Tipuri mai importante de propozitii

TIPURI MAI IMPORTANTE DE PROPOZItII

Am spus intr-un paragraf anterior ca propozitiile cognitive sunt propozitiile care exprima judecati si care, in virtutea acestui fapt, sunt adevarate sau false. O clasificare dupa toate regulile a acestor propozitii este mai greu de facut de aceea ma voi rezuma, ca si in cazul notiunilor, la a descrie tipurile mai importante de propozitii lasand lista deschisa pentru eventualele completari.

1. Propozitii inchise si propozitii deschise

Unele propozitii, cum ar fi:

"Bucuresti este capitala Romaniei",

"Platon a fost contemporan cu Diogene",

"6 este numar par",

pot fi apreciate ca adevarate sau false fara alte precizari. Aceasta pentru ca termenii care apar in ele sunt termeni univoci, semnificatia lor este constanta. Asemenea propozitii se mai numesc si inchise. Or, nu acelasi lucru se poate spune despre propozitiile:

"Acum ploua",

"Aici este vreme frumoasa",

"Eu scriu" s.a.

in care termenii: "acum", "aici", "eu", "acolo" sunt termeni deschisi (sau indexicali), semnificatia lor este variabila. Propozitiile care contin asemenea termeni se numesc, la randul lor, propozitii deschise.

Ca sa putem spune ca propozitia "Acum ploua" este adevarata trebuie sa precizam momentul la care se refera acest "acum", eventual locul, pentru ca nu ploua peste tot, ci in anumite locuri. Prin urmare, termenii deschisi iau valori in diferite domenii, insa, atata timp cat nu am dat o valoare acestor termeni, propozitiile deschise nu sunt nici adevarate, nici false.

Propozitiile pot fi deschise in multiple forme de aceea gama acestor propozitii este foarte larga. In plus, se poate intampla ca una si aceeasi propozitie sa fie multiplu deschisa, ca in exemplul: "Eu citesc". Aceasta propozitie este deschisa in raport cu subiectul (cine citeste?), obiectul (ce citeste?), locul (unde citeste?) si timpul (cand citeste?). Este drept ca de cele mai multe ori noi luam aceste propozitii ca prescurtari ale unor propozitii mai complicate ale caror componente le subintelegem (le tratam ca supozitii).

Pentru a arata ca propozitiile sunt deschise putem folosi diferite tipuri de variabile. Aplicand acest procedeu in exemplul nostru vom obtine ceva de genul: "x citeste y in momentul t si in locul s".

Curios este ca multe dintre propozitiile deschise se comporta ca functii. Pentru a intelege mai bine cum stau lucrurile sa luam un exemplu simplu, sa zicem propozitia "Acest numar este par".

Cata vreme "acest numar" nu se refera la un numar determinat, propozitia este deschisa, ea nu poate fi nici adevarata, nici falsa.

Sa notam propozitia cu "x este par" sau "Par(x)" (citeste "par de x").

Pentru valorile 1, 2, 3. ale variabilei x obtinem propozitiile: Par(1), Par(2) etc. Unele sunt adevarate, altele false, asa ca intre cele doua multimi, N = si V = , au loc corespondentele.

Par (1) = f

Par (2) = v

Par (3) = f

Pentru ca aceste corespondente satisfac conditiile generale ale unor corespondente functionale spunem ca expresia Par(x) este o functie propozitionala.

In schema generala a functiei

N

N este multimea domeniu, iar codomeniul. Prin urmare, functiile propozitionale sunt functiile ale caror valori sunt cele doua valori logice - adevarul si falsul notate aici cu v si f.

Propozitiile se obtin din functiile propozitionale prin doua operatii: 1) prin substituirea variabilei libere cu valori dintr-un domeniu anume: "Par(1)", "Par(2)" etc., si 2) prin cuantificare universala sau existentiala. Vom obtine in acest caz propozitii de genul: x Par(x) adica "oricare ar fi x, x este par", respectiv, x Par(x), "Exista x astfel ca x este par".

Aceasta este ca sa spun asa interpretarea standard a celor doi cuantori, insa, avand in vedere ca in ambele cazuri x ia valori in multimea numerelor putem spune simplu: "orice numar este par", respectiv, "exista numere pare".

Cuantificarile de acest gen se mai numesc sortale (domeniul variabilelor legate de cei doi cuantori sunt "sortate" in raport cu universul de discurs ales).

Functiile propozitionale au fost introduse de G. Frege in lucrarea sa din 1879 Begriffschrift insa generalizarea lor in logica s-a produs abia dupa aparitia Principiei Mathematica (1910 - 13). Consecintele acestor inovatii s-au facut simtite extrem de rapid, in decurs de numai cateva decenii logica a fost schimbata, practic, din temelii. Categoria de forma logica, centrala in logica traditionala, nu mai era la fel de centrala in logica nou constituita si aceasta pentru ca multimea propozitiilor de o anumita forma poate fi asimilata multimii argumentelor unei anumite functii. Noua logica este in continuare o stiinta formala insa caracterul ei formal o apropie, de data aceasta, mai degraba de matematica decat de vechea logica formala.

2. Propozitii de extensiune si propozitii de intensiune

Propozitiile care angajeaza extensiunea unui termen, respectiv, sfera unei notiuni sunt propozitii de extensiune. Am vazut in capitolul anterior ca extensiune inseamna clasa sau multime. Prin urmare, propozitiile de extensiune exprima, fie raportul obiect-clasa, fie raporturi intre clase. De exemplu, "Socrate apartine clasei oamenilor", "Clasa mamiferelor este inclusa in clasa vertebratelor", "Clasa numerelor pare este egala cu clasa numerelor impare" sunt, toate, propozitii de extensiune.

Daca intr-o propozitie se exprima un raport cu privire la intensiuni sau proprietati, ele se numesc de intensiune. "Socrate are proprietatea biped", "Proprietatea om implica proprietatea rational", "A fi om este echivalent cu a fi rational" sunt propozitii de intensiune.

Carnap vorbeste si de o a treia forma de propozitii - propozitiile neutre - cum ar fi "Omul este muritor", care nu este nici de extensiune, nici de intensiune. Propozitia poate fi interpretata ca propozitie de extensiune sau de intensiune, insa, data in aceasta forma, ea este neutra.

Cred ca acelasi lucru se poate sustine si despre propozitiile singulare. "Socrate este om" poate insemna: "Socrate apartine clasei om" (propozitie de extensiune), respectiv, "Socrate are proprietatea om" (propozitie de intensiune), fata de care propozitia "Socrate este om" nu este nici de extensiune, nici de intensiune, este tot o propozitie neutra.

Aristotel a folosit doua forme mai speciale de propozitii, care, in esenta, sunt tot propozitii de extensiune si de intensiune. El spune: "A apartine la toti B" si "B este predicat despre toti A".

Nu este clar daca aceste forme de exprimare se datoreaza limbii in care a scris si gandit Aristotel sau daca nu cumva ele au fost special create pentru a face mai transparente raporturile logice dintre propozitii. In orice caz, sensul lui "apartine" din prima propozitie nu este sensul lui obisnuit din teoria multimilor. Sa mai notam ca formele actuale: "Toti A sunt B", "Unii A sunt B" etc. provin din logica medievala, ele sunt specifice limbii latine.

Propozitii extensionale si propozitii intensionale

A nu se confunda propozitiile de extensiune cu propozitiile extensionale, dupa cum nici propozitiile de intensiune nu trebuie confundate cu propozitiile intensionale. Este drept ca si intr-un caz si intr-altul intervine distinctia extensiune-intensiune insa in alte moduri si cu alte finalitati.

Propozitia extensionala se defineste in etape.

Sa consideram ca P este o propozitie oarecare in care intervine o expresie denotativa A. Aceasta poate fi:

● Termen singular (Napoleon, Paris, Romania),

● Termen general (om, casa, masina),

● Descriptie (primul romancier roman, autorul Iliadei),

● Propozitie ( = 12, Ploua, Nu toti poeti sunt talentati).

Pentru problema in discutie va trebui mai intai sa aratam ce inseamna ca o astfel de expresie este echivalenta cu o alta expresie.

Sa le luam pe rand:

1) Doi termeni singulari sunt echivalenti atunci cand denumesc acelasi obiect: Arouet s Voltaire, Tulio s Cicero etc.

2) Doua descriptii sunt echivalente cand stau pentru unul si acelasi obiect (sau cand descriu acelasi obiect): Primul numar par s Primul numar divizibil cu doi; Autorul Luceafarului s Autorul poeziei "Seara pe deal". Daca descriptia este considerata tot un fel de termen singular (sau invers, termenul singular se ia ca descriptie), atunci vom vorbi de echivalenta descriptiei cu termenul singular corespunzator ei: Eminescu s Autorul "Luceafarului", Doi s Primul numar par, Bucuresti s orasul capitala a Romaniei.

3) Doi termeni generali sunt echivalenti cand au aceeasi extensiune: elev s scolar, om s fiinta rationala, numar par s numar divizibil cu doi.

4) Doua propozitii sunt echivalente cand au aceeasi valoare logica: Zapada este alba s Toti atenienii sunt greci (este vorba de echivalenta materiala, adica echivalenta doar in valoarea logica a propozitiilor si nimic altceva).

Odata intelese aceste lucruri, ne putem intoarce la problema noastra.

Spunem despre propozitia P ca este extensionala relativ la A daca valoarea lui P nu se schimba cand A se substituie peste tot in P cu aceeasi expresie echivalenta B.

Ne reamintim din Introducere ca aceste substitutii au fost numite salva veritate (cu pastrarea valorii de adevar).

Pentru exemplificare, sa luam propozitia

(1) Autorul romanului Baltagul s-a nascut in anul 1880 si a murit in anul 1961.

Descriptia "autorul romanului Baltagul" este echivalenta cu termenul singular "M. Sadoveanu". Facand substitutia de echivalente obtinem:

(2) M. Sadoveanu s-a nascut in 1880 si a murit in 1961.

Daca propozitia initiala a fost adevarata, natural ca si propozitia nou obtinuta va fi tot adevarata. Vom spune atunci ca propozitia (1) este extensionala relativ la componenta ei "autorul romanului Baltagul".

Mai departe, putem substitui expresia "Anul 1880" cu expresia echivalenta "anul nasterii lui T. Arghezi", iar propozitia "M. Sadoveanu a murit in 1961" cu propozitia echivalenta "Romania se invecineaza la granita de est cu Moldova". Facand aceste substitutii vom obtine, in final, urmatoarea propozitie:

(3) M. Sadoveanu s-a nascut in anul nasterii lui T. Arghezi si Romania se invecineaza la granita de est cu Moldova".

Aceasta propozitie este, de asemenea, adevarata.

Sa revenim acum la definitia extensionalitatii. Am spus ca propozitia este extensionala relativ la una sau alta dintre expresiile ei daca aceste expresii pot fi substituite salva veritate, daca substitutia lor nu schimba valoarea de adevar a propozitiei initiale.

O propozitie este extensionala, in genere, daca este extensionala in raport cu toate expresiile denotative care apar in ea. Este cazul propozitiei noastre, o propozitie extensionala relativ la toate componentele ei denotative..

Sa examinam acum o alta propozitie:

(4) Napoleon nu credea ca forta aburului poate inlocui forta vantului.

Situatia aici este intrucatva diferita. Putem spune ca propozitia este extensionala relativ la termenul singular "Napoleon", dar este neextensionala relativ la componenta "Forta aburului poate inlocui forta vantului". Aceasta este o propozitie adevarata si daca o inlocuim cu una echivalenta, sa zicem "Parisul este capitala Frantei", obtinem propozitia:

(5) Napoleon nu credea ca Parisul este capitala Frantei.

Propozitia initiala era adevarata in timp ce propozitia obtinuta prin substitutie este falsa. Deci nu avem de-a face cu o substitutie salva veritate, prin urmare, propozitia "Napoleon nu credea ca forta aburului poate inlocui forta vantului" este neextensionala (sau intensionala) relativ la componenta ei "Forta aburului poate inlocui forta vantului".

Distinctia extensional-intensional pentru propozitii este o adaptare dupa distinctia lui Carnap dintre contextele extensionale si contextele intensionale. Un context extensional este ceea ce ramane dintr-o propozitie dupa ce a fost eliminata partea ei extensionala (contextele care nu sunt extensionale sunt neextensionale sau intensionale). In cazul de fata, "Napoleon nu credea ca " este un context neextensional (sau intensional).

Un operator logic este extensional daca aplicat la contexte extensionale va da intotdeauna contexte extensionale. In caz contrar, operatorul este neextensional. Negatia, de exemplu, este un operator propozitional extensional; la fel disjunctia. Alti operatori, cum sunt cei modali (necesar, posibil etc.) sunt neextensionali.

4. Propozitii simple si propozitii compuse

Propozitiile:

"Ploua",

"Aristotel a fost dascalul lui Al. Macedon",

>

sunt simple, ele nu contin parti componente care sa fie tot propozitii. Bertrand Russell foloseste pentru acest gen de propozitii denumirea de "propozitie atomara".

Nu acelasi lucru se poate spune despre propozitiile:

"Ploua si bate vantul",

"Aristotel a fost dascalul lui Alexandru, nu si al lui Filip",

"Daca 3 > 2, atunci 3 >

care sunt compuse sau "moleculare".

Distingem in raport cu propozitiile compuse doua situatii: 1) propozitii compuse cu o singura componenta propozitionala, 2) propozitii compuse cu doua sau mai multe asemenea componente. Din prima categorie fac parte propozitii cum ar fi:

"Copernic credea ca orbitele planetelor sunt circulare",

"Nu este adevarat ca toti copiii sunt violenti",

"Este posibil ca unii parlamentari sa fie cercetati penal".

Iata si cateva exemple din a doua categorie:

"Daca nu ploua, voi pleca in excursie",

"Nici nu faci nimic, nici pe altii nu-i lasi sa faca",

"Sau te pregatesti de examen sau iti gasesti un loc de munca".

Daca simbolizam propozitiile atomare cu P, Q, R,. , propozitiile exemplificate pot fi considerate ca provenind din urmatoarele forme:

"Copernic credea ca P",

"Nu este adevarat P",

"Este posibil P",

"Daca non-P, atunci Q",

"Nici P, nici Q",

"Sau P sau Q".

Voi prezenta cateva din aceste cuvinte de legatura avand in vedere ca ele exprima operatii logice foarte importante insa fara a intra in detaliile obisnuite ale problemei (studiul propriu zis al acestor operatii tine de domeniul logicii simbolice).

1. Negatia. Daca P este o propozitie oarecare, atunci "non-P" sau "Nu este adevarat P" se va nota cu ~P sau cu . Notam, ca si pana acum, adevarul cu "v", falsul cu "f", si definim negatia cu ajutorul urmatoarelor relatii:

~v = f

~f = v

Cu alte cuvinte, negatia unei propozitii adevarate este o propozitie falsa, si invers. Acest operator monar (de un singur argument) se bucura de proprietatea de involutie, cunoscuta si ca proprietate a dublei negatii: ~ ~ P = P (dubla negatie a lui P are aceeasi valoare logica cu P).

Se spune uneori "dubla negatie este o afirmatie", un mod incorect de interpretare a proprietatii pentru ca negatia aici nu se transforma pur si simplu in afirmatie, ea ramane tot o negatie.

2. Conjunctia. Este o operatie logica exprimata cu ajutorul particulei "si". Propozitia "P si Q", simbolizata "P Q" sau "P & Q" se defineste cu ajutorul urmatoarelor relatii de adevar:

(v v) = v

(v f) = (f v) = (f f) = f

Conjunctia este adevarata cand ambii ei termeni sunt adevarati si este falsa cand cel putin unul este fals.

Disjunctia. Propozitia "P sau Q" se numeste disjunctie sau propozitie disjunctiva si se noteaza cu "P Q". Este adevarata cand cel putin un termen este adevarat si falsa cand ambii ei termeni sunt falsi:

(f f) = f,

(v f) = (f v) = (v v) = v.

Aceasta disjunctie se mai numeste si neexclusiva pentru ca nu exclude posibilitatea ca ambii termeni sa fie adevarati. Prin urmare, semnificatia ei este urmatoarea: "Sau P sau Q, nu este exclus ambele".

Disjunctia exclusiva, notata cu "P + Q", inseamna: "Sau P sau Q, exclus ambele" si are ca relatii de adevar:

(v + f) = (f + v) =  v,

(v + v) = (f + f) = f.

In principiul tertului, de exemplu, avem de-a face cu o disjunctie exclusiva desi in simbolizarea lui curenta intervine disjunctia simpla: P . Conform definitiei, ar trebui sa spunem "P sau non-P, posibil ambele" ceea ce ar fi o greseala.

Observatie. Atat conjunctia cat si disjunctia, au fost definite ca operatii binare (cu doi termeni) insa ele pot fi generalizate pentru orice numar de termeni. In acest caz folosim notatiile "P" (pentru conjunctie) si "S" (pentru disjunctie):

4. Implicatia. Propozitia "P implica Q" sau "Daca P atunci Q" se numeste "implicatie materiala" si se noteaza cu "P Q". In aceasta relatie P este antecedent, iar Q consecvent. Implicatia este falsa cand antecedentul este adevarat si consecventul fals; in rest, implicatia este adevarata:

Voi reveni pe larg asupra implicatiei in capitolul urmator cand voi discuta despre validitatea rationamentelor si despre raportul dintre inferenta si implicatie.

5. Echivalenta. Se noteaza cu "P s Q" si se citeste "P este echivalent cu Q" sau "P daca si numai daca Q". Pentru ca se refera doar la valoarea logica a propozitiilor, nu si la continutul acestora, se mai numeste si "echivalenta materiala". Relatiile ei de adevar:

presupun ca ambii termeni sa aiba aceeasi valoare pentru ca echivalenta sa fie adevarata. Daca termenii au valori diferite, echivalenta este falsa.

6. Incompatibilitatea. Propozitia "P este incompatibil cu Q", numita si "anticonjunctie", se noteaza cu "P/Q". Operatorul "/" se defineste prin:

(v / v) = f

(v / f) = (f / v) = (f / f) = v

Observam ca incompatibilitatea este adevarata cand cel putin un termen al ei este fals si este falsa cand ambii termeni sunt adevarati. Pentru ca relatiile ei de adevar sunt invers decat la conjunctie, acest operator a fost numit anticonjunctie.

7. Nici. nici. Se noteaza "P Q" si se citeste "Nici P, nici Q". Relatiile ei de adevar sunt:

(f f) = v,

(v v) = (f v) = (v f) = f.

Propozitia "P Q" se mai numeste antidisjunctie.

Observatie. Cu ajutorul acestor operatori putem forma propozitii compuse din alte propozitii compuse. De exemplu, (P Q) (P Q) este o implicatie in care antecedentul este o conjunctie, iar consecventul o disjunctie. Asa cum am mai spus, problemele acestor propozitii se studiaza in logica simbolica, ele fac obiectul unei discipline speciale - logica propozitiilor.

5. Propozitii de relatie si propozitii de predicatie

Propozitiile de tip subiect-predicat, "S este P", sunt numite de predicatie. Avand in vedere ca ultima parte a acestui capitol este dedicata in exclusivitate propozitiilor de predicatie, ma rezum aici doar la propozitiile de relatie.

Simplu spus, sunt numite de relatie toate propozitiile care exprima relatii. Va trebui deci sa nu confundam relatia cu propozitia prin care se exprima relatia. Cand spunem " 4 este mai mare decat 2" avem, pe de o parte, relatia "mai mare" si avem totodata propozitia care exprima aceasta relatie.

Exista relatii cu doi, cu trei, in general, cu n termeni. De exemplu, "x este frate cu y" este o relatie cu doi termeni; "x este intre y si z" este o relatie cu trei termeni, iar "x comunica lui y informatia i in limbajul l" este o relatie cu patru termeni.

Forma standard a propozitiei de relatie va fi: "x este in relatia R cu y"; simbolic: xRy sau R(x,y). Daca R este o relatie cu n termeni, ea se va simboliza: R(x₁, x₂, ., x_n)

Foarte studiate sunt relatiile cu doi termeni numite relatii binare. Dintre acestea mai importante sunt relatiile de echivalenta si relatiile de ordine.

Sa nu confundam, insa. Una este echivalenta ca tip de relatie si alta relatiile logice care poarta numele de "echivalenta".

O relatie R este o relatie de echivalenta daca este reflexiva, simetrica si tranzitiva (presupun aceste proprietati cunoscute). Relatia de asemanare din geometrie este o relatie de echivalenta; la fel relatia de egalitate din aritmetica.

Se intelege ca echivalenta materiala si echivalenta formala din logica sunt tot relatii de echivalenta intrucat si ele au proprietatile de reflexivitate, simetrie si tranzitivitate. Ceea ce inseamna ca termenul "echivalenta" este un termen ambiguu, el poate desemna tipul relatiei (orice relatie reflexiva, simetrica si tranzitiva), sau poate desemna una din relatiile logice numite "echivalenta" (echivalenta materiala, echivalenta formala, echivalenta stricta etc.).

Asa cum am vazut inca din primul capitol, relatiile de ordine sunt, in general, relatiile tranzitive. Exista doua specii mai importante de ordine - relatiile de ordine slaba sau partiala (acestea sunt reflexive, antisimetrice si tranzitive) si relatiile de ordine stricta sau tare (acestea sunt ireflexive, asimetrice si tranzitive).

Implicatia si inferenta, de exemplu, sunt relatii de ordine slaba in timp ce definitia este o relatie de ordine tare (sau stricta). In aritmetica, " " este tot o relatie de ordine slaba; la fel " " din teoria multimilor. In schimb, "<" si ">" sunt relatii de ordine stricta (a se compara sub aspectul proprietatilor cu relatiile logice deja mentionate).