INDUCTIE, PROBABILITATE, VERIFICABILITATE

Logica rationamentelor inductive

CONCEPTUL DE INDUCTIE. ASPECTE GENERALE

Daca propozitiile de predicatie sunt propozitiile specifice deductiei silogistice, se pune problema cum iau nastere aceste propozitii, se obtin ele tot pe cale silogistica?

Din cate am vazut, una din legile generale ale silogismului cerea ca o premisa, cel putin, sa fie propozitie universala.

Sa presupunem deci ca in silogismul S figureaza premisa universala A. Daca, intr-adevar, silogismul este cel ce produce propozitii universale, atunci va fi nevoie de un alt silogism, S', care sa o produca pe A. Dar S' va trebui sa contina la randul lui o alta universala, sa zicem A', care va fi produsa de un alt silogism, S'', si tot asa, la infinit. Deci nu putem spune ca silogismul ar fi sursa propozitiilor universale, mai bine zis, ca ar fi unica lor sursa.

Apare, apoi, si o alta problema. Propozitia universal afirmativa este concluzie intr-un singur mod valid - modul Barbara - si daca propozitiile de predicatie ar lua nastere pe cale silogistica, logic ar fi ca numarul acestor propozitii sa fie considerabil mai restrans. Or, nu se poate sustine asa ceva.

Intrebarea insa ramane: cum se formeaza propozitiile universale, ce ne face pe noi sa afirmam ca "Toti S sunt P"?

Sa luam cazul particular al unei astfel de propozitii, sa zicem "Toti studentii anului intai sunt bursieri".

Presupunand ca in anul intai sunt n studenti, examinarea fiecarui caz in parte va duce, in final, sau la aceasta concluzie sau la negatia ei. Rationamentul este deci urmatorul:

a este bursier,

a este bursier,

a_n este bursier,

deci

Toti studentii anului intai sunt bursieri.

Ce putem spune despre acest rationament?

O prima observatie ar fi ca premisele lui sunt propozitii singulare, fata de concluzie care este o propozitie universala.

In al doilea rand, derivarea concluziei in acest rationament nu mai este o operatie logic formala, ci una materiala, de continut (ordinea termenilor si raporturile dintre ei aproape ca nu conteaza).

In fine, subiectul concluziei difera de subiectul fiecarei premise in parte.

Categoric, rationamentul nostru nu mai este un silogism.

Mai departe, presupunand ca in loc sa trecem in revista toate cazurile ne-am limita doar la examinarea catorva dintre ele, ce fel de concluzie s-ar obtine atunci? Cu alte cuvinte, cum este concluzia urmatorului rationament:

a este bursier,

a₂ este bursier,

a_n-m este bursier,

deci

Toti studentii anului intai sunt bursieri[1]

Este si aceasta concluzie adevarata? Este ea falsa?

Oricate cazuri am examina, atata timp cat nu sunt examinate toate cazurile exista mereu posibilitatea ca cel putin un student sa nu fie bursier si atunci concluzia rationamentului nostru ar fi falsa. Neavand insa cunostinta de existenta unui asemenea caz, vom spune despre concluzie ca este probabila sau probabil adevarata.

Fata de rationamentele examinate in capitolul anterior, situatia s-a schimbat radical. In logica deductiva, daca premisele sunt adevarate si rationamentul valid, concluzia va fi cu necesitate adevarata. In cazul de fata premisele sunt adevarate, concluzia probabila, iar problema validitatii pur si simplu nu se mai pune. Suntem, prin urmare, nevoiti sa admitem ca ne aflam in fata unui alt tip de rationament.

Asemenea rationamente care procedeaza prin generalizare si in care concluzia urmeaza cu o anumita probabilitate din premise se numesc rationamente inductive. La randul ei, disciplina logicii care studiaza rationamentele inductive se va numi, cum este si firesc, logica inductiva.

Mai putin sistematizata decat logica deductiva si, in general, mai putin riguroasa, logica inductiva s-a dovedit totusi a avea un rol hotarator in cunoastere.

Istoric Termenul "inductie" provine din traducerea latineasca a grecescului "epagogé" (έπαγωγή) care inseamna "a aduna", "a strange la un loc unul cate unul". Etimologic, inductia este rationamentul in care se ajunge la concluzie facandu-se o enumerare, o adunare a lor unul cate unul.

Nu stiu daca inceputul logicii inductive trebuie legat tot de numele lui Aristotel sau daca nu cumva ar fi mai potrivit sa "amanam" acest inceput cu inca o mie de ani.

Este drept ca Aristotel face unele consideratii asupra inductiei complete si incomplete, precum si asupra unei forme mai speciale de inductie - asa numita inductie intuitiva pe care o leaga de cunoasterea "principiilor nemijlocite ale stiintelor" - insa nici in Organon si nici in celelalte scrieri ale sale, Aristotel nu are ceea ce s-ar putea chema o teorie a inductiei. Si neprimind o atentie prea mare din partea lui Aristotel, problema inductiei nu se va bucura de prea mare atentie nici din partea urmasilor lui, fie ca este vorba de urmasii directi, fie de urmasi mai indepartati cum sunt logicienii medievali, de exemplu. Adevarata epoca a inductiei incepe de aceea mult mai tarziu, ea debuteaza odata cu Renasterea cand se pun bazele stiintelor experimentale in Europa.

Primul ganditor important care se va rupe de traditia scolastico-aristotelica intr-o incercare de refundamentare logica a stiintelor este Francis Bacon. Intentia lui era sa puna la indemana stiintelor particulare o metoda de cercetare care sa nu mai porneasca de la principii universale, postulate de ratiune, ci de la observatia nemijlocita a faptelor. Principala lui opera, sugestiv intitulata Noul organon, are ca subtitlu Adevaratele indrumari pentru explicarea naturii si se vroia a fi inceputul unui vast program de reforma a stiintelor.

Metodele lui Bacon nu s-au soldat cu rezulte notabile, totusi, el are meritul de-a fi pus pentru prima data cu claritate problema metodei in stiintele experimentale subliniind totodata unele limite ale logicii scolastice si ale modelului aristotelic, in general.

Ceea ce reprosa in primul rand Francis Bacon logicii clasice era atentia exagerata acordata silogismului:

Silogismul nu ajuta pentru a descoperi principiile stiintelor si este in zadar intrebuintat pentru a verifica propozitiile mijlocii, deoarece este mult prea nepotrivit cu finetea naturii: el constrange adeziunea noastra, nu realitatea.

Silogismul se alcatuieste din propozitii; propozitiile din cuvinte; iar cuvintele sunt semnele lucrurilor. De aceea, daca notiunile (care sunt temelia lucrului) sunt confuze si scoase din lucruri in graba, nimic trainic nu se poate cladi pe ele. Deci toata nadejdea sta in inductie.[2]

Ce este insa aceasta inductie in care Fr. Bacon isi pune "toata nadejdea" si de ce este ea preferabila stiintei oficiale?

Raspunsul lui Bacon este fara echivoc:

Exista si pot exista doua cai pentru a cerceta si descoperi adevarul. Una se inalta ca intr-un zbor de la datele simturilor si de la faptele particulare la propozitiile cele mai generale, si stabileste si descopera din aceste principii, socotite ca un adevar de nezdruncinat, propozitiile mijlocii. Aceasta este calea intrebuintata azi. Cealalta scoate propozitiile din datele simturilor si din faptele particulare, ridicandu-se continuu si gradual, pentru a ajunge, in cele din urma, la propozitiile cele mai generale. Aceasta este calea adevarata dar inca neincercata.[3]

Pentru a ajunge la "natura generala si specifica" a lucrurilor, Bacon recomanda cercetarea pe baza de "corelatii", el propune construirea de tabele prin care sa se consemneze prezenta, absenta si covarianta fenomenelor:

Tabula presentiae (tabelul prezentelor): "pentru orice insusire data, mai intai sa avem dinaintea intelectului un numar al tuturor cazurilor cunoscute care concorda in aceeasi masura, desi in materie sunt neasemanatoare". (Noul Organon., p. 113)

Tabula absentiae (tabelul absentei): "In al doilea rand, trebuie sa facem un sumar al cazurilor in care natura respectiva lipseste deoarece forma trebuie sa fie absenta cand natura data este absenta si prezenta cand natura este prezenta". (Noul Organon, p. 115)

Tabula graduum (tabelul gradatiei): "Al treilea, trebuie sa facem intelectului un sumar de cazuri in care natura cercetata se infatiseaza in diferite grade, adica mai mult sau mai putin; ceea ce trebuie facut printr-o comparatie a cresterii si descresterii ei sau in acelasi subiect sau in subiecte diferite." (Noul Organon, pp. 123-24)

Odata construite aceste tabele, nu ne ramane decat "sa gasim o astfel de insusire care este totdeauna prezenta sau absenta odata cu insusirea data si totdeauna creste si descreste cu ea". (N.O., p. 132)

Pentru ca numai cunoasterea cauzelor duce la "natura generala si specifica a lucrurilor", atentia va reveni nu logicii, si cu atat mai putin silogismului, ci metodologiei.

Din prezentarea lui Bacon rezulta trei mari reguli metodologice ale explicatiei cauzale, si anume:

● Daca A este prezent, B este prezent.

● Daca A este absent, B este absent,

● Daca A creste (respectiv, descreste), B creste (respectiv, descreste).

Pentru ilustrarea acestor reguli, Bacon ia fenomenul caldurii pe care il explica prin fenomenul miscarii. Exemplul este interesant si, as spune, destul de avansat (urmarit cu consecventa el putea anticipa conceptul de energie), insa, din pacate, metodele lui erau la acea data prea putin cunoscute. Discutia se reia abia in sec. XIX cand se va declansa o ampla dezbatere in jurul ideilor lui Fr. Bacon, urmare a acumularilor survenite in domeniul unor stiinte particulare - fizica, biologia, chimia s.a.

Teoretizarile de factura baconiana incep in sec. XIX cu cartea lui John Herschel, Dicourse on The Study of Natural Philosophy (1830) apreciata de contemporani drept "un admirabil comentariu la Noul Organon".

Inspirat de metodele lui Bacon, John St. Mill elaboreaza cunoscutele metode inductive in cercetarea cauzalitatii, iar William Whewell face, la randul lui, unele aplicatii baconiene in optica si astronomie. Stiintele particulare acumulasera un bogat material faptic pentru a carui sistematizare erau necesare reguli si principii metodologice noi.

In paralel cu linia lui Bacon din dezvoltarea logicii inductive se deruleaza linia lui Hume.

Ca si Bacon, Hume admite ca in stiinta trebuie pornit de la observatia nemijlocita a faptelor, ca nu putem cunoaste numai din rationamente si principii cum pretinde aristotelismul scolastic, insa observatia lui trece mult dincolo de cadrele inductivismului baconian: cunoasterea factuala de care fiecare dispune depaseste ceea ce putem noi observa si percepe in experienta. Or, daca lucrurile stau in acest fel, cum se justifica trecerea de la observat si cunoscut la neobservat si necunoscut? Cum se justifica progresul cunoasterii in general?

Iata marea intrebare pusa de Hume.

Justificarea acestei treceri nu poate lua decat doua forme - fie forma "inferentei demonstrative" (expresia lui Hume), fie forma inferentei inductive.

Inferenta demonstrativa este conservativa fara sa fie ampliativa, altfel spus, ea are capacitatea conservarii adevarului (de la adevarul premiselor se trece la adevarul concluziei) dar nu este spornica (concluzia nu poate depasi informational premisele). Inferenta inductiva, in schimb, este ampliativa dar nu este conservativa (concluziile ei nu sunt adevarate chiar daca sunt adevarate premisele).

Revin atunci la intrebarea: cum se explica progresul cunoasterii daca, intr-adevar, este posibil un asemenea progres? Exista realmente inferente care sa fie ampliative si conservative in acelasi timp?

Raspunsul lui Hume este negativ: sau inferenta este logic valida si atunci ea este, intr-adevar, conservativa; sau este spornica, cum s-a vazut, dar atunci isi pierde capacitatea conservarii adevarului.

Dat fiind ca inferentele inductive sunt candidatii cei mai calificati la statutul de inferenta ampliativa si conservativa, raspunsul lui Hume a insemnat cea mai clara si mai categorica forma de respingere a inductivismului logic. Este un punct de vedere nou, cu consecinte dintre cele mai variate si profunde (in paranteza fie spus, scepticismul humeian nu a avut doar rolul de a-l trezi pe Kant din "somnul dogmatic", el a jucat un important rol in dezvoltarea filosofiei stiintei, in general).

Daca cele doua linii din dezvoltarea logicii inductive sunt diferite in privinta rezultatelor, ele sunt mult mai asemanatoare in privinta limitelor. Trebuie spus ca nici in linia lui Bacon, nici in linia lui Hume nu s-a ajuns la o idee clara de ipoteza si, mai mult decat atat, nu s-a ajuns la o formulare corespunzatoare a problemei probabilitatii. Acest lucru se va realiza abia in secolul XX, mai exact, in 1920 de catre J. Nicod in Franta, si M. J. Keynes in Anglia.

Noile teorii din domeniul fizicii, chimiei si biologiei, aparitia logicii matematice si a teoriei multimilor, o serie de abordari noi din teoria probabilitatilor, acesta este cadrul stiintific pe fondul caruia se vor derula discutiile despre inductie din prima jumatate a secolului XX.. Si-au adus contributia la dezvoltarea logicii inductive spirite dintre cele mai stralucite: R. Carnap, H. Reichenbach, C. Hempel, K. Popper, G. von Wright si foarte multi altii. Linia lui Bacon si linia lui Hume se vor continua in sec. XX prin linia lui Carnap si linia lui Popper insa apar acum o serie de alte contributii logice si filosofice nu mai putin importante. Aceasta face ca problema inductiei sa se discute astazi in trei mari registre - ca problema logica, ca problema matematica si ca problema filosofica.

2. FORMELE INDUCTIEI LOGICE

Se spune ca nu exista si ca nici nu se poate face un inventar complet al inferentelor inductive. Daca este sau nu asa ramane de discutat, deocamdata va trebui sa facem si aici cateva distinctii.

Vom distinge pentru inceput intre inductia logica si inductia matematica. In ciuda raporturilor foarte stranse dintre ele (inductia logica se contine in inductia matematica) este de preferat ca cele doua sa fie abordate totusi separat.

In privinta inductiei logice, exista trei forme de baza - inductia completa, inductia incompleta si inductia cauzala.

Inductia completa are, la rindul ei, doua forme: inductia prin enumerarea obiectelor si inductia prin enumerarea speciilor.

Inductia incompleta are si ea mai multe forme dintre care doua sunt de baza - inductia prin simpla enumerare si inductia prin eliminare. Urmeaza apoi o serie de forme subordonate care difera de la autor la autor, cum ar fi: analogia, rationamentele (sau argumentele) metaforice, rationamentele prin "chiar si", ipotezele si rationamentele din ipoteze s. a. Un loc aparte il detin generalizarile statistice carora va trebui sa le alocam un spatiu separat.

Unele aplicatii ale acestor inductii sunt foarte simple, altele, in schimb, sunt foarte complicate. Ca si in cazul deductiei ne intereseaza chestiunile de principiu, deci vom proceda si de aceasta data prin abstractie retinand doar aspectele care ne intereseaza, neglijand restul.

2.1. Inductia completa (sau sumativa).

Este forma de inductie cu care a debutat acest capitol. Fie X o multime de elemente finita si suficient de restransa astfel ca unele dintre elementele lui X au proprietatea A. Fie, de asemenea, o proprietate oarecare B.

Daca B are loc pentru fiecare element din X care este A, putem aserta propozitia universal afirmativa "Toti cei care sunt A sunt B" sau, mai simplu, "Toti A sunt B".

Multimea elementelor din X care au proprietatea A se va numi baza inductiei, iar B este proprietatea supusa inductiei.

In Analitica Prima, Aristotel foloseste pentru aceasta inductie denumirea de "inductie prin enumerarea tuturor cazurilor", insa, din pacate, exemplificarile lui nu sunt lipsite de echivocuri.

Aristotel prezinta rationamentul inductiv tot in forma silogistica, dar, spre deosebire de silogismul demonstrativ in care majorul este legat de minor prin termenul mediu, in silogismul inductiv majorul este legat de mediu prin termenul minor:

Inductia sau, mai degraba, silogismul inductiv - arata Aristotel - consta in a stabili silogistic o relatie intre un extrem si mediu cu ajutorul celuilalt extrem, de exemplu, daca B este termenul mediu intre A si C, prin C se dovedeste ca A apartine lui B.[4]

Pentru cazul particular cand A = "animal cu viata lunga", B = "animal fara fiere" si C = "om, cal , catar", Aristotel stabileste urmatorul silogism:

Omul, calul si catarul (C) au viata lunga (A),

Animale fara fiere (B) sunt omul, calul si catarul (C),

Animalele fara fiere (B) au viata lunga (A).

De ce trebuie numit "inductiv" acest silogism? Si de ce nu este el un silogism de figura intai avand in vedere pozitia termenlui mediu?

Un raspuns ar putea fi acesta: in premisa majora se face enumerarea cazurilor (conditie impusa prin definitie rationamentului inductiv). In premisa minora este data clasa in extensiune (cazurile supuse enumerarii). In fine, concluzia redefineste clasa prin proprietatea pe care o au cazurile enumerate in majora.

Deducem din exemplele lui Aristotel o schema de rationare inductiva compusa din trei pasi sau etape:

● In prima etapa se determina baza inductiei: B = .

● In a doua etapa se verifica proprietatea supusa inductiei: F(x₁), F(x₂), F(x₃).

● In a treia etapa este redefinita baza in functie de proprietatea supusa inductiei: B = .

Generalizata la clase cu n termeni, aceasta schema ar putea fi considerata o alta schema a inductiei complete, nu foarte departe de schema clasica (Fa₁, Fa₂, Fa₃, deci toti a sunt F).

Prezentarea lui Aristotel ridica mai multe intrebari insa doua, zic eu, ar fi de interes logic imediat.

Prima intrebare: inductia completa se face prin enumerarea obiectelor sau prin enumerarea speciilor?

La Aristotel, cel putin, avem de-a face cu specii, deci premisele acestor rationamente inductive nu sunt propozitii singulare, ca in primele noastre exemple, ci propozitii generale. Or, aceasta poate fi o problema pentru ca, asa cum s-a vazut si din capitolele anterioare, intre propozitiile "Socrate are viata lunga" si "Omul are viata lunga" diferentele sunt destul de mari. Revin deci la intrebare: ce enumeram noi intr-o asemenea inductie, obiecte sau specii?

Probabil ca se poate proceda si intr-un mod si in celalalt insa atunci va trebui modificata corespunzator si schema rationamentului inductiv (in primele noastre exemple am avut in vedere enumerarea obiectelor, nu a speciilor).

A doua intrebare se refera la formularea silogistica a inductiei complete. De vreme ce inductia este ea insasi un silogism inseamna ca va presupune, si ea, propozitii universale. Dar atunci vom da peste aceeasi regresie la infinit despre care am vorbit la inceput.

Sa luam insa forma cea mai simpla a inductiei complete, cea care face enumerarea tuturor cazurilor individuale dintr-o clasa data.

Ce se poate spune despre o asemenea inductie este ca:

Are concluzia certa si nu probabila, asa cum cere definitia rationamentului inductiv;

Concluzia acestei inductii nu aduce lucruri noi fata de premise, este o simpla insumare a acestora (am vazut ca "Toti S sunt P" se traduce prin "a₁ este P, a₂ este P, ., a_n este P" unde a₁, a₂, . , a_n sunt, toate, obiecte din sfera lui S).

Bertrand Russell formuleaza o obiectie si mai tare, el spune ca intr-o inductie completa este presupusa intotdeauna o premisa universala (premisa care ne asigura ca elementele supuse inductiei sunt toate obiectele posibile).

Se mai justifica atunci denumirea de "inductie" pentru aceasta forma de rationament?

Cred ca cea mai buna solutie ar fi sa declaram inductia completa drept rationament de trecere, o inductie deductiva cum spune Teodor Dima.

2. 2. Inductia incompleta (sau amplifianta)

Daca baza inductiei este foarte mare (posibil infinita) generalizarea nu se mai face prin inspectarea tuturor cazurilor, ci doar a unui numar restrans de cazuri. Fiind o trecere de la "unii" la "toti", concluzia va fi cel mult probabila (probabilitatea concluziei poate creste sau descreste, in functie numarul cazurilor inspectate si de natura acestora).

Este rationamentul inductiv prin excelenta si nu putini sunt cei care sustin ca el sta la baza tuturor formelor de rationament care aspira intr-un fel sau altul la numele de "inductie".

Aristotel nu se ocupa de inductia incompleta, totusi, el are in Topica un scurt capitol in care consemneaza si acest gen de inferenta:

Inductia insa este ridicarea de la individual la general; de exemplu, daca cel mai bun pilot este cel mai priceput in profesiunea sa si daca acelasi lucru este valabil si despre vizitiu, atunci cel mai bun in genere este cel care se pricepe in profesiunea sa.[5]

Observatia lui Aristotel este pasagera, cu exemplificari neclare, inca o dovada ca Aristotel nu a dat importanta inductiei incomplete (sau poate ca a dat insa nu in aceste lucrari care ni s-au pastrat de la el).

Dintre formele pe care le poate lua inductia incompleta doua sunt mai importante, si anume:

2. 2. 1. Inductia prin simpla enumerare.

Sa presupunem ca vizitand un oras observam ca prima institutie de stat intalnita are arborat drapelul national. Daca si urmatoarele institutii au arborat drapelul national, vom fi tentati sa spunem ca in respectivul oras toate institutiile de stat au arborat drapelul national. Concluzia rationamentului este doar probabila pentru ca nu este deloc exclus ca din anumite motive unele institutii sa nu aiba, totusi, arborat drapelul national. La fel in generalizarea "Toti politicienii sunt corupti" pe care cineva o face plecand de la observatia ca politicienii cunoscuti de el in diverse imprejurari s-au dovedit a fi corupti.

Inductia prin enumerare, asadar, nu inseamna altceva decat generalizarea rezultata din examinarea unul cate unul a cazurilor. Este o forma foarte simpla de inductie, ce-i drept, dar si foarte des intalnita.

2. 2. 2. Inductia prin eliminare.

Bacon critica inductia prin enumerare considerand-o "buna pentru copii" (res puerilis). Ca metoda, spune Bacon, inductia prin enumerare "se pronunta in urma unui mic numar de fapte", "duce numai la concluzii slabe" si "este expusa primejdiei indata ce se prezinta primul fapt contradictoriu". (N. O. p. 85)

Forma superioara a inductiei incomplete se considera a fi inductia prin eliminare. Intrucat nu confirmarea, ci infirmarea este definitiva intr-o inductie incompleta, accentul nu se mai pune pe adunarea faptelor confirmatoare, ci invers, pe eliminarea celor infirmatoare. Altfel spus, cu cat sunt eliminate mai multe cazuri de natura sa infirme concluzia, cu atat este ea mai probabila. De pilda, plecand de la observatia ca unele materiale sunt bune conducatoare de electricitate, iar altele nu, putem proceda prin eliminare pentru a le identifica doar pe cele bune conductoare:

a₁ nu este metal si nu este bun conductor,

a₂ nu este metal si nu este bun conductor,

...........

a_n nu este metal si nu este bun conductor

Toate metalele sunt bune conductoare

Am ajuns la concluzia ca toate metalele sunt bune conductoare eliminand unul cate unul cazurile care nu sunt nici metale, nici bune conductoare, adica tocmai cazurile care ar putea infirma concluzia. Si cu cat este mai mare numarul cazurilor eliminate, cu atat mai mare va fi probabilitatea concluziei.

Sa aplicam acelasi procedeu in verificarea propozitiei "Toate metalele sunt solide". Faptul ca exista un singur caz infirmator - mercurul - este suficient pentru respingerea concluziei.

Nu acelasi lucru poate fi spus despre conjectura (ipoteza) lui Goldbach:

Numar prim + Numar prim = Numar par

unde existenta unui astfel de caz caz infirmator nu a fost demonstrata inca. Eliminam, de pilda, numarul par 90 intrucat poate fi dat ca suma de 11 si 79, doua numere prime. Deci 90 nu poate infirma ipoteza si va trebui cautat altul. Or, ipoteza se mentine tocmai pentru ca nu s-a putut gasi acest "altul".

In unele manuale se vorbeste si despre o asa numita "inductie stiintifica". Nu-mi dau seama daca este vorba de o forma aparte de inductie sau numai de alte conditii ale aplicarii inductiei. In definitiv, toate formele de inductie se intalnesc in practica stiintifica, dar este vreuna din ele atat de sigura pentru ca, in virtutea acestui fapt, sa o numim "stiintifica"? Vom vedea la momentul potrivit rolul extraordinar pe care l-a jucat si continua sa-l joace inductia prin simpla enumerare in matematica desi nimic cert nu se poate stabili numai printr-o astfel de inductie.

3. RAPORTUL DEDUCTIE - INDUCTIE PLUS CATEVA CHESTIUNI TERMINOLOGICE

In prezentarea acestor inferente am folosit denumirile de "premisa" si "concluzie", insa, riguros vorbind, in inductie nu avem de-a face nici cu premise, nici cu concluzii. Ceea ce ar trebui sa fie concluzia unei inductii este numai o ipoteza, iar premisele inductiei sunt faptele ce confirma ipoteza. Acestea se mai numesc evidente. Este un mod de exprimare inspirat din literatura engleza, intalnit si la deductie: daca Q este evidenta relativ la P, atunci P este evidenta lui Q.

Nu sunt convins ca obiectia privind utilizarea deductiva a termenului "evidenta" este la fel de valabila si pentru inductie, s-ar putea ca aici lucrurile sa se schimbe intrucatva.

In exemplul nostru, ipoteza ca toti studentii anului intai sunt bursieri este evidenta relativ la faptul ca a₁ este bursier, a₂ este bursier si asa mai departe. La fel, ipoteza ca toate bilele din urna sunt negre este sustinuta de faptul ca toate bilele extrase pana acum au fost negre.

Este de departe vizibil ca intre ipoteza astfel inteleasa si evidenta exista un cu totul alt raport logic decat raportul existent intre premisele si concluzia unei deductii. Am vazut ca ipoteza poate fi falsa si evidentele adevarate, ceea ce la deductie nu se intampla cu premisele si concluzia. Ipotezele, apoi, nu stau sub semnul necesitatii, ci al probabilitatii, o probabilitate care variaza in grad. Daca ipoteza poate creste (sau descreste) in probabilitate nu acelasi lucru se poate spune despre concluzia unei deductii, adevarul acesteia nici nu creste, nici nu descreste.

Este drept, pe de alta parte, ca din ipoteza poate fi obtinuta pe cale deductiva oricare dintre evidentele ei, fapt de natura sa sublinieze inca odata raportul foarte strans dintre deductie si inductie.

Sa revenim la schema inductiei incomplete prin simpla enumerare:

Daca a₁ este A, atunci el este B,

Daca a₂ este A, atunci el este B,

............

Daca a_n este A atunci el este B,

Toti A sunt B

Din propozitia "Toti A sunt B", concluzia acestei inductii, poate fi dedusa oricare din premise. De pilda, din propozitia "Toti studentii anului intai sunt bursieri" (ipoteza) se deduce propozitia "Ionescu este bursier" (evidenta). La fel in exemplul cu urna: din propozitia "toate bilele sunt negre" se deduce propozitia ca si ultima bila extrasa a fost tot neagra.

Acest raport inferential dintre ipoteza si evidenta, sesizat pentru prima data de W. Whewell, a reprezentat unul din cele mai puternice argumente in justificarea inductiei. In opinia lui Whewell deducerea premisei din concluzie intr-o inferenta inductiva reprezinta nici mai mut nici mai putin decat "criteriul adevarului inductiv, in acelasi sens in care demonstratia silogistica este criteriul adevarului necesar"[6].

Revenind la chestiunea terminologica semnalata, voi folosi in continuare denumirile de "premisa" si "concluzie" pentru descrierea inferentelor inductive dat fiind ca foarte multi autori procedeaza la ora actuala in acest fel. Se subantelege ca este vorba de premise si concluzii inductive si nu deductive. Cat priveste ipotezele, acestea vor fi discutate pe larg intr-un alt paragraf.

4. Rationamentul metaforei si rationamentul prin analogie

Cuvantul "analogie" provine din grecescul analogia (άναλογία) in care ana inseamna "acelasi", iar logos, "raport". Literar, "analogie" ar fi "acelasi raport".

Matematic vorbind, acelasi raport exista intre 3 si 4 ca si intre 6 si 8, intre 9 si 12, intre 72 si 96 si asa mai departe. Prin urmare, raportul 3/4 este analog raportului 72/96.

Aristotel va generaliza acest raport astfel incat el sa poata fi aplicat si altor lucruri, nu neaparat numerelor. Atentie, insa, Aristotel nu vorbeste de rationamente ci de metafore, pentru el analogia este o modalitate a metaforei (sa nu uitam ca el discuta aceste probleme in Poetica si nu in Organon).

Inteleg prin trecere dupa un raport de analogie toate cazurile cand termenul al doilea se afla fata de termenul intai in acelasi raport cum e termenul al patrulea fata de al treilea; in acest caz, poetul va putea intrebuinta al patrulea termen in loc de al doilea si pe al doilea in loc de al patrulea; cateodata se adauga si termenul la care se raporta cuvantul inlocuit de metafora. Pentru ca sa fiu mai lamurit prin exemple, exista acelasi raport intre "cupa" si "Dyonisos" ca intre "scut" si "Ares"; poetul va spune deci despre cupa ca-i "scutul lui Dyonisos" si despre scut, ca-i "cupa lui Ares". De asemenea, exista acelasi raport intre batranete si viata, ca intre seara si zi; asadar, poetul va spune despre seara cum zice Empedocle, ca-i "batranetea zilei" si despre batranete ca-i "seara vietii" sau "apusul vietii".[7]

Analogia este deci o proportie (egalitate intre doua raporturi): A/B = C/D.

Generalizat, exista o analogie atunci cand, fiind dati patru termeni, al doilea este fata de primul in acelasi raport in care este al patrulea fata de al treilea.

In exemplele lui Aristotel, apar doua serii de termeni analogici: Dyonisos, scut, cupa, Ares, respectiv, batranete, viata, seara, zi care formeaza analogiile:

=

=

Aplicand definitiile lui Aristotel obtinem metaforele:

Cupa lui Ares = scutul lui Dyonisos,

Seara vieti = batranetea zilei.

Simplificat:

batranete = seara vietii,

cupa = scutul lui Dyonisos,

seara = batranetea zilei,

scut = cupa lui Ares.

Ce legatura au aceste metafore cu rationamentul?

Pentru un raspuns simplu voi reveni la analogiile numerice, adica la proportii.

Daca in egalitatea A = B se adauga aceeasi cantitate ambilor termeni, egalitatea ramane neschimbata: A = B, deci A X = B X. Daca insa relatia "=" se ia nu ca egalitate, ci ca identitate, atunci vom obtine o alta schema de rationare: A = B si A este X; deci B este X.

Urmatorul rationament este inspirat din exemplele lui Aristotel:

Batranetea = seara vietii;

Seara este scurta,

Batranetea este scurta.

Voi numi rationamentele de acest fel, rationamente metaforice (sau rationamente ale metaforei) - prima si cea mai generala forma a rationamentelor prin analogie. Este un fel de rationament prin definitie (v. Introducere) cu deosebirea ca in locul relatiei de identitate din prima premisa, specifica operatiei de definire, aici avem o relatie mai slaba datorata metaforei.

Iata si un alt exemplu. In Vieti paralele, vol II, Plutarh vorbeste despre o rascoala a sclavilor din Roma in timpul lui Coriolan, rascoala aplanata printr-un astfel de rationament metaforic:

Adunandu-se deci senatul de mai multe ori intr-un timp foarte scurt, spre a se sfatui asupra situatiei, si neajungand la nici un rezultat, saracii s-au ridicat deodata impreuna si, chemandu-se unii pe altii, au parasit cetatea, au ocupat muntele care se numeste acum "sacru", pe langa raul Anio, si s-au asezat acolo, fara sa savarseasca vreo violenta sau tulburare, ci se margineau sa strige ca au parasit cetatea din pricina bogatilor si ca Italia le va DA oriunde aer si apa si loc de ingropare, deoarece ei nu au nimic mai mult daca locuiesc la Roma, decat ca pot primi rani sau muri in expeditii militare pentru cei bogati.

Senatul s-a temut de cele petrecute si a trimis la plebei pe cei mai blanzi si mai populari dintre batrani. In fruntea lor era Menenius Agrippa. Dupa ce a rostit multe rugaminti in fata plebeilor si a fagaduit ca le ia pe garantie, in multe privinte, senatul, si-a sfarsit cuvantarea prin povestirea unei fabule care se istoriseste de atunci. A spus ca toate madularele corpului s-au razvratit impotriva stomacului si-l invinuiau ca singur el sta lenes si fara rost in trup, pe cand toate celelalte indura munci mari si servicii pentru multumirea poftei lui. Dar stomacul a ras de prostia lor, care nu stiau ca el primeste, intr-adevar, toata hrana inauntrul sau, dar o trimite iarasi in afara si o imparte celorlalte madulare. "Asa este, a zis el, si locul senatului fata de voi, cetateni, caci sfaturile si lucrurile care primesc acolo grija si randuiala cuvenita va aduc si va impart voua tuturor folos si ajutor"

In relatarea lui Plutarh apare urmatorul rationament metaforic:

Senatul este stomacul societatii.

Stomacul lucreaza in interes propriu,

Senatul lucreaza in interes propriu.

Rationamentele numite astazi "prin analogie", foarte asemanatoare rationamentului metaforic, pot lua diverse forme insa forma standard este aceasta:

a este analog cu b;

a este F (1)

b este F.

Ce inseamna aici ca "a este analog cu b"?

Reformulez intrebarea: cand sunt doua sau mai multe lucruri sunt analoge?

Raspuns: cand unele dintre proprietatile unuia sunt si proprietatile celuilalt. Prin urmare, "a este analog cu b" este o prescurtare de la "a este analog cu b relativ la F", unde F este o proprietate sau clasa de proprietati, depinde de caz. Asa stand lucrurile, rationamentul poate fi reformulat dupa cum urmeaza:

a are proprietatile F₁, F₂, F₃,

b are proprietatile F₁, F₂, F₃, (2)

a are proprietatea F₄,

b are proprietatea F_4.

Reformulam rationamentul folosind relatia de analogie:

a este analog cu b relativ la F₁, F₂, F₃, (3)

a este X

b este X

Concluzia nu este pur si simplu "b este X", ci "b este X prin analogie cu a" (Caligula este crud prin analogie cu Tiberiu).

Ideea este aceasta: a si b au in comun proprietatile F₁, F₂, F₃ si poate multe altele. De vreme ce a are proprietatea X, este de presupus ca si b va avea proprietatea X.

Daca sunt mai multe obiecte si mai putine proprietati se poate adopta o alta schema, nu foarte diferita de prima:

a, b, c, d, au proprietatile F si G,

a, b, c au proprietatea H (4)

d are proprietatea H

Pentru ca si in aceste rationamente se procedeaza prin generalizare obtinandu-se o concluzie probabila, rationamentul prin analogie este tot o forma de rationament inductiv.

Sa examinam inca doua rationamente:

Putem observa o mare asemanare intre acest pamant pe care noi il locuim si celelalte planete (.). Ele se rotesc, toate, in jurul soarelui la fel ca si pamantul (.). Ca si pamantul ele primesc lumina de la soare. Despre unele dintre ele stim ca se rotesc ca si pamantul in jurul axei lor si, prin urmare, au aceeasi alternanta dintre noapte si zi (.). Avand in vedere aceste asemanari, nu este nerezonabil sa credem ca acele planete, la fel ca si pamantul, sunt populate de diferite forme de viata. (Th. Reid, Essays on The Intelectual Powers of Man)

Daca o singura celula in conditii corespunzatoare devine om pe parcursul catorva ani, nu este nici o dificultate in a intelege de ce, in conditii corespunzatoare, o celula poate pe parcursul a milioane de ani sa dea nastere rasei umane. (H. Spencer, Principles of Biology)

Primul rationament ar putea fi asimilat schemei (2), fata de al doilea care se potriveste mai degraba schemei (3).

In primul exemplu a intervenit ideea de asemanare care poate fi folosita pentru a obtine o alta forma a rationamentului prin analogie:

a se aseamana cu b,

a are proprietatea F (5)

b are proprietatea F

Despre doua obiecte care au in comun o proprietate am spus in Introducere ca se aseamana sub acea proprietate. Cu cat obiectele au mai multe proprietati in comun, cu atat sunt ele mai asemanatoare si a fortiori concluziile mai probabile:

Caligula se aseamana cu Tiberius,

Tiberius este crud,

Caligula este crud.

Se intampla de multe ori sa descoperim analogii (apropieri) intre lucruri fara ca, prin aceasta, sa putem trage neaparat o concluzie, apropieri de natura sa puna lucrurile respective intr-o lumina mai putin obisnuita.

In incheiere voi enumera cativa din factorii care pot spori probabilitatea concluziei intr-un rationament prin analogie, cum ar fi: 1) numarul de obiecte intre care se stabileste analogia, 2) numarul proprietatilor necomune ale obiectelor si importanta acestora pentru cazul discutat, 3) numarul proprietatilor comune, 4) raportul dintre proprietatile comune si cele necomune etc. Acesti factori intervin in rationament sub forma unor premise aditionale formulate mai mult sau mai putin explicit.

5. Rationamente prin "chiar si" , "pana si".

Auzim de multe ori argumentandu-se in acest fel:

"Pana si Aristide este coruptibil, deci toti oamenii sunt coruptibili".

"Chiar si Socrate se teme de moarte, deci toti oamenii se tem de moarte".

"Pana si Cato se inseala, deci toti oamenii se insala".

Ce fel de rationamente sunt acestea?

Trebuie sa observam mai intai ca in fiecare rationament intervine o premisa tacita, o supozitie de existenta. Se admite tacit ca mai multe elemente dintr-o clasa M au proprietatea F si ca exista un element x care are cele mai mici sanse sa satisfaca F. Dar daca se constata ca si acest element are proprietatea F, atunci cu atat mai mult o vor avea celelalte elemente. Prin urmare, daca x este F, atunci toate elementele lui M sunt F.

Am putea, eventual, introduce o noua forma de implicatie: daca P, cu atat mai mult Q; si daca non-Q, cu atat mai putin P.

De exemplu, in conditiile in care mai multi studenti au luat examenul de logica si daca pana si Trifan a luat acest examen, atunci se poate conchide ca toti studentii vor lua examenul de logica.

De unde stim noi insa la care element al clasei sa ne raportam? Cum se alege el?

Operatia de alegere a cazurilor speciale nu este o operatie logic-formala, ci una materiala, o operatie ce depinde de natura multimii luata ca baza de inductie si de proprietatea supusa inductiei. Se presupune ca elementele multimii sunt cat de cat ordonate, ca exista elemente care satisfac in mai mare masura, iar altele in mai mica masura respectiva proprietate.

Intr-o multime omogena, in care nu exista elemente "privilegiate" raportat la o anumita proprietate, un asemenea rationament nu ar fi posibil. Nu se poate spune, de pilda, ca daca trei este mai mare ca zero, atunci toate numerele naturale sunt mai mari ca zero; ca daca pamantul este locuit, toate planetele sunt locuite; ca daca Bucurestiul este poluat, toate capitalele sunt poluate, si asa mai departe. Intre elemente si proprietate trebuie sa existe raporturi de un fel anume pentru a se putea forma un rationament prin "chiar si".

In fine, se poate intampla ca in multimea luata ca baza de inductie sa existe nu unul, ci mai multe elemente de acest fel. Rationamentul va fi, practic, acelasi: pana si a, b, c din clasa M au proprietatea F; deci toate elementele lui M au F (daca pana si Filip si Trifan au luat examenul de logica, atunci probabil ca toti studentii au luat examenul de logica).

Concluzia este numai probabila intrucat s-ar putea foarte bine intampla ca unele dintre elementele lui M sa nu fie F in ciuda faptului ca a, b sau c sunt, totusi, F. Pentru ca si aici se procedeaza prin generalizare iar concluzia este probabila, am incadrat rationamentul prin "chiar si" in clasa rationamentelor inductive.

6. Factori de crestere a probabilitatii concluziei intr-o inferenta inductiva.

De vreme ce concluzia unui rationament inductiv este probabila se pune problema cum poate fi sporita aceasta probabilitate? Cum devine ea din ce in ce mai probabila?

Voi enumera, dupa Gh. Enescu, cativa dintre factorii de natura sa sporeasca probabilitatea concluziei intr-o inductie incompleta.[9]

● Numarul cazurilor inspectate. Cu cat este mai mare numarul cazurilor verificate, cu atat mai mare va fi probabilitatea concluziei. In exemplul cu institutiile de stat care au abordat drapelul national, una este sa generalizam observand doua sau trei cazuri si cu totul alta daca am vedea douasprezece cazuri.

Se vorbeste in logica despre "eroarea generalizarii pripite", generalizare facuta in baza unui numar insuficient de fapte. Nu se poate spune, de exemplu, ca toti barbatii au stagiul militar satisfacut numai pentru ca barbatii verificati pana acum s-au dovedit a avea stagiul militar satisfacut. Pe de alta parte, nimeni nu poate indica limita de la care este permisa o asemenea generalizare. S-a intamplat nu odata ca o singura constatare experimentala sa dea nastere unei generalizari valide, sau invers, generalizarea sa fie nevalida chiar daca este sustinuta de un numar considerabil de confirmari.

O mare probabilitate este luata cel mai adesea ca certitudine insa si aici lucrurile trebuie vazute nuantat. Manualele de logica invoca, de exemplu, o ipoteza a lui G. Polya despre numerele parfactorizabile,[10] ipoteza verificata pana la n = 600 000.

Sa intelegem atunci, ca avem de-a face cu un adevar matematic demonstrat?

In nici un caz. In matematica, cel putin, numarul confirmarilor nu tine loc de demonstratie, oricat de mare ar fi acest numar. De altfel, critica pe care Hume o face ideii de cauza porneste tocmai de la aceasta confuzie dintre probabilitate si certitudine.

Prin urmare, numarul cazurilor inspectate nu este decat unul din factorii probabilitatii concluziei, poate nu cel mai important.

● Modul de alegere al cazurilor. Alegerea cazurilor intr-o inductie incompleta se poate face la intamplare sau dupa anumite criterii, intr-o anume ordine. Daca ordinea vizeaza tocmai proprietatea supusa inductiei, probabilitatea poate creste sau descreste, dupa caz.

In situatiile in care avem de-a face cu elemente eterogene, care nu urmeaza o ordine anume, cele mai bune rezultate sunt date de alegerea aleatoare a cazurilor. Dar daca elementele bazei sunt cat de cat structurate, atunci trebuie tinut seama de toate categoriile care compun acea structura. De pilda, proprietatea supusa inductiei ar putea fi raportata nu la cazuri izolate, chiar daca ele au fost selectate aleator, ci la extreme, la cazurile limita.

Sa presupunem ca vrem sa testam reactia populatiei fata de legalizarea prostitutiei intr-o societate x. Avand in vedere stratificarea sociala putem judeca in felul urmator: daca barbatii si femeile, bogatii si saracii, tinerii si batranii, instruitii si neinstruitii, casatoritii si necasatoritii sunt de acord cu legalizarea prostitutiei, atunci intreaga societate este de acord cu legalizarea prostitutiei.

Dar cati dintr-o categorie sociala trebuie sa fie de acord cu aceasta masura si, mai ales, cum luam noi cunostinta de acordul sau dezacordul lor?

Ideal ar fi sa-i putem chestiona pe toti insa acest lucru nu se poate si atunci procedam aleatoriu verificand doar un anumit numar din fiecare. Daca 67% dintre casatoriti, sa zicem, se declara de acord cu legalizarea prostitutiei vom declara, prin generalizare, ca toti casatoritii sunt de acord cu legalizarea prostitutiei. Prin urmare, chiar daca rezultatul se exprima printr-o propozitie universala, aceasta universalitate este, de fapt, "partiala"; si cu toate ca ea se exprima ca o certitudine, aceasta certitudine este, de fapt, o probabilitate.

Inca ceva. Aici s-a conchis de la parte la intreg insumand oarecum criteriile: 1) verificarea extremelor, 2) numarul cazurilor inspectate, 3) alegerea aleatoare a acestora s.a. Luati la un loc, acesti factori dau o probabilitate mai mare decat ar da fiecare in parte.

● Relatia cu proprietatea definitorie. Fie, din nou, multimea M definita printr-o proprietatea F. Simbolic, M = . Conform axiomei comprehensiunii, intre elementele lui M si proprietatea F are loc relatia:

a I M F(a) (1)

Sa presupunem mai departe ca relativ la elementele multimii M se verifica proprietatea H, altfel spus, M devine baza inductiva pentru proprietatea H.

Care va fi atunci probabilitatea ca propozitia "Toti F sunt H" sa fie adevarata?

Intre altele, raspunsul depinde si de relatia dintre cele doua proprietati, F si H. Daca pentru un anumit numar de cazuri se verifica relatiile:

F(x) H(x), respectiv, H(x) F(x)  (2)

exista o buna probabilitate ca toti cei care sunt F sa fie H. Ideea este urmatoarea: ori de cate ori x este F, x este H si ori de cate ori x nu este H, x nu este F. Deci s-ar putea ca toti F sa fie H. De exemplu, ori de cate ori metalele se incalzesc, ele se dilata si ori de cate ori se contracta, metalele se racesc; deci toate metalele prin incalzire se dilata.

In loc de implicatie am putea folosi o alta relatie - compatibilitatea sau consistenta logica: pentru cazurile cutare si cutare proprietatile F si H sunt compatibile, nu se exclud; deci toate elementele care au una dintre proprietati o vor avea si pe cealalta.

Materialele bune conducatoare de caldura sunt bune conducatoare de electricitate. Si invers, materialele bune conducatoare de electricitate sunt si bune conducatoare de caldura. Deci a fi bun conducator de caldura inseamna a fi bun conducator de electricitate.

Daca proprietatea H se dovedeste a avea aceleasi raporturi si cu alte intensiuni ale clasei M, probabilitatea ca toate elementele lui M sa fie H va fi cu atat mai mare.

● Utilizarea deductiva a concluziei. Sa presupunem ca P este concluzia unei inductii incomplete. Daca din P se deduce propozitia adevarata Q, inseamna ca sunt mari sanse ca si P sa fie adevarata. Cu cat este mai mare numarul propozitiilor adevarate deduse din P, cu atat probabilitatea ca ea sa fie adevarata va fi mai mare. Daca insa Q se deduce din P, dar Q este falsa, atunci si P este falsa (a se vedea legile implicatiei descrise in capitolul anterior).

Repet ceea ce am spus la inceputul acestui paragraf. Fiecare caz in parte sporeste probabilitatea concluziei intr-o inferenta inductiva insa numai luate impreuna, numai actiunea corelata a acestor factori ne asigura ca am facut o buna inductie.

7. GENERALIZARILE STATISTICE SI INDUCTIA

Ni se cere adeseori sa evaluam o situatie insa nu in termeni de "toti", "unii", "nici unul", "fiecare", ci statistic, dand estimarilor noastre o forma procentuala. Se spune: cutare fabrica are 15% rebuturi, cutare candidat conduce cu 52% in topul preferintelor, 67% din alegatori nu si-au definitivat intentia de vot si asa mai departe.

Procedam astfel cand avem de-a face cu fenomene "de masa", fenomene ce presupun multimi foarte mari de elemente ce nu permit examinarea lor individuala, unul cate unul.

Trebuie vazut: 1) cum se realizeaza o generalizare statistica, 2) ce valoare de adevar au propozitiile statistice, 3) ce fel de rationamente se pot face cu asemenea propozitii. In ultimul timp, manualele de logica contin la capitolul Inductie si probleme de acest fel.

7.1. Notiunile de populatie si esantion.

Sa presupunem ca un producator de bere vrea sa stie daca presiunea realizata prin instalatiile lui de imbuteliere este normala, daca nu cumva aceste instalatii dau abateri si ar trebui schimbate.

Normal ar fi sa se desfaca fiecare sticla pentru a i se masura presiunea insa atunci un raspuns foarte exact va presupune o paguba foarte mare (practic, abia dupa ce s-au desfacut toate sticlele s-ar sti cate dintre ele au corespuns normelor si cate nu).

Pentru a reduce costurile, patronul va prefera o alta solutie, el aleage la intamplare un numar de sticle pentru verificare generalizand apoi rezultatul; va face, cum se spune, o generalizare statistica.

Multimea in care se face generalizarea se numeste in statistica populatie, iar multimea cu care se face generalizarea se numeste esantion.

In cazul de fata populatia este multimea sticlelor imbuteliate intr-o unitate de timp (zi, saptamana sau luna), iar esantionul este multimea aleasa spre verificare.

Sa luam un alt exemplu. Conducerea Universitatii X este interesata de opinia studentilor in legatura cu ultimele majorari de taxe.

Procedeul este acelasi. Se verifica mai intai opinia studentilor la nivelul unui esantion dinainte stabilit si daca se constata ca 95% din cazuri nu sunt favorabile masurii luate, atunci se poate conchide ca 95% din totalul studentilor sunt impotriva acestei masuri.

Generalizarea presupune doua componente inductive: 1) o inductie completa la nivelul esantionului si 2) o inductie incompleta (amplifianta) la nivelul populatiei. Aceasta face ca generalizarea, desi precisa ca exprimare, sa nu fie decat probabila.

Rezultatele sunt insotite intotdeauna de asa numita "marja (sau margine) de eroare" - se indica limitele in sus si in jos intre care se poate situa rezultatul. Spunem, de pilda, ca sondajul indica un procent de 95% impotriva majorarii taxelor cu o margine de eroare de 2%. Cu alte cuvinte, la nivelul populatiei rezultatul nu poate cobori mai jos de 93% si nu poate urca mai sus de 97% daca cercetarea a fost, intr-adevar, corect facuta.

Rezultatele sunt exprimate cel mai adesea procentual, iar pentru a face cat mai intuitive comparatiile se folosesc diferite scheme grafice - histograme, diagrame, figuri etc.

Un esantion mai mare duce la rezultate mai sigure, insa, dincolo de anumite limite, marimea esantionului aproape ca nu conteaza (Institutul Galup a stabilit o serie de corelatii intre marimea esantionului si marja de eroare exprimata procentual).

Faptul ca esantionul de 750 de subiecti da aceeasi margine de eroare cu esantionul de 1000 de subiecti pune o alta problema - cea a minimizarii esantionului. Care este, de exemplu, cel mai mic esantion care da o margine de eroare de n %? Este important de stiut acest lucru intrucat minimizarea esantionului duce automat la minimizarea costurilor.

Numarul intervievatilor Marginea de eroare

...

100

Iata si cativa din factorii care ar putea influenta rezultatele unui sondaj de opinie:

a) Marimea esantionului. Cu cat un esantion este mai mare cu atat este el mai reprezentativ, insa, dupa cum mai spus, dincolo de anumite limite, marimea esantionului este prea putin importanta.

b) Modul de formare a esantionului. Un esantion aleatoriu este de departe preferabil esantioanelor de alt fel. Reamintesc ca un esantion este aleatoriu cand nu exista elemente privilegiate la nivel de populatie, cand fiecare element are aceeasi sansa de a fi selectat.

c) Gradul de stabilitate al populatiei. Populatia esantionata trebuie sa fie cat de cat stabila, altfel esantionul ar putea deveni nereprezentativ. Trebuie deci tinut seama de factorii care pot accelera dinamica populatiei (factori psihologici, sociologici, economici s.a.).

In manualele de statistica sociala se da ca exemplu sondajul de opinie realizat in SUA cu ocazia alegerilor din '46 cand folosindu-se un esantion de zece milioane de subiecti s-a ajuns la o evaluare gresita (sondajul l-a dat castigator pe Landon impotriva lui Roosevelt). Explicatia este foarte simpla: esantianorea nu s-a facut aleatoriu, ci dupa cartea de telefon, deci a fost esantionata doar o anumita patura a populatiei in timp ce alte categorii sociale, mult mai numeroase si mai insemnate ca pondere, au fost pur si simplu ignorate.

7. 2 Inferente statistice bazate pe notiunile de esantion si populatie.

Sa revenim la inductie. Prezinta vreo importanta logica notiunile de esantion si de populatie?

Categoric da.

Asa numitele inferente statistice exemplificate mai jos sunt exemple de inferente inductive in care intervin notiunile de esantion si de populatie. De precizat ca si in inferentele statistice, ca in toate inferentele inductive, de altfel, se procedeaza prin generalizare, iar concluziile lor sunt propozitii probabile.

1) Inferente de la esantion la populatie. Am exemplificat deja aceasta inferenta. Daca la nivelul esantionului incidenta fenomenului investigat este de 23%, probabil ca ea va fi de 23% si la nivelul populatiei. Repet, nu trebuie sa ne deruteze forma exacta de exprimare a rezultatului, acest rezultat este doar probabil.

2) Inferente de la populatie la esantion. Sa presupunem ca din investigatii a rezultat ca 20% din populatia Timisoarei este alcatuita din moldoveni. Daca A este un esantion aleatoriu din populatia Timisoarei, probabil ca 20% din esantion vor fi tot moldoveni.

Inferente de la esantionul unei populatii la alt esantion al aceleasi populatii. Din multimea studentilor universitatii X s-au format doua esantioane, sa le zicem A si B. Daca 74% din studentii esantionului A sunt vorbitori de limba engleza, probabil ca 74% si din studentii esantionului B sunt vorbitori de engleza.

Practic, aici avem de-a face cu o compunere de doua inferente: 1) inferenta de la esantionul A la populatie, si 2) inferenta de la populatie la esantionul B. Compunandu-se, cele doua inferente dau inferenta de la esantionul A la esantionul B (a se revedea ideea de compunere a inferentelor). Nu am convingerea ca prin compunerea inferentelor inductive probabilitatea concluziei ramane aceeasi, este de presupus ca ea va scadea.

4) Inferente de la populatie la individ: 85% din burlaci isi gatesc singuri, iar Vasile este si el burlac. Probabil ca Vasile isi gateste singur (daca am spune "cu o probabilitate de 85% Vasile isi gateste singur", inferenta nu ar mai fi inductiva, ci deductiva).

Putem induce si de la esantion la individ? Da, dar tot indirect: de la esantion se induce la populatie si de la populatie, inapoi, la individ deci si in cazul de fata avem tot o compunere de doua inferente[11].

7. 3. Distributia frecventiala[12]

Cei zece muncitori ai unui laborator de patiserie au realizat in ultimele cinci luni urmatoarele productii din profilul considerat a fi specialitatea laboratorului:

1032 1243 2021 4085 3268

2354 5348 1093 3294 5712

2978 1709 4078 5034 3267

5010 2331 2189 4218 4132

1815 4642 4157 3569 3187

1430 1987 4231 2392 4391

2454 2761 4523 5012 3212

3421 4367 5217 3213 3321

1039 3891 2354 3018 3200

2139 2418 3211 3188 3278

Sa presupunem mai departe ca pornind de la aceste cifre am vrea sa facem unele aprecieri privind activitatea laboratorului - productivitate, norme individuale de lucru, rentabilitate etc. Vom vedea ca prea mare lucru nu putem spune atata timp cat datele nu au fost cat de cat ordonate, daca nu s-a procedat la o minima organizare a lor.

Prima si cea mai simpla organizare a unui sistem de date statistice este distributia frecventiala. Aceasta insemna ordonarea sistemului in functie de incidenta frecventelor in masa initiala de date.

Prin frecventa unei valori se intelege numarul aparitiilor ei in sistemul initial de date. De pilda, valoarea 2354 are in tabel frecventa 3; 1032 are frecventa 2; 1815 are fecventa 1 si asa mai departe.

Daca in majoritatea cazurilor frecventa este peste 1, problema s-ar rezolva simplu - datele se clasifica mai intai in functie de frecventa dupa care s-ar trece la ordonarea crescatoare sau descrescatoare a frecventelor. Or, din cate vedem, nu acesta este cazul laboratorului nostru. Exceptand cele doua frecvente deja mentionate, toate celelalte frecvente au valoarea 1 ceea ce inseamna ca va trebui sa operam cu un alt concept de distributie - conceptul de distributie frecventiala grupata:

In aceste distributii se consemneaza frecventele pe clase (sau intervale) si nu individual astfel ca suma lor va trebui sa corespunda numarului total de date (in cazul de fata 50).

Frecvente

15 -

14 -

13 -

12 -

11 -

10 -

9 -

8 -

7 -

6 -

5 -

4 -

3 -

2 -

1 -

1000 2000 3000 4000 5000 6000 Clase

Fig.1. Histograma

Distributiile frecventiale se reprezenta prin histograme, diagrame, poligoane frecventiale, curbe de frecventa etc. Histogramele, de pilda, sunt figuri geometrice compuse din mai multe dreptunghiuri proportionale ca arie cu marimea claselor de date.

7. 4. Notiunile de medie aritmetica, mediana si modul.

Prima si cea mai importanta caracteristica a unei distributii frecventiale este media sau marimea tipica. Este un concept statistic ce poate fi determinat in mai multe forme - ca medie aritmetica, ca mediana sau ca modul.

1) Media aritmetica este raportul dintre suma datelor initiale si numarul lor:

μ (x) = (1)

In cazul distributiilor frecventiale grupate, media aritmetica se calculeaza dupa o formula usor modificata:

μ (x) = (2)

f reprezinta numarul de valori din intervalul considerat, iar x este punctul de mijloc al intervalului.

S-ar putea insa ca din cauza valorilor extreme prea indepartate media aritmetica sa fie nereprezentativa sau pur si simplu sa nu corespunda valorii reale si atunci se determina mediana sau modulul.

2) Mediana este valoarea din mijlocul intervalului cand n este numar impar, sau media aritmetica a celor doua valori din mijloc daca n este numar par. De exemplu, in intervalul < 2, 5, 7, 8, 11 > mediana este 7, iar in intervalul < 3, 7, 9, 11 > mediana este media aritmetica a lui 7 si 9, adica 8.

3) Modulul este valoarea care apare cel mai frecvent in intervalul de date sau valoarea in jurul careia se constata cel mai ridicat grad de inghesuire. Sa presupunem, de exemplu, ca in cursul primului semestru, un student a luat la testele de logica notele 2, 5, 7, 8, 8, 9. Media lui aritmetica este 6,50. Aceasta medie nu reflecta insa cel mai fidel evolutia pregatirii lui intrucat media ultimelor trei note este de departe mai mare decat media primelor trei. Va trebui deci sa calculam mediana sau modulul. Vom obtine, in final, trei valori sensibil diferite: 6,50 (media aritmetica), 7,50 (mediana) si 8 (modulul). Fiecare ne da o imagine asupra pregatirii studentului insa in moduri diferite si, mai ales, din perspective diferite.

Sa revenim acum la laboratorul de patiserie si la problema determinarii unei norme individuale de lucru. Cat ar trebui, de pilda, sa produca un muncitor intr-o luna sau intr-o saptamana? Dar intr-o zi?

Un prim raspuns la intrebare s-ar putea da calculand pur si simplu media aritmetica a productiilor individuale.

Calculul este foarte simplu. Calculam, mai intai, prin formula (1) media individuala lunara:

μ₁(o luna) = = 3226,4

dupa care impartim rezultatul la 4 si obtinem o medie individuala saptamanala de 806,604. Impartim si acest rezultat la 7 si obtinem media zilnica de 115, 229. Repet, sunt valori obtinute prin aplicarea formulei (1).

Sa vedem insa ce valori s-ar obtine calculand aceste medii aritmetice prin formula (2).

Stiind ca f este de fiecare data 5, iar x este mediana fiecarei clase, prin aplicarea formulei (2) obtinem:

μ₂(o luna) = = 3151,4

Frecvente 15 - ●

14-

13-

12-

11- ●

10- ●

9-

8- ●

7-

6- ●

5-

4-

3-

2-

1-

1000 2000 3000 4000 5000 6000 Clase

Fig. 2. Poligonul frecventelor

Diferenta dintre cele doua medii este foarte mica, de numai 75. Impartind si aceasta medie la 4 si apoi la 7 obtinem media saptamanala, respectiv, zilnica de lucru a fiecarui muncitor.

7. 5. Dispersia

Un alt concept statistic de interes logic este dispersia. Acesta exprima gradul de imprastiere a unei multimi de date numerice fata de o anumita valoare, de pilda, media. Dupa Terry Lucey, determinarea dispersiei este impusa, in principal, de doua probleme - gradul de incredere acordat mediei si controlul variabilitatii in populatia supusa investigatiei.

Pentru studiul inductiei dispersia este importanta mai mult sub primul aspect intrucat ofera informatii suplimentare despre medie ajutand astfel la o mai buna apreciere a probabilitatii concluziei. Poate ca un mic exemplu ne va ajuta si de aceasta data sa intelegem cum stau lucrurile.

Sa presupunem ca aveti 23 de ani si doriti sa va inscrieti la un curs privat de limba engleza. Vreti sa stiti insa mai multe lucruri despre viitorii colegi, iar secretara va ofera cu generozitate datele pe care le solicitati. Aflati astfel ca grupa se compune din 18 cursanti, ca pretul este rezonabil, iar media de varsta - problema care va arde cel mai tare - este exact varsta dumneavoastra, adica 23 de ani.

Dupa inceperea cursului va lamuriti cu adevarat despre afacerea pe care ati facut-o: jumatate din cursanti sunt copii intre 6 si 11 ani, iar cealalta jumatate sunt adulti intre 57 si 63 de ani.

Media aritmetica este, fara indoiala, corecta insa ea nu putea raspunde singura interesului dumneavoastra, se cereau precizati si cativa dintre parametrii dispersiei - distanta, deviatia standard, eventual, varianta.

Distanta este diferenta dintre valoarea maxima si minima a unei clase de date. Daca ati fi stiut ca in aceasta medie aritmetica distanta este 57 ati fi putut trage unele concluzii cu privire la varsta participantilor la curs insa neavad cunostinta de existenta unei astfel de probleme v-ati multumit doar cu media aritmetica.

Sa luam un alt exemplu. Sanatatea te obliga sa te muti intr-o regiune cu temperatura medie de 20°C. Vei alege atunci o regiune cu minime de -35°C si maxime de + 45°C sau o alta regiune cu aceeasi medie de temperatura dar cu distanta dintre minim si maxim mult mai mica?

Numar de inregistrari

m

m'

20°C Temperatura

Fig.3. Aceeasi medie aritmetica

dar alte distante.

Cel mai important parametru al dispersiei este deviatia standard. Este un parametru care insoteste, de regula, valoarea anuntata a mediei. Se spune: media de varsta in clasa cutare este de 24 de ani, cu o deviatie standard de 3,5 ani. Rezulta de aici ca varsta cea mai mica se plaseaza undeva in jurul valorii de 24 3,5 (= 20,5 ani), iar cea mai mare in jurul valorii de 24 3,5 (= 27,5 ani).

Deviatia standard se noteaza cu σ si se calculeaza cu formula

σ = (3)

unde n este numarul datelor, iar μ media lor aritmetica.

Celalalt parametru, varianta, notata cu ζ, este patratul deviatei standard si masoara gradul dispersiei:

ζ (varianta) = σ (4)

Pentru ilustrare sa calculam media aritmetica, deviatia standard si varianta urmatorului sistem de date reprezentand varsta membrilor unei familii compusa din 9 persoane: 3, 4, 7, 12, 27, 34, 38, 67, 69.

Solutie:

Media aritmetica m = = 29

Varianta z = = 653,5

Deviatia standard s = = 25,5

Observam ca si in acest caz adunand, respectiv, scazand din medie deviatia standard obtinem valori apropiate de valoarea minima si maxima. Este un fapt de natura sa completeze informatia pe care ne-o ofera simpla calculare a mediei.

Cu ajutorul acestor concepte puem rezolva o serie de probleme logice: putem lua anumite decizii (exista chiar o teorie statistica a deciziei), putem calcula diferite valori, putem lansa ipoteze sau trage anumite concluzii s.a. Sunt operatii logice de interes practic si teoretic major, imposibil de realizat altfel.

8. RATIONAMENTE DE LA n LA n + 1. INDUCTIA MATEMATICA

Sistemul de concepte, reguli si procedee matematice care au la baza principiul trecerii de la n la n + 1 poarta numele de inductie matematica (sau de metoda a inductiei matematice). Anticipata de Bernoulli acum doua sute si ceva de ani, inductia matematica a devenit mai cunoscuta abia dupa axiomatizarea aritmeticii de catre G. Peano (principiul inductiei matematice este a cincia axioma in sistemul lui Peano).

Relativ la inductia matematica se studiaza in momentul de fata trei mari probleme, si anume: 1) principiul inductiei matematice, 2) demonstratia prin inductie, 3) definitiile inductive si prin inductie. Acestea din urma se mai numesc si definitii recursive (se refera la functii si la predicate ce pot fi reprezentate ca functii).

8. 1. Principiul inductiei matematice.

Fie F un predicat numeric oarecare. Daca se poate demonstra ca 0 este F si daca din faptul ca un numar oarecare m este F rezulta ca si m + 1 este F, atunci orice numar este F. Simbolic:

F(0) & [F(m) F(m nF(n)  (1)

Aceasta este forma in intensiune a principiului inductiei matematice. Daca tinem seama ca fiecare predicat determina o clasa vom putea da principiului si o forma in extensiune corespunzatoare:

0IF & mIF* m IF* F* = N (2)

Am notat cu F clasa (multimea) determinata de predicatul F. Principiul se va citi in felul urmator: daca 0 apartine clasei F si daca din faptul ca m apartine clasei F* rezulta ca si m 1 apartine lui F*, atunci F* este identica cu multimea numerelor naturale N (in forma sa originara, principiul inductiei matematice se formuleaza relativ la multimea numerelor naturale).

Exista multe alte formulari echivalente ale principiului (ca si in cazul altor principii avem si aici de-a face cu o clasa de formulari echivalente).

Conform unei terminologii impuse de St. C. Kleene, propozitia F(0) se numeste baza inductiei, implicatia F(m) F(m 1) este pasul inductiv, F(m) este propozitia inductiva, iar m este variabila dupa care se face inductia.

Baza inductiei poate fi data de orice numar, important este ca incepand cu acest numar pasul inductiv sa se aplice in forma indicata.

Riguros vorbind, principiul inductiei este o schema a logicii predicatelor. Numai ca validitatea acestei scheme nu se mai datoreaza structurii ei formale, ca in celelalte cazuri, ci predicatului F aplicat sirului numerelor naturale. Practic, relatia de la n la n 1 este cea care da specificul acestui principiu. Observatia trebuie retinuta intrucat, dupa cum vom vedea, principiul se poate generaliza, el se aplica si altor entitati nu neaparat numerelor.

8. 2. Demonstratia prin inductie.

Inca din antichitate oamenii au observat ca numerele au tot felul de proprietati si ca in unele cazuri aceste proprietati pot fi generalizate. Sa luam, de pilda, sumele a n numere prime succesive:

1 + 3 =

1 + 3 + 5 = 3

1 + 3 + 5 + 7 = 4

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5

.

Ipoteza desprinsa din aceste cazuri individuale este ca suma a n numere prime succesive este egala cu numarul de termeni ai sumei la puterea 2. In forma simbolica:

1 + 3 + 5 + .. + (2n - 1) = n (α)

Dar aceasta este doar o ipoteza si, ca orice ipoteza, ea nu este nici adevarata, nici falsa, ci doar probabila. Pentru a deveni o cunostinta matematica autentica, egalitatea trebuie demonstrata.

Procedam prin inductie. In acest scop, notam egalitatea (α) cu P(n) astfel ca P(2), P(3), . sunt cazurile ei particulare pentru n = 2, n = 3 etc.

Baza inductiei este P(2) si se verifica de la sine. Asa stand lucrurile, mai ramane sa demonstram ca din egalitatea

1 + 3 + 5 + . + (2i - 1) = i  (β)

rezulta egalitatea

1 + 3 + 5 + . + (2i + 1) = (i 1) (γ)

Si, intr-adevar:

1 + 3 + 5 + . + (2i -1) + (2i + 1) =  (δ)

1 + 3 + 5 + . + (2i - 1) + (2i + 1) =

i + 2i + 1 = (i + 1)

Ce am demonstrat cu aceasta? Am demonstrat ca egalitatea P(i) este adevarata pentru i = 2 si ca din faptul ca P(i) este adevarata pentru un i oarecare rezulta ca ea este adevarata si pentru P(i 1). Conform principiului inductiei matematice, egalitatea P(n) este adevarata, in general. Am demonstrat, astfel, ca suma a n numere prime succesive este egala cu numarul de termeni ai sumei la putere 2.

Alt exemplu. Sa se demonstreze prin inductie matematica egalitatea:

1 + 2 + 3 + . + n =

Procedam in aceeasi maniera. Notam egalitatea cu P(n) si verificam mai intai baza inductiei, adica P(1):

1 = = = 1 = 1

Urmeaza pasul inductiv, adica P(i) P(i 1). Aceasta revine la a demonstra ca din egalitatea

1 + 2 + 3 + .+ i =

rezulta egalitatea

1+ 2 + 3 + . + i + (i + 1) = .

Calculul este foarte simplu:

= = =

Demonstratia prin inductie matematica intruneste atat trasaturile inferentei inductive cat si deductive, practic, ea este punctul in care inductia si deductia se intalnesc (certitudinea concluziei aminteste de deductie in timp ce saltul de la unii la toti este propriu inductiei). Generalizarea are la baza o multime infinita de rationamente modus ponens in care concluzia unuia devine premiza pentru rationamentul urmator:

P

Daca P(0), atunci P(1)

Deci P(1)

P

Daca P(1), atunci P(2)

Deci P(2)

P

Daca P(2), atunci P(3)

Deci P(3)

.

Componenta inductiva - exact spus inductia amplifianta, caci despre ea este vorba in inductia matematica - se realizeaza in raport cu concluziile acestor rationamente:

P(1), P(2), P(3), .

nP(n)

In final, se obtine o concluzie certa. Practic, nu exista pericolul ca propozitia generala nP(n) sa fie contrazisa de vreuna din propozitiile individuale enumerate in premise, fiecare din aceste propozitii este concluzia unui rationament valid.

8. 3. Definitii realizate cu ajutorul inductiei.

Principiul inductiei matematice sta la baza a doua mari tipuri de definitie - definitiile inductive si definitiile prin inductie sau recursive.

Asa cum am spus si in capitolul I cand am vorbit despre definitiile inductive, exemplul clasic de definitie inductiva este definitia numarului natural:

0 este numar natural,

Daca n este numar natural, atunci si succesorul lui, n 1, este numar natural.

Nici un alt numar nu poate fi format altfel decat prin 1) si 2).

Definitul sau definiendumul, ca sa revenim la terminologia traditionala a definitiei, este conceptul de numar natural, iar definitorul (definiensul) este sistemul de operatii prin care se arata cum iau nastere obiectele din sfera conceptului de definit.

Din cate observam, definitia se sprijina pe doi termeni primi - termenul zero si termenul succesor - si consta din trei clauze. Clauzele 1) si 2) sunt numite de Kleene clauze directe, iar 3) clauza extrema.

Conform celor trei clauze, urmatoarele obiecte (in sensul de obiecte formale) cad in sfera conceptului de numar natural:

Semnele 2, 3, sunt simple prescurtari pentru (0 + 1) + 1, ((0 + 1) + 1) + 1 etc. deci definitiile inductive se cer completate cu definitii nominale corespunzatoare (definitii de introducere).

Definitia satisface conditia adecvarii (v. regulile definitiei) intrucat prin operatiile stipulate iau nastere numai numere naturale si nu exista numar natural care sa nu poata fi obtinut din zero prin operatia succesor.

Kleene imparte definitiile inductive in fundamentale si nefundamentale. Sunt fundamentale definitiile inductive care pot genera domenii de entitati (aceleasi cu domeniul variabilei inductive) si sunt nefundamentale definitiile care privesc doar predicatele. Definitia numarului natural, de exemplu, este fundamentala in timp ce definitia conceptului de termen este nefundamentala:

0 este termen,

Orice variabila este termen,

Daca x si y sunt termeni, atunci x', x y, x y, x y sunt, de asemenea, termeni.

Sunt termeni doar constructiile obtinute prin aplicarea regulilor (1) - (3).

O alta definitie nefundamentala este definitia conceptului de formula in logica. In general, in logica avem de-a face numai cu definitii inductive nefundamentale.

Fie ca este vorba de logica bivalenta, fie de logica polivalenta, multimea valorilor de adevar nu poate fi construita inductiv, aceasta reprezentand o alta mare deosebire dintre logica si matematica.

In orice caz, chiar daca procedeele examinate sunt specifice matematicii, nu trebuie trasa concluzia ca ele s-ar aplica numai in matematica. Inductia matematica se aplica la fel de bine in logica, tot asa cum inductia logica se aplica in matematica. De pilda, Teorema fundamentala a deductiei nu se demonstreaza deductiv, ci inductiv, prin inductie matematica, de unde se poate vedea raportul foarte strans dintre inductie si deductie.

Ce sunt definitiile recursive?

Am spus ceva mai sus ca definitiile recursive (sau prin inductie) se refera la functii si la predicate ce pot fi reprezentate ca functii.

Ca si definitiile inductive, definitiile recursive constau din trei pasi sau etape:

Se da valoarea functiei, respectiv, predicatului pentru valoarea initiala a argumentului,

Relativ la orice argument x, se da valoarea functiei pentru valoarea imediat urmatoare a argumentului;

Prin 1) si 2) se considera ca valoarea functiei este definita, in general.

Spre deosebire de definitiile inductive unde drumul este de la simplu la complex, in definitiile recursive se procedeaza invers, aici valoarea functiei este determinata regresiv prin revenire de la complex la simplu cu conditia ca domeniul functiei sa fie, el insusi, construit inductiv.

Urmatorul sistem de ecuatii

exprima definitia functiei j(x) prin inductie dupa variabila x cand q este un numar dat, iar c(x,y) este o functie de doua argumente, de asemenea, data. Iata, de pilda, cum se calculeaza j

j(0) = q,

j c j c(0, q),

j c j c c j c c(0,q)),

j c j c c j c c c(0, q))).

Avand in vedere ca dispunem de un procedeu efectiv prin care, pentru orice numar n se poate calcula valoarea lui j(n), functia j este univoc determinata (conform unui rezultat obtinut de A. Church, toate functiile recursive sunt functii calculabile).

9. IPOTEZELE SI INDUCTIA

9. 1. Conceptul de ipoteza. Aspecte generale

Suntem deja familiarizati cu termenul "ipoteza", insa, ca multi alti termeni din vocabularul logicii, si acesta este un termen ambiguu, un termen cu mai multe concepte.

Un prim concept de ipoteza este dat de antecedentul unei implicatii: "In ipoteza ca este adevarat P, este adevarat Q" sau "Daca P, atunci Q".

Al doilea concept de ipoteza este cel de concluzie intr-un rationament inductiv. Am vazut ca multi autori considera termenii "premisa" si "concluzie" improprii inductiei, ca intr-o inferenta inductiva nu avem de-a face cu premise si concluzii, ci cu evidente si ipoteze. Despre aceste ipoteze se spune ca sunt sustinute (confirmate) de evidente. Ipoteza ca toate raurile sunt poluate este sustinuta de faptul ca raurile examinate pana acum s-au dovedit a fi poluate.

Un al treilea concept de ipoteza, despre care vom vorbi in cele ce urmeaza, se plaseaza intre primele doua prezentand similitudini atat cu unul cat si cu celalalt. Este vorba de ipoteza ca solutie posibila a unei probleme.

In stiinta, ca si in viata de toate zilele, suntem pusi in situatia de-a rezolva probleme (pentru Karl Popper, stiinta consta formularea si rezolvarea de probleme).

Raspundem problemei formuland o ipoteza. Aceasta poate fi mai simpla sau mai complicata. O problema complicata normal ca atrage dupa sine o ipoteza complicata, desi, potrivit principiului simplitatii, intre mai multe ipoteze rivale este aleasa ipoteza cea mai simpla.

Toate teoriile stiintifice si filosofice sunt, logic vorbind, ipoteze. Teoria newtoniana a miscarii, teoria relativitatii, teoria darwinista a selectiei naturale, teoria orbitelor stationare sunt doar cateva exemple de teorii-ipoteza in stiinta.

Ce probleme rezolva, de exemplu, mecanica newtoniana?

Probleme legate de miscarea corpurilor la nivel macroscopic. Nu insa si probleme de nivel microscopic, pentru acestea s-au creat alte teorii. In general, nu exista teorii care sa rezolve toate problemele din domeniul unei stiinte, deci nici o stiinta nu consta dintr-o singura teorie.

La fel stau lucrurile in filosofie. Pentru ca problemele filosofice difera de problemele stiintifice (trebuie respinsa prejudecata pozitivista potrivit careia numai stiinta poate pune probleme reale), nici ipotezele filosofice nu vor semana cu ipotezele stiintifice. Problema lui Kant era cum sunt posibile judecatile sintetice a priori, cum este posibila stiinta, in general.

Teoria kantiana a intelectului, teoria platoniciana a ideilor, teoria aristotelica a substantei, teoria leibniziana a monadelor, teoria hegeliana a fiintei, toate sunt exemple de teorii-ipoteza in filosofie.

Din punct de vedere logic nu este atat de important cum se ajunge la formularea unei ipoteze, aceasta problema tine mai degraba de psihologia decat de logica stiintei, important este cum raspunde ipoteza problemei. Procesul este desigur complicat, insa, renuntand la detalii, putem distinge patru mari momente din "viata" oricarei ipoteze:

● Aparitia problemei,

● Formularea ipotezei,

● Deducerea de consecinte din ipoteza,

● Testarea consecintelor.

Sa presupunem ca prin ipoteza H s-a dat raspuns unei probleme P si ca din H s-a dedus consecinta C. Deci H il implica logic pe C.

Aceste consecinte, se intelege, nu sunt toate la fel, unele pot fi mai importante, altele mai putin importante.

Cele mai importante si interesante consecinte ale unei ipoteze sunt, fara indoiala, predictiile. Este prezisa cutare eclipsa de soare, urmare a aplicarii teoriei - in cazul de fata mecanica clasica - la anumite date de observatie.

Avand in vedere ca predictia C poate fi adevarata sau falsa se pune problema cum va fi ipoteza H?

Raspundem intrebarii folosind schema de rationare modus tollens:

Daca este adevarat H, atunci este adevarat C,

Dar nu este adevarat C, (1)

Deci nu este adevarat H.

Prin urmare, daca predictia C este falsa, ipoteza este, si ea, falsificata. Aceasta inseamna ca ipoteza trebuie sau respinsa, sau modificata, dupa caz. Spun modificata pentru ca niciodata ipoteza nu este testata izolat, ea este testata in corelare cu alte enunturi ale teoriei[13]. Deci nu avem o simpla implicatie H C, ci o implicatie mai complicata:

H & C  (2)

Daca C este falsa, H este falsificata, si deci respinsa, numai daca A₁, A₂, . sunt in totalitate adevarate. Or, s-ar putea intampla ca tocmai aceste propozitii sa fie false si atunci testul este nerelevant pentru confirmarea/infirmarea ipotezei. Prin urmare, trebuie luata in considerare si eventualitatea modificarii propozitiilor din A sau modificarea raporturilor dintre H si A.

De mentionat ca propozitiile din A pot apartine aceleasi teorii sau pot apartine unor teorii diferite (matematicii, de pilda, daca avem de-a face cu o teorie care aplica matematica).

Nu vom sti de la inceput ce anume trebuie pastrat si ce trebuie modificat, problema cere timp, iar rezultatele pot fi dintre cele mai neasteptate. Aceasta pe de o parte. Pe de alta parte, rareori se intampla ca dintr-o ipoteza sa rezulte o singura consecinta, cel mai adesea avem de-a face cu clase de asemenea consecinte. Implicatia (2) devine astfel cazul particular al unei alte implicatii:

H & (3)

Falsificarea ipotezei se poate face acum in mai multe moduri pentru ca nu este acelasi lucru daca este falsa o singura consecinta, mai multe, sau toate consecintele sunt false. Presupunand ca doar unele consecinte sunt false, si acestea nu sunt printre cele mai importante, ipoteza va fi doar ajustata, nu abandonata. Ipoteza dezintegrarii atomilor de radiu, de exemplu, nu a dus la abandonarea pur si simplu a principiului conservarii materiei (materia nu poate fi nici creata, nici distrusa), ci la transformarea lui in principiul conservarii masei si energiei.

O ipoteza este abandonata daca cele mai importante consecinte ale ei sunt false, sau, cazul extrem, cand toate consecintele sunt false.

Dar daca consecinta C este adevarata? Ce se intampla intr-un astfel de caz?

In acest caz ipoteza este confirmata prin C (in termeni popperieni, coroborata). Ipoteza nu este confirmata pur si simplu, acest lucru se intampla foarte rar, ea doar a trecut cu succes un test urmand a fi verificata si prin alte teste. Prin urmare, gradul de confirmare al ipotezei este cu atat mai mare (si implicit ipoteza mai probabila) cu cat testarile ei sunt mai severe.

Retinem, in final, cateva idei:

1) O ipoteza nu se poate numi stiintifica daca nu poate fi testata, daca nu este in permanenta deschisa falsificarii. Soarta oricarei teorii stiintifice este de-a fi pana la urma abandonata pentru ca, inevitabil, va veni o vreme cand teoria nu va mai face fata. Asa s-a intamplat cu mecanica clasica, asa s-a intamplat cu teoria daltonista a atomului si asa se va intampla cu orice alta teorie stiintifica. In lupta dintre teorie si fapte, spunea un cunoscut autor roman, invingatoare vor iesi intotdeauna faptele.

Multe ipoteze nu vor putea fi testate insa niciodata. Este cazul ipotezelor filosofice, de exemplu, dar nu numai. Neputand fi verificate, tot ce putem cere unei ipoteze de acest gen este sa fie consistenta cu restul propozitiilor, sa nu duca la contradictii. Dar si aici exista situatii si situatii. Daca nu poate fi verificata direct, pe baza de predictii, trebuie vazut daca nu cumva ipoteza poate fi coroborata cu alte fapte din domeniul respectivei stiinte. Ipoteza evolutionista, de exemplu, nu permite predictii, din acest punct de vedere ea se aseamana mai mult cu ipotezele din filosofie, totusi, ipoteza este compatibila cu o serie de fapte din domeniul biologiei care o apropie, iarasi, de statutul ipotezelor stiintifice.

2) Ipotezele nu se deduc, ipotezele sunt creatii libere ale spiritului. Cercetatorul trebuie sa dea dovada de imaginatie pentru a produce ipoteze noi, revolutionare uneori. Asa cum am mai spus, in practica stiintifica intervin adeseori probleme ce nu pot fi rezolvate cu mijloace traditionale si atunci trebuie introduse ipoteze noi. Este drept ca de multe ori o ipoteza noua scandalizeaza fiind receptionata ca un soi de "obscenitate publica", daca mi se permite comparatia. Asa s-a intimplat cu ipoteza copernicana, cu evolutionismul, cu dualismul corpuscul-unda s.a. care au fost, la vremea lor, adevarate scandaluri stiintifice. Logica paraconsistenta a fost numita "logica de carnaval" (aluzie la originea ei braziliana), iar Quine folosea pentru logicile deviationiste calificativul de "fantezie burlesca". Un scandal sta sa izbucneasca astazi in legatura cu ipoteza originii omului, urmarea unor descoperiri de teren foarte recente. Cum se spune de obicei, ipoteza incepe ca un scandal, continua ca o normalitate si sfarseste ca o banalitate.

3) Ipotezele directioneaza cercetarea. Fara ipoteze, faptele ar fi la fel de relevante (sau de irelevante), iar cercetarea ar deveni nu doar nemotivata, ci de-a dreptul haotica.

Se intampla insa ca la una si aceeasi problema sa se raspunda cu mai multe ipoteze si atunci cercetarea trebuie directionata in vederea selectarii lor.

Experimentele destinate selectarii unei ipoteze in conditiile existentei mai multor ipoteze rivale se numesc, in stiinta, experimente cruciale.

Fie H₁ si H₂ doua ipoteze rivale. Sa mai presupunem ca ipoteza H₁ duce la concluzia ca in circumstanta C se produce fenomenul X, iar H₂ duce la concluzia ca, in aceeasi circumstanta C, nu are loc X.

A produce circumstanta C pentru a decide intre H₁ si H₂ inseamna a produce un experiment crucial. In circumstanta data, faptul ca un eveniment X are loc este o evidenta pentru H₁ in detrimentul lui H₂, iar faptul de-a nu avea loc este o evidenta pentru H₂ in detrimentul lui H₁.

Exemplul clasic de experiment crucial este experimentul Michelson-Morley (1887) care a stat la baza teoriei restranse a relativitatii (experimentul a eliminat pentru totdeauna ipoteza eterului luminos din fizica).

Nu oricand, insa, pot fi produse astfel de experimente si aceasta, fie ca nu permite tehnologia, fie ca ele nu sunt posibile din principiu. In plus, dezvoltarea fizicii, a scos in evidenta fenomene mai putin obisnuite din punct de vedere logic, in primul rand fenomenele de complementaritate. Dualismul corpuscul-unda, ecuatia lui Schrödinger, alte fapte din domeniul fizicii au demonstrat ca ipotezele rivale se pot compatibiliza, ca din contradictorii ele devin contrare si deci complementare (contraria non contradictoria sed complementa sunt - N. Bohr).

9. 2. Confirmari si infirmari de ipoteze

Presiunea atmosferica

Grecii, mari amatori de vinuri, au facut observatia ca butoaiele nu se pot goli daca nu li se aplica doua orificii - unul in partea inferioara (orificiul de golire) si unul in partea superioara. Ipoteza lor (datorata, se pare, lui Aristotel) era ca natura are oroare de vid, ca butoiul nu se goleste pentru a impiedeca formarea vidului. Ipoteza a devenit cunoscuta in evul mediu sub numele de horor vacuum si a functionat pana la descoperirea presiunii atmosferice in sec. XVII.

Prima experienta de "cantarire" a aerului ii apartine lui Galileo Galilei. Cu o pompa de compresie rudimentara el a reusit sa demonstreze ca greutatea unui recipient cu aer comprimat nu este aceeasi cu greutatea lui cand aerul este la presiune normala, ca aerul comprimat devine mai greu.

Dar daca aerul are, intr-adevar, greutate inseamna ca el "apasa" suprafata pamantului cu o anumita forta, ca exercita asupra noastra o presiune (in fizica presiunea este definita ca raportul dintre forta si suprafata).

Acesta este un fapt "pozitiv" de cunoastere, daca ma pot exprima astfel, insa exista si unul negativ sesizat, se pare, pentru prima data de Giovani Baliani, in 1630. El a observat ca pompele nu pot aspira apa mai sus de zece metri, ca la o asemenea inaltime in pompe se creeaza vid.

Informat despre acest fenomen, Gasparo Berti a conceput in 1641 la Roma o serie de experiente cu ajutorul unor pompe destinate producerii vidului in conditii artificiale, de laborator.

Cum era si firesc, s-a pus intrebarea: de vreme ce natura are oroare de vid, cum de permite ea producerea vidului? Si ce se intampla cu principiul horor vacuum?

Raspunde intrebarii Evangelista Toricelli (1608 - 1647), un alt discipol al lui Galilei, iar raspunsul lui angajeaza pentru prima data ipoteza presiunii atmosferice: butoaiele nu se golesc si nici pompele nu pot functiona peste o anumita inaltime din cauza presiunii aerului. Practic, traim la fundul unui ocean de aer, spune Toricelli, iar apa nu se poate ridica la o inaltime mai mare de zece metri, inaltimea corespunzatoare greutatii cu care apasa aerul suprafata pamantului.

In 1643 Viviani, alt asistent al lui Galilei, a repetat experienta insa nu cu apa, ci cu mercur pentru ca dimensiunile instrumentelor deveneau astfel considerabil mai reduse. El a umplut o eprubeta de un metru cu mercur si a introdus-o cu gura in jos intr-un alt vas plin cu mercur.

Se astepta ca eprubeta sa se goleasca in intregime, dar . surpriza! In eprubeta a ramas o coloana de mercur de aprox. 750 milimetri. Era prima determinare corecta a presiunii atmosferice exprimata in milimetri coloana de mercur.

Sa recapitulam. Exista o problema si exista o ipoteza ca posibil raspuns la problema. Mai urmeaza sa vedem ce consecinte decurg din ipoteza si cum s-ar putea verifica aceste consecinte.

Ipoteza presiunii atmosferice implica doua consecinte majore: 1) vidul este posibil in stare naturala si artificiala, 2) la inaltimi diferite presiunea atmosferica ar trebui sa fie, si ea, diferita.

Daca aceste consecinte se vor confirma, ipoteza va fi si ea confirmata (sau coroborata).

Prima consecinta a fost verificata in 1654 de Otto von Guericke (1602 - 1686), un excentric bogat cu preocupari stiintifice (experienta sa a devenit cunoscuta sub numele de experienta cu emisferele de Magdeburg).

Ce a facut von Guericke? El a confectionat doua emisfere metalice cu diametrul de 36 cm avand marginile foarte bine slefuite pentru a putea fi suprapuse exact una peste cealalta. Din sfera astfel formata a scos aerul cu ajutorul unei pompe de vid (vezi fig. 1) si, in fata unei bogate asistente din care facea parte si imparatul Ferdinand al III-lea, a aratat ca pentru separarea celor doua emisfere sunt necesare doua atelaje compuse din patru perechi de cai.

Spectacolul se baza pe o idee foarte simpla: daca in sfera se face vid (deci vidul nu este o imposibilitate faptica) cele doua emisfere sunt "impinse" una in cealalta de presiunea atmosferica, iar forta de tractiune necesara desprinderii lor era de aproximativ o tona (fiecarui cal ii reveneau circa 120 de kgF).

Trebuie sa recunoastem, putine idei stiintifice au avut parte de o asistenta atat de . aleasa.

In verificarea celei de-a doua consecinte il gasim implicat pe filosoful francez Blaise Pascal (1623 - 1662).

Daca aerul exercita realmente o presiune, ar trebui ca aceasta presiune sa varieze odata cu variatia inaltimii, cu alte cuvinte, la altitudini diferite sa se inregistreze valori de presiune diferite.

Prima experienta a fost efectuata de Pascal in 1647 pe acoperisul unei biserici insa fara rezultate. Banuind ca inaltimea este prea mica, Pascal a repetat experienta pe varful Puy-de-Dome, in Auvergne, unde a constatat ca inaltimea coloanei de mercur era cu cativa centimetri mai mica decat la Paris, oras situat la nivelul marii. Ipoteza presiunii atmosferice se confirma, astfel, si prin a doua sa consecinta.

La randul lui, Toricelli a constatat ca presiunea atmosferica difera de la o zi la alta si ca exista o legatura directa intre presiune si starea vremii, observatie ce deschidea camp liber studiului stiintific al atmosferei.

Pompa de vid imaginata de von Guericke[14].

Cand pistonul P actioneaza in jos, supapa A se deschide permitand aerului sa iasa din rezervorul R si sa intre in cilindrul pompei C. Supapa B se inchide. Cand pistonul actioneaza in sus, se inchide supapa A si se deschide B permitand evacuarea aerului. Actiunea repetata a pistonului produce vid in rezervorul R.

Fig.1.

Descoperirea Troiei

Heinrich Schliemann a fost, fara indoiala, una din figurile cele mai stralucite ale timpului sau. Dupa ce a facut avere din comertul cu indigo, el s-a intors la visul sau din copilarie - descoperirea cetatii Troia.

In Podisul Anatoliei, aproape de tarmul Marii Egee (actuala Turcie), cetatea Troiei se ridica pe vatra unei vechi asezari preistorice datata din epoca bronzului (aprox. 3000 i. Chr.). A cunoscut in decursul timpului mai multe cuceriri si reconstruiri pana in epoca romano-bizantina (sec. VI) cand asezarea dispare pentru totdeauna din orizontul istoricilor.

In 1871, cand isi incepe Schliemann sapaturile, circulau cu privire la locul cetatii Troia doua teorii sau ipoteze: 1) teoria Troia-Bunarbasi, cea mai creditata la ora respectiva, si 2) teoria Troia-Isarlic sau Noul Ilion, in denumirea anticilor[15].

Schliemann si-a propus sa descopere cetatea Troiei insa nu oricum, ci luandu-l drept "ghid" pe Homer. El a dat o interpretare istorica poemelor homerice, mai ales Iliadei in care a vazut nu doar un gen literar, ci si un soi de "cronica de razboi". Intamplator, Schliemann a avut noroc - fiecare mare descoperire isi are intamplarea ei norocoasa - pentru ca la vremea respectiva nu se punea problema literaturii de fictiune, literatura era copia mai mult sau mai putin fidela a evenimentului.

Sa urmarim insa un scurt pasaj din Iliada:

Zboara tot astfel Ahile de-a dreptul asupra-i, iar Hector

Fuge sub zidul troian si grabnic il poarta genunchii.

Dansii alearga sub deal, pe langa smochinul salbatic,

Hojma pe-alaturi de zid, pe calea batuta de care,

Trec pe la apa cea limpede a doua fantani curgatoare,

Unde izvoare tasnesc pe unde purcede Scamandrul.

Suruie apa-ncropita dintr-insul si iese de-acolo

Abure-intocmai ca fumul ce iese cand focul s-aprinde;

Chiar peste vara celalt e intocmai ca grindina rece

Ori ca omatul pe munte, ba chiar si ca apa-inghetata.

Langa izvoare sunt puse sub sipote jgheaburi de piatra

Largi si frumoase, in care spalau frumusete de straie

Fetele mandre din Troia, femeile odinioara

Cat a fost pace si nu incepuse razboiul cu aheii.

Cat a fost pace si nu incepuse razboiul cu aheii.

Trece pe-alaturea Hector fugind si Ahile gonindu-l,

Si fugaritu-i viteaz, dar mult mai viteaz gonitorul.

Repede alearg-amandoi ca invingerea nu e rasplata

Jocului de la-ncurare, o blana de bou ori o vita,

Ci este vorba de-acum chiar de insasi viata lui Hector.

Cum la intrecere caii cei biruitori pe la jocuri

Repede-nconjoara tinta, cand jocul e dat intru cinstea

Unui barbat raposat si-i mare rasplata, o roaba

Ori un tripodiu; cei doi ocolira de trei ori

Murul cetatii lui Priam, iar zeii stau martori cu totii.[16]

Facem abstractie de elementul estetic al relatarii si retinem doar faptele:

1) Cei doi eroi inconjoara de trei ori cetatea.

2) In goana lor, ei trec pe langa cele doua izvoare de langa poarta scheiana, unul cu apa calda, celalalt cu apa rece.

3) Izvoarele isi varsa apele in raul Scamandru care curge in imediata apropiere a cetatii.

Ipoteza Troia-Bunarbasi este infirmata, fie si numai de aceste fapte. Intai, pentru ca de la piciorul colinei Bunarbasi izvorasc nu doua, ci patruzeci de izvoare (de aici si denumirea de Kirk Ghöz data locului, adica Patruzeci de Ochiuri). Al doilea, pentru ca din cauza distantei si a terenului accidentat, nici chiar "Ahile cel iute de picior" nu ar putea ocoli colina in mai putin de doua ore. In plus, ipoteza se loveste de o serie alte inconsistente cu textul homeric, cum ar fi:

1) Distanta fata de muntele Ida este mult prea mare pentru ca acesta sa poata fi vazut din cetate (Homer spune ca Jupiter asista la lupte din tronul sau de pe varful muntelui).

2) Distanta fata de raul Scamandru este, iarasi, mult prea mare fata de descrierea lui Homer.

3) Distanta fata de tabara greceasca asezata pe promontoriul Sigeion este de aprox. 14 km cand ea nu putea fi mai mare de 3 km (in Iliada nu numai ca taberele se puteau vedea si auzi una pe cealalta, dar de multe ori se puteau identifica si personajele).

4) Alte detalii geografice (albia raului Simoeis, confluenta lui cu Scamandru etc.).

Se adauga la acestea si marturiile unor istorici antici - Herodot, Pausania, Strabo, Arian s.a. - care in unanimitate localizeaza Troia in Noul Ilion.

De mentionat ca daca aceste fapte contravin ipotezei Troia-Bunarbasi, ele sunt cat se poate de consistente cu cealalta ipoteza - ipoteza Troia Hisarlic - care a facilitat apoi alte cateva investigatii in spatiul homeric.

Schliemann isi incepe sapaturile, cum am spus, in 1871 dand o rasunatoare confirmare celei de-a doua ipoteze insa o alta problema se ridica in fata lui, mult mai dificila decat prima.

Colina Isarlic avea mai bine de 50 de metri inaltime urmare a multiplelor reconstruiri pe care le-a cunoscut in decursul timpului, fiecare reconstructie facandu-se pe temelia celei precedente. In locul unei singure cetati Troia, Schliemann a gasit o multime de cetati suprapuse asa cum s-au succedat ele intr-o istorie de aproape doua mii de ani. Cum putea el sti care a fost cu adevarat cetatea lui Priam?

Istoriografia moderna i-a dat dreptate lui Schliemann in ce priveste prima ipoteza dar l-a infirmat in a doua. Dupa alte cercetari, incheiate spre sfarsitul anului 1938, s-a ajuns la concluzia ca Troia homerica nu este, in termenii stratigrafiei actuale, "orasul IIg" (ipoteza lui Schliemann), ci "orasul VII a1" situat mult mai la suprafata. Cercetarile contina si astazi asa ca inca mai sunt posibile surprize.

Planeta Neptun

Se stie ca planeta Neptun a fost descoperita mai intai "matematic" si abia dupa aceea a fost confirmata prin observatii astronomice. Pe scurt, istoria s-a petrecut astfel.

Dupa ce William Herschel descopera in1781 planeta Uranus, Piere Laplace face descrierea matematica a interactiunilor gravitationale dintre Uranus, Jupiter si Saturn. Folosindu-se de rezultatele lui Laplace, Alexis Bouvard reuseste in 1820 sa descrie sub forma de tabele miscarea orbitala a celor trei planete. Numai ca in timp ce Jupiter si Saturn evoluau disciplinate pe orbitele prezise, Uranus inregistra tot felul de abateri.

Nu se putea spune ca orbitele nu au fost bine calculate de vreme ce Jupiter si Saturn le confirma, dar nici foarte corecte nu putea fi avand in vedere perturbarile lui Uranus. O intrebare se ridica astfel in fata astronomilor acelor vremi.

Cei mai multi astronomi gandeau ca ar mai fi posibila si o a opta planeta care ar determina devierile lui Uranus insa abia in 1843 John C. Adams, un tanar absolvent de la Cambridge, va calcula implicatiile matematice ale ipotezei. Dupa doi ani de cercetari el reuseste sa calculeze orbita presupusei planete si sa dea tabelul miscarii ei.

Conditiile descoperii planetei erau in totalitate satisfacute, mai trebuia ca cineva sa priveasca printr-un telescop. Din pacate, nimeni nu s-a deranjat sa faca o asemenea observatie.

Lucrand independent, astronomul francez U. J. J. Leverrier ajunge la un rezultat similar pe care il comunica Academiei Franceze de Stiinte din Paris. Inspirat, el trimite un memoriu si Observatorului Astronomic din Berlin care tocmai lucra la redactarea unor harti astronomice.

Initial, astronomii au identificat un mic corp luminos care nu era trecut in hartile lor, iar noaptea urmatoare au putut constata si miscarea lui pe orbita calculata de Leverriere. Ceea ce fusese dedus mai intai matematic era vazut acum cu ajutorul telescopului.

Dupa lungi dezbateri s-a hotarat ca planeta nou descoperita sa se numeasca Neptun si nu Leverriere, cum propusesera initial astronomii francezi.

Lumina

Putine fenomene au avut parte in istorie de atatea dezbateri, ipoteze si controverse cate a cunoscut lumina. Incepute in antichitate, discutiile privind natura luminii s-au concentrat, cu timpul, in jurul a doua mari ipoteze - ipoteza corpusculara si ipoteza ondulatorie.

In ipoteza corpusculara, lumina se compunea din mici corpusculi in miscare ceea ce insemna ca fenomenele luminoase sa poata fi explicate prin legile mecanicii clasice. Cealalta ipoteza vedea in lumina un fenomen ondulatoriu rezultat din "vibratia" unui mediu material.

Fiecare ipoteza isi avea meritele si limitele ei. Daca lumina este compusa din particule, atunci ea se propaga foarte bine in vid intrucat, in miscarea lor, particulele nu au de intampinat nici un fel de rezistenta. Or, nu acelasi lucru se poate spune daca lumina ar fi o unda. Din punctul de vedere al mecanicii clasice, undele nu pot exista in absenta unui mediu de propagare, ele constau tocmai din propagarea oscilatiilor acelui mediu. Sunetul, de exemplu, este o unda insa aceasta unda nu se propaga in vid unde nu exista un astfel de mediu. Vechea noastra cunostinta, Otto von Guericke, primarul de Magdeburg, aratase ca sub clopotul unei pompe de vid, sunetul unei sonerii se aude din ce in ce mai slab pe masura instalarii vidului, pana la totala lui disparitie.

Concluzia era una singura: de vreme ce exista unda, automat exista si mediul. Nexistand mediul, natural ca nu poate exista nici unda. Or, daca lumina este, intr-adevar, unda, atunci va avea, si ea, nevoie de un mediu al ei de propagare, iar acest mediu a fost, in final, denumit eter.

Pana aici totul pare in regula, cele doua ipoteze s-au clarificat indeajuns, mai ramanea de vazut cum puteau fi puse ele in practica, mai exact, cum explicau ele fenomenele luminoase.

Greul insa abia de acum incepe.

Unele fenomene precum reflexia sau propagarea rectilinie puteau fi explicate prin ambele ipoteze. In ce priveste refractia, insa, cele doua ipoteze duceau la rezultate opuse. Efectul fotoelectric se explica doar corpuscular, iar interferenta doar ondulatoriu.

Nici ca se putea o situatie mai incurcata.

a) Refractia in ipoteza corpusculara. Stim din fizica de liceu ca refractia consta in schimbarea directiei de propagare a razelor de lumina in trecerea dintr-un mediu material intr-altul. Ipoteza corpusculara explica fenomenul foarte simplu. In apropierea suprafetei de separare a celor doua medii, particulele de lumina vor suferi o accelerare sau o incetinire in functie de densitatea mediului. Un mediu mai dens va atrage lumina mai tare decat unul mai putin dens, ceea ce inseamna ca indicele de refractie difera in functie de mediu. Cum viteza este un vector, ea se descompune intr-o componenta orizontala si una verticala formand cu normala (perpendiculara pe suprafata despartitoare) doua triunghiuri. (fig. 4)

a v - vectorul razei incidente

i - unghiul de incidenta

v₁, v₂ - componentele vitezei

v' - vectorul razei refractate

v₂ r - unghiul de refractie

v b - suprafata de separare dintre medii,

v_{1 i} v₃ = v₂ b

_r

v₄ v

Fig. 2

Legea refractiei, dupa Newton

Daca v si v' simbolizeaza viteza razei de lumina in cele doua medii, se poate arata simplu ca

sin i = si sin r = (1)

Facind raportul celor doua relatii obtinem valoarea indicelui de refractie in ipoteza corpusculara[17]:

= (2)

b) Refractia in ipoteza ondulatorie. Conform principiului lui Huygens, fiecare punct prin care se propaga lumina devine sursa altor unde luminoase. Aceasta face ca lumina sa nu se mai propage sub forma unui fascicul luminos, ci sub forma unui "front de unde" rezultat din infasuratoarea tuturor undelor sferice la un moment dat. Notiunile de viteza, unghi de incidenta, unghi de refractie etc. se vor pastra si in acest caz insa "geometria" fenomenului este complet schimbata (vezi fig.3). De mentionat ca atat intr-un mediu cat si in celalalt directia de propagare a undei este data de perpendiculara la frontul de unda.

Fig.3

In triunghiurile dreptunghice MN'N si NM'N au loc relatiile:

sin i = = si sin r = = (3)

din care se obtine legea refractiei:

= (4)

Intamplator sau nu, explicarea refractiei in ipoteza ondulatorie duce la opusul rezultatului anterior (v. relatia 2).

c) Interfereta. Daca fenomenul refractiei putea fi explicat prin cele doua ipoteze, desi rezultatele, cum s-a vazut, erau opuse, interferenta nu se poate explica decat ondulatoriu. Reamintesc ca interferenta consta in suprapunerea a doua sau mai multe unde astfel ca miscarea rezultata din suprapunere devine, fie mai complicata, fie mai simpla, fie pur si simplu se anuleaza, urmare a unui fenomen de compensare. De exemplu, luminand in acelasi timp un ecran alb cu lumina galbena a unei lampi de sodiu si cu lumina albastra a unei lampi de mercur vom obtine pe ecran o lumina alba, conform relatiei:

= (5)

Si mai spectaculoasa este urmatoarea interferenta, cu doua rezultate posibile:

= (6)

Explicatia data de Th. Young (1773 - 1829) fenomenului este foarte simpla. Cele doua raze de lumina obliga particulele mediului la o anumita miscare, deci pe ecran se obtine culoarea corespunzatoare miscarii finale (miscarea rezultanta).

Acelasi principiu explica stingerea unei raze prin actiunea altei raze. Daca prima raza obliga particulele mediului la un anumit tip de miscare caracterizata, ca orice miscare, prin directie, viteza si sens, cealalta unda obliga aceleasi particule la o miscare pe aceeasi directie, cu aceeasi viteza dar in sens contrar. Dat fiind ca cele doua miscari se anuleaza reciproc, particulele raman in repaus si, natural, lumina dispare.

d) Doua experimente cruciale. Pentru ca nici una din ipoteze nu obtinuse o victorie definitiva trebuiau imaginate experimente care sa sporeasca probabilitatea uneia din ipoteze prin simplul fapt al eliminarii ipotezelor rivale. Am vazut ca asemenea experimente sunt numite in stiinta experimente cruciale.

Primul experiment crucial in fizica a avut loc in 1849 cand Léon Foucault (1819 - 1868) si Hippolyte Fizeau (1819 - 1896) au determinat viteza luminii in apa. Ei au confirmat formula lui Huygens intrucat viteza luminii in apa reprezenta cam ¾ din viteza ei in aer.

Ipoteza ondulatorie, inclusiv ipoteza eterului luminos, parea sa fi castigat in fata ipotezei corpusculare insa lucrurile erau inca departe de-a se fi linistit. Lumina, cum s-a demonstrat mai tarziu, este o unda transversala, iar undele transversale nu se propaga decat in medii dure ceea ce insemna ca si eterul trebuie sa fie tot un astfel de mediu dur. Doua probleme se ridica aproape de la sine: 1) cum este posibila miscarea corpurilor intr-un astfel de mediu dur? si 2) ce diferenta de viteza inregistreaza miscarea pamantului fata de miscarea eterului (fenomenul "vantului de eter")?

Foarte frumos sunt prezentate cele doua ipoteze de catre fizicianul roman Toma Vescan intr-una din primele carti aparute in limba romana pe aceatsa tema:

Lumina este o unda. De aici rezulta ca acolo unde se propaga aceste unde trebuie sa existe un mediu material, pe care l-am botezat eter. Lumina se propaga prin spatiul cosmic de la stelele aflate la miliarde de miliarde de kilometri si inca mai departe. Lumina se propaga prin aer, prin apa, in fine, printr-o multime de substante. Asadar, eterul acesta umple lumea; spatiul cosmic este plin de eter, ba eterul patrunde chiar intr-o multime de corpuri, drept care aceste corpuri devin transparente. (O incapere din care s-a evacuat tot aerul nu este "transparenta" pentru sunete; daca o umplem cu aer, ea dobandeste aceasta transparenta.) "Trebuie sa gasim acest eter!" au zis savantii si s-au avantat intr-o lunga si spectaculoasa batalie stiintifica. "Daca gasim eterul, problema miscarii absolute este rezolvata definitiv. Eterul va fi sistemul de referinta absolut al lui Newton fata de care se misca toate corpurile". Si cu totii se bucurau ca lumea va putea fi asemuita unui ocean fara margini, unde planetele-pesti si stelele-balene inoata prin eter.

Dupa succesul urias al teoriei gravitationale al lui Newton,"functia gravifica" a eterului a fost data uiarii, dar "eterul luminos" nu numai ca nu a fost dat uitarii, ci, in urma confirmarii naturii ondulatorii a luminii, a revenit din ce in ce mai frecvent in discutiile fizicienilor.

Experimentul lui Michelson (1881), repetat impreuna cu Moreley (1887) si apoi numai de Moreley (1904), conducea la un rezultat surprinzator: oricare ar fi directia ei de propagare, viteza luminii nu este afectata de viteza "vantului de eter", ea este mereu aceeasi. Altfel spus, c + v = c - v = c unde c este viteza luminii, iar v este viteza pamantului.[19]

Explicatia este una singura: eterul nu este nici antrenat, nici neantrenat, cum presupusera initial fizicienii, eterul pur si simplu nu exista.

9. 3. Distinctia teoretic - empiric cu privire la ipoteze

O clasificare mai veche impartea ipotezele in teoretice si empirice. Ipotezele confirmate pe baza de observatii (cazul planetei Neptun, bunaoara) erau considerate empirice in timp ce alte ipoteze, care nu presupun asemenea perceptii, erau apreciate ca teoretice.

Nu poti realiza, de pilda, ca lumina are o structura corpusculara sau ondulatorie numai din observatii libere, pentru aceasta sunt necesare o serie de "ingrediente" teoretice - legi, principii, axiome, calcule matematice etc. Tot astfel in cazul presiunii atmosferice.

A numi aceste ipoteze "teoretice" pentru a le deosebi de ipotezele din cealalta categorie, numite "empirice", pare a fi lucrul cel mai logic cu putinta. Filozofia este atunci prin excelenta domeniul ipotezelor teoretice in timp ce stiintele experimentale sunt, cu predilectie, domeniul ipotezelor empirice.

Numai ca lucrurile nu sunt intotdeauna atat de simple. In cazul ipotezei cel putin, distinctia teoretic-empiric este relativa si trebuie luata cu rezerve. Intai, pentru ca nu exista observatii in forma pura, observatiile sunt dependente intr-un fel sau altul de teorie. Al doilea, pentru ca si ipotezele teoretice sunt dependente pana la urma de observatii.

Cu privire la primul aspect - dependenta observatiei de teorie - voi discuta in cele ce urmeaza ideea de perceptie conceptualizata.

Fie un concept A sub care cade obiectul a. Fie, de asemenea, conceptele supraordonate B, C, D, E:

S_A S_B S_C S_D S_E  (1)

Date fiind raporturile de ordonare ale acestor concepte (raporturi gen - specie), relativ la obiectul a pot fi asertate propozitiile:

a este A,

a este B,

a este C,  (2)

a este D,

a este E,

Sa presupunem mai departe ca un subiect S are perceptia obiectului a.

Ceea ce percepe S nu este obiectul a pur si simplu, este obiectul sub concept sau obiectul asociat conceptului (a este, la drept vorbind, "un A" - un om, o casa, o masina etc.). Perceptia, prin urmare, nu este o operatie logic neutra, este o perceptie conceptualizata.

Pentru ca nici un concept nu exista izolat, orice concept face parte dintr-o retea sau structura conceptuala, vom spune despre perceptie ca este relativa si ea la structura conceptuala.

Schimbandu-se structura conceptuala, automat se schimba si perceptia. De pilda, doi observatori care privesc acelasi rasarit de soare vor vedea lucruri diferite daca structurile lor conceptuale sunt diferite. Daca unul are conceptul copernican de sistem solar, iar celalalt conceptul ptolemeic, primul va vedea miscarea pamantului in jurul soarelui in timp ce ptolemeicul va vedea rotatia soarelui in jurul pamantului. Lucrul, ca atare, este acelasi, dar lucrul vazut este diferit. Aceste diferente nu se explica doar prin cauze psihologice si fiziologice, fenomenul are in egala masura cauze logice si gnoseologice[20].

Ceva similar s-a intamplat in cazul planetei Neptun. Planeta putea fi descoperita cu cincizeci si unu de ani mai devreme pentru ca J. J. Lalande a vazut-o de doua ori in 1795 insa el nu a dat crezare observatiilor sale considerandu-le pur si simplu eronate. El nu a vazut planeta (desi avea perceptia ei) din simplul motiv ca observatiile pe care le-a facut nu erau in concordanta cu conceptul lui de planeta in acel moment.

O alta problema: ce se intampla cand in orizontul perceptiei noastre apare un obiect inedit, un obiect pentru care nu exista un concept corespunzator?

Nici in acest caz perceptia nu va fi neutra conceptual. Neexistand un concept adecvat obiectului se apeleaza, fie la un concept supraordonat, fie la un concept "invecinat", un concept dintr-o alta schema conceptuala. Cand spunem "farfurie zburatoare", de exemplu, obiectul este captat printr-un concept, respectiv, o structura conceptuala desi nici conceptul, nici structura conceptuala nu sunt adecvate obiectului.

La ce duce, in final, teza perceptiei conceptualizate? Ce sustine ea?

Teza sustine dependenta observatiei de teorie, faptul ca si ipotezele asa zis empirice sunt circumscrise teoriei, ca nu exista ipoteze empirice in forma pura.

Nici ipotezele teoretice nu sunt in totalitate independente de observatie. Este drept ca nu putem vedea corpusculi, unde, vectori, forte etc. dar aceasta nu inseamna ca nu am putea lua act si intr-un alt fel de realitatea lor. Citind un ampermetru, sa zicem, vedem intensitatea campului electric, cu voltmetrul vedem tensiunea, cu barometrului vedem presiunea atmosferica si asa mai departe. Teoria deci este inseparabila de observatie, tot asa cum observatia este inseparabila de teorie.

9. 4. Conditiile unei ipoteze

Data fiind complexitatea fenomenului stiintific, ar fi de-a dreptul anacronic sa cerem ipotezelor actuale sa raspunda acelorasi conditii cu ipotezele de acum o suta de ani, sa zicem, desi unele similitudini fara indoiala exista. Despre cateva din aceste conditii sau "similitudini" va fi vorba in cele ce urmeaa.

a) Relevanta. O ipoteza este cu atat mai buna cu cat este mai relevanta. Simplu spus, o ipoteza trebuie sa explice o categorie foarte mare de fapte si, mai mult decat atat, ea trebuie sa permita extinderi si asupra altor fapte decat cele pentru care a fost ea conceputa initial. Nimeni nu se gandea, de pilda, ca intre fenomenul mareelor, miscarea penduluilui, alunecarea pe planul inclinat si ciclurile de rotatie ale lunii ar putea exista vreo legatura, si totusi, aceste fapte se explica unitar prin ipoteza atractiei gravitationale. Istoric, ipoteza viza doar caderea pe verticala, cu timpul, insa, ea a devenit relevanta pentru multe alte lucruri.

Ceva asemanator s-a petrecut cu ipoteza campului electromagnetic. Pana spre sfarsitul secolului XIX, lumina, electricitatea si magnetismul nu erau privite ca avand vreo legatura, totusi, Maxwell va demonstra ca in teoria (ipoteza) campului electromagnetic ele sunt de nedespartit. Relevanta noii ipoteze este cel putin la fel de mare ca relevanta mecanicii newtoniene.

Nu acelasi lucru se poate spune despre ipoteza flogistonului - ipoteza prin care medievalii explicau arderea - care nu avea nici o relevanta pentru fenomenul oxidarii, de exemplu. Nici ipoteza "ororii de vid" nu are vreo relevanta pentru fenomenele atmosferice; la fel ipoteza generatiei spontanee fata de fenomenul sterilizarii si exemplele ar mai putea continua inca. In toate aceste cazuri este vorba de ipoteze ad-hoc, ipoteze menite sa explice doar cazuri particulare, imposibil de generalizat dincolo de faptele pentru care au fost concepute.

Sigur ca nu trebuie cazut nici in extrema cealalta extrapoland nepermis relevanta unei ipoteze. Este o tendinta intalnita nu doar in stiinta (am vazut cu ce efecte s-a soldat explicarea fenomenelor luminoase prin legile mecanicii clasice), ci si in filozofie. Ipoteza mecanicii clasice s-a dovedit nerelevanta pentru intregi domenii ale fizicii, dar atunci ce relevanta putea avea ea pentru fenomene din afara fizicii? Sa nu uitam ca mecanicismul filosofic a exagerat ipoteza mecanicii clasice aplicand-o inclusiv fenomenelor sociale.

b) Testabilitatea. Spunem despre un fapt de observatie dedus dintr-o ipoteza ca este prezis (sau explicat) de ipoteza. Nici o ipoteza nu poate fi testata altfel decat prin predictiile sale.

In general, o ipoteza netestabila nu este o ipoteza stiintifica, dar putem noi face din aceasta o regula? Trebuie sa fie neaparat testabila o ipoteza pentru a se numi stiintifica?

Pentru ca a sustinut un asemenea punct de vedere, Popper s-a vazut nevoit sa respinga freudismul si evolutionismul din randul ipotezelor stiintifice, fapt ce i-a atras critici deosebit de severe. Va trebui deci sa privim lucrurile mai relaxat, sa admitem ca stiintifica ipoteza ce nu poate fi testata direct, dar poate fi pusa in consonanta cu alte fapte si ipoteze testabile. Evolutionismul, de pilda, este compatibil cu rezultate din domeniul geneticii ca sa nu mai vorbim de numeroasele fosile descoperite in decursul timpului care au completat o serie de verigi lipsa din lantul foarte lung al evolutiei. Nu ar fi exclus ca ipoteza sa sufere in viitor modificari si mai adanci (imi este greu sa cred ca ea va fi vreodata abandonata in totalitate) insa pentru aceasta sunt necesare probe temeinice, nu doar speculatii ocazionate de un fapt sau altul. In orice caz, criteriul testabilitatii pune in discutie una din conditiile fundamentale ale oricarei teorii sau ipoteze.

c) Consistenta. Sa ne reamintim de ipotezele care au dus la descoperirea cetatii Troia. Schliemann a pus cap la cap descrierile lui Homer alcatuind o descriere a locurilor, descriere pe care a confruntat-o, apoi, cu realitatea. El nu a facut, practic, decat sa aleaga ipoteza consistenta cu descrierea lui Homer elimintnd astfel orice ipoteza rivala (acelasi gen de consistenta l-a ajutat la descoperirea mormantului lui Agamemnon la Micene).

Ipotezele, prin urmare, trebuie sa fie consistente. In general, prin consistenta se intelege necontradictie, insa, din cate am vazut in Introducere, termenul "consistenta" poate avea acceptiuni mult mai speciale.

In legatura cu ipoteza, problema consistentei poate fi pusa in sens tare sau intr-un sens mai slab.

In sens tare, consistenta cere ca propozitiile ipotezei si consecintele deduse din ipoteza sa nu se contrazica intre ele, sa alcatuiasca impreuna o multime consistenta de propozitii.

Sa presupunem ca printre propozitiile ipotezei H figureaza P_i si P_k. Daca din P_k si o propozitie oarecare P_m rezulta propozitia non-P_i, ipoteza este inconsistenta in sens tare.

In domeniul filosofiei, mai ales, unde avem de-a face cu ipoteze asa zis teoretice, tot ce se poate cere unei ipoteze este sa fie consistenta in acest fel (adeseori critica filosofica consta in surprinderea contradictiei in argumentarea filosofica).

In sens slab, consistenta se mai numeste si compatibilitate. Ipoteza planetei Neptun s-a dovedit compatibila nu doar cu legile generale ale miscarii planetelor, ci si cu o serie de observatii particulare. Ca o conditie minimala, daca ipoteza nu poate ingloba un anumit fapt ca pe un fapt particular, ea trebuie macar sa nu il contrazica (a fi compatibil cu x = a nu exclude x).

Pentru a marca consistenta cu datele de observatie unii autori fac distinctie intre consistenta interna si consistenta externa. Prima inseamna consistenta teoriei (ipotezei) ca atare, cea de-a doua consistenta teoriei cu datele de observatie.

Dat fiind ca niciodata o ipoteza nu apare din nimic, se ridica si o alta problema: noua ipoteza devine automat inconsistenta cu vechea ipoteza? Este obligatoriu ca cele doua sa se contrazica intre ele?

Nu neaparat. Adeseori o ipoteza mai veche se regaseste in noua ipoteza sub forma de caz particular. Einstein obisnuia sa spuna ca teoria relativitatii nu neaga pur si simplu mecanica newtoniana, ci ii restrange doar valabilitatea (la viteze mici, ecuatiile newtoniene ale miscarii devin cazuri particulare ale ecuatiilor relativiste). Mai grav este cand se contrazic doua teorii din domeniul aceleiasi stiinte cum este cazul teoriei relativitatii si al mecanicii cuantice. Logica paraconsistenta exploateza la ora actuala aceste fapte demonstrand inca odata, daca mai era nevoie, ca nici conditia consistentei nu ramane nemodificata, ca nici ea nu se pune mereu in aceeasi termeni.

d) Simplitatea. In caz ca mai multe ipoteze raspund aceleiasi probleme este preferata, de obicei, ipoteza mai simpla. Ipoteza copernicana privind miscarea pamantului in jurul soarelui s-a dovedit mai simpla si mai naturala decat ipoteza ptolemeica in care soarele se roteste in jurul pamantului. La fel, ipoteza presiunii atmosferice fata de ipoteza horor vacuum. Daca prima facea apel la fapte si concepte cat de cat cunoscute (greutate, presiune, forta etc.), cealalta facea apel la entitati metafizice complicand si mai mult lucrurile.

Cum s-ar putea explica faptul ca natura respinge vidul? Ce este, la drept vorbind, aceasta "oroare de vid"?

Probabil ca cei ce dadeau astfel de raspunsuri aveau o teorie filosofica a materiei, teorie care la randul ei presupunea o teorie a plinului si a golului; aceasta se baza pe o alta teorie a spatiului si asa mai departe, complicatii filosofice fara sfarsit. Ca sa nu mai vorbim ca ipoteza presiunii atmosferice a facilitat o intreaga stiinta a atmosferei (vezi conditia testabilitatii) in timp ce ipoteza respingerii vidului nu lasa loc nici unei aplicatii.

Este drept, pe de alta parte, ca simplu si complicat sunt notiuni relative, ca simplitatea unei ipoteze se apreciaza cel mai adesea post factum. Trecand insa peste detalii, o ipoteza mai simpla este intotdeauna preferabila unor ipoteze mai complicate.

10. INDUCTIA CAUZALA

Conceptul de cauza. Aspecte generale.

Manualele de logica obisnuiesc sa includa in capitolul despre inductie si asa numita inductie cauzala intelegand prin aceasta metodele Bacon-Mill de stabilire a cauzalitatii. Discutia este subsumata principiului cauzalitatii, un principiu filosofic potrivit caruia orice lucru este cauza si in acelasi timp efect. Este cauza fata de anumite lucruri si efect fata de altele, astfel ca, odata cunoscuta cauza avem posibilitatea cunoasterii efectului, si invers, cunoscand efectele putem ajunge la cunoasterea cauzelor.

Rostul logicii inductive, a inductiei cauzale mai bine zis, este sa dea regulile acestor metode de stabilire a cauzalitatii, insa, si subliniez acest lucru, nu toate inferentele cauzale sunt inductive, vom vedea ceva mai departe ca exista si cateva inferente cauzale deductive foarte importante.

Discutia despre cauzalitate comporta trei nivele. Primul este nivelul cunoasterii comune unde cauzalitatea este asociata cel mai adesea intrebarii "de ce?", "din ce cauza?":

De ce s-a uscat planta?

De ce se produc inundatiile?

Din ce cauza au crescut preturile?

Sunt intrebari la care se raspunde cu pentru ca, fiindca, din cauza ca s. a. Asa cum exista indicatori ai premiselor si concluziilor intr-o inferenta deductiva, tot asa exista indicatori cauzali intr-o propozitie de cauzalitate. De exemplu, "A, pentru ca B" il indica pe A drept efect al lui B.

In propozitiile:

Planta s-a uscat pentru ca nu a fost udata,

Inundatiile s-au produs fiindca a plouat excesiv,

Preturile au crescut din cauza inflatiei,

apar doua fenomene - unul este cauza, celalalt efectul. Unele cauze sunt individuale, altele sunt statistice, in functie de natura fenomenelor (dezvoltarea plantei este un fenomen individual in timp ce cresterea preturilor si inflatia sunt fenomene statistice).

Acesta este nivelul cunoasterii comune. Cel de-al doilea nivel este nivelul cunoasterii stiintifice. Se vorbeste aici despre asa numitele legi cauzale cum ar fi legea gravitatiei, legea fortei, legile miscarii si multe altele. Legea conservarii si transformarii energiei, una dintre legile fundamentale ale fizicii, este pusa de Faraday si Mayer in dependenta de principiul filosofic causa aequat effectum (cauza este egala efectului). La randul lui, Descartes pune principiul inertiei in dependenta de principiul cauzalitatii: corpurile nu isi schimba starea de miscare sau de repaus fara existenta unei cauze (= actiunea unei forte). Mecanica newtoniana ar fi din acest punct de vedere un fel de teorie matematica a cauzelor.

Desi sunt implicati in discutie filosofi, nivelul vizat este cel stiintific nu cel filosofic, acesta fiind cel de-al treilea nivel al cauzalitatii.

Se pare ca primul care a dat un concept filosofic de cauza este Aristotel (a se vedea teoria celor patru cauze la Aristotel - cauza materiala, formala, eficienta si finala). Conceptul leibnizian de ratiune suficienta aduce discutia ceva mai aproape de realitate. In general, pe masura ce ne apropiem de timpurile moderne, conceptul filosofic de cauza incepe sa piarda teren in fata unui concept inductiv (numesc astfel conceptul de cauzalitate vizat de Bacon, Mill si de toti ceilalti ganditori din traditia inaugurata de ei).

Hume pune o alta problema filosofica, el se intreaba daca relatia de cauzalitate este cu adevarat obiectiva, daca nu cumva noi suntem cei care dam lucrurilor calitatea de cauza, respectiv, efect.

O definitie a cauzalitatii valabila pentru toate cele trei nivele este greu de dat insa putem proceda, ca si in alte situatii, pe cazuri particulare. Ne limitam pentru inceput la cauzalitatea primului nivel.

Avem doua posibilitati: fie sa luam cauza termen prim (nedefinit), fie sa cautam termeni mai simpli pentru ca apoi sa-i gasim o eventuala definitie.

Deocamdata adoptam prima solutie incercand sa dam nu o definitie cauzei, am vazut in primul capitol ca a cunoaste nu este totuna cu a defini, ci mai degraba o descriere. Pe masura ce descrierea devine mai bogata, continutul notiunii devine tot mai complet, si invers.

a) Cauzalitatea ca relatie.

Termenii "cauza" si "efect" sunt termeni relativi (cauza este relativa la efect si efectul relativ la cauza) asa ca in loc sa discutam cauza este de preferat sa discutam relatia de cauzalitate. Fiind o relatie binara putem incepe prin a enumera cateva din proprietatile ei mai importante, si anume:

● Ireflexivitatea: x nu poate fi cauza lui x (nici un lucru nu isi este propria sa cauza).

● Asimetria: daca x este cauza lui y, nu se poate ca si y sa fie cauza lui x.

● Tranzitivitatea: daca x este cauza lui y si y este cauza lui z, atunci x este cauza (mai indepartata) a lui z.

Fiecare conditie suscita discutii de natura logica si chiar filosofica.

Prin conditia ireflexivitatii, de exemplu, principiul cauzalitatii dobandeste o caracteristica esentiala - niciodata cauza unui lucru nu consta in acel lucru, intotdeauna ea este exterioara lui.

Conditia asimetriei intareste conditia ireflexivitatii accentuand si mai mult diferenta dintre cauza si efect.

Conditia tranzitivitatii ne arata ca efectul poate avea nu una ci mai multe cauze dintre care unele sunt mai apropiate, altele mai indepartate.

In orice caz, cauzalitatea are proprietatile unei relatii de ordine stricta, la fel ca definitia, si aceleasi proprietati le are conversa relatiei, respectiv, "y este efectul lui x". Observatia trebuie retinuta pentru ca, asa cum am spus si la definitie, relatiile de ordine isi au rolul lor in organizarea multimilor (una este multimea pur si simplu si cu totul alta multimea organizata pe baza de relatii si operatii). In cazul de fata ordonarea cauzelor permite introducerea unei notiuni noi - lantul cauzal.

Ce sunt aceste lanturi cauzale?

Daca notam cu C relatia de cauzalitate si cu x, y, z obiectele, un lant cauzal este ceva de genul: .xCyCzCu . (x este cauza lui y care este cauza lui z care este cauza lui u si asa mai departe).

Intr-un lant cauzal propozitia "a este cauza lui b" va fi adevarata ori de cate ori a il precede pe b.

Logic vorbind, intr-un lant cauzal nu exista cauze prime si cauze ultime, ci cauze mai apropiate sau mai indepartate (putem vorbi, eventual, de cauze proxime sau directe desi nici aceasta notiune nu este in afara oricarei obiectii). De pilda, ploaia este cauza directa a inundatiilor, inundatiile sunt cauzele altor efecte, sa zicem, alunecarilor de teren. Acestea determina prabusirea caselor, care, la randul lor, determina stramutatea localitatilor. Iata un intreg lant cauzal in care nu exista o cauza prima sau ultima decat daca din anumite motive convenim noi asupra uneia.

Fiecare lucru este o "intersectie" de mai multe lanturi cauzale. Totalitatea acestor lanturi cauzale care se intersecteaza intr-un obiect a formeaza determinismul lui a. Mai exact, daca a are proprietatile F₁, F₂, , pentru fiecare proprietate F_i exista un lant cauzal specific lui F_i. De exemplu, exista un lant cauzal specific calitatii de atenian pentru Socrate (despre proprietatile F₁, F₂, . se spune ca sunt determinarile lui a).

b) Determinism si libertate.

Notiunea de determinism poate fi extinsa de la nivelul obiectului la nivelul sistemelor de obiecte (orice sistem este o clasa, dar nu orice clasa este in acelasi timp sistem). Sa consideram pentru inceput multimea de multimi Σ = astfel ca pentru fiecare A_i I Σ, Ai = .

Totalitatea relatiilor cauzale care au loc intre elementele multimilor A_i din Σ formeaza determinismul lui Σ.

O multime dotata cu un astfel de determinism o vom numi sistem.

Spre deosebire de multime care este ceva static (multimesa este o notiune atemporala), sistemele sunt intotdeauna dinamice, in timp ele isi schimba starea.

Un sistem este strict determinist daca fiecare stare a lui este functie de starea lui anterioara (sau este efectul starii lui anterioare) si este liber daca intre starile lui nu exista astfel de legaturi.

Cel mai adesea sistemele se caracterizeaza prin grade de libertate (sistemele strict deterministe au grad zero de libertate, iar sistemele indeterministe grad unu). De pilda, daca A₁, A₂,., A_n sunt rotile dintate din mecanismul unui ceasornic, iar a_i1, a₁₂, . sunt dintii prin care interactioneaza ele, atunci in fiecare moment starea sistemului este efectul starii lui anterioare si cauza starii lui ulterioare. Deci gradul de libertate al sistemului este, practic, zero.

c) Cauzalitatea ca relatie temporala.

In intelesul lor obisnuit, cauza si efectul sunt fenomene empirice, ele au loc in spatiu si timp. Tinanand cont de relatia temporala dintre cauza si efect, putem vorbi de doua categorii de cauze - cauze concomitente efectului si cauze anterioare lui. Intepatura unui ac, de exemplu, este cauza durerii insa aici cauza si efectul au loc deodata, sunt concomitente. In exemplul cu inundatiile, dimpotriva, cauza este anteriora efectului, intre cauza si efect raportul este de succesiune.

Un lucru este cert: efectul nu poate fi niciodata anterior cauzei (proprietate recunoscuta si in teoria relativitatii).

Pentru ca relatia de succesiune are aceleasi proprietati formale cu relatia de cauzalitate (este ireflexiva, asimetrica si tranzitiva), cele doua relatii sunt foarte usor de confundat. Totusi, fenomene precum fulgerul si tunetul, ziua si noaptea, vara si iarna etc. nu sunt in relatie de cauzalitate in ciuda faptului ca ordinea lor temporala corespunde intocmai ordinii cauzale. In logica, erorile de acest fel sunt desemnate cu formula post hoc, ego propter hoc (v. Cap. V, erorile inductive).

d) Informatie si cauzalitate. Daca a este cauza lui b, despre b se mai spune ca informeaza despre a sau ca este informatia lui a (orice efect informeaza asupra cauzei sale). Simbolic: b = Inf (a). Dilatarea metalelor, de exemplu, informeaza asupra cresterii temperaturii, tot asa cum prezenta curentului electric informeaza asupra campului magnetic. Notiunea de lant cauzal s-ar putea reda atunci prin iterarea informatiei sau prin simpla ridicare la putere: b = Inf (a), c = Inf (b), deci c =Inf (Inf (a)). Aceeasi idee s-ar putea reda prin c = Inf²(a). Mai departe, daca doua lucruri b si c informeaza asupra aceluiasi lucru a, vom spune despre ele ca sunt echivalente informativ relativ la a. Simbolic: b c (Inf a).

Exista doua tipuri de informatii - informatii in sens absolut si informatii in sens relativ. In primul caz b este informatie de a, in al doilea b este informatie de a relativ la c, unde c este un reper oarecare (un observator, un alt sistem etc.). In fine, un sistem in care fiecare lucru este informatie despre cel putin un alt lucru se va numi sistem informational (orice sistem determinist este un sistem informational, si invers).

e) Mono si policauzalism.

Relatia de cauzalitate este univoca sau plurivoca? Pot fi cauze cu mai multe efecte, si invers, efecte care sa aibe mai multe cauze?

Din analiza unor cazuri si exemple concrete se ajunge la ideea ca, relativ la acelasi efect, exista cauze unice (sau proprii) si cauze multiple. Nasterea oamenilor, de pilda, se explica printr-o singura cauza in timp ce moartea lor poate avea o multitudine de cauze - batranete, boala, sinucidere, accident etc. Inghetarea apei are tot o singura cauza, spre deosebire de uscarea plantei care, iarasi, poate avea multiple cauze. In general, daca mai multe fenomene C₁, C₂, ., C_n il pot avea ca efect pe E, multimea C₁, C₂,. formeaza un complex cauzal relativ la E. Metodele lui Mill despre care vom vorbi ceva mai departe au ca scop principal determinarea cauzelor proprii din componenta unui complex cauzal.

10. 2. Implicatia cauzala

Nu trebuie confundata cauzalitatea propriu zisa cu propozitia care exprima cauzalitatea. Pentru ca aceasta propozitie are forma de implicatie, o vom numi implicatie cauzala.

Desi nu difera ca formulare de implicatia materiala - ambele se exprima prin "daca/atunci" - implicatia cauzala inregistreaza diverse abateri fata de ideea generala de implicatie.

In primul rand, implicatia cauzala este o relatie de ordine tare (este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva) in timp ce implicatia materiala este una de ordine slaba.

Cele mai mari diferente sunt date insa de conditiile de adevar ale celor doua implicatii. Implicatia materiala este falsa cand antecedentul ei este adevarat si consecventul fals; in rest, ea este adevarata. Implicatia cauzala, in schimb, este falsa si cand antecedentul este fals si consecventul adevarat.

Pentru o mai buna comparatie intre cele doua implicatii sa revedem conditiile de adevar ale fiecareia.

La implicatia materiala:

Antecedent adevarat, Consecvent adevarat = Implicatie adevarata

Antecedent adevarat, Consecvent Fals = Implicatie falsa,

Antecedent fals, Consecvent adevarat = Implicatie adevarata,

Antecedent fals, Consecvent fals = Implicatie adevarata

In relatia cauzala antecedentul este cauza, iar consecventul efectul, deci adevarul/ falsul antecedentului inseamna existenta/nonexistenta cauzei; si tot asa in cazul efectului. Iata care este atunci, structura formala a implicatiei cauzale:

Exista cauza, Exista efectul = Implicatie adevarata,

Exista cauza, Nu exista efectul = Implicatie falsa,

Nu exista cauza, Exista efectul = Implicatie falsa,

Nu exista cauza, Nu exista efectul = Implicatie adevarata.

Diferenta, din cate observam, apare in cazul al treilea in care nu exista cauza dar exista efectul. A admite ca implicatia cauzala este adevarata si in acest caz, pentru a forta apropierea de implicatia materiala, inseamna a admite efecte fara cauze. Insa aceasta echivaleaza cu anularea ideii de cauza (cauza nu ar mai fi necesara producerii efectelor). Prin urmare, nu este vorba de o conditie oarecare a cauzalitatii, este chiar conditia ei definitorie.

In fine, exista si o a treia diferenta data de inferentele deductive pe care le subsumeaza fiecare din cele doua implicatii. De pilda, in implicatia cauzala se poate deduce de la cauza la efect, ca si de la efect la cauza:

Exista cauza, deci exista efectul; Nu exista cauza, nu exista efectul;

Exista efectul, deci exista cauza; Nu exista efectul, nu exista cauza.

Inferentele implicatiei materiale se regasesc printre inferentele implicatiei cauzale insa nu toate inferentele implicatiei cauzale sunt valabile pentru implicatia materiala (nu se poate deduce falsul consecventului din falsul antecedentului, dupa cum nici adevarul antecedentului nu se poate deduce din adevarul consecventului).

Concluzia se impune de la sine: implicatia materiala si implicatia cauzala sunt doua forme diferite de implicatie.

10. 3. Cauze si conditii. Logica conditiilor

Daca ar trebui sa gasim un termen prim pentru definirea cauzalitatii, probabil ca cel mai indicat ar fi cel de "conditie". Logica inductiva deosebeste trei feluri de conditii - conditii necesare, conditii suficiente si conditii necesare si suficiente.

Apa, de exemplu, este o conditie necesara dezvoltarii plantelor, incalzirea este conditie suficienta dilatarii metalelor, iar inflatia este conditia necesara si suficienta cresterii preturilor.

Din analiza exemplelor ajungem la urmatoarele definitii logice:

A este conditie suficienta pentru B daca realizarea lui A atrage intotdeauna dupa sine (implica) realizarea lui B (simplificat: B, cand A).

A este conditie necesara lui B daca realizarea lui B implica realizarea lui A (simplificat: A, cand B).

A este conditie necesara si suficienta realizarii lui B daca realizarea lui A implica realizarea lui B, si invers, realizarea lui B implica realizarea lui A (simplificat: A, cand B si B, cand A).

Pentru fiecare conditie noi folosim termenul "cauza", insa, din cate vedem, nu este vorba despre unul si acelasi tip de cauza.

Sa mai observam ca si aceste conditii se exprima in limbaj prin propozitii implicative:

Daca plantele sunt udate, atunci ele se dezvolta,

Daca metalele sunt incalzite, atunci ele se dilata,

Daca creste inflatia, atunci cresc preturile.

Putem, eventual, numi aceste propozitii implicatii conditionale pentru a le deosebi de implicatiile cauzale discutate mai sus. Or, aceste implicatii conditionale genereaza alte inferente deductive (din nou, deosebirea de implicatia materiala).

De exemplu, cand A este conditie suficienta pentru B, din realizarea lui A deducem realizarea lui B (din existenta ploilor deducem producerea inundatiilor).

Cand A este conditia necesara pentru B, deductia merge invers, din realizarea lui B deducem realizarea lui A (din fenomenelul cresterii plantelor deducem ca udarea lor s-a facut la timp).

In fine, cand A este conditie necesara si suficienta pentru B, deductia merge in ambele sensuri, de la A la B si de la B la A (din fenomenul inflatiei deducem cresterea preturilor, si invers, din cresterea preturilor deducem fenomenul inflatiei).

In cartea sa A Treatise on Induction and Probability, von Wright dezvolta pe baza celor trei implicatii o "logica a conditiilor" (in sensul de abordare formala a acestora). El stabileste mai intai proprietatile formale ale celor trei relatii. De pilda, conditia necesara este o relatie reflexiva, asimetrica si tranzitiva; la fel conditia suficienta. In schimb, conditia necesara si suficienta are proprietatile relatiei de echivalenta, este reflexiva, simetrica si tranzitiva (desi se subordoneaza ideii de cauza, niciuna din aceste conditii nu are proprietatile formale ale cauzalitatii).

Sa mai consemnam cateva din proprietatile celor trei conditii.

Daca A este conditie suficienta pentru B, atunci B este conditie necesara pentru A, si invers (teorema 1 la von Wright).

Daca realizarea lui A este conditie suficienta pentru B, atunci absenta lui A este necesara pentru absenta lui B (teorema 2).

Daca realizarea lui A este necesara pentru realizarea lui B, atunci absenta lui A este suficienta pentru absenta lui B (teorema 2).

Daca A este conditie necesara si suficienta pentru B, atunci realizarea lui A este suficienta pentru realizarea lui B si absenta lui A pentru absenta lui B (teorema 3).

Formalizarea acestor corelatii ar da logicii conditiilor mai multa rigoare largind totodata posibilitatile ei de aplicare.

10. 4. Metode inductive de stabilire a cauzalitatii

Inspirat de tabelele lui Bacon, J. St. Mill introduce asa numitele "metode inductive" (canoane) de stabilire a cauzalitatii. Fiind metode de descoperire a cauzei lucrurilor, ele nu trebuie confundate cu metodele de deducere a cauzelor din efecte sau a efectelor din cauze, acestea reprezinta o cu totul alta problema.

In prezentarea metodelor sale, Mill invoca principii si postulate filosofice, in primul rand principiul uniformitatii naturii: "Oricare ar fi maniera sa cea mai convenabila de exprimare, propozitia potrivit careia cursul naturii este uniform este principiul fundamental, axioma generala a inductiei".[21] Cu timpul s-a renuntat la aceste "ingrediente" filosofice retinandu-se doar schema (structura logica) a metodelor lui.

1) Metoda concordantei. Fiind date mai multe instante cauzale care il au ca efect pe a, exista o buna probabilitate ca instanta care se repeta (concorda) odata cu a sa fie cauza lui a. De pilda, daca trei indivizi au luat masa la acelasi restaurant servind fiecare trei feluri de mancare diferite, daca cei trei s-au intoxicat, dar s-a constatat ca toti trei au baut acelasi tip de bere, atunci probabil ca berea a fost cauza intoxicarii. Schematic:

ABCD - a

AFGH a

AMNO - a

A - a

Cum in fiecare din aceste instante doar A concorda cu a, se poate presupune ca A este cauza lui a. Inferenta este de la simpla asociere, acesta este sensul termenului "concordanta", la cauzalitate, deci nu poate fi vorba de o metoda foarte riguroasa. Totusi, metoda este foarte des folosita datorita succesului ei in aplicatii. De pilda, la inceputul anilor optzeci in orasul american Seattle a crescut ingrijorator numarul imbolnavirilor de ebola. Strategia elaborata de autoritati se baza, in mare parte, pe metoda concordantei. Dupa identificarea instantelor cauzale, care la inceput erau in numar foarte mare, a rezultat ca toti bolnavii consumasera un anumit suc de mere produs de o firma din apropiere. Analizele de laborator au confirmat ipoteza ca sucul de mere este cauza imbolnavirilor.

2) Metoda diferentei. Daca metoda concordantei se bazeaza pe prezenta efectului intr-un ansamblu de circumstante cauzale, metoda diferentei se bazeaza pe absenta lui. Mai exact, daca a nu se produce in absenta circumstantei A, dar se produce in prezenta lui A, nu ar fi exclus ca A sa fie cauza lui a. Schematic:

ABCD - a

BCD -

A - a

Sa presupunem ca o echipa formata din muncitorii A, B, C, D este acuzata de sustrageri de materiale. La inceput acuzatia ii vizeaza pe cei patru muncitori in egala masura, insa, cu timpul, se constata ca sustragerile nu se produc in absenta ci doar in prezenta lui A; de aici probabilitatea ca autorul sustragerilor sa fie A. Prin aceasta A nu este dovedit, el este deocamdata primul suspectat existand si posibilitatea ca autorul propriu zis sa fie un al cincilea, un om din afara echipei.

3) Metoda combinata a concordantei si diferentei. Cele doua metode pot fi aplicate simultan. Observam, de pilda, ca in metoda diferentei este presupusa deja concordanta, altfel absenta circumstantei nu ar avea nici o relevanta.

Pentru exemplificare sa revenim la exemplul cu intoxicatia de la metoda concordantei.

Sa presupunem ca la restaurant au servit masa nu trei, ci patru indivizi dar ca numai primii trei au baut bere. Daca cel de al patrulea nu a baut bere, dar nici nu s-a intoxicat, probabilitatea ca berea sa fie cauza intoxicatiei este cu atat mai mare. In general, cu cat este mai bine conturata concordanta, cu atat este mai relevanta diferenta si deci mai usor de stabilit cauza.

Daca metoda diferentei nu este in totalitate independenta de metoda concordantei, reciproca nu mai este valabila, in sensul ca nu orice concordanta este insotita de o diferenta corespunzatoare. Prin urmare, cele doua metode trebuie abordate separat.

4) Metoda variatiilor concomitente. Si aceasta este un fel de metoda a concordantei insa aplicarea ei cere conditii suplimentare. S-ar putea ca in unele situatii sa putem stabili ceva mai mult decat simpla concordanta dintre A si a, si anume, sa putem evidentia covarianta dintre a si A. Daca in circumstantele A, B, C, D il putem identifica pe a in prezenta lui A astfel ca variatia lui A este insotita corespunzator de variatia lui a, atunci este foarte probabil ca A sa fie cauza lui a:

ABCA - a

A₁BCD - a₁

A₂BCD - a₂

.....

A_nBCD - a_n

A - a

Metoda variatiilor concomitente pune in dependenta cauzala scaderea natalitatii de degradarea nivelului de trai (oscilatiile nivelului de trai sunt insotite de oscilatiile in sus si in jos ale ratei natalitatii). Aceasi metoda a dus la explicarea cauzala a dilatarii metalelor prin fenomenul incalzirii.

5) Metoda reziduurilor. Daca instantele cauzale A, B, C, D au ca efecte pe a, b, c, d astfel ca A este cauza lui a, B este cauza lui b si C este cauza lui c, exista o buna probabilitate ca si D sa fie cauza lui d:

ABCD - abcd

A - a

B - b

C - c

D - d

In statul american Ohio au fost eliberati la interval de cateva luni unul de altul patru cunoscuti spargatori de banci. La nici un an de la eliberarea lor s-au produs alte patru noi spargeri dintre care trei in Ohio, iar cel de-al patrulea intr-un oras de granita dintr-un stat invecinat. Politia a descoperit ca a, b si c sunt implicati independent unul de altul in spargerea bancilor A, B, C si a presupus automat ca d este responsabil de spargerea bancii D.

Numai ca, spre surpriza tuturor, d era de data aceasta un cetatean cat se poate de onorabil, bun familist, cu loc de munca stabil si foarte activ in organizatia pentru protectia animalelor din care facea parte. Mai mult, d a recunoscut stilul celor care "au lucrat" la baca D astfel ca, pe baza informatiilor furnizate de el, politia a reusit nu peste mult timp sa-i aresteze pe adevaratii faptasi.

Cazul ilustreaza nu doar modul de functionare a metodei reziduurilor ci si limitele ei pentru ca, trebuie spus, metodele lui Mill sunt mai degraba euristice decat strict logice, ele ne arata doar cu o oarecare probabilitate cauza existand oricand riscul sa dam peste false cauze. Betivul care a baut whisky cu apa minerala, coniac cu apa minerala, vodca cu apa minerala etc., are toate motivele sa renunte la apa minerala, care, potrivit metodei concordantei, este cauza starii lui.

La fel in ceea ce priveste metoda variatiilor concomitente. Daca se constata ca rata natalitatii din Bucuresti variaza aproximativ egal cu rata precipitatiilor din Mizil, de ce nu am presupune ca precipitatiile din Mizil stau la baza natalitatii din Bucuresti?

Ceea ce lipseste acestor cazuri este legea cauzala privind fenomenul investigat, lege imposibil de obtinut in absenta unei teorii. Va trebui deci sa trecem dincolo de simpla asociere a fenomenelor pe baza de prezenta si absenta daca vrem, intr-adevar, sa ajungem la cunoasterea lor.

La von Wright, legea este acelasi lucru cu teoria. "Din propozitia ca ceva a avut loc in anumite conditii, spune von Wright, noi inferam propozitia ca, daca aceleasi conditii sunt repetate, atunci acelasi lucru va avea loc din nou. Concluzia unui astfel de argument o vom numi o teorie"[22]. Exista doua tipuri de teorii: 1) teorii valabile in toate cazurile in care conditiile sunt indeplinite, acestea fiind legile naturii, si 2) teorii valabile doar pentru un numar restrans de cazuri. Dintr-o teorie si o propozitie privind realizarea unor conditii se poate face o predictie. Acestea sunt induse sau deduse, de la caz la caz.

11. PROBLEME DESCHISE CU PRIVIRE LA INDUCTIE

Spuneam in introducerea acestui capitol ca logica inductiva se deosebeste de logica deductiva, ca in ciuda tuturor progreselor ea este mai putin riguroasa si, in general, mai putin sistematizata. Voi face in cele ce urmeaza o scurta trecere in revista a catorva din problemele controversate ale inductiei.

11. 1. Probleme privind starea logica a rationamentelor inductive

Rationamentele deductive au fost apreciate in termeni de valid, nevalid si demonstrativ sau veridic (am tradus astfel englezescul sound despre care am spus ca desemneaza rationamentele valide cu premise adevarate).

Intrebarea este in ce termeni trebuie apreciate rationamentele inductive si cum s-ar putea defini acesti termeni?

Pana recent o asemenea intrebare nu se discuta in manualele de logica, singurul criteriu de acceptare, respectiv, respingere a unui rationament inductiv era probabilitatea concluziei. Simplu spus, este cu atat mai acceptabil rationamentul inductiv cu cat este mai probabila concluzia lui.

O tentativa de depasire a situatiei va incerca logicianul american P. Hurley printr-o clasificare a rationamentelor inductive in trei categorii. Concret, el imparte rationamentele inductive in rationamente inductive tari, slabe si convingatoare (in orig. strong, weak si congent).

Un rationament inductiv este tare daca premisele lui sunt adevarate iar concluzia probabil adevarata si este slab daca premisele sunt adevarate si concluzia probabil falsa. Daca rationamentul este tare si are premise adevarate el este convingator. In fine, este neconvingator rationamentul care, fie este slab, fie are una sau mai multe premise false, fie ambele.

Iata si exemplele cu care autorul isi ilustreaza cele trei tipuri de inductie:

Acest cos contine o suta de mere. Trei mere luate la intamplare sunt stricate; deci toate merele sunt stricate (rationament inductiv slab).

Acest cos contine o suta de mere. Optzeci dintre ele luate la intamplare sunt stricate; deci toate merele din cos sunt stricate (rationament inductiv tare).

Ca si in cazul validitatii, taria rationamentelor nu depinde decat indirect de valoarea premiselor si concluziei.

Urmatorul rationament in care premisele si concluzia sunt false este apreciat de Hurley ca fiind tare:

Toti meteoritii cazuti astazi pe pamant contin aur; deci urmatorul meteorit care va cadea pe pamant va contine si el aur.

In schimb, urmatorul rationament este slab desi premisele lui sunt adevarate:

In ultimii cincizeci de ani inflatia a redus considerabil valoarea dolarului american; deci productivitatea industriala va creste de aici inainte.

Concluzia acestui rationament este cu mare probabilitate adevarata numai ca aceasta probabilitate nu se datoreaza premisei, intre premisa si concluzie nu exista un raport logic direct.

Nici celelalte rationamente nu sunt in afara oricaror obiectii. In rationamentul 3), de exemplu, premisa este falsa numai daca meteoritii cazuti astazi pe pamant nu contin aur. Dar daca astazi nu a cazut nici un meteorit pe pamant, ceea ce probabil ca a avut in vedere autorul, atunci premisa nu este nici adevarata, nici falsa, desi, conform interpretarilor existentiale ale propozitiilor de predicatie, ea ar putea fi apreciata ca adevarata. In orice caz, exemplul nu este concludent pentru teza anuntata de autor.

Trebuie spus apoi ca rationamentele exemplificate ilustreaza tipuri diferite de inductie. Rationamentele 1) si 2) induc de la unii la toti, in timp ce rationamentele 3) si 4) induc de la trecut, eventual prezent, la viitor. Or, nu este acelasi lucru. In plus, eu nu sunt convins ca putem induce ceva adevarat plecand de la premise false si nici ca probabilitatea concluziei intr-un astfel de rationament ar putea fi ameliorata.

Sa revenim insa la subiect. Ceea ce vroia Hurley sa demonstreze este ca starea logica a rationamentelor inductive, la fel ca a celor deductive, nu depinde decat indirect de starea logica a propozitiilor din care ele se compun. Hurley exprima acest fapt cu ajutorul urmatorului tabel:

Este evidenta simetria (analogia) dintre conceptele rationamentului deductiv si noile concepte introduse de Hurley relativ la rationamentul inductiv. Totusi, intre ele exista deosebiri esentiale.

In primul rand, validitatea este un concept formal in timp ce toate conceptele lui Hurley sunt materiale (tin de continutul propozitiilor si nu de forma lor). In al doilea rand, validitatea nu are grade. Dupa cum s-a vazut, nu putem spune mai mult sau mai putin valid, un rationament este sau valid sau nevalid. In schimb, tare si slab pot fi nuantate oricat am dori, ele sunt concepte fuzzy (tare, nu prea tare, foarte tare etc.). Nu vom sti niciodata unde este linia de demarcatie dintre tare si slab, acelasi rationament putand fi tare si slab in egala masura. Nu cred, de aceea, ca Hurley rezolva problema, chiar daca solutia lui contine si unele lucruri interesante.

11. 2. Problema implicatiei inductive

Un rationament deductiv poate fi reformulat implicativ si am vazut ca exista un raport direct intre valididitatea, respectiv, nevaliditatea rationamentului si valoarea propozitiei implicative corespunzatoare lui. Intrebarea este daca si rationamentele inductive se pot exprima implicativ si, daca da, cum s-ar putea defini o atare implicatie? Cu alte cuvinte, care este valoarea implicatiei de la evidenta la ipoteza, adica de la un antecedent adevarat (sau fals) la un consecvent probabil adevarat?

O idee de implicatie probabilista gasim la Hans Reichenbach in cartea sa The Theory of Probability.

Autorul nu isi propune sa formalizeze inferenta inductiva, scopul cartii lui este altul, si anume: sa arate cum poate fi analizata logic structura propozitiei de probabilitate. El ia ca punct de plecare exemplul clasic de probabilitate, cel asociat aruncarii zarului.

Sa luam deci propozitia: "Daca zarul este aruncat, atunci fata 2 este asteptata cu probabilitatea p".

La Reichenbach, aceasta propozitie are urmatoarea exprimare simbolica:

x I A _p y I B (1)

unde p este valoarea probabilitatii asociate evenimentului descris de yIB in eventualitatea ca are loc evenimentul descris de xIA (in cazul de fata, xIA yIB

Nu-mi este clar daca o atare implicatie leaga evenimente sau propozitii care descriu evenimente. Ni se spune, de pilda, ca

In timp ce implicatia logica corespunde propozitiilor de forma "Daca a este adevarata, b este adevarata", implicatia probabilista exprima propozitii de genul "Daca a este adevarata, atunci b este probabila in gradul p".[23]

pentru ca imediat autorul sa vina cu precizarea:

Termenii implicatiei probabiliste sunt in mod obisnuit evenimente. Fie x evenimentul "Zarul este aruncat", si y evenimentul "Zarul s-a orit pe masa"; atunci, implicatia probabilista dintre cele doua evenimente a fost asertata.[24]

Deci ce leaga pana la urma implicatia probabilista, evenimente sau propozitii despre evenimente?

Sa presupunem ca leaga propozitii. Pentru a face cat mai clara problema sa luam cazul concret al unei inductii prin enumerare:

a₁ este F,

a₂ este F,

deci

toti a sunt F.

Implicatia acestui rationament s-ar putea reda prin: daca a₁ este F si a₂ este F si ., atunci toti a sunt F. Simbolic:

_i) _p a F(a)  (2)

Intrebarea era ce valoare de adevar are aceasta implicatie stiind ca antecedentul ei este adevarat, iar consecventul probabil adevarat?

Am putea spune ca, de vreme ce consecventul este probabil si implicatia este tot probabila, dar aceasta idee generala de probabil nu ne ajuta prea mult, ar trebui stiut si cat de probabila este ea. In cazul de fata, daca s-au verificat 5 cazuri din 15 posibile am putea aserta o probabilitate de forma "A B"?

Despre ce probabilitate este vorba aici? Despre probabilitatea consecventului sau despre probabilitatea implicatiei?

Atat la Reichenbach cat si in exemplul nostru este vorba de probabilitatea consecventului in timp ce problema era sa se determine probabilitatea implicatiei, sa putem spune ca "A il implica in gradul p pe B" determinandu-l efectiv pe p. Or, din cate ne dam seama, acest lucru nu este posibil, in general.

Dar cat de corecta este o asemenea intrebare? Altfel spus, cat de adecvata poate fi descrierea inferentelor inductive in termeni de "implicatie", "antecedent", "consecvent" si asa mai departe?

Dupa cum am mai spus, multi autori evita acesti termeni preferand termenii de "evidenta" si "ipoteza". Daca intr-o deductie premisele implica concluzia facand-o adevarata, intr-o inductie evidentele confirma (sustin) ipoteza facand-o cel mult probabila. In locul operatiei de implicare apare operatia confirmarii, astfel ca, cu cat este mai mare numarul cazurilor favorabile, cu atat mai mare este gradul de confirmare al ipotezei (ipoteza ca toate lebedele sunt albe este confirmata de faptul ca a₁, a₂, , a_n sunt lebede si sunt toate albe).

Dar daca exista grade de confirmare, nu putem vorbi si grade de implicare? Raportul dintre inductie si deductie este foarte strans, am vazut acest lucru, asa ca nu trebuie de tot exclusa nici eventualitatea unei implicatii inductive.

11. 3. Problema raportului dintre particular si general in inductie

S-a considerat multa vreme ca diferenta dintre inductie si deductie s-ar datora modului specific in care fiecare este angajata in realizarea raportului dintre general si particular. Se considera, de pilda, ca inductia procedeaza de la particular la general, in timp ce deductia procedeaza de la general la particular, eventual la acelasi nivel de generalitate.

Incepand cu sec. XIX aceasta conceptie a fost tot mai mult pusa sub semnul intrebarii, in sensul ca erau considerate legitime inferente inductive de la particular la particular, de la general la general si chiar de la general la particular. S-a mers pana acolo incat s-au propus denumiri specifice pentru desemnarea unora dintre aceste inductii - eductie, abductie, transductie s.a. Ceva asemanator s-a sustinut si in privinta deductiei.

In zilele noastre ideea pare sa fi castigat si mai multi adepti, mai ales in randul logicienilor filosofi. Astfel, capitolul despre inductie din cartea lui H. Kahane, Logic and Philosophy. A Modern Introduction (editia a sasea), se deschide cu un paragraf intitulat O conceptie gresita asupra inductiei si deductiei[25]. Autorul isi argumenteaza teza cu ajutorul unor exemple pe care voi incerca sa le reproduc cat mai fidel in cele ce urmeaza.

Deductie de la general la particular

Toti cei care obtin puterea sunt corupti de ea.

Daca Jim si Tammy Bakker au obtinut puterea, ei au fost corupti de ea.

Deductie de la general la general

Nici un politist nu este coruptibil.

Cineva care este coruptibil nu este politist.

Deductie de la particular la particlar

Daca Dan Rather a castigat puterea, el a fost corupt de catre ea.

Dan Rather a castigat puterea.

Deci el a fost corupt de catre ea.

Deductie de la particular la general

(a)  John este muritor.

Deci toti cei care il cunosc pe John cunosc pe cineva care este muritor.

(b) John este muritor.

John nu este muritor sau toti oameni sunt muritori.

Deci toti oamenii sunt muritori

Iata si exemplele lui Kahane referitoare la inductie.

(1') Inductie de la particular la particular:

In 1985 G. Kasparov l-a invins pe A. Karpov la campionatul mondial de sah. El l-a invins, de asemenea, in 1987.

El il va invinge si la urmatorul campionat de sah.

(2') Inductie de general la general:

Toate echipele din NFL au castigat foarte multi bani in acest an.

Toate echipele din NFL vor castiga foarte multi bani si anul viitor.

(3') Inductie de la general la particular:

Toate echipele din NFL au castigat foarte multi bani in acest an.

Echipa NFL 49-ers din San Francisco va castiga foarte multi bani anul viitor.

Concluzia autorului este ca raportul general-particular nu marcheaza in nici un fel diferenta dintre inductie si deductie, ca atat inductia cat si deductia pot parcurge ambele sensuri: de la general la particular, de la particular la general, de la general la general si de la particular la particular.

Fara a intra in detalii vreau sa fac si aici cateva observatii.

In primul rand, eu nu sunt sigur ca propozitiile implicative si disjunctive ar avea in vreun fel de-a face cu raportul general-particular. Rationamentul (3), bunaoara, ilustreaza el cu adevarat deductia de la particular la particular? Rationamentul este, intr-adevar, valid insa el nu exprima particularul ca atare, ci raportul dintre doua fapte particulare, mai precis, raportul dintre doua propozitii care exprima fapte particulare. Daca nu ar exista acest raport, concluzia, oricare ar fi ea, nu ar mai fi posibila.

Si inca ceva. Orice rationament deductiv valid, de orice forma ar fi el, este intotdeauna un particular in raport cu anumit general. Rationamentul nostru este fara indoiala valid, insa nu este valid ca fapt particular, ci invers, este valid pentru ca forma lui generala este valida.

Cel mai suspect mi se pare rationamentul (4)a prin care este ilustrata deductia de la particular la general. Dupa parerea mea, autorul face aici mai multe confuzii.

In primul rand, el nu realizeaza ca rationamentul este eliptic, ca in acest rationament concluzia nu rezulta numai din premisa enuntata ci dintr-o clasa de mai multe premise printre care figureaza cel putin o propozitie universala. Deci, strict vorbind, nu avem de-a face cu o deductie de la particular la general.

In al doilea rind, propozitia "x il cunoaste pe y" nu permite o substitutie salva veritate relativ la y, propozitia este neextensionala in y. Rationamentul, din cate imi dau aseama, poate fi analizat doar in logica predicatelor, poate chiar in logica modala a predicatelor, deci este o problema ce depaseste cadrul acestei discutii.

Nici rationamentele destinate inductiei nu sunt mai convingatoare. Toate cele trei inductii oferite spre exemplificare sunt inductii de la trecut (eventual, prezent) la viitor, dar acesta nu este tot una cu raportul general-particular. Spunand, de exemplu, "toti a sunt P in momentul t₁" deci "a₁ este P in t₂" accentul nu cade pe raportul de la toti la unul, ci pe raportul de la t₁ la t₂. Una este generalizarea raportata la obiect, aceasta se exprima prin toti, fiecare, niciunul etc., si alta generalizarea cu raportare la timp (intotdeauna, ori de cate ori, permanent, de fiecare data etc.).

Se poate trage atunci vreo concluzie in privinta raportului dintre general si particular din exemplele lui Kahane?

Parerea mea este ca nu. In plus, vreau sa subliniez doua lucruri:

1) Raportul general-particular se exprima cel mai bine in propozitiile de predicatie (includ aici si propozitiile singulare). Alte propozitii cum ar fi propozitiile conjunctive, disjunctive, implicative etc. nu au de-a face cu raportul general-particular, rostul acestor propozitii nu este sa exprime un asemenea raport. In consecinta, nici inferentele deductive in care intra aceste propozitii, respectiv: P |- P Q, P & Q |- P, P Q |- , |- P etc. nu angajeaza in vreun fel raportul general-particular.

2) In inferentele silogistice raportul general-particular este controlat de legea distributivitatii termenilor. Reamintesc ca intr-un silogism valid extensiunea termenilor concluziei poate fi cel mult egala cu extensiunea lor din premise. Prin urmare, silogismul merge de la general spre particular, eventual la acelasi nivel de generalitate, in nici un caz de la particular spre general. Repet, nu cred ca problema poate fi pusa si in legatura cu celelalte rationamente deductive.

Cum stau lucrurile atunci cu inferentele inductive, sunt sau nu sunt angajate aceste inferente fata de raportul general-particular?

Ca exista inferente inductive care merg de la particular la general este clar, insa nu stiu daca putem face din aceasta o regula in inductie asa ca prefer sa las si aceasta problema deschisa.

11. 4. Probleme cu privire la probabilitate

11. 4. 1. Tipuri de probababilitate

Din cate ne-am putut da seama, inductia imbraca multiple si variate forme. Putem induce:

● de la unii la toti,

● de la particular la general,

● de la simplu la complex,

● de la parte la intreg,

● de la trecut la viitor.

Inferentele statistice completeaza lista cu alte cateva modalitati de inducere nu mai putin importante. Am vazut ca putem induce:

● de la esantion la populatie,

● de la esantion la esantion,

● de la populatie la esantion,

● de la populatie la individ,

● de la esantion la individ.

De fiecare data concluzia este probabila, dar este vorba oare despre unul si acelasi concept de probabilitate? Nu cumva ideea de probabilitate se schimba de la o inferenta la alta?

Presupunand ca, intr-adevar, exista mai multe concepte de probabilitate aferente inferentei inductive, sunt aceste concepte cu adevarat independente? Sunt ele reductibile la o idee mai generala de probabilitate, o probabilitate logica sau inductiva?

Ce alte concepte de probabilitate exista si in ce raporturi stau ele cu probabilitatea inductiva?

Dupa cum am mai spus, problema probabilitatii este problema numarul unu a logicii inductive, tot asa cum validitatea este problema numarul unu a logicii deductive. Numai ca in timp ce validitatea se defineste univoc, cu alte cuvinte exista un singur concept de validitate, probabilitatea are multiple intelesuri.

Relativ la conceptul de probabilitate se fac astazi mai multe distinctii:

● Probabilitate apriorica - probabilitate aposteriorica,

● Probabilitate subiectiva - probabilitate obiectiva,

● Probabilitate evenimentiala - probabilitate statistica,

● Probabilitate logica - probabilitate matematica.

Intrebarea era daca si in ce masura pot fi aplicate aceste concepte in logica inductiva, ce relevanta au ele pentru genul de inferente studiate pana acum? Sunt intrebarile la care voi incerca sa raspund in acest final de capitol.

1) Probabilitatea clasica (sau apriorica).

Inspirat din jocurile de noroc, acest concept de probabilitate a fost definit de Pascal si Fermat in sec. XVII fiind preluat un secol mai tarziu de Bernoulli, Laplace s.a. care l-au dezvoltat intr-o veritabila teorie matematica.

Conceptul se exprima printr-un numar rational din intervalul in care 0 inseamna imposibilitatea, iar 1 certitudinea.

O dificultate apare chiar de la inceput: certitudinea este o categorie probabilista in timp ce imposibilitatea este o categorie modala. Or, ca modalitate, imposibilul nu se opune probabilului ci posibilului.

Este drept ca cele doua nu se exclud - orice este probabil este si posibil, iar ceea este posibil implica un anume grad de probabilitate - insa, din punct de vedere logic, ele nu se suprapun, nu inseamna acelasi lucru. Va trebui deci, fie sa resemnificam termenul "imposibilitate", sa-i atribuim o semnificatie probabilista, fie sa-l inlocuim cu un termen mai potrivit acestei functii. Deocamdata adoptam prima solutie.

In literatura de specialitate, probabilitatea clasica se intalneste si sub denumirea de probabilitate evenimentiala, de la denumirea de "eveniment" (in sens matematic) data fenomenelor pe care le caracterizeaza. Aparitia fetei trei la aruncarea unui zar este un astfel de eveniment matematic. Este cert, de exemplu, ca aruncand zarul se obtine un anumit numar; este imposibil ca acest numar sa fie sapte, dar nu este nici cert, nici imposibil, ci doar probabil ca numarul respectiv sa fie trei.

Exista deci trei feluri de evenimente: certe (probabilitate maxima), imposibile (probabilitate minima) si evenimente asa zis aleatoare (nici certe, nici imposibile, ci doar probabile).

Vom nota:

P(sapte) = 0, P(numar) = 1, 0 P(trei)

Probabilitatile de acest fel se calculeaza dupa formula:

P(A) =   (1)

unde n este numarul cazurilor favorabile producerii evenimentului A, iar m numarul de cazuri posibile. Cum exista o singura fata trei din sase posibile va rezulta:

P(trei) = 1/6.

Probabilitatea aparitiei unui numar par este de 3/6, adica 1/2 (din cele sase fete ale zarului trei au numere pare). Tot 1/2 este probabilitatea obtinerii uneia dintre fete la aruncarea monezii. In schimb, probabilitatea scoaterii unui as dintr-un pachet de carti este de 1/13 (intr-un pachet de 52 de carti sunt 4 asi) si asa mai departe.

Spunem ca este o probabilitate apriorica intrucat ii putem calcula valoarea fara a recurge la experienta (nu trebuie sa aruncam neaparat cu zarul pentru a intelege ca aparitia fetei trei este asteptata cu o probabilitate de 1/6).

Totusi, nu este clar ce exprima aceasta probabilitate - o proprietate a lucrurilor sau o proprietate a cunoasterii noastre asupra lucrurilor? Este obiectiva aceasta probabilitate sau este subiectiva?

Foarte multi inclina inspre caracterul obiectiv al probabilitatii clasice, propozitiile de probabilitate fiind intelese ca propozitii despre lume. Sunt insa, si nu putini, care sustin caracterul ei subiectiv (propozitiile de probabilitate nu fac afirmatii despre lume, ci despre subiect, ele exprima gradul de incredere al subiectului in realizarea evenimentului).

Inteleasa obiectiv, probabilitatea clasica este guvernata de cateva principii mari care o si deosebesc de modalitatea posibil:

Principiul indiferentei. Intr-o experienta probabilista nu exista evenimente privilegiate, toate evenimentele au aceeasi sansa de-a se realiza (la aruncarea zarului fiecare fata este asteptata cu aceeasi probabilitate). Denumirea de probabilitate posibilista pe care von Wright a dat-o probabilitatii clasice isi are explicatia chiar in acest fapt.

Principiul independentei. Realizarea sau nerealizarea unui eveniment nu depinde de evenimentele trecute sau viitoare, ele nu se pot influenta reciproc. Faptul ca la ultima aruncare a zarului a iesit fata 2 nu are nici o legatura cu faptul ca la aruncarea anterioara a iesit cinci, intre cele doua evenimente nu exista raport de conditionare.

Principiul completitudinii. Evenimentul realizat intr-o experienta probabilista face parte dintr-o clasa determinata (completa) de evenimente. Consecinta imediata a acestui principiu este ca intr-o experienta probabilista clasa evenimentelor de probabilitate zero este infinita.

Principiul excluderii. Realizarea unui eveniment face imposibila realizarea altui eveniment. Cu alte cuvinte, intr-o experienta probabilista nu se poate realiza decat un singur eveniment din clasa evenimentelor egal probabile (din cele sase fete ale zarului doar una se obtine la o aruncare). Se spune despre aceste evenimente ca sunt mutual exclusive.

Din cate ne putem da seama aceasta specie de probabilitate este prea putin apta caracterizarii inductiei, dar sa nu ne grabim, inca mai sunt posibile surprize.

2. Probabilitate frecventiala (sau statistica).

In probabilitatea clasica se opereaza cu concepte ideale. Se presupune ca zarul este perfect omogen, moneda este perfect rotunda, amplitudinea, traiectoria si forta aruncarilor sunt mereu aceleasi etc.

Daca aceste conditii nu sunt realizate, acuratetea probabilitatii va avea de suferit, ea va fi cu atat mai precara cu cat conditiile practice ale realizarii evenimentului sunt mai indepartate de conditia ideala. De pilda, nu este sigur ca realizarea unui eveniment nu va afecta realizarea altuia (incalcarea principiului independentei); sau ca nu se realizeaza si evenimente din afara celor vizate (incalcarea principiului completitudinii) etc.

Pot fi evitate in practica aceste dificultati?

Da, cu unele conditii. Am putea, eventual, arunca de foarte multe ori zarul sau moneda si sa calculam, apoi, raportul dintre numarul realizarilor unui eveniment A si numarul total de aruncari.

Sa presupunem, de exemplu, ca numerele 100, 1000, 10.000, . indica aruncarile unui zar, iar m, n, q, . indica numarul de aparitii ale fetei trei. Facand raporturile

, , , .

se vor obtine valori din ce in ce mai apropiate de 1/6. Practic, cu cat numarul aruncarilor este mai mare cu atat mai apropiata va fi valoarea acestui raport de 1/6.

Probabilitatea este inteleasa aici ca limita a frecventelor relative, iar teoria acestui concept de probabilitate se va numi si ea teoria frecventelor relative.

In istoricul teoriei frecventiale gasim si cativa logicieni, inclusiv pe J. St. Mill, insa reprezentantul ei cel mai autorizat este Richard von Mises.

Si in acest concept de probabilitate intervine operatia idealizarii dar intr-o alta forma. In primul rand, se presupune ca evenimentul se repeta de un numar foarte mare de ori, altfel, rezultatele vor fi nerelevante. Nu ne dam seama, de pilda, ca probabilitatea realizarii fetei trei este aceeasi cu probabilitatea realizarii fetei sase numai din zece aruncari ale zarului, numarul acestora trebuie sa fie mult mai mare.

Cat de mare?

Din ce in ce mai mare.

Valoarea de 1/6 a frecventei relative este cazul limita (corespunde numarului infinit de aruncari) deci este o valoare pur matematica, imposibil de realizat practic. Din acest punct de vedere probabilitatea frecventiala se aseamana cu cea clasica.

Probabilitatea frecventiala s-a impus mai mult din considerente de ordin pragmatic (anumite categorii de evenimente nu pot fi studiate decat frecvential). Sa presupunem, de exemplu, ca vrem sa stim cati dintre studentii unei facultati isi gasesc un loc de munca dupa absolvirea facultatii.

Alta problema: care este probabilitatea ca un om care acum cincizeci de ani sa mai traiasca inca cincizeci?

Problemele de acest fel ne obliga la o abordare frecventiala.

Diferenta fata de probabilitatea clasica este ca recursul la experienta devine in acest caz inevitabil. Presupunand, de exemplu, ca dintr-o mie de absolventi, 725 au un loc de munca, se va calcula raportul dintre 725 si 1000. Dar numarul 725 provine din observatiile de teren, el nu se obtine pe cale matematica.

La fel in cea de-a doua problema. Daca dintr-un total de 1000 de oameni cu varsta de 50 de ani, doar 15 traiesc inca 50 se va face raportul dintre 15 si 1000.

Prin urmare, valoarea unei astfel de probabilitati se calculeaza dupa o formula asemanatoare cu prima:

P(A) = (2)

unde N este numarul cazurilor favorabile din totalul de M cazuri.

De regula, rezultatele se exprima procentual: probabilitatea ca un student al facultatii x sa ocupe un loc de munca dupa absolvire este de 72,5%. In cazul al doilea, probabilitatea ca un om de 50 de ani sa mai traiasca inca 50 este de 1,5%.

Nici acest concept de probabilitate nu pare apt sa preia problemele inferentei inductive, totusi, de data aceasta se intrevede posibilitatea unor aplicatii logice.

Propozitiile, dupa cum s-a aratat intr-un capitol anterior, nu exista pur si simplu (desi in logica noi suntem nevoiti sa le tratam astfel), ele sunt formulate, eventual afirmate, de cineva anume. Aceeasi propozitie poate fi asertata de mai multe ori, fie de aceeasi persoana, fie de persoane diferite; fie in acelasi moment, fie in momente diferite. Nu este nerezonabil deci sa ne intrebam, relativ la o propozitie P, cate asertari are propozitia intr-un interval de timp dat si din acestea cate sunt adevarate?

De cate ori este asertata, de pilda, propozitia "Parlamentul a procedat corect respingand motiunea de cenzura" si din aceste asertari cate sunt adevarate?

Pusa astfel, problema duce la estimari de genul: "suta la suta adevarat", "suta la suta fals", "cincizeci la suta adevarat" etc. care, trebuie sa recunoastem, sunt intalnite nu doar in vorbirea curenta ci si in stiinta. Este 100% adevarat, de pilda, ca acizii inrosesc hartia de turnesol, nu este 100% adevarat ca metalele sunt solide, este peste 80% adevarat ca parlamentarii isi ascund averile etc. etc.

S-ar putea foarte bine intampla ca in anumite situatii aceste estimari sa nu fie doar un simplu mod de-a vorbi, sa necesite evaluari exacte prelucrabile pe baza de reguli logice. De pilda, daca A este o propozitie procentuala, negatia ei s-ar putea calcula dupa regula:

P() =   (3)

Presupunand ca P(A) = 33%, sa zicem, P() calculata dupa regula (3) este 67%. Printr-un calcul simplu se poate arata ca P(A ) = 100%.

O astfel de logica procentuala va trebui sa redefineasca operatorii logici de baza, eventual sa adauge si alti operatori insa, repet, este o simpla supozitie, nu am cunostinta de existenta unor astfel de calcule.

3. Probabilitatea inductiva (sau logica).

Exista sau nu exista o probabilitate inductiva, o probabilitate specifica ipotezelor din inferentele inductive?

Daca da, are ea vreo legatura cu celelalte forme de probabilitate?

Se pare ca cei care au pus pentru prima data in mod serios aceasta problema au fost John M. Keynes si Harold Jeffrey.

Pentru Keynes, propozitia "Probabil p" este forma simplificata a propozitiei

"p este probabila relativ la e" (1)

unde p este concluzia (sau ipoteza) iar e premisa (sau evidenta). Simbolic: e/p.

Prin urmare, probabilitatea este o relatie logica, o relatie despre care autorul sustine ca poate fi cel mult intuita, in nici un caz definita.

Keynes nu pare preocupat de celelalte forme ale probabilitatii, fapt ce i-a atras serioase critici din partea matematicienilor. De altfel, in primele decenii ale sec. XX intre logicieni si matematicieni se crease un hiatus in privinta modului de intelegere a probabilitatii.

Keynes si urmasii lui nu lasau loc probabilitatii frecventiale, in timp ce von Mises nu vorbeste despre probabilitatea logica, pentru el enunturile de genul "Probabil va ploua maine" sunt pur si simplu lipsite de sens. Asa cum nu poti folosi oricum conceptul "distanta", sa zicem, acesta fiind un concept cu reguli stricte de utilizare, tot asa regulile de utilizare (aplicare) ale conceptului de "probabilitate" fac improprii unele dintre utilizarile lui din limbajul natural.

Prima tentativa cu adevarat serioasa de "iesire din situatie" ii apartine lui Rudolf Carnap. Cartea lui din 1962, Logic Foundations on Probability este una din cele mai importante realizari teoretice ale sec. XX, o adevarata Principia Mathematica a logicii inductive.

Ceea ce isi propune Carnap in aceasta lucrare este:

● O clarificare si, in masura posibilitatilor, o definitie a conceptului de grad de confirmare.

● Clarificarea naturii logice a inductiei, implicit construirea unui sistem de logica inductiva.

● Clarificarea conceptului de probabilitate.

Carnap distinge intre doua forme ale probabilitatii - probabilitatea₁ si probabilitatea₂, respectiv, probabilitatea ca grad (sau masura) a confirmarii ipotezelor si probabilitatea ca limita a frecventelor relative. Prima este adevarata logic sau a priori (adevarul ei se datoreaza doar semnificatiei termenilor); a doua este factuala sau a posteriori.

Daca logica deductiva putea fi privita ca o teorie a implicatiei (sau L-implicatiei, in terminologia lui Carnap) logica inductiva ar putea fi privita ca o teorie a gradului de confirmare.

Ca si Keynes, Carnap considera propozitiile de probabilitate ca fiind eliptice, in viziunea lui o propozitie de probabilitate gen

"Aparitia stemei la aruncarea monedei este asteptata cu o probabilitate de 1/2"

provine dintr-o forma mai complexa de propozitie, si anume:

"Probabilitatea stemei este 1/2 in baza evidentei e",

unde e poate insemna 1000 de aruncari succesive dintre care 469 sa corespunda stemei. Forma exacta a enuntului de probabilitate va fi atunci urmatoarea: aparitia stemei la aruncarea monedei este asteptata cu o probabilitate apropiata de ½ la 1000 de aruncari succesive.

Astfel inteleasa, probabilitatea₂ nu mai este factuala, ci logica. Este o rasturnare de 180 de grade a situatiei pentru ca intre probabilitatea₁ si probabilitatea₂ nu mai apare acea deosebire de natura care facea imposibila abordarea lor unitara. Dimpotriva, cele doua concepte se completeaza reciproc astfel ca toata aceasta controversa purtata in jurul ideii de probabilitatii devine "sterila si nenecesara".[26]

Conceptul semantic de confirmare este definit de Carnap in etape. Mai intai el este definit ca un concept clasificator, apoi ca un concept comparativ si, in final, ca un concept cantitativ (prin concepte cantitative Carnap intelege conceptele apte sa primeasca o evaluare numerica: temperatura de 35C, viteza de 64km/h, greutate de 78kg etc.). Vom avea deci trei concepte ale confirmarii sau, in alti termeni, trei stadii ale aceluiasi concept:

Un concept clasificator al confirmarii: h este confirmat (sustinut) de e.

Conceptul comparativ de confirmare: h este confirmat de e in mai mare masura decat h' de e'.

Conceptul cantitativ de confirmare: h este confirmat de e in grad q. Simbolic: c*(h,e) = q unde h si e sunt propozitii, iar q este un numar real din intervalul

Matematic vorbind c (h,e) este o functie, valoarea ei exprima gradul de confirmare a propozitiei h (ipoteza) in raport cu multimea e de propozitii (evidenta).

Se intelege ca una si aceeasi ipoteza este confirmata in moduri diferite de propozitii diferite.

Vom intelege mai bine intentia lui Carnap urmarind un scurt exemplu[27].

Fie U un univers compus din trei constante individuale a, b, c si o constanta predicativa P.

Se numeste descriere de stare, relativ la U, orice clasa de propozitii care contine pentru fiecare propozitie atomara in parte, sau propozitia, sau negatia ei, si nu contine nici un fel de alte propozitii (prin "propozitie atomara" Carnap intelege propozitiile de forma Px).

Numarul descrierilor de stare se calculeaza dupa formula:

N = 2 ^m

m este numarul obiectelor, iar n numarul proprietatilor. Prin urmare, relativ la U vor exista, in total, opt descrieri de stare:

Pa & Pb & Pc ~Pa & Pb & Pc

Pa & Pb & ~Pc ~Pa & Pb & ~Pc

Pa & ~Pb & Pc   ~Pa & ~Pb & Pc

Pa & ~Pb & ~Pc ~Pa & ~Pb & ~Pc

Conform principiului indiferentei, fiecare descriere de stare ar trebui sa aibe aceeasi probabilitate de realizare insa aceasta intelegere a principiului duce la consecinte nedorite. Carnap va adopta un alt punct de vedere: au aceeasi probabilitate descrierile de stare cu structura identica.

Apare, asadar, un concept nou - structura.

Ce este aceasta structura si ce rol joaca ea in fundamentarea semantica a logicii inductive la R. Carnap?

Structura unei descrieri de stare este data de numarul obiectelor care au proprietatea P in universul U. In cazul nostru, de pilda, exista patru asemenea structuri, deci fiecare structura va avea probabilitatea 1/4:

Conform acestui tabel exista:

● o singura descriere de stare in care toate trei obiectele au proprietatea P (= structura S₁);

● trei descrieri de stare in care doar doua obiecte au P (= structura S₂);

● trei in care un singur obiect este P (= structura S₃);

● o structura in care nici un obiect nu este P (= structura S₄).

Probabilitatea fiecarei descrieri de stare se calculeaza impartind probabilitatea structurii la numarul descrierilor de stare din acea structura. De pilda, daca o structura de probabilitate 1/4 contine 3 descrieri de stare, probabilitatea fiecarei descrieri va fi 1/4

In tabelul de mai jos sunt redate sintetic probabilitatile tuturor descrierilor de stare, structurile din care se compun fiecare si probabilitatile acestora:

Sa presupunem mai departe ca vrem sa calculam probabilitatea ipotezei h relativ la multimea de premise e (sau gradul in care e il confirma pe h).

Vom numi domeniul lui e toate descrierile de stare care il contin pe e. Multimea descrierilor de stare in care apar atat h cat si e se va numi domeniul lui h si e.

Probabilitatea lui h relativ la e se va calcula dupa formula:

(6) c*(h,e) =

in care m* este masura domeniului lui e, respectiv, masura domeniului lui h si e (valoarea calculata a probabilitatii fiecaruia).

Sa calculam, de exemplu, probabilitatea ipotezei Pc relativ la premisele Pa si Pb.

Conjunctia h e va da descrierea de stare Pa & Pb & Pc de probabilitate 1/4. Evidenta e in cazul de fata este data de conjunctia Pa & Pb care apare in doua descrieri de stare: Pa & Pb & Pc (prob. 1/4), respectiv, in Pa & Pb & ~Pc (prob. 1/12).

Facem inlocuirile in formula si obtinem:

c*(h, e) = = 3/4

Deci probabilitatea lui Pc relativ la premisele Pa si Pb este de 3/4.

Alt exemplu: probabilitatea lui Pb calculata relativ la Pa.

Aplicand aceleasi reguli obtinem:

c*(h, e) = = 2/3

Carnap a reusit in acest fel sa dea forma exacta (matematica) ideii de grad de confirmare a ipotezelor (probabilitatea₁). El va generaliza procedeul sau astfel incat sa poata fi aplicat si altor tipuri de limbaje, inclusiv limbajului natural.

Sigur ca s-au adus tot felul de obiectii ideii lui Carnap, unele de natura matematica, altele de natura logica sau filosofica, lucru de inteles avand in vedere complexitatea conceptiei sale, insa, logic vorbind, cercetarile lui au insemnat un mare pas inainte in intelegerea inductiei si probabilitatii.

3. Probabilitatea subiectiva (sau personala).

Desi nu se bucura de aceeasi recunoastere, multi autori vorbesc despre probabilitatea subiectiva ca despre o forma aparte de probabilitate. Carnap, de exemplu, intelege probabilitatea subiectiva ca probabilitate atasata de subiect unei propozitii sau eveniment, ea exprima fermitatea cu care cineva crede in adevarul propozitiei, respectiv, in realizarea evenimentului. El distinge intre doua forme ale probabilitatii subiective - o probabilitate rationala (ceea ce ar avea dreptul sa creada subiectul relativ la propozitie) si o probabilitate reala (ceea ce crede el efectiv).

Interesul acordat probabilitatii subiective provine din rolul nu tocmai lipsit de importanta pe care il joaca aceasta in practica stiintifica. Nu exista om de stiinta care sa nu fi fost pus la un moment dat in situatia de-a crede sau, dimpotriva, de-a nu crede in ceva. Stiinta ar fi imposibila in absenta acestor "credinte" si, odata cu ea, intreaga activitate rationala a omului. Ptolemeu credea, de exemplu, ca pamantul este centrul universului, Galilei credea in miscarea pamantului, Copernic credea in circularitatea orbitelor, Newton credea in existenta spatiului si a timpului absolut si asa mai departe. Aceste credinte nu apar din senin, ele pleaca de la anumite fapte, deci au si ele anumite evidente. Sub acest aspect, probabilitatea subiectiva se aseamana cu celelalte forme ale probabilitatii.

Pe de alta parte, omul de stiinta nu trebuie sa faca prea mult caz de credintele lui, sa nu exagereze importanta probabilitatii subiective. Este drept ca nici cealalta extrema nu este de dorit, cea a scepticismului excesiv. In locul scepticismului dogmatic, a respingerii de dragul respingerii, trebuie promovat scepticismul critic, doar el poate da forma logica credintelor noastre (a existat o vreme cand criticismul a fost ridicat la rang de metoda in filosofie).

In consideratiile de fata probabilitatea subiectiva este preluata din exprimarile obisnuite in care este apreciata sansa realizarii a ceva sau in care se pariaza pe ceva. De exemplu:

Cutare echipa de fotbal are sansa de 5 la 3 de a castiga campionatul;

Exista o sansa din zece ca premiul Oscar sa-i fie atribuit in acest an lui x;

Se pariaza 1 la 3 pe alergatorul cutare etc.

Astfel exprimata, sansa poate fi echivalata probabilistic.

In primul exemplu, la 5 partide castigate, echipa are 3 partide pierdute. Deci in total sunt jucate 8 partide astfel ca din raportul 5/8 rezulta o probabilitate de 0,62. In al doilea exemplu sansa de 1 la 10 inseamna o probabilitate de 1/11, adica 0,09. In al treilea, alergatorul este creditat cu un castig la trei pierderi, increderea in sansa lui este de 1/4, adica 0,25

Inca odata, sunt estimari subiective, ele difera de la persoana la persoana si nu fac decat sa exprime gradul in care persoana crede in realizarea sau nerealizarea a ceva (de aici si denumirea ei de "probabilitate personala").

11. 4. 2. Inferente si reguli de calcul

Ca si propozitiile, evenimentele probabilistice pot fi simple (atomare) sau compuse (moleculare). Aparitia fetei cinci la aruncarea unui zar este un eveniment probabilist simplu in timp ce aparitia lui trei sau cinci este unul compus. Probabilitatea evenimentelor compuse este functie de probabilitatea evenimentelor componente putand fi calculata cu ajutorul unor reguli (asa numitul calcul al probabilitatilor).

A nu se confunda evenimentele probabilistice cu propozitiile despre evenimente (daca propozitiile sunt adevarate sau false, evenimentele sunt doar probabile). Din combinarea celor doua idei - valoarea logica si probabilitatea - rezulta modalitatile probabilistice: probabil adevarat, probabil fals, cert, incert etc. care fac obiectul logicii probabiliste.

Revin la ideea de eveniment pentru a reaminti cateva definitii.

Doua sau mai multe evenimente se numesc independente daca realizarea/nerealizarea unuia nu afecteaza realizarea/nerealizarea celuilalt. Rezultatul aruncarii unui zar, de exemplu, este independent de rezultatul aruncarilor lui anterioare sau ulterioare, ele nu se pot influenta reciproc. Nu acelasi lucru se poate spune despre rezultatul extragerii unei carti de joc dintr-un pachet din care s-au extras mai inainte alte carti. Aceste extrageri nu sunt evenimente independente.

Se numesc mutual exclusive evenimentele care nu pot fi realizate concomitent (realizarea unuia exclude realizarea celuilalt). Realizarea fetei sase la aruncarea unui zar exclude realizarea fetei patru, cele doua evenimente sunt mutual exclusive. De mentionat ca doua evenimente A si B pot fi independente fara a fi mutual exclusive (realizarea fetei cinci si a fetei patru la aruncarea a doua zaruri sunt evenimente independente dar nu mutual exclusive).

Indiferent cum sunt determinate probabilitatile (prin teoria clasica, prin teoria frecventelor relative sau altele), aceste probabilitati se preteaza la prelucrare. In continuare vor fi prezentate cateva reguli din calcul probabilitatilor.

Regula restransa a conjunctiei. Daca A si B sunt evenimente independente, valoarea conjunctiei se calculeaza dupa regula:

P(A si B) = P(A) P(B)  (1)

Care este, de exemplu, probabilitatea ca la aruncarea a doua monezi M₁ si M₂, sa cada cap de M₁ si stema de M₂?

Avand in vedere ca probabilitatea fiecarui eveniment este 1/2, prin aplicarea formulei (1) obtinem:

P( 1/2 si 1/2) = 1/2

Acelasi rezultat s-ar obtine daca in loc sa aplicam regula conjunctiei am aplica formula cunoscuta de calcul a probabilitatii (numarul cazurilor favorabile raportat la numarul cazurilor posibile).

Intrucat la aruncarea a doua monezi vor fi patru evenimente posibile:

M₁ M

cap cap

cap stema

stema cap

stema stema

si un singur eveniment favorabil, probabilitatea cautata este de 1/4 (cele doua moduri de calcul se confirma unul prin celalalt).

Regula generala a conjunctiei. Daca evenimentele nu sunt independente, in sensul celor precizate la inceput, se aplica o alta regula, nu foarte diferita de prima:

P(A si B) = P(A) P(B dat fiind A)  (2)

Sa presupunem ca vrem sa calculam probabilitatea extragerii dintr-un pachet de carti a unui as si a unei dame. Probabilitatea asului este 1/13 (4 asi din 52 de carti). Daca nu punem cartea extrasa la loc, atunci probabilitatea damei nu va mai fi 4/52, ca in primul caz, ci 4/51 (este probabilitatea extragerii damei data fiind probabilitatea extragerii asului). Facem calcul pana la capat si obtinem 4/663.

Alt exemplu. Intr-o urna sunt zece bile albe, cinci negre si doua rosii. Care este probabilitatea ca din doua extrageri consecutive sa obtinem o bila alba si una rosie? Dar probabilitatea ca din trei extrageri sa obtinem doua bile negre si una alba?

Daca bilele extrase nu sunt puse la loc, aplicam aceeasi regula (simbolizam bilele albe cu A, cele negre cu N si pe cele rosii cu R).

In primul caz:

P(A) = A/A N R = 10/10

P(R dat fiind A) = R/(A N R) - 1 = 1/8

P(A si R) = 10/17

Al doilea caz este ceva mai complicat insa si aici se aplica aceleasi reguli. Intrucat conjunctia este asociativa calculam, practic, P (N₁ si N₂) si R

P(N₁ si N₂) = P₁(N) P(N₂ dat fiind N₁) = 5/17

P (N₁ si N₂) si R = P(N si N₂) P(R dat fiind N₁ si N₂)

= 20/289

Regula simpla a disjunctiei. Daca A si B sunt independente si mutual exclusive, probabilitatea lui A sau B se va calcula adunand pur si simplu probabilitatea lui A cu probabilitatea lui B:

P(A sau B) = P(A) P(B)  (3)

De exemplu, probabilitatea ca aruncand zarul sa obtinem fata unu sau fata sase este:

P(A sau B) = 1/6

La fel, dintr-o urna cu sapte bile negre, trei albe si cinci rosii, probabilitatea ca prima bila extrasa sa fie sau alba sau rosie va fi:

P(A sau R) = 7/15

Regula generala a disjunctiei. Daca evenimentele sunt independente dar nu sunt mutual exclusive se aplica regula generala a disjunctiei:

P(A sau B) = P(A) + P(B) - P(A si B) (4)

Prin aplicarea regulii simple a conjunctiei ajungem la urmatoarea regula (generala) de calcul pentru disjunctie:

P(A sau B) = P(A) + P(B) [P(A) P(B)]  (5)

De exemplu, probabilitatea ca la aruncarea a doua monezi M₁ si M₂ sa obtinem cap de M₁ sau cap de M₂ este:

P(A sau B) = 1/2 + 1/2

La fel, probabilitatea de-a obtine fata doi la aruncarea a doua zaruri este:

P(A sau B) = 1/6 + 1/6

Regula negatiei. Uneori suntem interesati nu de realizarea ci de nerealizarea lui A si atunci va trebui sa aplicam o alta regula. De exemplu, care este probabilitatea ca la aruncarea unui zar sa nu se obtina fata unu?

Intrucat exista cinci fete diferite de unu din sase posibile, probabilitatea nerealizarii fetei unu este 5/6. Aceeasi valoare o putem obtine aplicand regula de calcul pentru negatie:

P(non-A) = 1 P(A)  6)

Regula se deduce simplu:

P(A sau non-A) = P(A) + P(non-A)

P(A sau non-A) = 1, deci

P(A) = 1 P(non-A),

P(non-A) = 1 P(A)

Fie o urna cu doua bile negre si trei bile albe. Care este probabilitatea ca din doua incercari sa extragem o bila neagra?

Facem calculul aplicand regula negatiei:

P(A₁ si A₂) = 3/5

P(N₁ sau N₂) = 1

Probabilitati conditionale. Regula lui Bayes. Prin probabilitate conditionala se intelege probabilitatea realizarii unui eveniment A stiut fiind ca s-a realizat deja un alt eveniment B. Aceasta probabilitate se simbolizeaza cu P(A/B) si se citeste: "probabilitatea lui A dat fiind B".

Am intalnit aceasta idee de probabilitate la regula generala a conjunctiei insa ea poate fi studiata si ca problema in sine.

Proprietatea cea mai importanta a probabilitatii conditionale este data de asa numita regula (sau teorema) a lui Bayes:

P(A/B) = (7)

De exemplu, daca o urna contine trei bile albe si cinci rosii care este probabilitatea extragerii unei bile albe stiut fiind ca la prima extragere s-a obtinut o bila rosie?

P(A) este de 3/8, P(R) este de 5/8, P(R/A) = 5/7, iar P(A/R) va fi de 3/7. Daca inlocuim aceste valori in (7) si facem calculele vom obtine o identitate adevarata.

Inchei cu o observatie pe care am facut-o la inceputul acestui paragraf. Chiar daca aceste reguli au fost exemplificate in teoria clasica a probabilitatilor, la fel de simplu ele pot fi aplicate si in teoria frecventelor relative sau in teoria subiectiva a probabilitatii.

Sa presupunem, de pilda, ca probabilitatea ca un politician de 42 de ani sa mai traiasca inca 10 ani este 0, 55%, iar probabilitatea ca un fotbalist de aceeasi varsta sa mai traiasca 10 ani este 0, 48%. In acest caz probabilitatea ca impreuna cei doi sa mai traiasca 10 ani va fi de 0,55 0,48 = 0,26%. In schimb, probabilitatea ca doar unul dintre ei sa traiasca acest numar de ani va fi de 0,55 + 0,48

Calculul sanselor. Am vazut ceva mai inainte ca sansa este o forma de exprimare a probabilitatii subiective. Nu conteaza cum ajunge subiectul la evaluarea sanselor, conteaza ca si acestor probabilitati li se aplica aceleasi reguli de calcul.

Daca elevul A are 1 din 3 sanse sa castige la olimpiada nationala de limba romana, iar alt elev B are 5 la 2 sanse de-a castiga olimpiada nationala de matematica, care este probabilitatea ca macar unul sa castige olimpiada? Dar probabilitatea ca nici unul sa nu castige?

Transcriem mai intai sansele celor doi elevi in termeni de probabilitate: P(A) = 1/4 si P(B) = 5/7.

Pentru a raspunde primei intrebari aplicam regula generala a disjunctiei: 1/4 + 5/7 5/7) = 11/14. Deci sansa ca cel putin unul sa castige olimpiada este de 11 la 3 (la 11 castiguri, 3 pierderi).

Pentru a calcula probabilitatea ca niciunul sa nu castige olimpiada calculam mai intai conjunctia celor doua probabilitati: 1/4 5/7 = 5/28. Aplicand regula negatiei obtinem: 1 5/28 = 23/28, deci sansa ca nici unul sa nu castige olimpiada este de 23 la 5 (la 23 castiguri, 5 pierderi).

11. 4. 3. Paradoxele inductiei si ale probabilitatii

Logica inductiva s-a confruntat, si ea, cu problema paradoxelor dar intr-o forma mai putin dramatica decat logica deductiva si, se intelege, fara rezultatele acesteia. In general, paradoxele deductiei vizau validitatea - din premise adevarate se ajungea la concluzii false - in timp ce paradoxele inductiei vizeaza, cum este si firesc, probabilitatea. Au fost construite astfel de paradoxuri in raport cu toate conceptele de probabilitate examinate.

Paradoxele conceptului clasic de probabilitate. In lucrarea sa din 1939, Principles of The Theory of Probability, Ernest Nagel a construit un paradox relativ la conceptul clasic de probabilitate.

La aruncarea unui zar, fata cinci este asteptata cu o probabilitate de 1/2. Aceasta pentru ca la aruncarea zarului sau se realizeaza fata cinci sau nu se realizeaza, este exclusa a treia posibilitate. Acelasi rationament este valabil pentru fata sase a zarului. Deci si fata sase este asteptata cu o probabilitate de 1/2. Aplicand regula disjunctiei obtinem ca certa realizarea fetei cinci sau a fetei sase - rezultat, evident, absurd.

Printr-un rationament similar, Nagel demonstreaza ca la aruncarea a doua monede probabilitatea fiecarui eveniment este atat 1/3 cat si 1/4. Este 1/3 pentru ca exista doar trei evenimente posibile: 1) cap de A si cap de B, 2) stema de A si stema de B, 3) altele. Mai departe, facand raportul dintre numarul cazurilor favorabile si numarul total de cazuri obtinem o probabilitate de 1/3.

Acelasi raport ne da o probabilitate de 1/4 daca vom lua nu trei, ci patru cazuri posibile.

Primul paradox rezulta din confundarea principiului tertului exclus cu principiul indiferentei.

Este drept ca fiecare eveniment se realizeaza sau nu se realizeaza. In termeni probabilistici aceasta se exprima prin ecuatia P(A) + P(non-A) = 1 insa de aici nu rezulta ca probabilitatea lui A este aceeasi cu probabilitatea lui non-A (conform definitiei, P(A) = 1/6 de unde, prin regula negatiei, P(non-A) = 5/6). Este eludat aici principiul completitudinii pentru ca nu se tine seama de numarul total al evenimentelor (aceasta este si explicatia celui de-al doilea paradox). Principiul tertului exclus este fara indoiala valabil, insa, aplicat astfel, el nu poate duce decat la confuzii. Or, am spus inca din Introducere, principiile logicii sunt doar conditii necesare rezolvarii problemelor, nu si suficiente (daca ar fi suficiente ar insemna sa nu existe decat o singura stiinta - logica).

2) Paradoxele conceptului frecvential de probabilitate. Teoria frecventelor relative ridica alt gen de probleme. Sa presupunem ca doua echipe de sociologi studiaza problema mortalitatii dintr-o comunitate umana. Prima echipa determina probabilitatea ca un om de 50 de ani sa mai poata trai inca 30 de ani de aici inainte. A doua echipa procedeaza invers, ea determina probabilitatea ca un om de 50 de ani sa traiasca mai putin de treizeci de ani.

Cum vor arata rezultatele celor doua echipe?

Teoretic, ele ar trebui sa coincida sau macar sa se apropie, in sensul ca daca prima echipa estimeaza o probabilitate pozitiva de 35%, cea de-a doua echipa ar trebui sa estimeze o probabilitate negativa undeva in jurul valorii de 65%. Practica a demonstrat insa ca rezultatele pot fi si foarte diferite, chiar daca cercetarile au fost efectuate la aceleasi standardele de stiintificitate.

3) Paradoxele confirmarii. Cele mai importante si bogate in consecinte sunt insa paradoxele confirmarii. Intr-o sinteza asupra logicii inductive din perioada 1945 - 1977, Jonathan Cohen nu ezita sa compare aceste paradoxe cu paradoxele deductiei spunand ca ele au fost la fel de importante pentru logica inductiva pe cat de importante au fost paradoxul mincinosului si paradoxul lui Russell pentru logica deductiva[28].

Personal, nu as merge atat de departe cu analogia, in primul rand pentru ca in logica inductiva nu gasim in ceva de genul logicismului, formalismului si intuitionismului -programele fundationiste declansate la inceputul sec. XX de aparitia paradoxurilor. Cum spuneam ceva mai devreme, paradoxele inductiei nu au declansat miscari de anvergura acestor programe.

Sa revenim insa la paradoxele confirmarii.

Paradoxul lui Hempel. In 1945, C. G. Hempel a aratat ca urmatoarele postulate ale confirmarii pot fi sustinute individual dar nu impreuna, ca ele nu alcatuiesc o multime consistenta de propozitii:

(1) Daca antecedentul si consecventul unei implicatii formale sunt satisfacute impreuna, aceasta confirma intr-un anumit grad propozitia. De exemplu, un lucru care este atat corb cat si negru confirma propozitia "Toti corbii sunt negri".

(2) Propozitiile echivalente logic sunt in mod egal confirmate sau infirmate. Mai exact, ceea ce confirma propozitia "Toti corbii sunt negrii" trebuie sa confirme si propozitia "Tot ceea ce este non-negru este non-corb" (echivalenta prin contrapozitie).

(3) Un lucru oarecare, sa zicem aceasta batista alba, confirma propozitia "Orice este non-negru este non-corb" dar nu confirma propozitia "Toti corbii sunt negri". Prin urmare, ceea ce confirma o propozitie nu confirma si echivalenta ei.

Rezolvarea paradoxului presupune renuntarea la, sau cel putin modificarea unora dintre postulate, iar Hempel considera propozitia (1) ca fiind prima vizata. Alti autori muta centrul de greutate spre propozitia (2) sau propozitia (3). In orice caz, paradoxul si-a atins tinta, el a animat mult timp discutiile din jurul ideii de confirmare generand, in final, o serie de clarificari logice.

Paradoxul lui Goodman. Un alt paradox al confirmarii a fost construit de Nelson Goodman in 1953. Paradoxul presupune mai intai cateva precizari terminologice.

In limba engleza green inseamna verde iar blue, albastru. Prin combinarea celor doua cuvinte Goodman formeaza termenul grue care nu are echivalent in limba romana (am putea spune, eventual, verdastru ceea ce nu este in spiritul limbii romane). Mai departe, Goodman face urmatorul rationament:

(1) Sa presupunem ca toate smaraldele examinate inainte de un anumit moment t sunt verzi. Asadar, observatiile noastre trecute confirma in momentul t ipoteza ca toate smaraldele sunt verzi.

(2) Aceleasi observatii confirma ipoteza ca toate smaraldele sunt grue daca predicatul grue este definit ca aplicandu-se doar lucrurilor dinainte de t daca sunt verzi, si altor lucruri, daca sunt albastre.

(3) Observatiile viitoare vor confirma doua predictii opuse: predictia ca toate smaraldele ce vor fi examinate sunt verzi si ca toate vor fi albastre.

Solutia data de Goodman paradoxului angajeaza un concept nou - conceptul de grad de proiectibilitate al ipotezelor ( degree of projectibility). Ipotezele rivale, spune el, trebuie evaluate in functie de gradul lor de proiectibilitate. O ipoteza este mai proiectibila decat alta daca predicatele in termenii carora este formulata ipoteza au aparut in mai multe ipoteze confirmate. Deci, daca sunt verificate de aceleasi fapte doua ipoteze inconsistente, cea mai proiectibila va fi ipoteza cea mai bine confirmata.

Paradoxul lui Kyburg. In 1961, H. E. Kyburg a construit un paradox care nu se mai refera la confirmare, ci la modul cum poate fi tratata o ipoteza care a dobandit deja un grad satisfacator de confirmare. Din nou, este vorba de trei postulate care nu pot fi asertate impreuna.

(1) O ipoteza poate fi acceptata daca in urma verificarilor a dobandit o probabilitate de 1 e (unde e este cel mai mic numar pozitiv imaginabil).

(2) Daca o multime oarecare de ipoteze a fost acceptata, atunci poate fi acceptata orice consecinta logica a lor.

(3) Nu poate fi acceptata o multime inconsistenta de ipoteze.

Aceste postulate nu pot fi acceptate impreuna daca este vorba de o loterie ce pune in vanzare un milion de bilete dintre care numai unul este castigator.

Relativ la fiecare bilet este rezonabila ipoteza ca biletul nu este castigator (ilustrarea primei clauze). Concret, probabilitatea fiecarui bilet este de unu la un milion, valoarea ei numerica va fi de 0, 000001. Probabilitatea pentru fiecare bilet de-a nu fi castigator va fi atunci

Or, conform clauzei (1) ar trebui acceptata ipoteza ca nici un bilet nu poate fi castigator, ipoteza inconsistenta cu afirmatia ca exista, totusi, un bilet castigator.

Solutia lui Kyburg se concentreaza pe clauza (2) a paradoxului; alte solutii merg pe modificarea clauzei (1) sau a clauzei (2). Ca si in celelalte cazuri, nici o solutie nu a fost acceptata ca definitiva.

APLICATII

1) Ce este rationamentul inductiv si prin ce se deosebeste el de rationamentul deductiv? Raspundeti pe baza de exemple.

2) Care este raportul logic de la evidenta la ipoteza? Dar de la ipoteza la evidenta? Ilustrati raspunsurile cu exemple.

3) Justificati oportunitatea pastrarii termenilor "premisa" si "concluzie" in logica inductiva. Ce argumentele pro si contra puteti aduce?

4) Ce exemple puteti da de inductii complete prin enumerarea obiectelor? Dar a speciilor? Aratati daca acelasi rationament poate fi formulat atat intr-o forma cat si in cealalta.

5) Construiti rationamente inductive care sa aibe urmatoarele concluzii:

Toti cei care ii mint pe altii se mint pe ei,

Nici un bogat nu este cinstit,

75% din miliardarii Romaniei sunt implicati in scandaluri de coruptie,

Competenta are una din cinci sanse de reusita,

In facultatea noastra la optzeci de studenti exista un bursier .

Trei sferturi din studentii anului trei sunt bursieri.

6) Raspundeti prin da sau nu la urmatoarele intrebari. Justificati apoi raspunsurile:

Orice inductie prin enumerare este in acelasi timp o inductie prin eliminare?

Orice inductie completa este o deductie?

Orice inductie contine o generalizare?

Orice analogie este o inductie incompleta?

Orice adevar este o probabilitate?

Orice probabilitate provine dintr-o inductie?

Orice probabilitate este o improbabilitate?

Orice nu este deductie este o inductie?

7) Care sunt formele mai importante ale rationamentului prin analogie? Gasiti exemple potrivite pentru ilustrarea lor.

8) Cum apreciati urmatoarele rationamente:

"Ion este inginer, la fel ca Vasile; Ion este trecut de treizeci de ani, la fel ca Vasile. Ion are doi copii, cum are si Vasile; Ion este alcoolic. Deci si Vasile este alcoolic.

"49 de numere prime luate la intamplare au proprietatea F. Probabil ca toate numerele prime au proprietatea F".

"Un procent de 25 % din studentii UVT lucreaza in timpul studiilor. Intrucat si Gabriel este studentul UVT, exista una la patru sanse ca el sa lucreze".

"Numarul 26 este situat intre un patrat si un cub. Probabil ca exista cel putin un alt numar situat intre un patrat si un cub".

9) Enumerati si apoi exemplificati factorii de natura sa sporeasca probabilitatea concluziei intr-o inferenta inductiva.

10) Cum argumentati ca rationamentele prin "chiar si", "pana si" sunt rationamente inductive? Cum puteti ameliora probabilitatea unei astfel de concluzii?

11) Ce relevanta prezinta pentru inductie notiunile de:

Esantion si populatie?

Distributie frecventiala?

Medie aritmetica, mediana si modul?

Dispersie si variatie standard?

12) Elevul x a fost apreciat la filosofie, logica si psihologie cu 7, 6 si 8, 50. Cum pot fi obtinute aceste aprecieri pe baza de medie aritmetica, mediana si modul?

13) Inductia matematica este rationamentul in care deductia si inductia se intalnesc. Explicati aceasta afirmatie.

14) De ce intr-o inductie matematica rezultatul este cert si nu probabil?

15) Demonstrati prin inductie matematica egalitatile de mai jos indicand de fiecare data structura (pasii) demonstratiei:

1 + 2 + 3+ .+ n = ,

1+ 2+ 3+ . + n = ,

1 + 3+ 5+ .+(2n-1)= n

16) Care sunt rationamentele din ipoteza? Aratati cum infirma si cum confirma ele ipoteza.

17) Cititi cap. II din studiul lui K. Popper, Metoda stiintifica (1934)[29]. Alegeti apoi una din teoriile de mai jos si redactati o scurta lucrare incercand sa ilustrati cat mai multe din problemele discutate de Popper in acest capitol.

N. Copernic - teoria sistemului solar,

Ch. Darwin - teoria selectiei naturale,

K. Marx - teoria luptei de clasa,

L. Pasteur - teoria vaccinului,

A. Einstein - teoria miscarii browniene.

18) Cartea lui Erich von Däniken, Ipoteza extraterestra (Editura Domino, 1996) se deschide cu urmatorul text intitulat "Teoria mea":

In timpuri preistorice si protoistorice, pamantul a fost vizitat de mai multe ori de forte necunoscute, venite din cosmos. Inteligenta umana este rodul unei mutatii provocate si orientate in mod deliberat de aceste fiinte necunoscute. Extraterestrii i-au "innobilat" pe hominizi dupa "imaginea lor". De aceea ne asemanam cu ei in timp ce ei nu seamana cu noi. Popasul pe pamant al unor straini originari din cosmos a fost consemnat in religii, mituri si legende populare, unde gasim urmele si semnele trecerii lor.

Redactati o scurta lucrare in care sa examinati ipoteza lui Däniken din perspectiva conditiilor unei ipoteze. Apreciati in final daca avem sau nu de-a face cu o ipoteza stiintifica.

19) Urmatoarea ipoteza pune in discutie cauza disparitiei dinozaurilor.

Disparitia dinozaurilor nu a putut fi explicata satisfacator niciodata, desi s-au emis nenumarate ipoteze. Ultima face o legatura intre aceasta disparitie si asa-numita "stea a mortii", pe care oamenii de stiinta au numit-o astfel din cauza ca la 26 de milioane de ani s-ar aropia foarte mult de soare, provocand pe Tera moartea speciilor biologice. Nu vreau sa spun nimic despre probabilitatea unei astfel de ipoteze. Dar daca nici pentru fenomenul Tungus, produs la inceputul secolului nostru (.) nu s-a gasit pana acum nici o explicatie valabila, desi s-au emis peste 200 de ipoteze, ne dam seama ca in problema dinosaurilor solutia prin emiterea de ipoteze este si mai riscanta si lasa loc unui joc indefinit al imaginatiei. In aceste conditii - si numai in aceste conditii - imi voi permite sa emit o ipoteza-simbol, si anume ca grupul de animale de care este vorba s-a putut autodistruge. Pentru a se alimenta, dinozaurul carnivor are nevoie de o cantitate uriasa de alimente, pe care o obtinea prin lupta cu alte animale, invingandu-le si devorandu-le. Dar acestea trebuiau sa fie, ele insele, mari pentru a-i oferi intreaga hrana de care avea nevoie. Exista posibilitatea ca dinozaurii sa fi epuizat diversele specii de animale mari care traiau in acel timp si care, imputinandu-se treptat, nu i-au mai putut hrani. Atunci, inexorabila cerinta a vietii i-a facut sa se devoreze intre ei, pana s-au autodistrus si au disparut. (A. Dumitriu, Homo universalis, Editura Eminescu, Bucuresti, 1990, p. 158)

Cum apreciati ipoteza sub aspectul testabilitatii si al consistentei? Dar sub aspectul relevantei? Ce alte ipoteze cunoasteti in legatura cu aceasta problema si care credeti ca raspunde mai bine cerintei simplitatii?

20) Pe baza raspunsurilor de la exercitiile anterioare aratati ca ipotezele nu pot fi clasificate in empirice si teoretice, ca aceasta distinctie este relativa.

21) Raspundeti la urmatoarele intrebari:

Ce sunt legile cauzale? (dati exemple)

Ce fel de cauze cunoasteti?

Ce inseamna post hoc, ego propter hoc?

Care sunt principalele proprietati ale relatiei cauzale? Ce relevanta au ele pentru intelegerea ideii de cauza?

Ce inseamna conditie necesara, conditie suficienta si conditie necesara si suficienta?

Ce rol joaca aceste notiuni in intelegerea cauzalitatii?

Ce fel de rationamente deductive se pot face pornind de la definitiile celor trei conditii?

Care sunt proprietatile formale ale conditiei necesare? Dar ale conditiei suficiente? Dar ale conditiei necesare si suficiente?

Ce este implicatia cauzala? Prin ce se aseamana si prin ce difera ea de implicatia materiala?

Ce rationamente justifica implicatia cauzala si de ce natura sunt ele?

22) Explicati mai intai si apoi ilustrati metodele lui Mill de stabilire a cauzalitatii. Indicati cateva din limitele acestor metode.

23) Propozitiile de mai jos exprima legaturi cauzale. Care dintre metodele lui Mill apreciati ca sunt mai potrivite pentru sustinerea acestor legaturi si in ce fel?

Saracia este cauza infractionalitatii,

Fumatul este cauza cancerului pulmonar,

Succesul este cauza bunei dispozitii,

Mediocritatea este cauza multumirii de sine,

Defrisarea este cauza inundatiilor.

24) Ce este probabilitatea logica sau inductiva? Analizati ambiguitatea termenului "probabilitate".

25) Fie un univers U compus din obiectele a, b, c, d si proprietatea F. Folosind conceptele lui R. Carnap de descriere de stare, structura, domeniu etc. determinati:

Probabilitatea lui Fa relativ la Fb, ~Fc, Fd,

Probabilitatea lui Fc relativ la ~Fb si ~Fd,

Probabilitatea lui Fc relativ la Fa, Fb, ~Fd.

26) Intr-o urna sunt 126 de bile de trei culori diferite. Stiind ca din urna s-au extras deja 15 bile albe si 6 negre, care este probabilitatea ca urmatoarele doua bile extrase sa fie:

Ambele albe?

Una nealba si una neagra?

Una neagra sau una alba?

Nici o bila neagra?

27) Echipa Chelsea are una din trei sanse sa castige cupa Angliei. Real Madrid are trei din cinci sanse sa castige Campionatul Spaniei. Care este probabilitatea ca cele doua echipe sa nu se intalneasca in Cupa Campionilor?

28) Popescu are una din trei sanse sa ia examenul de etica si trei din sapte sanse sa ia examenul de logica. Ce sanse va avea Popescu sa ia:

Cel putin unul din examene?

Ambele examene?

Sau examenul de logica sau examenul de etica?

Nici un examen?