ALCULUL LA STAREA LIMITA DE FISURARE

ALCULUL LA STAREA LIMITA DE FISURARE

1. Introducere

Fisurarea in exploatare a elementelor de beton annat este inevitabila, fapt stabilit inca de la inceputurile utilizarii betonului armat ca material de rezistenta pentru structuri.

Fisurarea este urmarea, in primul rand, a eforturilor de intindere produse de solicitari (incovoiere, forta taietoare, torsiune, tractiune), dar si a unor eforturi de aderenta excesive sau a actiunii unor forte concentrate de compresiune, care implica, asa cum s-a aratat la cap.l, eforturi de intindere in directie transversala direcriei de aplicare a incarcarii.

De asemenea, o fisurare cu caracter intamplator, in sensul ca aceasta nu poate fi reflectata in mod riguros prin modelele de calcul, poate aparea datorita unor factori de mediu, a telinologiei de executie sau ca urmare a unor deformatii impiedicate.

Dintre cauzele care produc fisurile din aceasta a doua categorie sunt de mentionat efectele contractiei impiedicate a betonului (atat la exteriorul elementului prin legatuii strucrurale, cat si in interiorul acestuia, de catre armatura de otel), ale variatiei de temperatiua, tehnologice sau climatice, a tasarilor diferentiate ale reazemelor, actiunea inghetului si dezglietului repetat, efectele unor tehnologii de executie insuficient puse la punct (decofrari timpurii, imperfectiuni in regimul de tratare termica la accelerarea intaririi betonului in elementele prefabricate, deficiente in functionarea cofrajelor glisante, etc.).

In general, prescriptiile de proiectare ale structurilor de beton annat prevad verificari prin calcul numai pentru controlul fisurarii produse de actiunea incarcarilor, considerandu-se ca evitarea dezvoltarii peste limitele admise a fisurarii din alte cauze se asigura in mod implicit prin reguli de alcatuire (armare) constructiva si prin adoptarea unor tehnologii de executie corespunzatoare din acest punct de vedere.

Fisurarea nu prezinta un inconvenient in exploatarea elementelor de beton armat atata timp cat deschiderea fisurilor se situeaza sub anumite limite. Aceste limite depind in principal de exigentele de aspect si de durabilitate, in special privind coroziunea armaturii, precum si de asigurarea unor functiuni specifice, ca de exemplu: asigurarea etanseitatii pentru peretii recipientilor de lichide si de gaze, evitarea dezvoltarii unor agenti patogeni sau a unor insecte, al caror sediu poate fi constituit de fisurile prea deschise din elementele de beton armat, la rezervoarele de apa potabila si la silozurile de cereale.

Bazat pe aceste consideratii STAS 10107/0-90 prevede pentru elementele de beton armat un calcul la starea limita de deschidere a fisurilor. Verificarea se face punand conditia ca deschiderile medii ale fisurilor calculate, pentru incarcarile de exploatare sa nu depaseasca anumite valori limita. Valorile admise ale deschiderilor fisnrilor sunt:

- pentru elemente obisnuite:

• 0,1 mm, daca elementele sunt expuse unui mediu agresiv;

• 0,2 mm, daca elementele sunt expuse actiunii intemperiilor si nu sunt protejate;

• 0,3 mm, in celelalte cazuri.

- pentru elementele care se afla sub presiunea unui lichid sau a unui material necoroziv:

0,1 mm, daca elementele se afla sub presiunea unui lichid si lucreaza la intidere centrica sau intindere excentrica cu excentricitate mica (respectiv la solicitari la care fisurile sunt dezvoltate pe toate inaltimea sectiunii transversale);

• 0,2 mm, in celelalte cazuri (la elemente cu fisuri care se inchid in zona comprimata a sectiunilor transversale).

Experienta inginereasca acumulata din cercetarea comportarii in exploatare a structurilor de beton armat pennite sa se evidentieze observatia ca in cazul curent al elementelor structurale din cladirile civile si industriale aparitia unor fisuri excesiv de deschise poate reflecta erori in calculul la starea limita de rezistenta, in special datorita aprecierii incorecte a unor actiuni sau a ignorarii unor faze de lucru anterioare celei de exploatare, la care natura solicitarii difera de cea din exploatare (de exemplu, la depozitarea si manipularea panourilor prefabricate de planseu).

2. Calculul eforturilor de fisurare

Desi in proiectarea elementelor de beton armat nu se pune problema in mod explicit de a face verificari la starea limita de aparitie a fisurilor, uneori apare necesitatea determinarii valorii eforturilor de fisurare. O asemenea necesitate intervine, de exemplu, in proiectarea antiseismica a unor elemente cu sectiunea avand talpi dezvoltate in zona intinsa si procent mic de armare, caz in care forta taietoare asociata momentului de fisurare poate fi mai mare decat cea din stadiul de rupere (fig.1.82).

FIGURA 1.82

Valoarea eforturilor care produc fisurarea betonului intins se stabileste printr-un calcul bazat pe ipotezele stadiului la al elementelor de beton annat, prin msumarea eforturilor preluate de betonul partial plastificat in zona intinsa si de armatura.

Considerand o defonnatie limita a betonului intins de 0,1-0,15 ‰ si

ipoteza conlucrarii perfecte dintre beton si armatura, rezulta ca valoarea efortului unitar σ_a din annatura intinsa in stadiul solicitarii plastice a betonului este in medie 25 N/mm².

In aceste conditii, expresiile pentru stabilirea eforturilor de fisurare sunt (fig.1.83):

FIGURA 1.83

• pentru elemente intinse centric (fig.1.83.a):

N_f = A_bR_t + 25A_a

in care:

N_f= forta de fisurare;

A_b = aria sectiunii transversale de beton;

A_a = aria sectiunii de annatura in mm².

• pentru elementele de beton armat incovoiate (fig.1.83.b):

M_f = c_clW_fR_t + 25A_az_a (1.171)

in care:

M_f= este momentul de fisurare;

W_f= modulul de rezistenta al sectiunii de beton in ipoteza plastificarii complete a zonei intinse;

c_pl = coeficient subunitar care ia in considerare plastificarea partiala a zonei debeton intinse; coeficientul c_pl are valori cu atat mai apropiate de 1, cu cat inaltimea sectiunii este mai mica (de exemplu, la placi);

z_a = bratul de parghie al efortului de intindere din armatura in raport cu punctual de aplicatie al rezultantei eforturilor de compresiune din beton; se admite simplificarea ca pozitia axei neutre in momentul aparitiei fisurilor este aceeasi ca in cazul sectiunii de beton simplu.

In cazul particular al sectiunilor dreptunghiulare, luand z = 0,8h se obtine:

M_f = 0,29 c_plbh²R_t + 20A_ah (1.172)

3. Calculul la starea Iimita de deschidere a fisurilor in sectiuni normale

Modelul de calcul al deschiderii fisurilor se bazeaza pe analiza unor situatii de solicitare constanta ( intindere centrica, incovoiere pura) pentru care se considera o distributie regulata a fisurilor, situate la distante egale una de alta, λ_f.

Deschiderea figurilor este datorata surplusului de deformatie a armaturii, pe distanta dintre dpua fisuri consecutive, in raport cu deformatia betonului (lunecarii dintre beton si armatura).

ά_f = λ_f (ε_am – ε_bm) (1.173)

in care:

ε_am = alungirea specifica medie a armaturii;

ε_bm = alungirea specifica medie a betonului.

Datorita caracterului intamplator al formarii fisurilor ca si imprastierii specifice a valorilor unor caracteristici ale materialelor, cum sunt rezistenta la intindere si aderenta betonului la suprafata laterala a armaturilor, expresia (1.173) trebuie considerata ca reflectand media comportarii reale. 

In fig.1.84 se prezinta schema de calcul a deschiderii fisurilor pentru cazul eel mai simplu al solicitarii la intindere centrica.

Valorile ε_bm pot fi neglijate in raport cu valorile ε_am, fiind de cca. 10-15 mai mici decat acestea, pentru incarcarile de exploatare, si avand in vedere si efectul contractiei betonului, calculul practic al deschiderii fisurilor se face cu relatia:

ά_f = λ_fε_am (1.174)

Distanta λ_f dintre fisuri se stabileste pornind de la schema din fig.1.84.a, considerand ca pe distanta intre prima fisura aparuta intamplator si sectiunea unde poate aparea fisura imediat alaturata se transmite prin aderenta la beton un efort capabil sa produca fisurarea betonului:

in care:

τ_med = pe distanta dintre doua fisuri;

u   = perimetrul total al armaturilor;

A_bt  = aria de inglobare a armaturilor intinse.

A_bt este limitata la o anumita arie adiacenta barei de armatura, deoarece distributia fisurilor la distante finite face ca numai o anumita zona din betonul inconjurator sa fie influentata de bara respectiva. Valoarea A_bt definita in fig.1.85 a rezultat in urma unor studii teoretice si experimentale.

Este evident ca aria A_bt introdusa in relatiile de calcul nu poate depasi valoarea ariei zonei intinse a sectiunii in stadiul nefisurat. De exemplu, in cazul elementelor incovoiate cu sectiune dreptunghiulara A_bt ≤ 0,5bh.

FIGURA 1.85

Studii experimentale au dovedit ca raportul k = R_t/τ_med

nu depinde practic derezistenta betonului, fiind influentat in schimb de proprietatile de aderenta ale armatnrii.

Pentru cazul barelor de acelasi diametru, raportul A_bt/u se poate pune sub forma:

(1.176)

in care:

d = diametrul armaturii; A.

μ_t = A_a/A_bt, coeficientul de armare corespunzator ariei de inglobare a armaturii;

p_t = 100 μ_t, procentul de armare respective.

Notand A₁ = k/4, relatia (1.175) devine:

(1.177)

Se observa, ca daca μ_t tinde spre infinit, λ_f tinde spre 0. Aceasta este in contradictie cu faptul ca distantele intre armaturi si acoperirea cu beton au valori finite, ceea ce face ca deschiderile fisurilor sa aibe valori finite chiar la procente de armare foarte mari. Relatia (1.177) s-a corectat pentru a tine seama de influenta acoperirii cu beton si cercctari experimentale:

(1.178)

In tabelul 1.4 sunt date valorile A conform ST AS 10107/0-90. Se constata ca se dau valori diferite pentru solicitarea la intindere centrica si intindere excentrica cu excentricitate mica, in care caz fisura se dezvolta pe intreaga inaltime a elementului si pentru restul solicitarilor, caracterizate de faptul ca in sectiune exista si o zona comprimata.

TABELUL 1.4

Trebuie facuta observatia importanta ca modelul teoretic pentru determinarea distantei medii intre fisuri nu tine seama de slabirile locale (indeosebi datorita prezentei etrierilor), care in anumite conditii pot decide distributia fisurilor. Astfel, spre exemplu, nu este firesc sa se puna la baza calculului deschiderii fisurilor intr-o grinda o distanta intre fisuri determinata 'exact' de 180 mm sau 220 mm, daca distanta dintre etrieri este de 200 mm. Intr-un asemenea caz fisurile vor aparea, asa cum se constata in practica, in dreptularmaturilor transversale.

Observatiile experimentale sugereaza ca infiuenta armaturii transversale in grinzi sa fie luata in consideratie prin rotunjirea in plus sau in minus a valorii calculate pentru distanta medie intre fisuri, pana la distanta dintre etrieri, daca diferenta nu este mai mare de cca.50 mm.

Alungirea specifica medie ε_am a armaturii pe distanta dintre fisuri este mai mica decat alungirea specifica ε_a a armaturii in dreptul fisurii, datorita contributiei betonului intins intre fisuri, care preia o parte din eforturile de intindere (fig.1.84.b). RaportuI subunitar ψ = ε_am / ε_a lintre cele doua deformatii specifice reprezinta o masora a aderentei intre beton si armatura, motiv pentni care este denumit, asa cum s-a aratat anterior – indice de conlucrare.

Pornind de la schema de calcul din fig.1.84.b, se poate scrie:

(1.179)

Integrala din (1.179) reprezentand aria diagramei eforturilor de aderenta se poate exprima astfel:

(1.180)

in care τ’_med ≠ τ_med (din schema de la fig. 1.84a) este efortul unitar mediu de aderenta in momentul care precede formarea celei de a doua serii de fisuri la distante λ_f/2.

Introducand (1.180) in (1.179) si punand:

(1.181)

pe baza echilibrului elementului de armatura conform schemei din 1.84b, se obtine:

(1.182)

Expresia din paranteza reprezinta valoarea ψ.

Folosirea in calculul valorii indicelui de conlucrare a rezistentei caracteristice a betonului R_tk este justificata prin faptul ca se analizeaza o portiune de o anumita lungime, la o stare limita de exploatare. In aceasta situatie dezvoltarea unei rezistente la intindere mai apropiata de rezistenta caracteristica a betonului decat de rezistenta de calcul este foarte probabila.

STAS 10107/0-90 prevede determinarea lui ψ cu expresia:

(1.183)

Pentru β se iau valorile acoperitoare 0,3 pentru armaturi din OB 37 si 0,5 pentru armaturi din PC 52 sau PC 60. Se constata ca pentru a tine seama de efectul actiunii in timp asupra aderentei betonului si a deformatiei medii a armaturii s-a introdus un factor suplimentar dependent de raportul v (definit la care afecteaza valoarea

Din echilibral tronsonului de armatura din fig.1.84.b rezulta ca efortul ce se poate transmite prin aderenta de la armatura la beton nu poate depasi A_aσ_a . Peaceasta baza raportul A_bt R_tk / A_aσ_a din expresia lui ψ se limiteaza la 1.

In calculele curente se pot adopta valorile aproximative din tabelul 7.5.

TABEL 1.5

In ceea ce priveste valoarea efortului unitar σ_a in fisura, aceasta se stabileste pe baza ipotezelor corespunzatoare stadiului II de lucru al elementelor de beton armat (Cap.1.5).

In cazul elementelor curente, corect dimensionate la starea limita de rezistenta, verificarea deschiderii fisurilor este practic intotdeauna satisfacuta si standardul permite in aceste situatii sa nu se efectueze un calcul la fisurare.

De asemenea, in standard se dau valori ale raportului ( p_t / d )_min, peste care numai este necesar sa se efectueze calculul deschiderii fisurilor. Valorile depind de natura solicitarii, de tipul de armatura si de valoarea limita admisa a deschiderii fisurilor. Valorile ( p_t / d )_min s-au stabilit pornind de la relatia generala de verificare a deschiderii fisurilor:

(1.184)

Admitand in mod acoperitor ca B = 2(c + 0,1s) = 90 mm, pentru elementele intinse, respectiv 80 mm pentru elementele incovoiate si ca ψ σ_a ≈ 0,85 R_a se ajunge la expresia:

(1.185)

pe baza careia s-au stabilit valorile ( p_t / d )_min din tabelul 31 din standard, anexa

4. Cazul elementelor armate cu procente mici de armare

In cazul unor procente mici de armare ipoteza unei distributii regulate a fisurilor, la distante relativ reduse, nu mai corespunde realitatii. In astfel de situatii este posibil sa apara o singura fisura sau numai cateva fisuri, in pozitii intamplatoare in lungul elementului, avand deschideri mai mari decat cele furnizate de modelul de calcul considerat anterior.

Pentru aceste cazuri este necesara adoptarea unei scheme diferite in care deschiderea fisurilor se obtine multiplicand deformatia specifica medie a armaturii cu dublul distantei necesare pentru transferal efortului de intindere de la armatura la beton, masurate de la fisura existenta (fig.1.86).

ά_f =2l_a ε_am (1.186)

Admitand distributia simplificata a efortului unitar din fig.7.86, pentru o bara de armatura se obtine:

(1.187)

Tinand seama si de egalitatea:

(1.188)

Este de observat ca relatia (1.189) poate fi utilizata si pentru stabilirea deschiderii fisurilor din contractia betonului, daca se poate determina valoarea σ_a.

ST AS 10107/0-90 stabileste pentru w valorile 2,4R_t in cazul armarii cu PC 52 sau PC 60 si l,5R_t pentru cazul armarii cu OB 37.

5. Calculul deschiderii fisurilor pentru elementele armate cu plase sudate

Si in cazul elementelor armate cu plase sudate din STNB este necesara o schema de calcul specifica. La aceste elemente aderenta sarmelor este foarte redusa, practic neglijabila. Conlucrarea cu betonul se bazeaza in acest caz pe impanarea in beton a barelor transversale in dreptul nodurilor rezultate din sudarea prin puncte a barelor longitudinale de cele transversale.

Transferul efortului de la armatura la beton, de la sectiunea mai slaba unde apare prima fisura, la sectiunile situate la distanta ά_f, la stanga sau la dreapta unde apar fisurile vecine se face direct prin intermediul fortelor de strivire aphcate la nodun. Considerand ca rezistenta medie la strivire este 15R_t, rezulta ca aceasta forta are valoarea:

F_nod = d_t l_t (15 R_t) (1.190)

unde:

d_t = diametrul armaturii transversale, iar

l_d = distanta dintre axele armaturilor longitudinale; pentru a tine seama ca la lungimi prea mari intre noduri bara -transversala -devine flexibila in formula (1.190) l_l se limiteaza la 30 d_t.

Intrucat in practica se constata ca fisurile apar in dreptul armaturilor transversale, unde sectiunea de beton este slabita, distanta dintre fisuri se ia un multiplu n_t, al distantei l_t, dintre barele transversale (fig.1.87).

FIGURA 1.86

Distanta dintre fisuri se stabileste din conditia ca efortul total cedat de armatura betonului (n_tF_nod) sa atinga efortul de fisurare al betonului intins ( A_bR_t).

Rezulta:

(1.192)

Valoarea n_t, obtinuta din (1.192) se rotunjeste in plus la numarul intreg cel mai apropiat.

In cazul placilor aria zonei intinse a sectiunilor in stadiul Ia este practic intotdeauna mai mare decat aria de inglobare a annaturilor definite in fig.1.85. Avand in vedere si sensibilitatea ridicata a acestor elemente la fisurare in STAS 10107/0-90 se prevede in mod acoperitor ca la stabilirea lui A_bt sa se considere zona intinsa a sectiunii in stadiul nefisurat. Pentru sectiunea de forma dreptunghiulara aria corespunzatoare este 0,5bh (la placi momentul incovoietor fund raportat la 1 m latime, b = 1 m).