MǍRIMI MEDII

EXEMPLE DE MEDII UZUALE

Media este un numǎr care rezumeazǎ ansamblul valorilor unei variabile, calculat prin intermediul unei functii de aceste valori. Considerǎm o serie de valori numite si termenii mediei .

1. Media aritmeticǎ - este cea mai cunoscutǎ si utilizatǎ.

a) Simplǎ : 

b) Ponderatǎ : dacǎ unii termeni se repetǎ adicǎ avem seria cu frecvente absolute

Valori

Frecventa absolutǎ

media aritmeticǎ devine :

Dacǎ seria este datǎ cu frecvente relative

Valori

Frecventa relativǎ

atunci , aceastǎ expresie se mai numeste si combinatie liniarǎ convexǎ.

c) Forme folosite pentru simplificarea calculelor :

Media aritmeticǎ calculatǎ din valorile caracteristice micsorate cu o constantǎ " b " este mai micǎ decat media initialǎ cu constantǎ " b " .

Media aritmeticǎ calculatǎ din micsoratǎ prin impǎrtire la o constantǎ k este mai micǎ decat media initialǎ de k ori.

Dacǎ se inmultesc frecventele absolute cu o constantǎ " c " aleasǎ arbitrar, media nu se schimbǎ.

Observatie

Frecventele absolute sau cele relative in definirea mediilor au rol de ponderi.

In cazul seriilor ce au distributia de frecvente constantǎ pe intervale se ia in calcul centrul intervalelor .

2. Media armonicǎ - se foloseste la calculul nivelului mediu al unei caracteristici derivate, cu caracter de mǎrime relativǎ ca pret unitar mediu, densitate medie, vitezǎ medie, etc.

a)     Simplǎ : este datǎ de relatia

b)    Ponderatǎ

3. Media geometricǎ - se poate utiliza doar dacǎ distributia statisticǎ are toti termenii pozitivi. Se mai numeste si " medie de ritm " pentru cǎ se utilizeazǎ cand fenomenul supus cercetǎrii inregistreazǎ un ritm de modificare incetinit chiar dacǎ volumul absolut al modificǎrii este mare.

Deoarece scoate in evidentǎ influenta valorilor mici ale caracteristicii, media geometricǎ se utilizeazǎ si in electrotehnicǎ pentru studiul curentilor de intensitate foarte micǎ, si se mai foloseste pentru calculul indicelui mediu de evolutie a unui fenomen economic.

a) Simplǎ : 

b) Ponderatǎ :

4. Media pǎtraticǎ

a) Simplǎ :  este o rǎdǎcinǎ pǎtratǎ dintr-o medie aritmeticǎ a pǎtratelor.

Se utilizeazǎ in special la calcularea unei medii a abaterilor de la medie, a erorilor care sunt si cu semn pozitiv si negativ.

b) Ponderatǎ :

Cu frecvente absolute :

Cu frecvente relative :

Media pǎtraticǎ scoate in evidentǎ influenta valorilor mari ale caracteristicii.

5. Media de ordinul se calculeazǎ analog cu cea pǎtraticǎ doar cǎ valorile vor fi la puterea si indicele radicalului tot .

a) Simplǎ :

b) Ponderatǎ :

PROPRIETǍTI GENERALE ALE MEDIILOR

Notǎm cu " a " = min si cu " A " = max , unde sunt termenii mediei.

1. Toate mediile, fie cǎ sunt simple sau ponderate, sunt interne, adicǎ cuprinse in intervalul [ a, A ] indiferent de termenii si ponderile pozitive.

Exemplu media aritmeticǎ de forma cu ponderi relative :

Prin variatia convenabilǎ a ponderilor, orice medie poate lua orice valoare din intervalul inchis [ a, A ].

Intre mediile enumerate mai sus existǎ urmǎtoarele relatii de ordine :

unde cu conditia ca sǎ aibǎ aceiasi termeni si aceleasi ponderi, unde :

Pentru a demonstra aceste inegalitǎti se pot folosi inegalitǎtile lui "Jensen".

Teoremǎ fie ponderi care verificǎ relatiile :

atunci dacǎ g este o functie convexǎ are loc inegalitatea

iar dacǎ g este o functie concavǎ are loc inegalitatea inversǎ, adicǎ :

ORIGINEA COMUNǍ A MEDIILOR

Definitie fie o functie bijectivǎ, deci inversabilǎ si X o serie statisticǎ atasatǎ unei caracteristici, exprimate fie cu frecvente absolute fie cu frecvente relative.

Valori Valori

Frecventa absolutǎ Frecventa relativǎ

Se numeste medie indusǎ de functia , numǎrul calculat cu relatia :

PRINCIPII DE ALEGERE A UNEI MEDII.

TEORIA LUI Chisini - Boiarski

De mentionat faptul cǎ, intr-o problemǎ este necesar sǎ se foloseascǎ media aritmeticǎ, iar in alta, media armonicǎ, etc.

Definitia 1 Se numeste functie determinantǎ asociatǎ colectivitǎtii C , relativ la o caracteristicǎ X a acesteia, acea proprietate care rǎmane neschimbatǎ, oricare ar fi variatiile posibile ale valorilor ale variabilei X definitǎ pe C .

Definitia 2 Se numeste valoare medie asociatǎ variabilei (caracteristicii) X , dupǎ functia sa determinantǎ, acea valoare care prin substitutia nu modificǎ functia determinantǎ.

Observatie din definitia 1, rezultǎ cǎ functia determinantǎ este o functie de " p " variabile adicǎ .

Din definia a 2-a rezultǎ procedeul practic de a determina media dupǎ fixarea functiei determinate.

Procedeu practic de determinare a mediei

a) Se fixeazǎ functia determinatǎ atasatǎ caracteristicii studiate asa ca sǎ verifice definitia 1.

b) Determinarea mediei prin rezolvarea ecuatiei

unde " m " este media cǎutatǎ.

I. INDICATORI STATISTICI PENTRU SERII

UNIDIMENSIONALE CANTITATIVE

( NUMERICE )

Acesti indicatori aduc informatii suplimentare foarte valoroase asupra caracteristicii studiate prin utilizarea unor relatii simple.

Simple :

unde N este volumul populatiei.

Cu frecvente absolute :

Valori 

Frecventa absolutǎ

Cu frecvente relative :

Valori

Frecventa relativǎ

INDICATORI DE POZITIE

v        MEDIA STATISTICǍ

Media statisticǎ sau " valoarea medie " este cel mai important si usor de calculat indicator .

Media statisticǎ este evident o medie aritmeticǎ ponderatǎ cu toate proprietǎtile amintite mai sus.

v        MOMENTELE INITIALE

Momentele initiale sunt medii aritmetice ale puterilor valorilor seriei si au legǎturǎ cu mediile de diferite ordine. Momentul initial de ordinul k are forma :

, unde este media de ordinul k .

Cazuri particulare

a) nu se foloseste fiind constantǎ oricare ar fi seria ;

b) - media statisticǎ ;

c) se utilizeazǎ pentru studiul erorilor, abaterilor.

v        MODUL ( DOMINANTA )

Reprezintǎ acea valoare a caracteristicii care inregistreazǎ frecventa cea mai mare.

In cazul seriilor cu valori discrete dominanta este vizibilǎ direct in distributie. Fie seria :

Dominanta ( modul ) este nota 7.

In cazul distributiilor cu valori pe intervale modul se calculeazǎ cu formula :  unde :

limita inferioarǎ a intervalului modal, adicǎ a intervalului cu frecventa cea mai mare ;

h = mǎrimea intervalului modal ;

D1 = diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului anterior ;

D2 = diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului urmǎtor.

v        FUNCTIA EMPIRICǍ (STATISTICǍ) DE REPARTITIE

Definitia 1 Suma frecventelor relative atasate valorilor mai mici decat 0 valoare datǎ x se numeste functie empiricǎ de repartitie.

Aceastǎ functie depinde evident de valoarea aleasǎ x si o vom nota cu . Indicele N aratǎ cǎ e vorba de o populatie de volum N .

Functia de repartitie este nedescrescǎtoare si ia valori cuprinse in intervalul [0, 1 ]. Este discontinuǎ in punctele ale cǎror abscise sunt valorile ale caracteristicii, dar continuǎ la stanga.

Graficul este o curbǎ in scarǎ pentru serii cu valori discrete si o linie poligonalǎ ascendentǎ pentru cele cu valori grupate pe intervale.

Pentru seriile cu valori discrete de tipul :

Valori

Frecventa absolutǎ

Frecventa relativǎ

In baza definitiei avem :

Pentru seriile cu valori grupate pe intervale egale, in interiorul fiecǎrui interval functia empiricǎ de repartitie este aproximatǎ cu o functie de gradul intai adicǎ cu un segment de dreaptǎ ce uneste punctele extreme.

Fie seria :

Atunci in baza definitiei si a conventiei de aproximare de mai sus avem :

Cu d s-a notat lungimea unui interval . Dacǎ intervalele nu sunt egale in loc de d se pune .

Observatii

Functia empiricǎ de repartitie aproximeazǎ intotdeauna functia teoreticǎ de probabilitate si de aceea este foarte utilǎ in teoria selectiei.

Dacǎ se dǎ o serie statisticǎ fie cu frecvente absolute fie cu frecvente relative putem determina in mod unic functia empiricǎ de repartitie si reciproc.

v        CVANTILE EMPIRICE . MEDIANA

Definitie Se numeste cvantilǎ empiricǎ de ordinul p sau p-cvantilǎ a distributiei statistice, rǎdǎcina unicǎ a ecuatiei , p є ( 0, 1] unde este functia empiricǎ de repartitie.

Cazuri importante uzuale

a)    Pentru se numeste mediana distributiei care este o valoare a caracteristicii care imparte frecventele acesteia in douǎ pǎrti egale .

b)    Dacǎ

Diferenta se numeste interval intercuartilic si are rol in aprecierea imprǎstierii a jumǎtate dintre frecvente in jurul valorii centrale, fiind vorba de jumǎtatea din mijloc.

c) Pentru se obtin cvantilele numite si decile . Sunt in numǎr de nouǎ si impart gama frecventelor unei serii statistice in zece pǎrti egale.

d) Se mai folosesc si cvantilele numite centile , notate obtinute pentru .

Decilele si centilele se folosesc de obicei in cazul seriilor cu numǎr mare de valori.

v        CALCULUL MEDIANEI

Mediana verificǎ ecuatia .

a) Pentru seriile cu valori discrete valoarea ½ a functiei va fi incadratǎ astfel : , de aici rezultǎ cǎ i trebuie luat egal cu rangul cel mai mic pentru care suma frecventelor relative este mai mare sau egal cu , de aici rezultǎ cǎ mediana este .

b) Pentru serii avand valorile grupate pe intervale ecuatia se va rezolva :

, de unde obtinem

Aceastǎ formulǎ contine pe i ca necunoscutǎ. El se numeste indicele intervalului meridian, adicǎ intervalul in interiorul cǎreia se gǎseste mediana Me. Este primul interval cǎruia ii corespunde o frecventǎ relativǎ cumulatǎ egalǎ sau mai mare decat ½. In aceste conditii avem :

limita inferioarǎ a intervalului median ;

d = lungimea intervalului median ;

frecventa relativǎ corespunzǎtoarea intervalului median ;

frecventa relativǎ cumulatǎ anterioarǎ intervalului median .

Formula de mai sus poate fi scrisǎ si cu frecvente absolute tinand cont cǎ :

, ;