Configuratia de unda stationara

Configuratia de unda stationara

Consideram o linie de transmisie, avand impedanta caracteristica Z_c, care conecteaza un generator la o sarcina.

Dupa cum se stie din Fizica, superpozitia a doua unde de aceeasi frecventa genereaza fenomenul de interferenta: amplitudinea oscilatiei in fiecare punct depinde de coordonata spatiala.

Vom numi configuratie de unda stationara dependenta normata a acestei amplitudini de distanta la sarcina.

Amintim ca amplitudinea unei sinusoide este egala cu modulul amplitudinii sale complexe.

.

Presupunem ca linile de transmisie sunt fara pierderi din doua motive:

-liniile folosite in practica sunt de foarte buna calitate, astfel incat atenuarea este foarte mica;

-forma exacta a configuratiei de unda stationara este relevanta pentru masurari efectuate in laborator, unde sunt implicate segmente de linie de lungime mica;

În acest caz, impedanta caracteristica este reala si constanta de propagare este pur imaginara .

Începem cu expresia tensiunii in functie de distanta masurata de la sarcina

. Tinand cont de expresia coeficientului de reflexie ,

avem

si

Definitia configuratiei de unda stationara este

.

Amplitudinea oscilatiei in punctul de abscisa z de pe linie (la o distanta z de sarcina) se obtine inmultind valoarea configuratiei de unda stationara in punctul respectiv cu amoplitudinea undei directe de tensiune .

Confiquratia de unda stationara are urmatoarele proprietati importante (notam ).

1) f(z) este periodica, perioada fiind semilungimea de unda (l/2 - periodica).

Acest fapt rezulta din si

.

2) f(z) este maxima in punctele si .

Într-adevar, f   este maxima atunci cand functia cosinus este egala cu 1, astfel incat, pentru a gasi maximele, trebuie sa rezolvam ecuatia

, avand solutiile   z_kM de mai sus..

Prin substitutie directa in ecuatia configuratiei de unda stationara se obtine

.

3) f(z) este minma in punctele si .

Pozitiile minimelor se obtin prin egalarea functiei cosinus cu -1:

, cu solutiile   z_km de mai sus. rezulta .

4) Distanta dintre doua maxime consecutive sau dintre doua minime consecutive este (consecinta simpla a periodicitatii).

5) Maximele si minimele sunt intretesute si sunt distantate cu intre ele. Într-adevar, prin substitutie directa rezulta

6) Amplitudinea tensiunii intr-un punct de maxim pe linia de transmisie este egala cu suma amplitudinilor undelor directa si inversa:

.

Aceasta rezulta din si .

7) Amplitudinea tensiunii intr-un punct de minim pe linia de transmisie este egala cu diferenta dintre amplitudinile undelor directa si inversa:

.

Aceasta rezulta din si .

Se defineste raportul de unda stationara (voltage standing wave ratio) S sau VSWR ca raport dintre amplitudinea tensiunii intr-un maxim si amplitudinea sa intr-un minim:

.

Se observa ca .

S masoara gradul de adaptare a unei sarcini la linia de transmisie (S=1 inseamna adaptare).

O analiza similara poate fi efectuata pentru curent. Amplitudinea curentului se poate scrie ca

,

relatie in care configuratia de unda stationara pentru curent este

.

Avand in vedere ca

,

obtinem

.

Punctele in care amplitudinea tensiunii este maxima sunt puncte in care ampltudinea curentului este minima, iar punctele in care amplitudinea tensiunii este minima sunt puncte in care ampltudinea curentului este maxima.

În punctele in care amplitudinea tensiunii este maxima, amplitudinea complexa a tensiunii este

.

Aceasta rezulta din

si .

În mod similar, in punctele in care amplitudinea curentului este minima, amplitudinea complexa este

.

Într-un punct de minim pentru amplitudinea tensiunii, amplitudinea complexa a tensiunii este

.

deoarece

Amplitudinea curentului este minima, iar amplitudinea sa complexa este

.

Din ratiuni care vor deveni clare ulterior, raportul amplitudinilor complexe ale tensiunii si curentului intr-o anumita sectiune a liniei se numeste impedanta de intrare (este impedanta echivalenta Thévénin a portiunii din dreapta sectiunii, spre sarcina), Z_in(z). Impedanta de intrare este in general o cantitate complexa.

Într-un punct de maxim al amplitudinii tensiunii (minim al amplitudinii curentului) avem

.

Se observa ca aceasta impedanta de intrare este reala si are o valoare mare (de S ori mai mare decat impedanta caracteristica).

Într-un punct de minim al amplitudinii tensiunii (maxim al amplitudinii curentului):

Aceasta impedanta de intrare este reala si are o valoare mica, de S mai mica decat impedanta caracteristica.