MODELAREA MATEMATICA IN HIDROGEOLOGIE

MODELAREA MATEMATICA IN HIDROGEOLOGIE

Curgerea subterana constituie partea ascunsa a ciclului hidrologic, motiv pentru care anumite caracteristici, masurabile numai punctual, raman uneori incerte. Studiul curgerii apelor subterane si precum si resursele existente nu pot fi neglijate in gestiunea cantitativa si calitativa a apelor.

Miscarea apei in subteran este foarte lenta in raport cu vitezele de curgere ale apelor de suprafata, ceea ce implica un timp lung de sejur in subsol. Costurile de extractie a apelor din straturile acvifere sunt mult mai ridicate decat in cazul unei simple prelevari din apele de suprafata. Totusi exploatarea apelor subterane ofera unele avantaje:

o protectie mai buna impotriva poluarii;

o temperatura relativ constanta;

distante mici intre sursa si utilizator.

O exploatare optima a resurselor subterane implica o cunoastere prealabila a conditiilor hidrologice pentru calculul bilantului hidrologic, informatiile hidrogeologice fiind furnizate prin incercari, in numar limitat, de pompaj, trasaj si piezometre.

Cea mai buna modalitate de a profita de toate datele disponibile, referitoare la straturile acvifere, este de a le combina cu legile fizice corespunzatoare (exprimate prin ecuatii matematice) pentru a forma un model matematic.

Pentru a obtine solutii simulate ale sistemului, cu semnificatii fizice foarte precise, este necesar a se tine cont de complexitatea rezervoarelor acvifere. Eterogenitatile, variatiile spatiale, anizotropiile terenului geologic conduc la complicatii care ingreuneaza realizarea modelelor matematice in hidrogeologie.

Scara la care sunt reprezentate domeniul si procesele este de asemenea un factor de precizie care va determina aproximari permise sau nu in idealizarea domeniului si conceptualizarea sistemului.

Dezvoltarea informaticii permite realizarea de simulari foarte precise, tinand cont de eterogenitatile locale, neliniaritatile parametrilor, cuplajele intre procesele simulate, etc.

In cazul unui studiu cantitativ, rolul unui model numeric este integrarea tuturor datelor disponibile, aproximarea logica si fiabila ale datelor inexistente si furnizarea unui raspuns global asupra tendintelor stratului acvifer in regim permanent sau tranzitoriu.

In prezent, gestiunea straturilor acvifere presupune atat studiul aspectelor cantitativ cat si calitative (probleme de poluare).

1.1. PRINCIPII ALE MODELARII

Motivatia inerenta a construirii unui model este necesitatea rezolvarii problemelor de interes practic: probleme de gestiune a situatiilor, implicand curgerea apei si transportul poluantului in zona saturata si / sau nesaturata.

In general, un model se poate defini ca o reprezentare simplificata a realitatii in vederea simularii raspunsului unui sistem la o serie de solicitari. Obiectivele obisnuite ale unei modelari pot fi urmatoarele:

realizarea previziunilor asupra comportamentului sistemului considerat, ca raspuns solicitarilor;

obtinerea informatiilor necesare respectarii anumitor recomandari sau legislatii;

obtinerea unei bune intelegeri a sistemului din punct de vedere hidrogeologic, chimic, geologic;

furnizarea informatiilor necesare realizarii noilor teste in situ (pompaje, trasaje).

1.1.1. ETAPE ALE MODELARII

Metodologia de construire a unui model se va aborda, considerand problemele de curgere si transport in mediul poros si / sau saturat. Obiectivele studiului trebuie sa fie foarte bine cunoscute; sa se aleaga criterii de decizie cum ar fi: costul, durata, calitatea apei infiltrate, cantitatea si / sau calitatea apei pompate.

Modelul conceptual

In realitate, sistemul real care urmeaza a fi modelat este foarte complex si complicat. Ca urmare, se pune intrebarea cum se poate simplifica descrierea sistemului real.

Conceptualizarea sau construirea modelului conceptual a problemei studiate consta in alegerea ipotezelor fundamentale. Aceste ipoteze reduc problema reala la o problema simplificata care trebuie acceptata in vederea atingerii obiectivelor propuse.

Ipotezele se pot referi la urmatoarele aspecte:

analiza in regim permanent sau tranzitoriu;

dimensiunea modelului: 1D, 2D vertical, 2D orizontal, 3D;

geometria frontierelor;

tipul materialelor geologice din care este compus domeniul;

omogenitate / eterogenitate, izotropie / anizotropie;

numarul si tipul fazelor si fluidelor;

proprietati fizice diferite ale fazelor fluide (densitate, vascozitate, compresibilitate);

compusi chimici implicati;

mecanisme de transport in interiorul domeniului;

posibilitatea schimbului de compusi chimici intre fazele constituente;

regimul de curgere al fluidelor implicate (laminar, turbulent);

conditii izoterme / neizoterme (eventual influenta lor asupra proprietatilor fluidelor si solidului);

prezenta / absenta surselor sau disparitia fluidelor sau poluantilor in interiorul domeniului, repartitia lor spatiala si variatia temporala;

variabilele de stare considerate, volume sau suprafete pentru care se aleg valori medii sau echivalente;

procesele chimice, fizice sau biologice;

conditii de frontiera ale domeniului pentru curgere si transport;

conditii initiale in interiorul domeniului.

Buna selectie a ipotezelor acceptabile pentru fiecare caz specific este foarte importanta la interpretarea rezultatelor obtinute cu ajutorul modelului.

Daca se simplifica prea mult, modelul nu va furniza informatiile dorite; daca se fac prea putine ipoteze simplificatoare, nu vom dispune de toti parametrii necesari sau de mijloacele de rezolvare pentru obtinerea unui raspuns. Daca ipotezele nu sunt alese adecvat, se trunchiaza realitatea. Din nefericire, majoritatea greselilor de modelare se fac in aceasta etapa. Este recomandabil, ca etapa sa fie realizata de un hidrogeolog, bun cunoscator ale proceselor fizico-chimice ce au loc la curgerea si transportul fluidelor in mediul saturat.

Modelul matematic

A doua etapa consta in transcrierea modelului conceptual in modelul matematic prin ecuatii matematice. Modelul matematic va exista pornind de la definirea geometriei, ecuatiilor de bilant al cantitatilor de fluide considerate, ecuatiile de flux (fluxul se exprima functie de variabilele de stare), ecuatiile ce descriu proprietatile diferitelor fluide (dependenta densitatii si vascozitatii in functie de temperatura, presiune, concentratie), termenii de sursa si disparitie, conditii initiale si conditii la limita care descriu interactiunile domeniului studiat cu mediul inconjurator.

Modelul numeric

Modelul matematic trebuie rezolvat in functie de variabilele de stare pentru cazul studiat. In practica, nu se pot aplica metodele analitice datorita eterogenitatii (repartitia spatiala ale proprietatilor relative la curgere si transport), se aplica metodele numerice prezentate anterior.

Verificarea codului

Metodele de rezolvare introduc intotdeauna erori numerice in relatia cu discretizarea spatio-temporala aleasa. In general, aceste erori pot fi reduse semnificativ printr-o discretizare adecvata, astfel incat ele sa fie neglijate in raport cu alte aproximari.

Trebuie, de asemenea, controlata calitatea raspunsurilor furnizate de modelul numeric pentru unele probleme clasice, rezolvate prin alte metode (analitice sau numerice). Modelul numeric trebuie sa treaca in mod pozitiv toate testele unei proceduri ce asigura calitatea: este verificarea codului.

Validarea modelului

Aceasta operatie consta in verificarea rezultatelor modelului care trebuie sa descrie foarte bine realitatea. Pentru validari la scara in situ, se integreaza adesea aceasta etapa calibrarii.

Estimarea parametrilor - Calibrarea

In majoritatea studiilor de caz, cunoasterea cantitativa a proprietatilor acviferelor este o problema majora in elaborarea modelului, datorita insuficientei cunoasteri cantitative ale geologiei, hidrogeologiei si parametrilor dispersivi ai mediului studiat. In cele mai fericite cazuri, valorile parametrilor sunt cunoscute numai in anumite zone locale si hidrogeologul trebuie sa estimeze valorile parametrilor pentru celelalte zone. De asemenea un rol important il are efectul de scara atunci cand un parametru este masurat la o anumita scara si in model trebuie utilizat la un nivel de scara superioara.

Aceste constatari demonstreaza obligativitatea verificarii daca rezultatele obtinute cu ajutorul modelului sunt bune sau nu in raport cu realitatea.

Acest procedeu se numeste calibrare: ea consta in minimizarea diferentei dintre masuratori si rezultate prin ajustarea datelor de intrare pana cand modelul reproduce conditiile de camp masurate la un nivel de precizie acceptabil. Comparatia dintre raspunsurile masurate si calculate nu vor fi niciodata identice deoarece modelul nu este decat o aproximare a sistemului real realizata prin considerarea unor ipoteze simplificatoare de lucru. Pentru minimizarea diferentelor, trebuie ales un criteriu astfel incat ajustarea sa fie cat mai eficace.

Modalitatea de calibrarea cea mai utilizata consta in ajustarea rezultatelor si masuratorilor fara un alt mijloc matematic si se bazeaza pe metoda incercarilor si erorilor.

Exploatarea modelului - Simulari

Dupa etapa de calibrare, modelul este pregatit pentru diferite simulari. Modelul are capacitatea de a calcula valorile extrapolate, rezultatele obtinute constituind un ajutor precis.

Dintre aplicatiile posibile ale modelelor de curgere putem cita (Jensen, 1987):

a)     studii de bilant:

determinarea tendintelor regionale de curgere in rezervoarele subterane si interactiunile acestora cu apele de suprafata, alte rezervoare, puturi, etc.

b)     incercari de pompaj

determinarea perimetrelor de protectie;

previziuni ale modificarii pozitiei interfetei apa dulce si apa sarata;

c)     schimbari in realimentarea stratului:

efectele datorate urbanizarii;

previziuni ale schimbarilor rezultate din irigatii sau infiltratii provenite dintr-un canal nou;

analiza pe o perioada mare a influentelor provocate de clima asupra nivelelor piezometrice si distingerea efectelor datorate factorilor antropici;

d)     planificarea masuratorilor in situ

rationalizarea colectarii ulterioare de date prin realizarea masuratorilor cele mai necesare;

e)     gestiunea apelor subterane

planificarea ideala a exploatarii resurselor;

stocarea subterana sezoniera a apelor de suprafata;

Dintre aplicatiile posibile ale modelelor de curgere -transport putem cita (Jensen, 1987):

a)     contaminarea stratului acvifer de la o sursa punctuala:

determinarea conditiilor existente de contaminare;

determinarea concentratiilor;

previziuni in ceea ce priveste conditiile viitoare de contaminare;

identificarea locurilor pentru o eventuala descarcare.

b)     contaminarea stratului acvifer de la surse uniforme:

determinarea calitatii actuale a apei din straturi;

determinarea concentratiei apelor

c)     gestiunea calitatii apelor:

determinarea perimetrelor de protectie;

in anumite cazuri, identificarea strategiei de pompaj pentru evitarea intruziunii apelor sarate sau poluate.

Toate masurile de salvare sau prevenire impotriva poluarii trebuie precedata de o buna intelegere a conditiilor existente. Modelele matematice furnizeaza un mijloc de integrare a parametrilor specifici unei anumite probleme, fiind indispensabile pentru interpretarea si rezolvarea studiilor de caz.

SCHEMA GENERALA SI RAPORT

Construirea unui model matematic presupune parcurgerea tuturor etapelor date in schema generala din figura

Raportul final referitor la modelarea unui domeniu pentru o anumita problema (studiu de caz) trebuie sa contina urmatoarele informatii:

a)     Rezumat;

b)     Introducere: descrierea problemei, intrebari;

c)     Obiectivele modelarii;

d)     Ipoteze si modelul conceptual;

e)     Ecuatiile matematice ale modelului;

f)      Coeficientii si parametrii modelului;

g)     Cod, programul utilizat, dezvoltare numerica;

h)     Calibrarea si estimarea parametrilor;

i)      Simulari (incluzand si studiul de sensibilitate);

j)      Concluzii;

k)     Lista simbolurilor utilizate, referinte.

Fig. nr. 1.1 Dezvoltarea unui model numeric hidrogeologic (dupa Peck si altii, 1988)

q      Conditii la limita

Trebuie sa se distinga foarte clar, limitele fizice ale domeniului (unde au loc procesele) si limitele modelului construit pentru simulari. Din nefericire, ele sunt adesea distincte si trebuie sa ne asiguram ca frontierele impuse de model va crea acelasi efect ca si limitele naturale. Dupa identificarea acestor frontiere, trebuie ca eventualele diferente sa fie justificate conceptual, pentru a afirma ca limitele idealizate ale modelului nu influenteaza sau foarte putin solutia problemei.

Din punct de vedere matematic, pentru fiecare ecuatie de curgere rezolvata, se vor obtine o infinitate de solutii posibile. Solutia ce corespunde problemei studiate

In general, se disting urmatoarele tipuri de conditii impuse frontierelor:

conditii de presiune sau de potential impus;

conditii de flux sau debit impus;

conditii de debit dependent de potential;

conditii de suprafata

conditii de limita intre doua medii poroase diferite;

conditii de suprafata libera.

In cazul regimului tranzitoriu, pe langa aceste conditii la limita sunt necesare definirea conditiilor initiale ce se refera la valorile initiale ale variabilelor principale si ale tuturor parametrilor care intervin in legile constitutive ale modelului.

Conditii de presiune sau potential impus

Cunoscute sub numele de conditiile lui Dirichlet, ele constau in specificarea potentialului (sau presiunii) la aceste limite sau independent de fluxul schimbat.

Pentru inaltimea piezometrica, acest tip de conditie se exprima prin:

(1.1.)

unde f este o functie cunoscuta.

Conform relatiei (1.1.), aceasta inaltime piezometrica impusa poate varia in spatiu si timp. Specificarea eventualelor variatii este impusa de discretizarile spatiale si temporale.

In practica, aceste conditii la limita pot fi alese in urmatoarele cazuri:

la contactul intre un acvifer si apele de suprafata (rauri, lacuri);

cand liniile echipotentiale pot fi distinse (baraje);

in cazul modelarii unei zone restranse cuprinsa intr-un acvifer vast si cand fluxurile la frontierele acestei zone sunt necunoscute.

Fig. nr. 1.2. Limite cu potential impus

Conditii de flux sau debit impus

Cunoscute sub numele de conditii Neumann, ele constau in specificarea debitului la limitele modelului, independent de inaltimile piezometrice existente. Utilizand legea lui Darcy, gradientul normal impus la frontiera este: (1.2.)

Daca limita corespunde unei linii de curent, fluxul specific este nul (conditia de frontiera impermeabila): (1.3.)

Daca fluxul nenul este specificat, conditia de debit se poate scrie:

(1.4.)

Frontierele impermeabile pot fi adesea utilizate cand se constata, in valorile coeficientilor de permeabilitate, diferente superioare valorii 10⁵. Un mediu poros natural nu este niciodata impermeabil in totalitate in sensul strict al termenului.

O frontiera impermeabila poate fi utilizata la limita bazinului hidrogeologic a stratului studiat (fig. nr. 1.3) cand curgerea nu are loc perpendicular la aceasta limita.

Fig. nr. 1.3. Limite cu flux impus

Conditii de debit ce depinde de un potential

In anumite situatii, trebuie reprezentat un flux (de-a lungul frontierei) care variaza functie de variatiile inaltimii piezometrice.

Exemplul tip este fluxul ce traverseaza un strat semipermeabil, provenit fie dintr-un acvifer superior, fie din apele de suprafata (fig. nr. 1.4). Diferenta de potential induce un flux si utilizand legea lui Darcy, se obtine urmatoarea relatie:

(1.5.)

unde k si b' sunt coeficienti de permeabilitate si grosimi ale stratului semipermeabil.

Pentru acviferul simulat, se obtine:

sau (1.6.)

Se obtine o conditie mixta (exprimata functie de si h), denumita conditia Fourier sau mai este inca intalnita sub denumirea de conditia Cauchy.

Fig. nr. 1.4. Conditie mixta unde debitul depinde de potential

Limita intre doua medii poroase omogene

Schimbarile foarte mari ale valorilor parametrilor corespunzatori unei limite intre doua medii poroase (presupuse omogene) este in contradictie cu procedeul omogenizarii la scara macroscopica. Aceste limite nu constituie frontiere externe ale modelului, de ele tinandu-se cont, de obicei, la discretizarea geometrica a modelului.

Pentru a asigura continuitatea sau compatibilitatea debitelor de-a lungul acestor limite, avem:

(1.7.)

unde n este directia normalei la frontiera, in cazul in care mediul poros este izotrop.

Pentru continuitatea inaltimilor piezometrice, avem: h₁=h₂ (1.8.)

Conditii de suprafata libera

Pentru stabilirea conditiilor corespunzatoare unei suprafete libere, trebuie studiata interfata apa aer in mediul poros. Suprafata pentru care presiunea apei macroscopice este nula (presiunea atmosferica) este denumita suprafata libera a acviferului.

Schematizarea conditiilor de margine

a.      Acvifere cu nivel liber:

Fig. nr. 1.5.

- profil de depresiune (p_C = 0, H_C = Z_C, );

- zona de izvorare (H_B=Z_B);

- apa capilara mobila (H_D=Z_D-h_C);

- nivelul apei din rau (H_A=h^A_P+Z_A=const.);

- limita laterala impermeabila (Q_n = 0, );

- pat semipermeabil (H_E=h^E_P+Z_E); debitul de alimentare prin drenanta, pe unitatea de suprafata este W_D=k'DH/M'=k_DDH (k_D= k'/M' - coeficient de drenanta).

b.     Acvifere sub presiune:

- profil piezometric (H_G=h^G_P);

- pat impermeabil (Q_n = 0, );

- acoperis semipermeabil (H_F=H_G); debitul pierdut prin drenanta pe unitatea de suprafata, este W_D=k'DH/M'=k_DDH;

- acoperis impermeabil (H_F=H_G, Q_n = 0, );

- directia drenantei.

Acviferele sub presiune sunt limitate de doua tipuri de suprafete:

a.      Suprafete impermeabile: culcusul si acoperisul stratului permeabil si eventualele limite laterale (schimbari de facies, accidente tectonice, etc.). Impermeabilitatea acestor suprafete impune conditia de egalare cu zero a debitelor care le traverseaza, deci componenta vitezei de filtrare normala pe acesta este nula:

(1.9.)

deci: (1.10.)

ceea ce inseamna ca liniile echipotentiale (H=const.) intersecteaza suprafetele impermeabile sub un unghi drept, adica suprafete impermeabile se identifica cu liniile de curent.

b.     Suprafete filtrante (suprafetele de aflorare ale stratului permeabil, prin care se realizeaza alimentarea acestuia) sunt suprafete orizontale ale acviferului, in echilibru cu presiunea atmosferica, cu sarcina piezometrica constanta):

H = z + h_P = const. (1.11.)

In cazul acviferelor cu dezvoltare mare in plan orizontal, suprafetele filtrante (suprafete echipotentiale limita) se considera ca se gasesc la o distanta infinit de mare.

Acviferele cu nivel liber se caracterizeaza prin prezenta unei suprafete libere, in echilibru cu presiunea atmosferica, care le limiteaza in partea superioara. In regim stationar (permanent), pozitia suprafetei libere se considera constanta. Imobilitatea acesteia implica egalarea cu zero a debitului care o traverseaza. Rezulta ca profilul de depresiune este o linie de curent. Pe de alta parte, deoarece pe suprafata libera moleculele de apa in miscare sunt in echilibru cu presiunea atmosferica (nula in sistemul relativ p_atm=0) - si neglijand efectul capilaritatii rezulta conditia: H=Z.

De fapt, in majoritatea situatiilor, delimitarea in partea superioara a acviferelor cu nivel liber este facuta de suprafata zonei cu apa capilara mobila. Coloana de apa de inaltime h_C este sustinuta de tensiunea superficiala care se dezvolta pe circumferinta meniscului care se formeaza la contactul intre apa si peretele tubului capilar. Deci, deasupra curbei de depresiune se dezvolta pe inaltimea h_C zona apei capilare mobile, la partea superioara a acesteia presiunea capilara fiind . Rezulta ca la suprafata zonei capilare, se obtin urmatoarele conditii:

si (1.12.)

Suprafata zonei de apa capilara mobila are doua pozitii extreme: una de maxim, daca se stabilizeaza dupa coborarea nivelului apelor subterane, si una de minim dupa ridicarea nivelului acestora.

Din cele prezentate au rezultat conditiile de margine pentru limitele impermeabile (k=0) si pentru cele cu potential dat (k=∞). Limitele cu potential dat sunt malurile (sub oglinda apei) si fundul lacurilor sau raurilor.

Conditii de margine particulare

Un caz particular de suprafata libera (de depresiune) il constituie zona de izvorare (fig. nr. 1.6)

Fig. nr.1.6

Liniile de curent 3, 4, 5 si 6 trebuie sa traverseze linia CD (care este echipotentiala) sub unghiuri drepte. Daca am admite ca profilul de depresiune (care este o linie de curent) ar ajunge in punctul C, ar insemna ca in acest punct s-ar intalni doua linii de curent, ceea ce echivaleaza cu atingerea unei viteze de filtrare infinit de mare. Acest lucru nefiind fizic posibil, se deduce ca profilul de depresiune trebuie sa intersecteze suprafata terenului intr-un punct plasat deasupra lui C, de exemplu B, suprafata BC numindu-se zona de izvorare, de prelingere sau exfiltrare. Segmentul de taluz BC nu este linie de curent si nici linie echipotentiala, dar moleculele de apa se misca pe aceasta suprafata in echilibru cu presiunea atmosferica (p_a=0, deci H=z). Viteza de filtrare in lungul profilului de depresiune este , atingand valoarea maxima in punctul B (in care a are valoarea identica cu unghiul de taluz). Rezulta ca in zona de izvorare vitezele sunt maxime, impunandu-se masuri pentru combaterea fenomenelor de antrenare hidrodinamica a terenurilor permeabile granulare. Deoarece precizarea zonei de izvorare se face cu aproximatie, in rezolvarea problemelor practice de acest tip se intampina dificultati suplimentare.

In situatia cand un acvifer cu nivel liber este alimentat prin infiltrare (din precipitatii, reteaua de irigatii, rauri si lacuri, fig. , b si c), profilul de depresiune nu este o linie de curent, chiar in conditiile unui regim stationar (modulul de infiltrare are o valoare constanta, pentru un anumit interval de timp)