Conversia analog numerica a imaginilor - Esantionarea imaginilor, Cuantizarea imaginilor

REPREZENTAREA MATEMATICA A IMAGINILOR NUMERICE

Conversia analog numerica a imaginilor

Orice imagine cu dimensiuni finite din lumea reala contine o infinitate de puncte. Pentru a putea fi reprezentata in forma numerica si stocata in memoria unui calculator, este necesar un proces de conversie analog/digitala. In esenta, conversia analog/digitala implica doua operatii distincte: esantionarea imaginii si cuantizarea ei.

1 Esantionarea imaginilor

In contextul imaginilor, esantionarea asigura prelevarea informatiei referitoare la intensitatea sau culoarea imaginii in puncte situate intr-o retea cu pas constant, numita si grila de esantionare (Fig. 1).

Fig. Grila de esantionare rectangulara, uniforma

Reconstructia exacta a imaginii originale pe baza esantioanelor prelevate este posibila teoretic daca imaginea este un semnal de banda limitata si pasul de esantionare este mai mic decit o limita stabilita de teorema esantionarii.

	Pasul critic de esantionare este invers proportional cu dublul benzii de frecventa.

De notat ca imaginile din lumea reala nu sunt semnale de banda limitata. Pentru limitarea benzii este necesara utilizarea unui filtru de tip trece jos inainte de esantionare sau concomitent cu acest proces. In literatura, acest filtru este denumit curent "anti alias", iar erorile pricinuite de neutilizarea unei asemenea filtrari "erori alias". Asa cum se ilustreaza in exemplul unidimensional din Figura 2, erorile alias pot produce in unele situatii o alterare semnificativa a rezultatului esantionarii.

Fig.  Exemplu de eroare alias la esantionarea unui semnal sinusoidal, de perioada spatiala l, cu nerespectarea conditiei  Dx < 1/2l

Imaginile folosite curent in prelucrare contin intre 64 64 esantioane (pixeli) si 2048 2048 esantioane. In Figura 3a), este redata o imagine in formatul 256 256 pixeli, in timp ce versiunea subesantionata la 64 64 de pixeli este redata in Figura 3b).  Inainte de reesantionare, imaginea a fost filtrata cu un filtru anti alias (trece-jos).

Numarul de pixeli de pe linie stabileste rezolutia pe orizontala, in timp ce numarul de pixeli de pe coloana stabileste rezolutia verticala a imaginii. In optica, rezolutia se masoara in inversul unei unitati de grad. Acuitatea vizuala corespunde unui unghi de aproximativ 2 minute. Detalii ce se proiecteaza pe pupila sub un unghi mai mic decat acesta nu mai sunt percepute distinct.

Fig. 3. a) imaginea originala, de 256 256 pixeli; b) imaginea subesantionata la 64 64 pixeli.

2 Cuantizarea imaginilor

Imaginile reale (analogice) contin o infinitate de nuante de gri sau culori. Avand in vedere faptul ca esantioanele imaginii sunt reprezentate dupa conversie folosind un numar finit de biti, rezulta si un numar finit de niveluri posibile.

	Marimile care pot lua un numar finit de valori se numesc cuantizate, iar operatia prin care o marime continua se transforma intr-una cuantizata se numeste cuantizare.

Imaginea din Fig. 3 este reprezentata pe 8 biti, ceea ce corespunde la un numar maxim de 2⁸ = 256 niveluri de gri. In Fig. 4, aceeasi imagine este reprezentata succesiv pe 32, 16, 8, 4 si 2 niveluri de gri, folosind cuantizare cu pas constant, numita cuantizare uniforma. Se poate remarca la aceste imagini aparitia unor contururi false (fenomen de conturare) in zone de imagine netede, cu variatii lente ale luminantei. Fenomenul de conturare este o consecinta a erorilor introduse de procesul de cuantizare. Conturarea este nu este perceptibila in imagini redate pe 128 sau 64 de niveloride gri, motiv pentru care acele imagini nu au fost incluse in figura. Practic, erorile sau zgomotul de cuantizare din acele imagini raman imperceptibile ochiului. Cu toate acestea, zgomotul de cuantizare produce efecte nedorite asupra unor operatori de prelucrare sensibili la zgomot, cum sunt cei de derivare, folositi la extragerea contururilor.

Cuantizarea uniforma nu asigura o reprezentare optima, cu eroare medie patratica minima, decat pentru cazul particular in care nivelurile de gri au o distributie uniforma. Presupunand ca se doreste cuantizarea unei variabile f pe un numar specificat, de Q niveluri de cuantizare, legea de cuantizare.

Fig. 4. Cuantizare uniforma.  Imagine cu: a) 32 niveluri de gri; b) 16 niveluri de gri; c) 8 niveluri de gri; d) 4 niveluri de gri; e) 2 niveluri de gri.

O lege de cuantizare poate fi specificata prin precizarea subdomeniilor marimii de intrare, f, care se transforma in fiecare nivel de iesire, r_i, numit nivel de reconstrictie. Subdomeniile sunt delimitate de niveluri de decizie, d_k (vezi Figura 5).

Deoarece sistemele de achizitie a imaginilor sunt proiectate de cele mai multe ori pentru a servi aplicatii diverse, distributia nivelurilor de gri la conversia analog numerica este in general necunoscuta. In medie se poate considera uniforma. In plus, sistemele de achizitie contemporane asigura o cuantizare suficient de fina pentru a reduce importanta problemei minimizarii erorilor de cuantizare. Totusi, in numeroase  situatii, optimizarea procesului de cuantizere a imaginilor ramane de actualitate. Este cazul compresiei imaginilor sau al tiparirii imaginilor color folosind o paleta redusa de culori.

Fig. 5. Exemplu de lege de cuantizare

Uzual distributia nivelurilor de gri in imagine este neuniforma. Considerand numarul nivelurilor de cuantizare, Q, fix se pune problema determinarii nivelurilor de decizie si a nivelurilor de cuantizare, astfel incat un anumit criteriu de optimizare sa fie realizat. Se presupune cunoscuta distributia nivelurilor degri (histograma nivelurilor de gri). Cel mai frecvent se impune minimizarea erorii medii patratice, EMP. Se demonstreaza [Max 1960] ca solutia indeplineste conditiile urmatoare:

	1.     Nivelurile de reconstructie sunt valorile medii (centroizii) variabilei cuantizate in interiorul fiecarui interval determinat de nivelurile de decizie. 2.     Nivelurile de decizie sunt situate la distante egale de nivelurile de reconstructie ale intervalelor adiacente.

Prima conditie stabileste ca fiecare interval este reprezentat (reconstruit) prin valoarea medie a nivelului de gri in interiorul sau. De observat ca valoarea medie coincide cu mijlocul intervalului numai daca variabila este distribuita uniform in interiorul intervalului respectiv. Notand cu p_i probabilitatea de aparitie a nivelului f_i si cu I_k intervalul reconstruit prin r_k, avem expresia valorii medii:

	(2.1)

Conditia a doua plaseaza nivelurile de decizie la jumatatea distantei dintre doua niveluri de reconstructie, ceea ce asigura alocarea fiecarui nivel de intrare la nivelul de iesire cel mai apropiat.

Solutia optima poate fi obtinuta prin metode numerice. Pentru unele legi de distributie mai frecvent intalnite in prelucrarea semnalelor (Gauss, Laplace etc.), rezultatele cuantizarii optimale sunt tabelate si pot fi consultate in literatura de specialitate. Pentru legi mai generale, se pot folosi cu succes algoritmi de invatare nesupervizata (de exemplul algoritmul mediilor).