Reprezentarea grafica a unei serii statistice

Reprezentarea grafica a unei serii statistice

Reprezentarea grafica este o metoda de prezentare sub forma unei imagini a datelor unei distributii intr-un sistem de coordonate dat.Dezvoltarea matematica a acestui concept este datorata lui Descartes,ideea de determinare pozitia unui punct in spatiu cu ajutorul coordonatelor existand inca din epoca Greciei Antice.

Rolul reprezentarilor grafice

Graficele permit sa sesizam rapid ansamblul elementelor distributiei prin prisma unor caracteristici esentiale,cum ar fi ordinea de marime dintre elementele componenete ale unei colectivitati ,tendintele,permanentele,legitatile de variatie in timp,in spatiu,sau din punct de vedere calitativ.

Pe langa prezentarea unei sinteze vizuale a elementelor unei distributii ,reprezentarea grafica mai poate fi folosita si ca mijloc de comparare ,de studiere a legaturilor dintre fenomene.De asemenea poate folosi ca mijloc de alegere de procedeelor si metodelor de calcul statistic ,sau ca mijloc de aproximare a unor marimi statistice ,cum ar fi nivelul mediu (dominanta,mediana),gradul de concentrare etc.

Reprezentarea grafica,prin marea sa putere de sugestie,serveste si ca mijloc de popularizare a unor rezultate statistice.

Principiile reprezentarii grafice

Principiul de baza al reprezentarii grafice a unei distributii statistice il constituie proportionalitatea.Pentru a respecta acest principiu de construire a graficelor si pentru a asigura o interpretare usoara a lor, acestea trebuie sa contina o serie de elemente precise care le definesc.

Elementele unei reprezentari grafice

Reprezentarile grafice au elemente comune cu tabelele,respectiv cu distributiile statistice, dar si elemente specifice ,si anume axele de coordonate,scara,reteaua graficului,legenda.

Axele de coordonate

De regula se folosesc axe in sistemul de coordonate rectangulare,dar sunt utilizate si coordonatele polare,in special pentru reprezentarea seriilor de timp cu variatie ciclica sezoniera.

Scara

Se pot folosi scari uniforme (scara aritmetica in care diviziunile sunt echidistante)sau scari neuniforme(scara gaussiana,respectv logaritmica).Trecerea de la o scara la alta presupune efectuarea operatiei care face sa corespunda unei progresii geometrice de ratie 10 ,o progresie aritmetica de ratie 1(bazele 1 si 0 sunt corespondente).

Relatia dintre cele 2 serii cu valori reale si valori logaritmice,poate fi reprezentata fixand valorile corespunzatoare de o parte si de alta a unei axe gradate.

Numere 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1.000 10.000

Logaritmi zecimali -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Corespondenta intre orice numar (n oarecare) si logaritmul sau este data de relatia lg()=n.

Scara logaritmica se foloseste in special pentru reprezentarea grafica a seriilor de timp .Prin logaritmare modele de trend de tip putere se liniarizeaza, operatie ce faciliteaza calculele statistice necesare estimarii parametrilor modelelor de trend.

Reteaua graficului

Se construieste trasand linii paralele cu axele de coordonate pentru fiecare valoare si . Reteaua graficului se traseaza pentru a gasi locul de geometric al punctelor de coordonate date ( ,

Legenda

Apare necesara cand se construiesc 2 sau mai multe diagrame,respectiv se reprezinta elemente diferite in acelasi sistem de axe de coordonate. Legenda are rolul de a explica elementele reprezentate grafic. De regula , aceasta se amplaseaza alaturi de figura si se construieste reproducand la scara redusa elementele de constructie folosite in reprezentarea grafica .

Tipuri de reprezentari grafice

Tipul de reprezentare grafica se alege in principal in functie de natura seriilor statistice.

Seriile statistice de timp pot fi reprezentate grafic prin cronograme si diagrame polare.

Seriile de spatiu pot fi reprezentate grafic prin cartograme si cartodiagrame.

Distributiile cu variabile calitative pot fi reprezentate grafic prin diferite diagrame, in functie de modul de exprimare a caracteristicii si de numarul caracteristicilor de variatie.

Dupa modul de exprimare a caracteristicii, reprezentarea seriilor calitative se poate realiza prin 2 grupe mari de diagrame, in cazul seriilor unidimensionale, si prin 3 grupe mari in cazul seriilor bidimensionale.

a)     Pentru serii unidimensionale cu variablia exprimata cifric

Histograma (pentru o distributie pe intervale)

Poligonul frecventelor ( pentru o distributie pe variante sau cu o varianta a histogramei)

Curba frecventelor (curba de densitate), curba frecventelor cumulate crescator (curba de repartitie). Curba frecventelor cumulate crescator sau descrescator

b)     Pentru serii unidimensionale cu atribut calitativ, sunt specifice diagramele de structura

Dreptunghiul de structura

Patratul de structura

Cercul de structura

Semicercul de structura

c)     Pentru reprezentarea grafica a seriilor bidimensionale, cu ambele caracteristici exprimate cifric, inscrise intr-un tabel statistic cu dubla intrare, sunt specifice:

Norul de puncte ( diagrama de dispersie)

Diagrama prin paralelipipede

Suprafata poliedrala

d)     Pentru seriile calitative bidimensionale, cu ambele caracteristici exprimate atributiv, se folosesc diagrame de structura construite in acelasi plan

e)     In cazul seriilor bidimensionale cu o caracteristica exprimata atributiv si una cifirc, se folosesc diagrame specifice de tipul "piramidei varstelor"

APLICATIA NR.1 Sistematizarea primara, prelucrarea informatiilor si prezentarea rezultatelor.

Asupra populatiei scolare dintr-o scoala s-a facut un sondaj cu privire la

Sex ( F=feminin, M=masculin)

Varsta ( ani )

Religia (O=ortodoxa, C=catolica, A= alta religie)

Banii de buzunar saptamanal ( mii de lei)

Baza de date pentru un esantion n=40 de elevi este:

Tabelul 1

Se cere :

Sa se grupeze elevii dupa fiecare caracteristica in parte ; pentru caracteristicile numerice se vor forma intervale : a. egale   ( 6-7 grupe )

b. neegale ( 3 grupe )

Sa se grupeze combinat elevii dupa variatia caracteristicilor luate doua cate doua .

Sa se reprezinte grafic rezultatele de la punctele 1 si 2.

Folosind rezultatele gruparii dupa religie sa se centralizeze datele pentru varsta si banii de buzunar.

Calculati marimile relative posibile pe baza rezultatelor de la punctul 4 si reprezentati-le grafic.

Rezolvare:

Notatii: Xi=varsta si Yi=banii de buzunar

Gruparea presupune structurarea colectivitatii statistice in grupe omogene dupa variatia uneia sau a mai multor caracteristici de grupare. Alegerea numarului de grupe si stabilirea intervalului de grupare se face in raport de campul de imprastiere a valorilor caracteristicii si cu numarul de unitati inregistrate .

Gruparile simple - sunt acele grupari in care se foloseste o singura caracteristica de grupare.

! Gruparea dupa variabile nenumerice

Pentru caracteristicile nenumerice ( calitative )sex, respective religie, avem :

Distributia elevilor dupa sex :

Tabelul 2

Distributia elevilor dupa religie :

Tabelul 3

! Gruparea dupa variabile numerice

A.    Gruparea dupa interval egale se foloseste pentru a vedea si a analiza forma de variatie si de asimetrie a unor caracteristici.

Pentru variabilele numerice se parcurg urmatoarele etape

Calculul amplitudinii variatiei ( A_x )

A_x=X_max-X _min

Determinarea marimii intervalului de grupare (k)

K₁=

unde r-numarul de grupe ,daca acesta a fost stabilit in prealabil

K₂₌

Se formeaza grupele in care caracteristica de grupare are variatie continua.

Observatie Daca raportul dintre amplitudinea variatiei si numarul de grupe nu este un cat exact,atunci se rotunjeste in plus,cel putin la numar intreg,in functie ordinul de marime al valorilor caracteristicii.

Gruparea elevilor dupa varsta(variabila numerica)

A_x=18-7=11

lg _{n=lg 40=1,60206 =1 +3,322 lg}n _=6,3220

K₁₌

K₂₌

Distributia elevilor dupa varsta

Nota inferioara este inclusa in intervalul

Gruparea elevilor dupa banii de buzunar (variabila numerica)

Pentru caracteristica de bani de buzunar (y_i) avem

A_y=170-50=120

Lg_n=lg 40 =1,60206= 1+3,322 lg _n=6,3220

K₁=

K₂=

Distributia elevilor dupa banii de buzunar

Tabelul 5

Nota limita inferioara este inclusa in interval

Tabelul 6

Nota limita inferioara nu este inclusa in interval

B.Gruparea pe intervale de variatie neegale corespunde unor grupe mai mari de unitați numite tipuri calitative. Se pot forma grupe de elevi dupa varsta sau dupa banii de buzunar.

Varianta 1 se bazeaza pe regruparea intervalelor egale, considerandu-se ca fenomenul analizat are o ditribuție asimptotic normala (evolueaza dupa curba Gauss-Laplace), iar numarul cel mai mare de elevi se plaseaza la grupa centrala(mijlocie), restul unitaților situandu-se la distanțe diferite de acesta.

Grupa I include elevii cu valori mai mici pentru caracteristica varsta sau pentru caracteristica banii de buzunar.

Grupa a II-a include elevii cu nivele medii pentru caracteristica varsta sau pentru caracteristica banii de buzunar.

Grupa a III-a include elevii cu valori mari ale caracteristicilor de grupare, valori superioare nivelului mediu.

Varianta 2.Intervalele neegale se pot forma dupa ce s-a stabilit poziția termenilor fața de medie la o distanța egala in plus sau in minus cu valoarea abaterii medii liniare (

=

±

Ditribuția elevilor dupa varsta

= =12,62≈13

Tabelul 7

_x  = =

Astfel vom avea:

_x 13 ±4 => 9 si 17

(limita inferioara si superioara a intervalului de mijloc)

Tabelul 8

Nota: Limita inferioasa este inclusa in interval.

Distributia elevilor dupa banii de buzunar

= = 97,75

Tabel 9

y =

Astfel vom avea:

y=98±30=>68 si 128

(limita inferioara si superioara a intervalului de mijloc)

Tabelul 10

NOTA:Limita inferioara este inclusa in interval

2.Gruparea combinata

Are la baza variatia a doua sau mai multe caracteristici de grupare utilizate concomitent.Ea se bazeaza pe acele caracteristici care se gasesc in relatii de interpendenta.

Rezultatele gruparii combinate se prezinta in tabele combinate cu dubla intrare.

Pe baza tabelului combinat se pot cunoaste:

Gradul si forma de variatie a caracteristicilor de grupare

Legaturile dintre valorile perechi ale caracteristicilor

Valorile centralizate ale caracteristicilor dependente

Distributia elevilor dupa varsta si dupa banii de buzunar

Grupe de elevi dupa varsta	Subgrupe de elevi dupa banii de buzunar (mii lei)
											Total
Total

3.Reprezentarea grafica a rezultatelor de la punctele 1 si 2

Graficele sunt adecvate pentru rezultatul gruparilor dupa caracteristicile numerice sunt diagramele de structura:

Patratul,dreptunghuil,cercul si semicercul

Astfel vom avea:

Graficele adecvate pentru rezultatul gruparilor simple pe intervale egale si neegale sunt:

Histograma

Poligonul frecventelor

Diagrama frecventelor cumulate(ogiva)

Graficul de concentrare(graficul lui Lorenz).

Pentru reprezentarea grafica a rezultatelor gruparii combinate se foloseste diagrama norului de puncte sau corelograma.

Pe baza datelor din tabelul 4 avem urmatoarele tipuri de reprezentari:

4. Centralizarea datelor tinand cont de caracteristica religie

Tabelul 12

5. Calculul marimilor relative folosind rezultatele de la punctul 4

Marimile relative de structura

Tabelul 13

Marimile relative de coordonare

Tabelul 14

Marimile relative de intensitate

Tabelul 15

PROBLEME PROPUSE

Asupra populatiei din judetele Romaniei in anul 2000 s-a facut o ancheta cu privire la populatia ocupata si la ramura in care aceasta este angajata .Datele sunt urmatoarele :

Tabelul 1

Se cere :

Sa se grupeze judetele dupa variatia fiecarei caracteristici in parte ;pentru caracteristice numerice se vor forma intervale:

a)     Egale(6-7 grupe)

b)     Neegale(3 grupe)

2.Sa se grupeze combinat judetele dupa variatia caracteristicilor luate doua cate doua .

3.Sa se reprezinte grafic rezultate de la punctele 1 si 2 .

4.Folosind rezultatele gruparii dupa regiune sa se centralizeze datele pentru populatia ocupata in comert,transporturi , industrie si agricultura;

5.Calculati marimile relative posibile pe baza rezultatelor de la punctul 4 si reprezentati-le grafic.

2.Activitatea sportiva in anul 2000 in Romania se prezinta astfel:

Tabelul 1

Se cere :

1.Sa se grupeze judetele dupa variatita fiecarei caracteristici in parte pentru caracteristicile numerice se vor forma intervale:

a)egale (6-7 grupe)

b)neegale(3 grupe)

2.Sa se grupeze combinat judetele dupa variatia caracteristicilor luate doua cate doua .

3.Sa se reprezinte grafic rezultatele de la punctele 1 si 2

4.Folosind rezultatele gruparii dupa regiune sa se centralizeze datele pentru sportive,antrenori,instructor,arbitri.

5.Calculati marimile relative posibile pe baza rezultatelor de la punctual 4 si reprezentatile grafic.