LOGICA PROPOZITIONALA

LOGICA PROPOZITIONALA

In capitolul precedent am avut in vedere rationamentele care exprima raporturi intre termeni in calitate de elemente ale propozitiilor: intre doi termeni, S si P, in cazul inferentelor imediate, intre trei termeni, S, P si M, in cazul silogismului categoric simplu, intre mai multi termeni, A, B, C, D,., in cazul formelor silogistice compuse. Eram inca intr-o logica a termenilor.

Acum vom incepe logica propozitionala care opereaza cu propozitia ca element ultim, nedecompozabil.

PROPOZITIILE COMPUSE[1]

Forma logicA a propoziTiilor compuse

Propozitiile alcatuite din alte propozitii sunt numite propozitii compuse. Propozitia compusa (moleculara) este alcatuita din propozitii simple (atomare) asupra carora actioneaza anumiti operatori propozitionali. Propozitiile simple vor fi simbolizate cu litere mici, (p, q, r.) numite variabile propozitionale .

Valoarea de adevar a propozitiilor compuse este determinata univoc de valoarea de adevar a propozitiilor simple la care se aplica operatorul respectiv, fapt pentru care propozitiile compuse sunt considerate functii de adevar.[2]

DefiniTia principalilor OPERATORII PROPOZITIONALI

Operatorii logici pot lega un numar mare de propozitii, dar pactic au importanta doar operatiile logice cu una sau doua variabile propozitionale. Vom vorbi astfel de operatori de ordinul unu (operatori monari) si operatori de ordinul doi (operatori binari).

Operatorii monari sunt afirmarea si negarea unei propozitii. Fiindca propozitia asupra careia actioneaza operatorul poate fi adevarata sau falsa, rezulta patru functii de adevar de ordinul unu: afirmarea unei propozitii adevarate, afirmarea unei propoozitii false, negarea unei propozitii adevarate si negarea unei propozitii false.

Intrucat afirmarea unei propozitii nu schimba valoarea de adevar a propozitiei respective, ne vom opri doar asupra negatiei.

NEGATIA

Negatia apare in limbajul natural prin "nu", "nu este adevarat p " sau "este fals p". Vom utiliza simbolul p (non-p)[3].

Operatiile se definesc prin tabele de adevar sau matrici logice de adevar, in care numarul de combinatii dintre valorile de adevar care formeaza liniile din tabel se calculeaza dupa formula 2ⁿ, unde 2 este numarul valorilor de adevar (adevarul notat conventional cu 1, respectiv falsul notat cu 0), iar n este numarul variabilelor propozitionale, adica numarul propozitiilor simple. In cazul negatiei, avem o singura propozitie. Iata tabelul negatiei:

p p

0

1

Prin negarea unei propozitii p se obtine o noua propozitie p , complementara in raport cu prima. Raportul dintre o propozitie si negatia ei este unul de contradictie: cele doua propozitii nu pot fi simultan nici adevarate, nici false. Prin dubla negatie a unei propozitii se obtine propozitia initiala.

p s p (legea negarii negatiei)

Ex.: Daca nu este adevarat ca nu ninge, atunci ninge

Pentru a construi negatia unei propozitii in limba naturala nu se poate proceda mecanic, prin aplicarea unei negatii, ci trebuie sa tinem seama de raportul de contradictie. Negatia propozitiei Unii studenti sunt prezenti la curs nu este Unii studenti nu sunt prezenti la curs fiindca aceste doua propozitii, fiind subcontrare, pot fi ambele simultan adevarate. Negatia propozitiei va fi Este fals ca unii studenti sunt prezenti la curs ceea ce inseamna ca Nici un student nu este prezent la curs.

Pentru operatorii binari, numarul functiilor de adevar de ordinul doi este de 16, dupa cum rezulta din urmatorul tabel[4]:

p q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

2.2. ConjuncTia

In limbajul natural conjunctia apare prin si, iar, dar, desi, insa, cu toate ca, in pofida, indicand, in toate cazurile, asocierea a doua propozitii. Conjunctia a doua propozitii p q[5] (citita p si q) este adevarata numai daca ambele propozitii (numite conjuncte) sunt adevarate. Matricea operatorului este urmatoarea:

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Rezulta ca daca un termen al conjunctiei are valoarea 0, intreaga conjunctie este falsa (p 0 = 0). Daca un termen este adevarat, conjunctia ia valoarea celuilalt termen (p 1= p)

De mentionat faptul ca nu intotdeauna prezenta lui si indica o conjunctie logica. O propozite de tipul Socrate si Platon au fost filosofi poate fi analizata ca o conjuctie logica alcatuita din propozitiile Socrate a fost filosof si Platon a fost filosof , dar o propozitie care enunta o relatie, ca propozitia Socrate si Platon au fost contemporani reprezinta o propozitie atomara care poate fi exprimata ca Socrate a fost contemporan cu Platon, ne putand fi tratata ca o conjunctie a doua propozitii.

2.3. DisjuncTia neexclusivA

Disjunctia neexclusiva, sau disjunctia simpla, semnalata in limbajul natural prin "sau", "fie", "ori" , simbolizata prin pvq (subintelegand "eventual amandoua"), este adevarata daca cel putin una din componentele ei (numite disjuncte), este adevarata si este falsa numai cand toate componentele ei sunt false. De exemplu propozitia: Dupa-amiaza o sa citesc o carte, sau o sa ascult muzica.

Matricea operatorului este urmatoarea:

p q pvq

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Rezulta ca: pv1=1

pv0=p

Cu alte cuvinte, daca unul dintre termenii disjunctiei este adevarat, disjunctia este adevarata; daca ambi termeni ai disjunctiei sunt falsi, disjunctia este falsa.

2.4. DisjuncTia exclusivA, notata cu pwq[6] (sau p, sau q), exclude posibilitatea ambelor. In limbajul natural disjunctia exclusiva apare ca sau/sau; ori/ori.

Ex.: Ori te vei casatorii, ori vei ramane burlac ( tot vei regreta, spunea Socrate)

Matricea operatorului este:

p q pwq

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Se observa ca disjunctia exclusiva este falsa atunci cand p si q au aceleasi valori de adevar si este adevarata cand p si q au valori diferite.

Revenind la cele doua disjunctii, mentionam ca diferenta dintre pvq si pwq conteaza doar atunci cand propozitiile p si q ar putea fi si impreuna adevarate; in caz contrar, situatia care diferentiaza cei doi operatori nu apare.

2.5. IMPLICATIA

Implicatia are forma daca p atunci q si se simbolizeaza p q [7](p implica q), reprezentand o relatie de succesiune logica intre doua propozitii. Propozitiile implicative se mai numesc si ipotetice sau conditionale. Cele doua componente joaca roluri diferite, p este antecedentul, iar q este consecventul. Antecedentul este o conditie suficienta pentru consecvent.

In limbajul natural, alaturi de "daca.atunci", se folosesc si alte moduri de exprimare: "ori de cate ori p, q", "cand p atunci q", "deoarece..", "dat fiind faptul ca.", "in cazul ca", sau prin simpla alaturare a propozitiilor cain cazul: Ai carte, ai parte. Toate aceste formulari cuprind in semnificatia lor faptul ca daca p atunci, cu necesitate, q; altfel spus, este imposibil p si q. O astfel de propozitie va fi considerata falsa in cazul in care antecedentul este adevarat, iar consecventul fals.

Tabelul de valori al implicatiei este:

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Rezulta ca:

a) daca antecedentul unei implicatii este adevarat, valoarea de adevar a implicatiei este in functie de valoarea consecventului: (1 q)= q

b) daca antecedentul este fals, atunci implicatia este adevarata: (0 q)=1

c) daca secventul este adevarat, implicatia este adevarata (p

d) daca secventul este fals, atunci implicatia ia valoarea negatiei antecedentului: (p p

Orice inferenta poate fi considerata o implicatie in care antecedentul este conjunctia premiselor, iar consecventul este concluzia inferentei.

O expresie de tipul "numai daca", "doar daca" reprezinta o implicatie inversa. O expresie de tipul "Daca si numai daca. atunci" este o implicatie reciproca (daca p. atunci q si daca q, atunci p). Implicatia reciproca sau biconditionala este echivalenta.

2.6. ECHIVALENTA

Echivalenta inseamna "aceeasi valenta "(valoare de adevar). Rezulta ca daca p si q au aceeasi valoare, echivalenta este adevarata, iar daca au valori diferite, atunci echivalenta este falsa.[8] Simbolul folosit este p s q[9] (p este echivalent cu q). Matricea operatorului (coloana a saptea) este:

p q p s q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Daca una dintre componentele echivalentei este adevarata, atunci valoarea de adevar a echivalentei depinde de valoarea celeilalte componente: (p s1)= p

Daca una dintre componentele echivalentei este falsa, atunci valoarea de adevar a echivalentei este aceeasi cu negatia celeilalte componente: (p s p

Echivalenta este redata in limbaj natural prin propozitii biconditionale, sau prin judecati ipotetice exclusive, care redau relatii dintre o conditie necesara si suficienta si o consecinta suficienta si necesara:"daca si numai daca, atunci.", "atunci si numai atunci.". Nu de putine ori se folosesc formulari mai scurte de tipul". numai daca.", "daca, atunci." sau "cu conditia sa."; se enunta, deci, explicit, numai conditia necesara sau numai cea suficienta, cealalta fiind subinteleasa, sugerata de context.

Legi logice, formule contingente SI contradicTii logice

Daca o propozitie compusa ia valoarea 1 pentru tote combinatiile valorilor de adevar ale propozitiilor atomice, ea se numeste tautologie (cazul 1 din tabel). Tautologiile sunt expresii ale legilor logice. Ele sunt adevarate indiferent care ar fi valoarea de adevar a propozitiilor componente. Intrucat adevarul lor nu depinde de adevarul componentelor, ci de forma lor, ele se mai numesc si formule analitice.

Daca o formula ia valoarea 0 pentru toate combinatiile de adevar ale propozitiilor componente (pozitia 16 din tabel) , atunci ea este inconsistenta sau contradictie logica. Contradictiile sunt negatii ale legilor logice.

O propozitie compusa care pentru unele valori ale propozitiilor simple din componenta ei ia valoarea 1, iar pentru altele ia valoarea 0 este contingenta (realizabila). Asa sunt formulele ce definesc operatorii propozitionali binari (pozitiile 2-15 din tabel). Aceste formule depind de valoarea de adevar a propozitiilor simple, de continuturile materiale (empirice) care intra in forme si, de aceea, se mai numesc si sintetice.

Tautologiile si formulele contingente sunt consistente, iar cele inconsistente si contingente sunt netautologice.

*

Proprietatile operatorilor sunt redate de urmatoarele legi logice:[10]

(p p) sp (idempotenta)

(p q) s(q p) (comutativitate)

(p q) r s p (q r) (asociativitate)

p (qvr) s (p q)v(p r) (distributivitatea)

pvps p idempotenta

pvq sqvp comutativitate

( (pvq)vrs pv(qvr) asociativitate

pv(q r) s (pvq) (pvr) distributivitatea

p p (reflexivitate)

(p q) s q p) (contrapozitia)

(p q) (q r) (p r) (tranzitivitatea)

(p q) s pvq)

(p sq) s (q sp) s p s q ) s q s p)

14. (p sq) s (pwq)

Urmatoarele legi, care exprima raporturile dintre conjunctie si disjunctie, sunt cunoscute sub numele de "legile lui De Morgan": 

(p q) s p v q)  ( pv q)s (p q)

(pvq)s p q)  ( p q) s (pvq)

Se poate observa din matriciile celor doi operatori ca daca vom nega valorile de adevar ale propozitiilor uneia si negam, deasemenea, operatia se obtine matricea celuilalt operator. Negatia unei conjunctii este o disjunctie de negatii, iar negatia unei disjunctii este o conjunctie de negatii. Aceste formule au mai fost numite sugestiv "ruperea liniei de negatie".

Ex: Nu este adevarat ca aceasta figura este un cerc sau o elipsa = Aceasta figura nu este nici cerc, nici elipsa.

Relatiile dintre conjunctie-disjunctie si ceilalti operatori pot fi evidentiate si prin intermediul urmatorului patrat:

p q p q

W

pvq v p v q

Pe diagonalele patratului exista relatii de contradictie, pe latura de sus relatii de contrarietate (incompatibilitate), pe cea de jos, relatii de subcontrarietate, iar pe verticala relatii de subalternare (implicatie) coborand pe patrat si de implicatie cu termenii negati urcand pe patrat.[11]

4. Reducerea operatorilor

Utilizand legile logice, operatorii pot fi redusi unul la celalalt. Exemplificam mai jos una din multiplele posibilitati de reducere. Stim ca disjunctia exclusiva este negarea echivalentei, deci (pwq) s (p s q); stim, deasemenea, ca echivalenta este implicatie reciproca (psq) s ( p q) (q p) ; dar implicatia, p q, poate fi tradusa ca pvq. Prin legile lui De Morgan, disjunctia se poate transforma in conjunctie, etc. Cu setul de operatori putem sa realizam reduceri ale unuia la celalalt, chiar daca nu cunoastem toate legile logice ale propozitiilor compuse.

5. InferenTe cu propoziTii compuse

Orice inferenta deductiva poate fi considerata o implicatie logica intre premise si concluzie. Silogismul categoric simplu poate fi inteles acum ca o conjunctie a celor doua premise care implica o concluzie: (p q) r ; se intelege acum validitatea silogismului: un silogism este nevalid numai daca din premise adevarate (conjunctia este adevarata numai daca ambele conjuncte sunt adevarate) rezulta concluzie falsa.

Inferentele cu propozitii compuse primesc denumirea dupa forma premise initiale, respectiv dupa operatorul principal. Distingem, astfel, intre rationamente ipotetice, in care operatorul principal este implicatia si rationamente disjunctive, in care operatorul principal este disjunctia.

5.1. InferenTe ipotetice

In inferentele ipotetice premisele sunt propozitii conditionale. Daca e marti, sunt doua ceasuri rele. E marti, deci sunt doua ceasuri rele.

p q

p .

q

Pentru astfel de inferente s-a incetatenit denumirea de moduri, pentru cazul de fata, modus (ponendo-) ponens[12]

Daca e marti, sunt doua ceasuri rele. Nu sunt doua ceasuri rele, deci nu e marti

p q

q

p modus (tollendo-) tollens

5.2. INFERENTE disjunctive

In inferentele disjunctive apar cu rol de premise propozitii disjunctive:

a) pvq b) pvq c) pwq d) pwq e) pwq f) pwq

p q p q p q

q p q p q p

Inferentele a), b), e), f) se numesc modus tolendo-ponens, iar c) si d) modus ponendo-tollens.

5.3. Dileme

Inferentele cu mai mult de doua premise sunt numite dileme. Vom prezenta in cele ce urmeaza cateva inferente care combina modurile prezentate anterior. Daca in concluzia dilemei avem o singura propozitie, dilema se va numi simpla, iar daca sunt cel putin doua, dilema se va numi complexa. Atunci cand concluzia este afirmativa, dilema se numeste constructiva, iar atunci cand concluzia este negativa, dilema se numeste distructiva.

dilema simpla  dilema complexa

conctructiva distructiva constructiva distructiva

p r p q  p r p r

q r p r  q s q s

pvq q v r pvq r v s

r p  rvs p v q

Vom exemplifica printr-o dilema constructiva complexa: "Daca voi spune adevarul , ma vor iubi zeii, iar daca voi spune minciuni, ma vor iubi oamenii. Cum nu pot spune decat adevarul sau minciuna, voi fi iubit fie de oameni, fie de zei."

6. Verificarea validitATii raTionamentelor cu propoziTii compuse

Logica propozitiilor compuse este o teorie decidabila, deci exista diverse metode prin care putem stabili valoarea de adevar a unui rationament compus din astfel de propozitii. Dintre multiplele metode utilizate vom aminti doar doua dintre ele, aflate una in prelungirea celeilalte.

6.1. Metoda tabelelor de adevAr

O metoda simpla de verificare a validitatii rationamentelor cu propozitii compuse este metoda experimentata deja in definirea operatorilor, metoda tabelelor de adevar sau metoda matriciala.

Indiferent ce metoda am adopta, prima operatie de care va depinde intreg demersul de verificare este traducerea limbajului natural in limbaj formal. Nu exista, nici in cazul acesta, o metoda foarte riguroasa prin care sa realizam aceasta traducere. Ne vom baza in consecinta pe cele cateva reguli enuntate la definirea principalilor operatori si, desigur, pe "simtul" nostru logic. O data realizata formula logica a rationamentului, verificarea consta in realizarea combinatiilor de adevar si fals pentru propozitiile atomice care compun formula. Numarul necesar de combinatii, reamintim, se stabileste dupa formula 2ⁿ, unde n reprezinta numarul variabilelor propozitionale (propozitiilor atomice).

Pasul urmator il constituie calculul propozitional. In final vom decide dupa rezultatul obtinut astfel: daca rezultatul calculului este adevar pentru toate valorile de adevar ale propozitiilor componente, rationamentul este valid; in caz contrar este nevalid.

Sa luam ca exemplu urmatorul rationament prin care mama atenianului isi avertizeaza fiul sa nu intre in politica fiindca:

"Daca spui adevarul, oamenii te vor uri, iar daca spui minciuni, te vor uri zeii. Dar nu poti sa spui decat adevarul sau minciuni. Asadar, fiul meu, vei fi urat fie de oameni, fie de zei".

Prima operatie este identificarea propozitiilor atomare:

p = spui adevarul

q = oamenii te vor uri

p = daca spui minciuni

r = zeii te vor uri

A doua operatie consta in identificarea formei argumentului:

(p q) p r) (pv p) (qvr)

In al treilea pas construim tabele de adevar pentru cele trei propozitii, prin combinarea tuturor valorilor de adevar, dupa formula amintita. In cazul de fata 2³=8. Apoi, respectand ordinea operatiilor, identificam valoarea de adevar a fiecarei propozitii moleculare, pentru ca in final sa calculam valorile de adevar ale operatorului principal, implicatia concluziei de catre premise:

p p q r p q p r p v p q v r

1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1

Rezulta ca argumentul este corect intrucat pentru toate combinatiile valorilor de adevar ale propozitiilor componente formula ia valoarea adevarat.

6.2. Metoda deciziei prescurtate

Metoda decizie prescurtate se impune intrucat metoda tabelelor de adevar, desi simpla, devine inoperabila in situatiile in care numarul propozitiilor atomice creste. Daca avem patru sau cinci propozitii, numarul liniilor devine 16, respectiv 32. Este limpede ca nu putem folosi, in aceste cazuri, metoda tabelelor. Pentru astfel de situatii se poate prescurta decizia astfel:

a) incercam, mai intai, sa falsificam formula, adica sa cercetam daca poate fi falsa; daca exista celputin o situatie in care formula rationamentului ia valoarea fals, atunci rationamentul este nevalid; nu stim inca daca esre reslizabil, contingent sau daca este inconsistent; pentru a afla si acest lucru, parcurgem o a doua etapa:

b) incercam sa adeverim formula, adica sa dovedim ca poate fi adevarata; daca exista cel putin o situatie in care formula ia valoarea adevarat, inseamna ca formula este contingenta.

Pentru usurinta intelegerii sa exemplificam pornind de la urmatoarea formula:

(pvs)w(q r) (s q) (pvr)

a) pentru ca formula sa fie falsa ar trebui ca antecedentul sa fie adevarat si consecventul sa fie fals; antecedentul este adevarat in mai multe situatii[15], caz in care analizam situatia in care consecventul ar putea fi fals: s q sa fie adevarat, iar

pvr sa fie fals; aceasta situatie se produce numai daca s=1, q=1, p=0, r=0; in aceasta situatie, antecedentul ia valoarea 1; rezulta 1 0=0, formula este nevalida; pentru a vedea daca este inconsitenta continuam cu tentativa de adeverire.

b) pentru ca formula sa fie adevarata, ar fi suficient ca pvr din consecvent sa fie adevarat intrucat x 1=1; pentru aceasta este suficient ca r=1; asadar, cand r=1 formula ia valoarea 1, indiferent de valoarea celorlalte componente. Intrucat formula ia uneori valoarea 0 (cazul a), iar alteori valoarea 1, rezulta ca este o formula contingenta.

Sa verificam prin aceasta metoda validitatea argumentului verfificat prin metoda tabelelor de adevar:

(p q) p r) (pv p) (qvr)

Pentru ca formula sa fie falsa (x y), ar trebui ca antecedentul (x) sa fie adevarat, iar consecventul (y) fals. Consecventul (qvr) este fals numai in situatia in care q=0 si r=0. In aceasta situatie in antecedent vom avea:

(p p (pv p

Formula (pv p) este adevarata, independent de valoarea lui p, fiind o lege logica; daca p=1, prima paranteza din antecedent va fi 0 si, prin aceasta, intreg antecedentul ia valoarea 0; daca p=0, a doua paranteza din antecedent va fi 0, iar prin aceasta, intreg antecedentul va fi 0. Rezulta ca daca vom avea un consecvent 0, atunci antecedentul nu poate fi 1, si, prin urmare, argumentul este valid.

APLICATII

Verificati validitatea rationamentelor:

a) "Daca in momentul respectiv paznicul nu era atent, masina nu putea fi observata cand a intrat in depozit; daca depozitia martorului este adevarata, paznicul nu era atent in momentul respectiv. Fie masina a fost observata, fie soferul ascunde ceva; intrucat soferul nu ascunde nimic, rezulta ca depozitia martorului nu este adevarata."

b) "Ei bine, daca mananc marul si el ma face sa cresc mai mare, pot sa ajung cheia si sa intru in gradina; daca ma face sa devin mai mica, pot sa ma strecor pe sub usa si sa intru in gradina. Oricum o fi, voi intra in gradina" (Lewis Carroll)

"Daca exista dreptate in aceasta viata, atunci nu este nevoie de o viata viitoare. Daca, pe de alta parte, nu exista dreptate in viata noastra pamanteasca, atunci nu avem nici un motiv sa credem ca Dumnezeu este drept. Dar daca nu avem nici un motiv sa credem ca Dumnezeu este drept, atunci nu avem nici un motiv sa credem ca El ne va asigura o viata viitoare. Astfel, sau nu este nevoie de o viata viitoare, sau nu avem nici un motiv sa credem ca Dumnezeu ne va asigura o astfel de viata". (David Hume)