliti;

coordonatele punctului S (X. Y. Z) proiectat pe elipsoidul de referinta in lungul normalei la elipsoid.

Reamintind ca semnificatia geometrica a razei de curbura a primului vertical este N = SS₀. rezulta cu usurinta urmatoarele relatii de calcul:

a.      Pentru puncte proiectate pe elipsoid (S) rezulta din formulele (47) prin utilizarea noilor notatii introduse:

(74)

b.     Pentru puncte situate pe suprafata fizica (S_t) rezulta analog:

(75)

Lucrarea nr. 4

Se considera coordonatele geodezice (B. L) ale punctului S_t. in raport de elipsoidul Krasovski de la lucrarea nr.

Sa se calculeze coordonatele carteziene (X_t Y_t Z_t) ale punctului S la nivelul terenului. raportate la elipsoidul de referinta Krasovski. precum si coordonatele carteziene (X. Y. Z) ale proiectiei sale pe elipsoidul Krasovski

Altitudinea elipsoidala a punctului S_t este = 54785m+n(m).

Tabelul 4. Calculul coordonatelor punctului S_t

(la nivelul terenului) si respectiv ale proiectiei

sale S pe elipsoidul Krasovski

9. Arce elementare

Fie punctele S₁ si S₂ (situate pe acelasi meridian) si respectiv S₁ si S₃ (situate pe acelasi paralel). asa cum este reprezentat in Fig. 6.

Se va presupune ca punctele S₁. S₂ si S₃ sunt finit apropiate. astfel incat arcul de meridian s­_1-2 (dintre S₁ si S₂) si respectiv arcul de meridian s_p (dintre S₁ si S₃) sunt considerate finit mici si denumite arce elementare.

9.1. Elementul de arc de meridian. Deoarece raza de curbura M a elipsei pe care se afla punctele S₁ si S₂ a fost definita cu relatia:

.

lungimea arcului elementar de meridian dintre aceste puncte se determina prin integrarea:

.

Daca se are in vedere formula:

.

rezulta:

(77)

Pentru calculul integralelor eliptice de mai inainte se efectueaza initial dezvoltarea in serie a expresiei din interiorul integralei:

(78)

In continuare se exprima puterile functiei sinus in functie de cosinusul arcelor multiple:

(79)

(80)

Daca se noteaza

(81)

se obtine un prim rezultat intermediar:

(82)

Rezultatul obtinut poate fi integrat termen cu termen, dupa care integrala (77) devine:

(83)

adica:

(84)

unde:

(85)

Pentru necesitati care intervin in activitatea practica. dezvoltarile in serie mentionate se realizeaza pana la termeni care contin e⁸. Daca se au in vedere parametrii elipsoidului Krasovski si gradatia sexagesimala se obtin urmatoarele valori numerice:

(86)

De mentionat ca termenii care contin e² 2f si similari ca ordin de marime. sunt considerati in geodezia elipsoidala termeni de ordinul I. Recapituland. relatia de calcul a lungimii arcului elementar de meridian intre punctele de latitudini B₁ si B₂ este:

s_1-2 = 111134.861083803 (B₂ - B₁) (sin 2B₂ - sin 2B₁) + 16.828067 (sin 4B₂ - sin 4B₁) - 0.021975 (sin 6B₂ - sin 6B₁) [m].  (87)

Lungimea arcului de meridian de la ecuator pana la punctul considerat S(B) poate fi determinata cu formula de mai sus. prin particularizarile: B₁ = 0 si respectiv B₂ T B.

Se pot retine si urmatoarele valori:

km; 

m (mila marina); 

m. 

Lucrarea nr. 5

Sa se determine lungimea arcului de meridian, pe elipsoidul Krasovski, intre punctul P₁ Lucrarea nr. 3) si punctul P₂ care are latitudinea geodezica B₂ = 47⁰54'17'.8572 + n' .

9.2. Elementul de arc de paralel. Daca se au in vedere punctele S₁ si S₂ (Fig. 6). situate pe paralelul de raza r₁ (latitudinea B₁) la longitudinile L₁ si respectiv L₂ = L₁ +DL. lungimea arcului de paralel s_p. dintre cele doua puncte va fi:

s_p = r₁(L₂-L₁)'arc1 (91)

Expresia de mai inainte poate fi determinata. deoarece r₁ = constant (pentru un paralel dat) rezultand:

s_p= N₁cos B₁ /. (92)

De reamintit ca .

9. Generalitati privind determinarea geometrica a formei si dimensiunilor Pamantului. Asa cum s-a mentionat inca din introducerea la acest capitol. primele incercari de determinare a formei Pamantului facute de Eratostene au constat din masurarea unui arc de meridian si a unghiului care il subintinde.

Aceasta metoda. elaborata principial in urma cu peste doua milenii. a fost perfectionata in continuare. fiind cunoscuta sub denumirea de metoda geometrica de determinare a formei si dimensiunilor Pamantului.

Relatiile (87) si respectiv (92) se pot scrie generalizat sub forma:

s_m = f (a. e². B₁. B₂); (93)

s_p = j (a. e². B₁. L₁. L₂). (94)

Se presupun cunoscute. din determinari complexe. marimile: s_m. s_p. B₁. B₂. L₁. L₂ pentru cat mai multe situatii. repartizate relativ uniform pe suprafata Pamantului. Se poate emite doleanta de determinare a necunoscutelor din cele doua ecuatii de mai sus (a si e²) care caracterizeaza atat forma cat si dimensiunile elipsoidului avut in vedere. care la randul lor constituie o aproximatie acceptata curent pentru forma si dimensiunile Pamantului.

Desigur. in anii de inceput ale unor asemenea incercari. cand suprafata Pamantului era mai putin acoperita cu obstacole naturale sau create de oameni. probabil ca s-au putut masura direct arce elementare de meridian si paralel.

Realitatea existenta in natura. a impus dezvoltarea unor metode care sa permita asemenea determinari pentru lungimi mari. intre puncte situate la distante de ordinul sutelor sau chiar miilor de kilometri. intre care desigur nu se putea masura direct. Metoda initiala. folosita mai multe secole in continuare. a fost fondata de oamenii de stiinta Tycho Brahe (Danemarca. 1589) si W. Snellius (Olanda. 1617) cunoscuta sub denumirea de metoda triangulatiei. Reteaua de triangulatie publicata de Snellius a avut dimensiuni modeste (latura initiala - cca. 4100 m; un numar de 30 triungiuri componente in retea). dar metoda a capatat in timp aplicatii impresionante (reteaua geodezului rus V.I. Struve masurata in perioada 1816 - 1852. din nordul Norvegiei pana la gurile Dunarii).

Algoritmul de principiu al metodei geometrice poate fi prezentat astfel:

Se determina pe suprafata terestra o retea geodezica (in care se masoara unghiuri. distante. marimi astronomo-geodezice s.a.) asa cum se reprezinta schematic in figura de mai jos:

	B

Fig. 7. Reprezentarea schematica a metodei geometrice.

In figura de mai sus. punctele A. B. C. D sunt considerate puncte Laplace (in care se fac determinari de latitudini. longitudini si azimute astronomice) iar punctele 1.4 sunt puncte geodezice. Din rationamente de economie de spatiu, in figura reteaua geodezica are domenii restranse. In realitate dimensiunile sale au fost de ordinul sutelor sau miilor de kilometri.

Prin calcule de prelucrare a retelelor astronomo-geodezice se deduc coordontale geodezice B. L ale tuturor punctelor componente.

Utilizand formulele care caracterizeaza problema geodezica inversa (12) se calculeaza lungimea liniei geodezice s_AD intre punctele A si D precum si azimutul sau geodezic A_A-D.

Din proiectarea acestor marimi pe meridian si pe paralel rezulta s_m si respectiv s_p.

Rezulta ca reteaua geodezica. redata schematic si mult simplificat in Fig. 7. poate fi reprezentata in continuare prin arcele elementare s_m si s_p. alaturi de alte rezultate similare. obtinute din alte retele geodezice. Desigur. cu cat numarul acestor retele geodezice este mai mare si mai ales cu cat reprezentarea lor pe intregul Pamant este mai corect distribuita. rezultatele finale vor fi mai credibile. mai convingatoare.

Existand. prin urmare. un numar suficient de mare de determinari. aplicand principiile metodei celor mai mici patrate. se pot deduce din ecuatii de forma (93) si (94) cele doua necunoscute a si e². prin care se caracterizeaza forma si dimensiunile Pamantului.

Metoda geometrica a cunoscut o dezvoltare deosebita pana la aparitia metodelor geodeziei cu sateliti care aduce o contributie mult mai semnificativa in acest domeniu.

Spre exemplificare. in Fig. 8 se reprezinta partea pricipala din reteaua de triangulatie a Romaniei Mari (dinaintea celui de al 2-lea razboi mondial). formata din lanturi dezvoltate in lungul meridianelor si paralelelor si care a fost luata in considerare de AIG la determinarea parametrilor a si e² ai unor elipsoizi internationali.

10. Excesul sferic al unui triunghi elipsoidic mic

Pentru situatiile curent intalnite in practica geodezica. unde distantele dintre puncte s < 60 km. triunghiurile geodezice (denumite triunghiuri elipsoidice mici) sunt rezolvate ca triunghuri sferice. considerandu-se ca acestea sunt amplasate. fiecare. pe sfere medii Gauss proprii. de raze . unde B_i sunt latitudinile geodezice ale centrelor de greutate ale triunghiurilor respective.

Chiar si dupa introducerea acestor simplificari. in geodezie nu s-au aplicat direct formulele trigonometriei sferice. ci. asa cum se va vedea. s-au aplicat metode specifice. care vor fi examinate in continuare. si care au dus la importante economii de calcule.

Suma unghiurilor A. B. C dintr-un triunghi geodezic amplasat pe o sfera medie Gauss de raza R (presupuse ca neafectate de erori de masurare) este intotdeauna mai mare decat 200^g. diferenta rezultata fiind denumita exces sferic:

e = A + B + C - 200^g.  (95)

Fig. 9. Excesul sferic.

Initial se calculeaza o latitudine medie provizorie:

(96)

cu care se poate calcula raza medie Gauss provizorie (relatia (71)).

Suprafetele fusurilor sferice pot fi exprimate sub o prima forma:

(97)

unde. cu S s-a notat suprafata (pe sfera) a triunghiului geodezic considerat. Din insumarea celor trei relatii rezulta:

(98)

De asemenea. suprafetele fusurilor sferice se pot exprima si sub forma:

(99)

din a caror insumare se obtine:

(100)

Din egalarea relatiilor (98) si (100) rezulta:

(101)

de unde:

(102)

Cu r^cc s-a notat numarul de secunde dintr-un radian. care este r^cc =2000000^cc/= 636619.772

Strict riguros. in relatia (101) de determinare a excesului sferic ar trebui folosita suprafata S pe sfera a triunghiului geodezic. Deoarece marimea acesteia nu se poate determina in aceasta etapa a calculelor. precum si datorita faptului ca se au in vedere triunghiuri geodezice mici (cu laturi  s < 60 km) se poate folosi suprafata in plan a triunghiului considerat. Este recomandat ca in triunghiul plan sa se efectueze o prelucrare preliminara. aproximativa. astfel incat suma unghiurilor sa fie 200^g.

Fig. 10. Triunghiul plan ajutator la calculul excesului sferic.

In aceste conditii. rezulta:

(103)

iar excesul sferic se va calcula cu relatia:

(104)

Relatia de mai sus se poate aplica si pentru situatii mai rar intalnite (60 km < s <90 km).

Lucrarea nr. 6

Se considera urmatorul triunghi geodezic elipsoidic mic:

in care se cunosc:

coordonatele punctului geodezic P₁ (de la lucrarea nr. 3);

azimutul geodezic al laturii 1-2

lungimea liniei geodezice: m

unghiurile masurate si reduse pe suprafata elipsoidului:

Se cere:

Determinarea excesului sferic.

O prima etapa de calcul consta in rezolvarea aproximativa a triunghiului plan ajutator.

Tabelul 5. Rezolvarea (aproximativa) in plan a triunghiului

Schita triunghiului	Denumirea unghiului	Unghi aproximativ	Corectie aproximativa [cc]	Unghi corectat aproximativ	Sinusul unghiului corectat aproximativ	Lungimea aproximativa a laturii	Denumirea laturii
Figure 1 1		68g75c18cc.4
		52g17c76cc.5
		79g07c07cc.5
	S	200g00c02cc.4				Modul = 25091.95

Deoarece:

s₁₂ = 23748.143 m.

se poate calcula modulul in triunghiul plan ajutator:

m.

Calculul suprafetei triunghiului plan ajutator:

In calcule s-a folosit o valoare medie a rezultatelor anterioare:

Pentru calculul latitudinilor punctelor geodezice s-a folosit latitudinea data pentru punctul P₁ si un proces de interpretare grafica. folosind in acest scop valorile aproximative indicate la sfarsitul paragrafului 9.1 ( arc 1΄≈ 1852 m ; arc 1˝≈ 31 m ) .

Cu latitudinea medie aproximativa determinata cu relatia (96) si prin utilizarea formulei (71) de determinare a razei medii Gauss s-a obtinut:

R = 6379580.485 m; R² 10¹³ m².

Excesul sferic e^cc se poate determina cu marimile calculate pana acum:

11. Rezolvarea triunghiurilor geodezice mici

11.1. Metoda Legendre. Una din metodele cele mai folosite pentru rezolvarea triunghiurilor geodezice mici se bazeaza pe utilizarea teoremei Legendre. publicata de acesta in anul 1787: Un triunghi sferic mic se poate rezolva prin intermediul unui triunghi plan ajutator. in care se pastreaza egalitatea laturilor celor doua triunghiuri. iar unghiurile triunghiului plan se obtin prin micsorarea fiecarui unghi sferic cu cate o treime din excesul sferic.

Date:

unghiurile A . B . C si latura a masurate cu mare precizie si reduse pe suprafata elipsoidului;

latitudinile aproximative . . ale punctelor geodezice care formeaza triunghiul elipsoidic mic;

Se cer:

calculul celorlalte laturi b. c ale triunghiului elipsoidic mic.

Algoritmul de calcul:

calculul excesului sferic e^cc, asa cum s-a descris in 10, pentru triunghiul elipsodic mic. ale carui varfuri sunt notate A. B. C.

prelucrarea empirica a unghiurilor in triunghiul sferic corespondent aplicand principiul influentelor egale ale erorilor de masurare asupra celor trei unghiuri:

. (105)

unde cu w s-a notat eroarea totala de masurare a celor trei unghiuri:

. (106)

In baza principiului enuntat. cele trei corectii unghiulare vor fi egale intre ele:

. (107)

astfel incat se pot obtine unghiurile prelucrate preliminar in triunghiul sferic:

(108)

Suma acestor unghiuri va fi:

. (109)

Fig. 11. Rezolvarea triunghiurilor elipsoidice mici cu teorema Legendre.

calculul unghiurilor (prelucrate provizoriu) in triunghiul plan intermediar (ajutator). in conformitate cu teorema Legendre:

(110)

Suma unghiurilor in triunghiul plan intermediar va fi:

. (111)

rezolvarea triunghiului plan intermediar. in care suma unghiurilor indeplineste conditia (111) se poate realiza prin cunoscuta teorema din trigonometria plana:

. (112)

Daca se noteaza marimea calculabila:

. (113)

rezulta laturile b si c. identice in triunghiul plan si in triunghiul elipsoidic mic:

. (114)

Lucrarea nr. 7

Sa se rezolve triunghiul elipsoidic mic de la lucrarea nr. 6 cu metoda Legendre.