METODE DE REZOLVARE A ECUATIILOR DE TRANSFER DE MASA IN MEDII POROASE. MODELARE MATEMATICA.

Ecuatiile de transfer a poluantilor in medii poroase se pot rezolva prin metode analitice sau prin metode numerice. Metodele analitice sunt aplicabile in situatii mai simple, dar reprezinta si o posibilitate de aproximare, in multe situatii mai complexe, pentru evolutia poluantilor.(David) Este de preferat utilizarea acestor metode atunci cand lucrul acesta este posibil. De aceea, in practica, sunt utilizate metodele numerice care sunt aplicabile in situatii complexe, atat in ceea ce priveste domeniul miscarii, conditiile limita, cat si variabilitatea parametrilor caracteristici.

METODE NUMERICE

Principalele caracteristici ale modelelor numerice permit rezolvarea problemelor de curgere si transport in mediul poros saturat si nesaturat. Acestea sunt urmatoarele:

se obtine solutia in puncte discrete ale domeniului spatio-temporal;

ecuatiile diferentiale sau cu derivate partiale sunt inlocuite printr-un sistem de ecuatii algebrice, scrise in functie de variabilele de stare necunoscute;

solutia problemei este obtinuta pentru setul specificat de valori ale parametrilor;

numarul ecuatiilor ce urmeaza a fi rezolvate simultan si in etape, in sistem, este foarte important; astfel se poate utiliza un program de calcul ceea ce ar conduce la reducerea timpului de calcul al sistemului de ecuatii.

Dintre metodele numerice utilizate putem enumera: metoda diferentelor finite, metoda elementelor finite (cea mai folosita), metoda elementelor de frontiera, etc.

Metoda diferentelor finite (MDF)

Metoda diferentelor finite permite gasirea solutiei aproximative in niste puncte din domeniu, utilizand diferentele finite si folosind un polinom de interpolare se poate aproxima solutia in orice alt punct din domeniu. MDF presupune parcurgerea unor pasi:

discretizarea spatio-temporala a domeniului respectiv;

se scriu relatiile de legatura dintre derivate si diferente finite;

se renunta la erorile de trunchiere si se obtin schemele cu diferente finite asociate problemei respective.

Metoda elementelor finite (MEF)

Metoda elementelor finite este o metoda numerica pentru rezolvarea problemelor de camp. Ca urmare, de prim interes este cunoasterea cat mai buna a acestei aproximari astfel incat solutia obtinuta sa fie apropiata cat mai mult de solutia exacta. Evaluarea erorii este o problema dificila, datorita faptului ca solutia exacta a problemelor complexe este ea insasi necunoscuta. Precizia solutiei aproximative este mai buna pe masura ce creste numarul de elemente finite din discretizare si, implicit, numarul de noduri (fig 1.7)[4

Fig. 1.7 Convergenta solutiei in elemente finite

Daca acest proces de imbunatatire a aproximarii se realizeaza, se spune ca solutia numerica converge catre solutia exacta.

Rezolvarea unei probleme comporta o succesiune de etape de calcul:

discretizarea, in care domeniul de studiu se imparte in elemente finite si se stabilesc punctele nodale;

alegerea functiilor de aproximare, etapa care se mai numeste si alegerea tipului de element, dat fiind ca exista anumite configuratii ale elementelor finite in functie de forma si de gradul functiilor de aproximare.

evaluarea matricelor de influenta si a vectorilor caracteristici, care se face de obicei prin integrare numerica.

asamblarea, care se obtine prin insumarea matricelor de influenta si a vectorilor conditiilor de margine ale elementelor de discretizare. La baza procedurii de sumare sta faptul ca, intr-un nod comun mai multor elemente finite, valoarea sarcinii hidraulice este aceeasi pentru toate elementele cuplate in acel nod;

rezolvarea sistemului de ecuatii algebrice liniare rezultat din operatia de asamblare;

calculul parametrilor hidraulici in orice punct al domeniului pe baza valorilor nodale obtinute

Metoda elementelor de frontiera

Metoda elementelor de frontiera (MEFr) dezvoltata in mod deosebit in ultima decada, este o noua metoda aproximativa de solutionare a problemelor la limita. In esenta aceasta metoda, utilizand o solutie a ecuatiei omogene asociate sau o solutie fundamentala a ecuatiei date, reduce problema la o ecuatie integrala pe frontiera domeniului. Prin integrarea numerica a acestei ecuatii integrale pe frontiera, care pretinde o discretizare doar a frontierei, se obtin datele necesare ce vor permite, prin intermediul unei reprezentari integrale asociate ecuatiei date, calculul solutiei in orice punct al domeniului.

Ecuatia integrala pe frontiera incorporeaza conditiile la limita asociate pentru care nu se vor folosi relatii speciale.

Aceasta metoda se poate aplica si domeniilor infinite, conditiile la limita fiind inglobate in ecuatia integrala respectiva.

Daca ar fi sa comparam MEF cu MEFr sub aspectul timpului de calculator am constata ca ele sunt de acelasi ordin de marime. MEFr se dovedeste avantajoasa prin urmatoarele proprietati:

rezultatele sunt bune chiar si pentru un numar mic de noduri pe frontiera;

metoda este aplicabila fara modificari, atat pentru probleme interioare cat si pentru probleme exterioare (domenii nemarginite);

reprezentarea integrala a solutiilor in interiorul domeniului permite diferentierea analitica a acestor solutii;

adesea solutia ecuatiei integrale pe frontiera este legata de anumite marimi fizice de deosebit interes care vor fi deci implicit calculate.

Principalul dezavantaj al metodelor cu elemente finite pe frontiera consta in aceea ca trebuie cunoscute solutiile fundamentale ale problemei abordate. Aceasta puternica restrictie reduce substantial campul de aplicare al acestei metode.

Metodele cu elemente finite (interioare) pot fi aplicate in schimb oricaror probleme care accepta o formulare variationala chiar mai putin riguroasa.

Comparand aceste doua metode sub aspectul implementarii lor, vom observa ca MEFr, in cazul in care nu se cupleaza cu MEF, nu necesita algoritmi pentru triangulatia domeniului si nu se pune practic problema asamblarii. Matricea sistemului final, in cazul folosirii MEFr chiar pentru probleme ce contin operatori foarte buni (probleme de teoria potentialului) nu mai are proprietatile acestora, fiind niste matrice oarecare. De aici necesitatea de a lucra cu matricea intreaga, cu toate avantajele inerente.

Odata aplicabila MEFr pentru o anumita problema, aceasta metoda este mult mai flexibila decat MEF, si doar prin faptul ca se pot utiliza domenii infinite, cu unghiuri concave, cu taieturi etc., pe care sansa folosirii cu bune rezultate a MEF este practic nula.

q      Discretizarea spatiala

Discretizarea geometrica trebuie sa tina cont de numeroase imperative. Discretizarea spatiala, in celule, elemente, regiuni, depinde de schema de integrare spatiala utilizata. De exemplu, pentru elemente finite, variatia spatiala a presiunii sau inaltimii piezometrice este reprezentata cu ajutorul functiilor de interpolare si necunoscutele nodale reprezinta necunoscutele problemei discretizate. Cu cat pasii de discretizare sunt mai mici, cu atat precizia de calcul va fi mai mare.

Reteaua este reprezentarea domeniului studiat printr-un ansamblu de celule (diferente finite), de elemente (elemente finite) sau regiuni (elemente de frontiera sau elemente analitice). Marimea lor este aleasa in functie de eterogenitatea mediului, de complexitatea frontierelor, de densitatea masuratorilor disponibile, de precizia dorita precum si de contingentele informatice (marimea sistemului, timpul de calcul).

In metoda diferentelor finite discretizarea se realizeaza prin celule sau blocuri rectangulare (2D) sau paralelipipedice (3D); intr-un model se poate utiliza un singur tip de celule.

Metoda elementelor de frontiera si elementelor analitice presupun ca eterogenitatea domeniului este relativ restransa deoarece solutiile continue si analitice sunt impuse in diferitele regiuni discretizate.

Metoda elementelor finite este metoda cea mai buna si cea mai utilizata, fiind adaptata la reprezentarea domeniului de eterogenitate mare in 3D, elementele propuse avand forme diferite si putand fi deformate cu usurinta.

Discretizarea in celule sau blocuri pentru metoda diferentelor finite

In hidrogeologie, metoda diferentelor finite este limitata la utilizarea celulelor rectangulare (2D) sau paralelipipedice (3D). Pentru domenii de dimensiuni foarte mari si putin afectate de eterogenitati locale, metoda diferentelor finite este aplicata foarte des cu succes.

Retelele utilizate sunt, de obicei, aliniate pe sisteme de coordonate ortogonale, carteziene, cilindrice, antrenand urmatoarele inconveniente:

este dificila discretizarea foarte fina a unei zone fara generarea unei multitudini de alte blocuri in zonele unde aceasta nu este necesara;

nu este permisa combinarea retelelor de diferite tipuri

este dificila alegerea unei retele a carei orientare nu provoaca un efect de anizotropie.

Aziz si Palagi (1991)[5] propun una dintre primele retele utilizate in diferente finite de Tyson si Weber (1964) compuse din poligoanele Voronoї (1908), similare celor din metoda Theissen (utilizata in hidrologie pentru calculul precipitatiilor). Ei generalizeaza aceasta aproximare pentru utilizarea poligoanelor de diferite forme.

Fig. nr. 1.8 Retea in care s-au utilizat poligoane Voronoï de diferite tipuri: cilindrice, hexagonale, carteziene hibride si hexagonale hibride (dupa Aziz si Palagi, 1991)

Discretizarea in elemente pentru metoda elementelor finite

Metoda elementelor finite se caracterizeaza printr-o gama foarte larga de elemente (cu mare flexibilitate a formei si marimii lor) ceea ce permite considerarea unui numar mare de situatii particulare ce pot fi intalnite. Exemple de diferite elemente finite sunt prezentate in figura 1.9 [5].

Fig. nr. 1.9 Diverse elemente finite cu 1, 2 sau 3 dimensiuni

Discretizarea in regiuni pentru metoda elementelor de frontiera si elementelor analitice

Metoda elementelor de frontiera se bazeaza pe discretizarea frontierelor domeniului caruia se aplica modelarea respectiva. Se discretizeaza suprafete cand se realizeaza o modelare 3D si curbe cand problema se trateaza in 2D. Valorile calculate ale variabilei variaza in mod continuu in interiorul regiunilor si toate aproximarile ale geometriei, eterogenitatii domeniului trebuie sa intervina asupra frontierelor acestor regiuni. Fiecare regiune trebuie sa fie omogena. Astfel daca eterogenitatea domeniului este mare, micile regiuni discretizate apar virtual ca o retea de elemente finite.

Metoda elementelor de frontiera permite discretizarea in mod egal a domeniilor pentru urmatoarele cazuri:

probleme la care conditiile la limita sunt impuse la infinit in raport cu zona solicitarii. Acest tip de problema poate fi intalnita destul de frecvent in modelarea acviferelor regionale.

probleme ce contin regiuni semi-infinite, omogene si care nu sunt supuse solicitarilor.

Trebuie subliniata abordarea foarte rara, in literatura de specialitate, a exemplelor referitoare la simularea curgerilor apei in mediul poros saturat, la o scara regionala, prin metoda elementelor de frontiera.

Metoda elementelor analitice utilizeaza solutii analitice valabile pentru fiecare regiune, urmand a le suprapune. Aceste regiuni trebuie sa fie omogene si formele frontierelor trebuie sa fie regulate. Discretizarea consta in delimitarea zonelor ce indeplinesc aceste conditii.

O eterogenitate importanta a domeniului sau chiar iregularitate a sa este dificil de realizat discretizarea si conduce la inaplicabilitatea acestei metode. Ca si metoda elementelor de frontiera, metoda elementelor analitice se aplica foarte bine in particular unui domeniu semi-infinit sau cu frontiere infinite.

q      Discretizare temporala

Pentru a rezolva o problema in regim tranzitoriu in timp, este necesar a se realiza o discretizare temporala, in sensul ca solutia problemei sa fie calculata intr-un numar finit de momente alese de utilizator. Intervalele intre aceste momente sunt denumite pasi de timp. Alegerea pasilor de timp se va face in functie de:

precizia in timp a datelor relative solicitarilor;

pentru calcule previzionale, pasii de timp alesi depind de precizia in timp, dorita pentru aceste previziuni;

pasii de timp trebuie alesi respectand criteriile numerice referitoare la precizie, stabilitate si convergenta solutiei;

pasii de timp nu trebuie sa fie alesi foarte mici deoarece creste spatiul de memorie ocupat de fisierele de iesire si se majoreaza, in general, numarul total al rezolvarilor sistemului de ecuatii.

Aceste criterii variaza de la o metoda numerica la alta si de la o schema de integrare temporala la alta.