Creeaza.com - informatii profesionale despre
TehnologieAfaceriScoalaDidacticaLegislatieFamilie


Cunostinta va deschide lumea intelepciunii - Referate profesionale unice
Acasa » scoala » matematica » statistica
DISTRIBUTIILE CLASICE - BAZA VERIFICARII IPOTEZELOR STATISTICE APLICABILE IN COMERT - TURISM - SERVICII

DISTRIBUTIILE CLASICE - BAZA VERIFICARII IPOTEZELOR STATISTICE APLICABILE IN COMERT - TURISM - SERVICII


Distributiile clasice -

baza verificarii ipotezelor statistice aplicabile in

comert - turism - servicii

Caracteristicile ipotezelor statistice

Actualmente, cercetarea stintiifica aplicata se extinde in toate domeniile de activitate, inclusiv in sfera economicului.

Inferenta statistica

Aplicabilitatea practica a cercetarii stiintifice este precedata de o treapta esentiala care vizeaza stabilirea si confirmarea sau infirmarea unor ipoteze ce cuprind anumite aspecte importante necesar a fi studiate in legatura cu procesul sau fenomenul analizat.



Aceasta treapta include metode denumite inferentiale deoarece, prin intermediul acestora, se estimeaza caracteristicile unor colectivitati statistice.

Definitia 1. Inferenta este o operatiea logica de trecere de la un enunt la altul si in care ultimul enunt este dedus din primul.

Din punctul de vedere al acestei lucrari enunturile sunt reprezentate prin ipoteze statistice, iar inferenta este reprezentata de procesul de extindere la nivelul colectivitatii generale a unor rezultate obtinute dintr-o subcolectivitate reprezentaiva (figura 1).

Subcolectivitatea reprezentativa este rezultatul unor observatii efectuate prin aplicarea unui procedeu de extragere adecvat cerintelor.

Definitia 2. Prin ipoteza vom intelege o presupunere cu caracter provizoriu, formulata pe baza unor date exterimentale existente la un moment dat

Ipoteza statistica este reflectata printr-o presupunere enuntata pe baza unei actiuni desfasurate in cadrul unui fenomen sau proces, care ulterior este supusa unui proces de verificare statistica.

Practic, ipoteza statistica vieaza o caracteristica a populatiei (colectivitatii statistice) pe care, pe baza datelor din esantionul reprezentativ si a unor metode specifice, este valiata (adoptata) sau nu (respinsa).

SHAPE * MERGEFORMAT

Subcolecti

vitate

(esantion

reprezentativ

Colectivitate statistica

Estimare

Inductie

Particular

General

Extindere

Rezultate

I N F E R E N T A

Extragere subpopulatie

Figura 1. Procesul inferentei statistice

Metodologia testarii ipotezelor statistice

Testarea ipotezelor statistice reprezinta o componenta a influentei prin circuitul pe care-l descrie ca urmare a aplicarii metodologiei (figura 2.)

SHAPE * MERGEFORMAT

Verificare

IPOTEZE

Esantion cu date experimentale

Colectivitate generala

Stabilire

IPOTEZE

METODOLOGIA

TESTARII
Figura 2. Circuitul metodologiei testarii

In general, presupunerea vizeaza un parametru (medie, dispersie , etc.) sau o lege de repartitie a unor variabile aleatoare.

Testarea are in vedere urmatoarele aspecte:

se formeaza ipotezele : H0 (nula), H1 (alternativa).

se stabileste si valorile critice corespunzatoare tipului de test aplicat.

se precizeaza regiunea critica sau de respingere ( ),in functie de tipul testului;

se aplica testul.

se ia o decizie in functie de modul cum se incadreaza rezultatul, in interiorul sau exteriorul regiunii de respingere.

Elementele teoretice care intervin in testarea ipotezelor statistice sunt:

ipotezele: nula si alternativa;

limita de semnificatie si valori critice;

regiune de respingere (critica);

statistica testului

verificarea ipotezei

Ipoteza nula si ipoteza alternativa

Cele doua ipoteze (nula si alternativa) formeaza o perche nelipsita in cadrul metodologiei testarii.

Definitia Se numeste ipoteza nula si se noteaza cu acea presupunere prin care se formuleaza supozitia conform careia nu exista diferenta semnificativa intre parametrii comparati (primeaza caracterul intamplator).

Alternativa la , apare ca o alta alternativa care poate fi adevarata in conditiile respingerii ipotezei nule.

Definitia 4. Se numeste ipoteza alternativa si se noteaza cu presupunerea conform careia exista o diferenta semnificativa (cazuri speciale: mai mare sau mai mica) intre parametri comparati reprezinta ipoteza alternativa.

Ambele ipoteze trebuiesc stabilite initial, ca prime etape in cadrul metodologiei testarii fiind considerate mutual exhaustive ca urmare a neposibilitatii impliniri simultane a acestora, dar cu realizarea obligatorie a uneia din ele (respingerea ipotezei nule conduce la stabilirea ipotezei alternative ca fiind adevarate sau daca ipoteza nula este adevarata, atunci ipoteza alternativa se respinge).

Observatie: Atunci cand se resinge ipoteza H0 a se evita exprimarea "se accepta" ipoteza nula H1 .

Limita de semnificatie si valori critice

Metodologia testarii are in vedere doua evenimente compuse:

evenimentul realizat ( ) - care include si celelalte evenimente auxiliare si conduce la respingerea ipotezei H0

evenimentul contrar celui realizat ( ) - evenimentul care evidentiaza ihndeplinirea ipotezei nule H0.

Principiile esentiale pentru realizarea celor doua evenimente sunt:

probabilitatea evenimentului realizat ( ) sub H0 este reprezentata de evenimentele elementare care sunt egal probabile doar in conditiile ipotezelor nule si se poate determina numindu-se probabilitate critica

(1)

probabiliatea evenimentului realizat ( ) sub H1 este mai mare decat sub H0, dar nu se poate determina decat functia de celealta.

Probabilitatea critica este interpretata a fi mica sau nu prea "mica" in raport cu un anumit nivel denumit prag sau limita de semnificatie notat cu [2].

Regula de decizie se stabileste in functie de probabilitatea critica ( ) astfel:

daca este mai "mica" de ), atunci H0 se respinge (evenimentul realizat se considera neasteptat in contextul ipotezei H0, in timp ce ipoteza H1 ii asigura o probabilitate mai mare de aspiratie).

Daca este mai "mare" de , atunci H0 nu se respinge (evenimentul realizat se considera asteptat sa se intample).

Limita de semnificatie poate lua valori cuprinse intre 0,5 si 0,0001 (cele mai utilizate fiind 0,05 si 0,01), acestea fiind stabilite teoretic.

Daca = 0,05 sau altfel spus = 5% inseamna ca riscul de respingere al ipotezei nule H0 este de 5% (cand respingem ipoteza nula H0 este posibil sa se greseasca in proportie de 5%).

Limita de semnificatie ( ) are un rol esential in cadrul testarii ipotezelor statistice reprezentand acel prag sau linie care separa rezultatele ce resping ipoteza nula de celelalte care nu resping.

In acest context apare acea regiune de respingere (regiunea critica) notata in care sunt incluse rezultatele ce resping ipoteza nula.

Definitia 5. Punctele care determina regiunea de respingere se numesc valori critice ale testului si sunt reprezentate de Quanitele distributiei utilizate in alicarea respectivului test.

Valorile critice sunt valori tabelare sau teoretice ale testelor ( , , , , etc), care se preiau din tabele teoretice prezentate in Anexele 1-

Regiunea de respingere (critica):

Valoarea critica delimiteaza in cadrul repartitiei o regiune reprezentand regiunea critica.

Definitia 6. Regiunea critica, denumita si regiune de respingere, reprezentata de aceea arie din graficul de repartitie, in care ipoteza nula se respinge

Regiunea include probabilitatea de realizare a evenimentului alternativ, deci este adevarata ipoteza alternativa .

In procesul de decizie al unui test statistic se pot produce erori care apar sub doua forme (tabelul 1).

eroare de tip I. (de speta intai): se respinge ipoteza nula , desi ea este adevarata. Riscul producerii unei erori de tip I este .

eroare de tip II (de apeta a doua): nu se respinge ipoteza nula , desi ea este falsa. Riscul producerii unui tip de eroare este .

Tabelul 1. Erori in procesul decizional statistic

Decizia in test

Ipoteza

adevarata

falsa

Respingere

Eroare de tip I

Decizie precisa (1-p)

Acceptare

Decizie precisa (1- )

Eroare de tip II (risc )

Legatura dintre probabilitatile si este prezentata in figura

SHAPE * MERGEFORMAT

Figura 3 Legatura dintre probabilitatile si

Statistica testului

Definitia 7. Statistica testului reprezentata acea relatie ce prezinta intr-o forma matematica, tipul testului stabilit in raport cu cel al distributiilor statistice descrise de fenomenul sau procesul analizat.

Rezultatul obtinut ca urmare a aplicarii statistice a testului se numeste si valoarea calculata a testului (notata: , sau , sau , sau etc).

Testarea ipotezei

Verificarea ipotezei consta in compararea rezultatului obtinut prin aplicarea statisticii testului la valorile calculate cu valoarea critica si stabilirea deciziei finale ca find una din situatiile :

daca valoarea calculata intra in regiunea de respingere, atunci ipoteza nula se respinge (se considera adevarata ipoteza alternativa ).

daca valoarea calculata este in afara regiunii de respingere, atunci ipoteza nula este adevarata (se respinge ipoteza alternativa ).

Din punct de vedere teoretic, testarea ipotezelor statistice presupune parcurgerea unor etape ilustrate in figura 4.

Succint, aceste etape constau in:

se precizeaza ipoteza nula ( ) prin care se specifica: nu exista diferenta semnificativa intre parametrii comparati (medii, dispersii etc).

se stabileste ipoteza alternativa ( ): exista diferenta semnificativa intre parametrii comparati (medii, dispersii etc).

se precizeaza tipul testului statistic utilizat in raport cu datele aplicatiei,eventual si cu volumul esantionului si se construieste graficul.

in functie de nivelul de incredere ( ), se determina limita de semnificatie ( ), cu ajutorul careia se stabileste:

testul statistic tabelar sau teoretic, valoarea plasandu-se pe grafic;

regiunea de respingere ( ).

se calculeaza valoarea statistica a testului calculat, aplicandu-se relatia de calcul adecvata tipului testului utilizat, iar valoarea obtinuta se plaseaza pe grafic.

se compara valoarea testul statistic tabelar sau teoretic cu valoarea statistica a testului calculat si se stabileste daca rezultatul statistic al testului calculat intra sau nu in regiunea de respingere , luandu-se decizia adecvata situatiei.

SHAPE * MERGEFORMAT

Stabilirea ipotezelor

Ipoteza

Ipoteza

Alegerea

TIPULUI TESTULUI

Alegerea

limitei de semnificatie

STATISTICA TESTULUI

Regiunea

de respingere

Valoarea critica

Se respinge

Se accepta

NU

DA

Figura 4 Etapele testarii ipotezelor statistice

Tipuri de teste utilizate la testarea ipotezelor statistice

In functie de sensul abaterii inclusa in ipoteza alternativa apar trei tipuri de teste:

Test unilateral stanga

Test bilateral

Test unilateral dreapta

Testul unilateral stanga

Testul unilateral sanga are urmatoarele caracteristici:

- ipotezele testului sunt:

daca se compara doua medii ( si )

(2)

(3)

daca se compara doua dispersii ( si )

(4)

(5)

- Regiunea de respingere si valoarea critica sunt prezentate in figura 5

SHAPE * MERGEFORMAT

Figura 5 Valoarea critica si regiunea de respingere

pentru testul unilateral stanga

Testul bilateral

Pentru testul bilateral avem

ipotezele:

daca se compara doua medii ( si )

(6)

(7)

daca se compara doua dispersii ( si )

(8)

(9)

- Regiunea de respingere si valoarea critica sunt prezentate in figura 6

SHAPE * MERGEFORMAT

negativa

sau inversa

pozitiva

Figura 6. Valoarea critica si regiunea de respingere

pentru testul bilateral

Testul unilateral dreapta

Testul unilateral dreapta, se mai numeste si testul directional dreapta, si se poate descrie prin urmatoarele caracteristici:

- ipotezele testului sunt:

daca se compara doua medii ( si )

(10)

(11)

daca se compara doua dispersii ( si )

(12)

(13)

- Regiunea de respingere si valoarea critica sunt prezentate in figura 7

SHAPE * MERGEFORMAT

pozitiva

Figura 7. Valoarea critica si regiunea de respingere

pentru testul unilateral dreapta

Utilizarea repartitiei normale normate la testarea ipotezelor statistice

Aplicarea unui model teoretic conduce la obtinerea unor rezultate care, desi sunt orientative, totusi au un grad ridicat de utilitate.

In acest context se prezinta si variatia normala normata ce reprezinta baza testarii ipotezelor statistice necesare in practica pentru definitivarea deciziilor manageriale.

Repartitia normala normata

Repartitia normala normata este intalnita si sub numele de repartitia normala standard sau repartitia normala redusa, tocmai pentru ca reda un caz particular al repartitiei normale.

Denumita si repartitia Gauss-Laplace, repartitia normala este exprimata printr-o variabila aleatoare X cu media m si dispersia , normata X~N (m, ), a carei functia de repartitie este:

F (x) = P (X<x) = dt,

cu

Conturarea mai clare a repartitiei normale are in vedere urmatoarele prorietati:

PN1. Variabilei aleatoare X cu repartitia N(m, ) ii corespunde:

momente centrale

coeficenti de asimetrie si boltire: si

PN2. Suma unor variabile independente repartizate normal este tot o variabila aleatoare repartizata normal , unde:

X , X , , X sunt variabile independente cu repartitii normale avand media si dispersia

m = si

PN Pentru o combinatie liniara finita de variabile aleatoare independente, proprietatea anterioara poate fii transpusa astfel: daca X , X , , X sunt variabile aleatoare independente repartizate normal cu media si dispersia , atunci suma este o variabila aleatoare repartizata normal X~N (m, ), unde m = si

Repartitia normala normata se prezinta grafic printr-o curba normala care se numeste si clopotul lui Gauss, datorita urmatoarelor caracteristici:

reprezentarea este simetrica fata de dreapta x = m, iar cele doua partii ale curbei tind asimptotic spre axa absciselor Ox.

distributia fiind unimodala, valoarea maxima va fii atinsa pentru x = m in punctul:

punctele de inflexiune ale graficului sunt (m- ) si (m+ ), deoarece in respectivele punce convexitatea curbei se modifica in concavitate.

daca abaterea standard este constanta , modificarea mediei (m) determina o translatie a curbei prin Ox spre dreapta (figura 8.a) sau spre stanga (figura 8.b) fara sa-si schimbe forma.

SHAPE * MERGEFORMAT

a) deplasare spre dreaptadreapta

b) deplasare spre stanga

Figura 8. Deplasarea curbei repartitiei normale

pentru constant si variabil

daca media (m) este constanta, atunci modificarea abaterii standard ( ) determina o modificare a formei curbei (figura 9); modificarea consta in "ascutiunea" sau aplatzarea acesteia, dupa cum are loc micsorarea sau cresterea valorii parametrului .

SHAPE * MERGEFORMAT


Figura 9. Modificarea curbei repartitiei normale

pentru variabil si constant

Un exemplu de curba Gauss-Laplace pentru o repartitie normala prezentat in figura 10

SHAPE * MERGEFORMAT

Figura 10. Curba normala[4] cu si


Ultima proprietate a repartitiei normale prin transformarea de variabila definita

(14)

reprezinta fundamentul formarii repartitiei normale reduse (normata) .

Definitia 8. Variabila aleatoare are o repartitia normala normata cu media zero si dispersia egala cu 1 avand functia de repartitie .

Graficul repartitiei normale (figura 11) este simetric fata de axa ordonatelor yy', iar valoarea maxima este atinsa in punctul f(0)=0,3989 0,4.Punctele de inflexiune sunt z = -1 si z = +1.

SHAPE * MERGEFORMAT

Figura 10. Graficul functiei de repartitie normala normata

Functia de repartitie a variabilei aleatoare normala normata este:

(15)

Deaoarece curba este simetrica, deci F (0) = 0,5, din definitia functiei repartitiei avem:

Importanta din punct de vedere aplicativ este si functia (z) ce prezinta aria de sub ramura pozitiva a densitatii si probabilitatii (figura 11) care se stabileste in raport cu functia de repartitie normala redusa astfel:

(16)

SHAPE * MERGEFORMAT

Figura 11. Graficul functiei

Valorile functiilor de repartitie si sunt tabelate. In Anexa 1 se dat un tabel cu valorile functiei

Utilizarea repartitiei la testarea ipotezelor statistice

Repartitia este utilizata cu preponderenta in testarea ipotezelor statistice permitand studierea mai detaliata, chiar si sub aspect calitativ, a colectivitatilor statistice.

Repartitia

Ea reprezinta o repartitie a unei variabile aleatoare determinata ca o suma a patratelor unor variabile aleatoare independente repartizate normal standard:

,

unde sunt variabile aleatoare independente cu repartitia N(0,1).

In raport cu densitatea de probabilitate, respectiv functia de repartitie se poate construi graficul repartitiei

Definitia 9. Densitatea de probabilitate ( ; a, g) a repartitiei este:

, x (23)

unde: g - gradele de libertate ale repartitiei

- repartitia Gamma

In cazul repartitiei intalnim urmatoarele situatii:

daca a=1 si x , atunci densitatea de repartitie devine:

(24)

daca x , atunci =0.

Functia de repartitie este:

Graficul repartitiei se construieste in functie de valorile parametrilor si . Parametrul reprezinta numarul gradelor de libertate, adica numarul variabilelor independente care au in vedere marimea luata in considerare, a caror variatie nu admite nici o restrictie.

Pentru si graficul repartitiei se prezinta in figura 19.

SHAPE * MERGEFORMAT

Figura 19. Graficul distributiei

Indicatorii statistici caracteristici sunt: si

Observatie Daca g , atunci se apropie de graficul distributiei normale.

Pentru repartitia , valoarea tabelara sau teoretica este de forma: , , , , unde reprezinta numarul gradelor de libertate.

Valorile teoretice sau tabelare ale lui se preiau din Tabela , prezentata in Anexa 2 in care functia de probabilitate este

Repartitia este intotdeauna pozitiva, neexistand ramura ei negativa, ceea ce determina o notare inversata a valorilor critice din stanga graficului. In locul lui exista si nu se folseste , in locul sau fiind utilizat .

Compararea dispersiei esantionului cu dispersia colectivitatii generale

Statistica testului calculat este:

(24)

In aceste conditii, etapele de aplicare a testului sunt urmatoarele:

Se prezinta ipoteza nula: (nu exista diferenta semnificativa intre dispersia esantionului si dispersia colectivitatii generale)

Se stabileste ipoteza alternativa ( ) in functie de tipul testului, astfel:

testul unilateral stanga: (dispersia esantionului este mai mica decat cea a colectivitatii generale)

testul bilateral: (exista diferenta semnificativa intre dispersia esantionului si dispersia colectivitatii generale)

test unilateral dreapta: (dispersia esantionului este mai mare decat a colectivitatii generale)

Se precizeaza tipul testului statistic utilizat in raport cu datele aplicatiei si se construieste graficul.

In functie de nivelul de incredere ( ) se determina limita de semnificatie ( ) cu ajutorul caruia se stabileste:

testul unilateral stanga (figura 20):

se determina tabelar (Anexa 2) sub forma iar valoarea se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca , atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Figura 20 Aplicarea testului unilateral stanga

testul bilateral (figura 21):

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

se respinge

Figura 21. Regiunea de respingere

pentru testul bilateral

se determina tabelar (Anexa 2), adica valorile pentru si .

regiunea de respingere : daca sau , atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

test unilateral dreapta (figura 22):

se determina tabelar (Anexa 2), adica iar valoarea se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca, , atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Figura 22. Regiunea de respingere

pentru testul unilateral dreapta

Se calculeaza valoarea statistica a testului determinat cu relatia (24), iar valoarea obtinuta se plaseaza pe grafic.

Se compara valoarea lui cu una din valorile , , , si se stabileste daca rezultatul statistic al testului calculat intra in regiunea de respingere , luandu-se decizia adecvata situatiei.

Exemplul 6. Patronul unei pensiuni turistice rurale testeaza in 10 zile consumul zilnic de lapte (litri): 10, 8, 10, 9, 7, 11, 10, 12, 7, 10. Presupunand ca selectia se realizeaza dintr-o colectivitate normal distribuita, pentru o probabilitate de 95% sa se testeze ipotezele:

, respectiv .

Rezolvare:

Primele doua etape ce trebuiesc parcurse pentru testarea ipotezelor statistice prin aplicarea testului au fost prezentate in enuntul problemei:

Datele initiale ne conduc la concluzia ca se aplica testul (se compara dispersiile).

Deoarece ( )=95% = 0,05 iar trebuie determinat = 16,92

Pentru aceasta utilizam Tabela , prezentata in Anexa 2, procedand conform schemei prezentate in tabelul 4

SHAPE * MERGEFORMAT

g

Tabelul 4. Determinarea valorii lui

Regiunea de respingere Rr este: , atunci se respinge

Valoarea statistica a testului (valoarea calculata):

Cunoastem si trebuie sa determinam . Deoarece n=10 < 30

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Este adevarat

Figura 22. Verficarea ipotezei

Deoarece, asa cum este ilustrat si in figura 22 avem atunci este adevarat in sensul ca, gradul de imprastiere a valorilor esantionului privind consumul zilnic de lapte nu difera semnificativ de cel stabilit la nivelul colectivitatii generale, care este 4 (abaterea ar fi de 2 litri de lapte).

Utilizarea repartitiei Student in testarea ipotezelor statistice

In testarea ipotezelor statistice, alaturi de repartitia normala se utilizaeza repartitia Student, denumita si repartitia

Repartitia Student

Aceasta repartitie a aparut din necesitatea de a studia in profunzime informatiile privind colectivitatile statistice prin caracteristica de a admite probabilitati mai mari de eroare.

Ca si in repartitia , repartitia Student depinde de un singur parametru denumit numarul gradelor de libertate notat cu "g".

Definitia 10. Distributia Student este acea distributie a carei densitati de probabilitate este data de functia:

, (25)

unde = functia gamma

Functia de repartitie a distributiei Student este:

(26)

Principalii indicatori statistici caracteristici ai repartitiei Student sunt:

M (t) = 0

D (t) = , unde

Observatie Daca , atunci deci repartitia Student (figura 23) este aproximativ o repartitie normala .

SHAPE * MERGEFORMAT

distributia

distributia

Figura 2 Graficul distributiei pentru

Valorile pentru care P( ) = exista ( ) si pot fi preluate din Tabelul distributiei Student, (Anexa 3), cu mentiunea ca, acele valori si g care nu exista in tabel se utilizeaza aproximarea normala standard.

Exemplul 6. Stabilirea valorii tabelare a testului pentru o probabilitate de 95% si 4 grade de libetrtate: (Anexa 3), pentru un test unilateral dreapta.

Rezolvare: Se utilizeaza Tabelul distributiei Student (Anexa 3) unde coloana cea mai din stanga (tabelul 5) contine valorile gradelor de libertate , linia de sus contine nivelele de semnificatie pentru testul bilateral, iar ultima linie contine nivelele de semnificatie pentru testul unilateral.

Avand in vedere ca se solicita valoarealui pentru testul unilateral se alege linia corespunzatoare gradului de libertate iar de pe ultima linie (test unilateral) se alege coloana corespunzatoare nivelului de semnificatie . La intersectia lor obtinem valoarea 2,132. Deci,

SHAPE * MERGEFORMAT

g

Nivel de semnificatie pentru testul unilateral

g

Nivel de semnificatie pentru testul bilateral

Tabelul 5. Determinarea valorii lui

Observatie: Daca, de exemplu, s-ar fi solicitat valoarea lui pentru testul bilateral (in acest caz iar ) se va lucra cu nivelele de semnificatie de pe prima linie, la intersectia corespunzatoare gradului de libertate si coloana corespunzatoare nivelului de semnificatie 0,02 se obtine valoarea 3,747. Deci, .

Compararea mediei unui esantion de volum redus cu media colectivitatii generale

Caracteristicile ce stau la baza aplicarii testului care includ imposibilitatea stabiliri dispersiei colectivitatii generale, deci implicit a abaterii medii patratice, precum si formarea unor esantioane de volum redus, cu mai putin de 30 de componente, reprezinta principalele elemente necesare in derularea analizei de comparare a mediei unui esantion cu cea a colectivitatii generale.

Testul poate fi aplicat pornind de la considerentul ca distributia normala redusa caracterizeaza colectivitatea generala.

Deoarece nu se cunoaste dispersia colectivitatii generale, nici abaterea mediei patratice, se va utiliza testul numai in conditia estimarii abaterii standard a colectivitatii generale cu cea a esantionului.

Fiind este vorba de un esantion redus , abaterea medie patratica (standard) estimata se determina cu relatia:

(27)

Statistica testului calculat va fi:

unde:

media esantionului

- media colectivitatii generale

abaterea standard estimata

n - volumul esantionului

Deoarece, ca si in celelalte cazuri, la testului Student se tine seama de directia abaterii stabilita in ipoteza alternativa, atunci deciziile se formeaza tot in raport cu tipul testului studiat: unilateral stanga, bilateral, unilateral dreapta.

In acest context, ipotezele testului Student si regiunile de respingere sunt asemanatoare cu cele ale testului . De remarcat numai ca, deoarece la repartitia Student vorbim de gradele de libertate, atunci valorile critice care limiteaza densitatea de probabilitate, deci valorile repartitiei Student (Anexa 3) au formele , pentru testul unilateral si respectiv , pentru testul bilateral.

In aceste conditii, avem urmatoarele etape:

Se prezinta ipoteza nula (nu exista diferenta semnificativa intre media esantionului si media colectivitatii generale)

Se stabileste ipoteza alternativa ( ) in functie de tipul testului, astfel:

testul unilateral stanga: (media esantionului este mai mica decat cea a colectivitatii generale)

testul bilateral: (exista diferenta semnificativa intre media esantionului si media colectivitatii generale)

test unilateral dreapta: (media esantionului este mai mare decat media colectivitatii generale)

Se precizeaza tipul testului statistic utilizat in raport cu datele aplicatiei si volumul esantionului (daca n<30, atunci se aplica testul ) si se construieste graficul.

In functie de nivelul de incredere ( ) se determina limita de semnificatie ( ) cu ajutorul careia se stabileste:

testul unilateral stanga (figura 24)

tabelar sau teoretic (Anexa 3) si valoarea cu semnul "-" se plaseaza pe grafic .

regiunea de respingere : daca , atunci se respinge

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Figura 24 Aplicarea testului unilateral stanga

testul bilateral (figura 25):

tabelar sau teoretic (Anexa 3) si valorile cu semnele "+" si "-" se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca - sau atunci se respinge

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

se respinge

Figura 25. Regiunea de respingere

pentru testul bilateral

test unilateral dreapta (figura 26)

tabelar sau teoretic (Anexa 3) si valoarea cu semnul "+" se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca , atunci se respinge

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Figura 26. Regiunea de respingere

pentru testul unilateral dreapta

Se calculeaza valoarea statistica a testului determinata cu relatia (28), iar valoarea obtinuta se plaseaza pe grafic.

Se compara valoarea cu una din valorile - , - , , si se stabileste daca rezultatul statistic al testului calculat intra in regiunea de respingere , luandu-se decizia adecvata situatiei.

Exemplul 7. Patronul unei pensiuni turistice rurale, in vederea ridicari calitatii activitatilor desfasurate, doreste sa-si analizeze mai atent cheltuielile si presupune ca, in medie, cheltuiala zilnica in perioada de sezon este de 400 UM pe turist.

Testarea ipotezei presupune o selectare aleatorie a 25 de zile, pentru care se inregistreza valorile (UM): 430, 280, 300, 250, 330, 280, 400, 410, 400, 380, 330, 350, 380, 280, 330, 390, 290, 380, 450, 370, 380, 330, 410, 390, 380.

Pentru o probabilitate de 95% sunt dovezi care sa arate ca in medie cheltuiala zilnica in perioada de sezon este mai mica de 400 UM pe turist?

Rezolvare:

Notatii: = 400 UM/turist

= 25 zile

: 430, 280, , 390, 380 UM

= 95%

Ipoteza nula (nu exista diferenta semnificativa intre cheltuiala medie noua zilnica pe turist stabilita pe esantion si cea de la nivelul colectivitatii generale).

Ipoteza alternativa cheltuiala medie zilnica pe turist stabilita la nivelul esantionului este mai mica decat cea determinata pentru toate zilele sezonului).

Cum n =25 de zile < se aplica testul t (testul t unilateral stanga)

Deoarece = 95% (1- )100 = 95 = 0,05. Valoarea lui se determina conform celor prezentate in exemplul 6, tabelul 5. Se obtine = 1,711

Regiunea de respingere Rr este: se respinge

Valoarea statistica a testului (valoarea calculata) se determina cu relatia (28) astfel.

= 356 UM

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Se accepta

Figura 27 Aplicarea testului pentru testarea ipotezei : nu exista diferenta semnificativa intre cheltuiala medie noua zilnica pe turist stabilita pe esantion si cea de la nivelul colectivitatii generale

Deoarece , rezulta ca este adevarata, deci cheltuiala medie zilnica din perioada de sezon nu este mai mica de 400 UM pe turist (intre cheltuielile medii comparate nu exista diferenta semnificativa).

Compararea mediilor a doua esantioane de volum redus

De multe ori deciziile din activitatea economica, din afaceri, trebuiesc stabilite prin compararea unor informatii destul de reduse.

In aceste conditii, se poate vorbi despre compararea a doua esantioane de volum mic (n<30) caracterizate astfel:

un esantion de volum cu media si dispersia este extras dintr-o colectivitate generala cu media si dispersia .

alt esantion de volum , cu media si dispersia este extras dintr-o colectivitate generala cu media si dispersia .

Doua cazuri cu aplicabilitate practica prezinta interes pentru analiza econometrica:

Esantioanele sunt independente si provin din colectivitati generale cu abateri standard egale.

Esantioanele sunt independente si provin din colectivitati generale cu abateri standard diferite (inegale).

Esantioane independente provenite din colectivitati generale cu abateri standard egale

In practica pot sa apara situatii in care trebuie sa se formeze doua esantioane independente care provin din colectivitati generale cu dispersii egale.

, deci

Repartitia Student tabelara sau teoretica va avea grade de libertate, iar statistica testului calculat va fi:

(29)

unde este abaterea standard estimata determinata cu relatia:

(30)

Atat ipotezele testului Student, cat si regiunile de respingere sunt asemanatoare cu cele prezentate la paragraful 4.2, exceptand valorile critice in care apare testul tabelar de forma: , pentru testul unilateral, respectiv , pentru testul bilateral.

In aceste conditii avem, urmatoarele etape:

Se prezinta ipoteza nula (nu exista diferenta semnificativa intre cele doua medii comparate)

Se stabileste ipoteza alternativa ( ) in functie de tipul testului, astfel:

testul unilateral stanga: (media primului esantion este mai mica decat cea a celui de-al doilea)

testul bilateral: (exista diferenta semnificativa intre mediile celor doua esantioane)

test unilateral dreapta: (media primului esantion este mai mare decat a celui de-al doilea)

Se precizeaza tipul testului statistic utilizat in raport cu datele aplicatiei si volumul esantionului (daca n<30, atunci se aplica testul si se construieste graficul.

In functie de nivelul de incredere ( ) se determina limita de semnificatie ( ) cu ajutorul careia se stabileste:

testul unilateral stanga (figura 28):

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Figura 28 Aplicarea testului unilateral stanga in cazul comparatii mediilor a doua esaloane

tabelar sau teoretic (Anexa 3) si valoarea cu semnul "-" se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca , atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

testul bilateral (figura 29):

tabelar sau teoretic (Anexa 3) si valorile cu semnele "+" si "-" se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca - sau atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

se respinge

Figura 29. Regiunea de respingere pentru testul bilateral in cazul compararii mediilor a doua esantioane

test unilateral dreapta (figura 30):

tabelar sau teoretic (Anexa 3) si valoarea cu semnul "+" se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca , atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Figura 30. Regiunea de respingere pentru testul unilateral dreapta in cazul compararii mediilor a doua esantioane

Se calculeaza statistica testului cu relatia (29), iar valoarea obtinuta se plaseaza pe grafic.

Se compara valoarea lui cu una din valorile - , - , , si se stabileste daca rezultatul statistic al testului calculat intra in regiunea de respingere , luandu-se decizia adecvata situatiei.

Exemplul 8. Intre doua tipuri de pensiuni turistice rurale (1 margareta si 2 margarete) cu acelasi numar de camere dintr-o zona montana se testeaza ipoteza conform careia nu exista diferenta semnificativa privind cheltuielile medii de intretinere din sezonul turistic de iarna.

Testarea se realizeaza pentru 6 pensiuni de 1 margareta si 4 unitati de 2 margarete de la care sunt preluate datele privind cheltuielile de intretinere din sezonul turistic de iarna si sunt prelucrate, rezultatele fiind cele din tabelul 3,6

Tabelul 6. Caracteristicile esantioanelor din cele doua pensiuni

Pensiunea de 1 margareta

Pensiunea de 2 margarete

n = 6

n = 4

= 4,5 mii UM

= 4,84 mii UM

= 0,15 mii UM

= 0,44 mii UM

Probabilitatea luata in considerare este de 98%.

Rezolvare:

Ipoteza nula (nu exista diferenta semnificativa intre cheltuielile medii de intretinere ale pensiunilor turistice rurale de o margareta si ale celor de doua margarete).

Ipoteza alternativa exista diferenta semnificativa intre cheltuielile medii de intretinere ale pensiunilor turistice rurale de o margareta si ale celor de doua margarete).

Daca = 6 si =4 , atunci se aplica testul t (testul t bilateral)

Cum = 0,02

Regiunea de respingere Rr este: sau se respinge, deci este adevarata ipoteza .

Valoarea statistica a testului (valoarea calculata) se determina cu relatia 29 astfel:

= -1,82

Deoarece < (3,355), atunci este in afara , rezulta ca este adevarata.

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

se respinge

Adevarat

Figura 31. Testarea ipotezei : nu exista diferenta semnificativa intre cheltuielile medii de intretinere ale celor doua categorii de pensiuni

Concluzia (figura 31) este ca nu exista diferenta semnificativa intre cheltuielile medii de intretinere ale pensiunilor turistice rurale de o margareta si cele ale pensiunilor de doua margarete.

Esantioane independente provenite din colectivitati generale cu abateri standard inegale

Particularitatea acestei ipostaze consta in faptul ca deoarece dispersiile nu sunt egale, deci nici abaterile standard nu pot avea aceasi valoare, se va aplica testul utilizand estimatia abaterii standard la nivelul fiecarui esantion:

(31)

(32)

Statistica testului Student calculata va fi:

(33)

Ipotezele testului Student si regiunile de respingere vor fi similare celor prezentate in ipostaza anterioara, pentru esantioanele independente provenind din colectivitati generale cu abateri standard egale.

In aceste conditii avem, urmatoarele etape:

Se prezinta ipoteza nula (nu exista diferenta semnificativa intre cele doua medii comparate)

Se stabileste ipoteza alternativa ( ) in functie de tipul testului, astfel:

testul unilateral stanga: (media primului esantion este mai mica decat cea a celui de-al doilea)

testul bilateral: (exista diferenta semnificativa intre mediile celor doua esantioane)

test unilateral dreapta: (media primului esantion este mai mare decat a celui de-al doilea)

Se precizeaza tipul testului statistic utilizat in raport cu datele aplicatiei si volumul esantionului (daca n>30, atunci se aplica testul ) si se construieste graficul.

In functie de nivelul de incredere ( ) se determina limita de semnificatie ( ) cu ajutorul caruia se stabileste:

testul unilateral stanga (vezi figura 28):

tabelar sau teoretic (Anexa 3) si valoarea cu semnul "-" se plaseaza pe grafic.

egiunea de respingere : daca , atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

testul bilateral (vezi figura 29):

tabelar sau teoretic (Anexa 3) si valorile cu semnele "+" si "-" se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca - sau atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

test unilateral dreapta (vezi figura 30):

tabelar sau teoretic (Anexa 3) si valoarea cu semnul "+" se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca , atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

Se determina valoarea statistica a testului calculat cu relatia (33), iar valoarea obtinuta se plaseaza pe grafic.

Se compara valoarea lui cu una din valorile - , - , , si se stabileste daca rezultatul statistic al testului calculat intra in regiunea de respingere , luandu-se decizia adecvata situatiei.

Utilizarea repartitiei Fisher-Snedecor in testarea ipotezelor statistice

Testarea ipotezelor statistice se bazeaza si pe utilizarea repartitiei Fisher - Snedecor (repartitia ).

Repartitia Fisher-Snedecor ( )

Aceasta repartitie are in vedere compararea mediilor populatiilor normale lund in considerare imprastierea datelor ambelor colectivitati (dispersiile colectivitatilor).

Daca repartitiile si t depind de un parametru, repartitia F se stabileste in functie de doi parametri si avind semnificatia unor grade de libertate si se formeaza pe baza unei variabile aleatorii ce are valoarea catului altor doua astfel de variabile ( - numarul gradelor de libertate pentru numarator, - numarul gradelor de libertate pentru numitor).

Repartitia F reprezinta o variabila aleatoare X care se formeaza astfel:

X = ,

unde: sunt variabile aleatorii independente repartitiei , cu si grade de libertate.

Definitia 11. Vom spune despre o variabila aleatoare ca are distributie Fisher-Snedecor daca functia densitatea de probabilitate a acesteia este de forma:

, F (32)

unde:  - functia Gamma

si - numarul gradelor de libertate

Functia de repartitie este:

ale carei valori se regasesc in Tabelul repartitiei (Fisher-Snedecor) prezentata in Anexa 4.

Indicatorii statistici caracteristici ai repartitiei sunt:

M (F) = (33)

D (F) = , pentru (34)

Deoarece repartitia nu este simetrica, intre valorile critice exista relatia:

(35)

Compararea dispersiilor a doua colectivitati

Compararea dispersiilor colectivitatilor se poate realiza fie direct, fie utilizand raportul acestora.

Aplicarea testului presupune urmatoarele:

colectivitatile comparate sa fie formate din variabile aleatoare: X si X ;

variabilele urilizate sa fie repartizate normal: si ;

esantioanele de volum si extrase din colectivitatile comparate sa permita stabilirea estimatiilor dispersiilor si .

Stabilirea statisticii testului Fisher calculat:

(36)

Observatie: Daca , atunci statistica testului calculat devine:

. (37)

Testul se aplica si el in toate cele trei situatii:

test unilateral stanga,

bilateral,

unilateral dreapta.

Pentru testarea ipotezelor se utilizeaza teoretic sau tabelar, in functie de tipul testului (unilateral stanga sau dreapta, sau bilateral), care poate avea una din formele: pentru testul unilateral stanga, si pentru testul bilateral, respectiv pentru testul unilateral dreapta, in care:

- limita de semnificatie

-1= = gradele de libertate pentru variabila aleatoare

-1= = gradele de libertate pentru variabila aleatoare

Graficele testului in functie de tipul acestuia imbraca formele:

testul unilateral stanga (figura 32):

tabelar sau teoretic (Anexa 4) si valoarea se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca , atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Figura 32 Aplicarea testului unilateral stanga

testul bilateral (figura 33):

tabelar sau teoretic si (Anexa 4) se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca sau atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

se respinge

Figura 3 Regiunea de respingere pentru testul bilateral

test unilateral dreapta (figura 34):

tabelar sau teoretic (Anexa 4) si valoarea se plaseaza pe grafic.

regiunea de respingere : daca , atunci se respinge si este adevarata ipoteza .

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Figura 34. Regiunea de respingere pentru testul

unilateral dreapta

In practica cele mai utilizate teste sunt: bilateral si unilateral dreapta.

Exemplul 9. In cadrul derularii unui proiect finantat, la nivelul unei regiuni turistice, a fost necesar sa se realizeze un studiu care a vizat printre altele, si studierea preferintelor turistilor in ceea ce priveste tipul unitatilor de cazare dupa gradul de confort (s-au format doua categorii: una care include unitatile de 1 si 2 stele si alta care le include pe cele de 3 si 4, eventual 5 stele).

Acest aspect a fost analizat prin compararea imprastierii cheltuielilor colectivitatii turistilor ce prefera prima categorie (cu unitati de 1 si 2 stele) cu imprastierea cheltuielilor colectivitatii turistilor ce prefera a doua categorie (unitati de 3, 4, 5 stele).

Studiul porneste de la presupunerea ca distributia cheltuielilor (UM) pe cele doua colectivitati sunt aproximativ normale, iar din ele au fost extrase doua esantioane de volum 46 si 55 de persoane, abaterile standard stabilite (UM) fiind: S = 1,42 UM si S = 0,43 UM, in conditiile in care probabilitatea rezultatelor este de 95%.

Rezolvare:

Ipoteza sau (nu exista diferenta semnificativa intre imprastierea cheltuielilor cloectivitatii turistilor ce prefera prima categorie si imprastierea cheltuielilor colectivitatii turistilor ce prefera a doua categorie);

Ipoteza sau (imprastierea cheltuielilor colectivitatii turistilor care prefera prima categorie de unitati este mai mare decat a celor care o prefera pe a doua);

In functie de datele aplicatiei se utilizeaza testul F (testul F unilateral dreapta)

Deoarece =95% reulta ca = 0,05. Utilizand Anexa 4 si procedand similar celor prezentate in exemplele anterioare obtinem: =1,60

Valoarea statistica a testului (valoarea calculata) se determina cu relatia (37) si obtinem:

=10,90

SHAPE * MERGEFORMAT

se respinge

Figura 35. Utilizarea testului pentru testarea ipotezei nu exista diferenta semnificativa intre imprastierea cheltuielilor colectivitatii turistilor ce prefera prima categorie si imprastierea cheltuielilor colectivitatii turistilor care prefera a doua categorie

Deoarece , deci se afla in rezulta ca se respinge si este adevarata .

Concluzia este ca, imprastierea cheltuielilor colectivitatii turisilor ce prefera unitatile turistice de 1 si 2 stele este mai mare decat a cheltuielilor colectivitatii turistilor ce prefera structurile de primire turistica de 3, 4, 5 stele.


Vezi Capitolul II Variabile aleatoare si elemente de teoria selectiei si a estimatiei

Vezi Capitolul II Variabile aleatoare si elemente de teoria selectiei si a estimatiei , subcapitolul Estimarea prin intervale de incredere

Voineagu V., Titan E., Serban R., Chita S., Todose D., Boboc C., Pele D., Teorie si practica econometrica, Editura Meteor Press, Bucuresti, 2006, pag.89.

Dupa Clocotici V., Stan A., Statistica aplicata in psihologie, pag. 132.





Politica de confidentialitate

creeaza logo.com Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate.
Toate documentele au caracter informativ cu scop educational.