Determinarea curentului in bucla

DETERMINAREA CURENTULUI IN BUCLA

Daca se considera ca a << b si ka << 1 (conditii pentru aproximatia unidimensionala), rezulta pentru cele doua componente ale densitatii curentului de suprafata urmatoarele valori:

(4.39)

(4.40)

Astfel curentul total si sarcina totala pe unitate de lungime sunt:

(4.41)

(4.42)

unde si sunt densitatea curentului de suprafata, respectiv densitatea de sarcina.

Legea de conservare a sarcinii este incorporata in ecuatia de continuitate:

Pentru regim armonic:

Deoarece atunci, in coordonate sferice,

,

iar ecuatia de continuitate devine:

(4.43)

Constanta de propagare a mediului este considerata in cele ce urmeaza, pentru antena care se afla in aer, si .

Pentru medii conductoare, va fi inlocuit cu ,

iar va fi inlocuit cu .

Ecuatia integrala pentru curentul poate fi obtinuta de la conditia la limita pe suprafata buclei.

Daca consideram relatia de definire a potentialului scalar ,

,

pentru regim sinusoidal, pe suprafata buclei rezulta:

(4.44)

unde:

(4.45)

(4.46)

(4.47)

(4.48)

R - distanta dintre punctele si .

Din relatia (4.43) se determina :

Inlocuind in relatia (4.45),

Daca se integreaza prin parti,

Deoarece si ,

unde x este impedanta caracteristica a spatiului liber (§ 2.)

Ecuatia (4.44) devine:

Daca se inlocuieste in membrul drept valoarea lui conform (4.46) si valoarea lui ,se obtine:

unde:

(4.50)

Miezul rezultat poate fi reprezentat printr-o serie Fourier:

(4.51)

unde (4.52)

N_n - provine din dezvoltarea in serie Fourier a primului miez :

(4.53)

(4.54)

De asemenea curentul poate fi reprezentat printr-o serie Fourier:

(4.55)

unde:

(4.56)

Daca se inlocuieste in relatia (4.49) pe dat de (4.51) se obtine:

si conform relatiei (4.56) rezulta:

(4.57)

Din aceasta ecuatie se pot calcula coeficientii si deci pe , daca se cunoaste si .

se calculeaza cu ajutorul lui (4.52), unde coeficienti au fost determinati in [Wu62]:

(4.58)

(4.59)

unde:

  (4.60)

este constanta lui Euler

este functia Bessel de speta a doua modificata

este functia Bessel de prima speta modificata

este functia Bessel (de prima speta)

este functia Lommel Weber [Jahnker45], [Jahnker60]

(4.61)

In cele ce urmeaza se presupune ca bucla este iluminata de o unda plana (Eⁱ si Bⁱ sunt perpendiculari unul pe altul si amandoi perpendiculari pe directia de propagare).

Vectorul camp electric poate fi reprezentat ca o unda progresiva in directia R.

(4.62)

este vectorul camp electric la centrul buclei (R=0).

Din Fig.4.1 se observa ca vectorul camp electric incident la punctul (z = 0, b,) este:

(4.63)

Dar 

Asadar  ,

(4.64)

Pentru a determina componenta a vectorului , adica , (deoarece numai aceasta componenta induce curent in bucla), trebuie sa se ia numai componentele lui din planul xOy si anume si .

Componenta tangentiala la bucla data de satisface relatia:

(4.65)

(4.66)

Componenta tangentiala la bucla , data de satisface relatia:

(4.67)

(4.68)

Componenta tangentiala la bucla a lui este:

= - (4.69)

(4.70)

sau

= (4.71)

poate fi reprezentata printr-o serie Fourier.

(4.72)

unde coeficientii sunt:

(4.73)

Coeficientii pot fi calculati astfel:

(4.74)

sau daca se inmultesc ambii membri ai ecuatiei cu , atunci:

(4.75)

(4.76)

unde este reprezentarea integrala a functiei Bessel de prima speta si ordin intreg.

(4.77)

Deci

(4.78)

Deoarece   si

, rezulta ca:

(4.79)

Daca se descompune , devine:

(4.80)

Pentru bucla electric mica, kb < 1, se calculeaza doar :

(4.81)

(4.83)

Componenta tangentiala a campului in punctul pe bucla este:

Deoarece numai componenta lui din planul buclei induce curent, se iau urmatoarele unghiuri de incidenta:

(in acest caz, este perpendicular pe planul buclei)

(4.85)

(4.86)

(4.87)

In situatia aceasta este maxim si nu depinde de , iar si depind de .

(4.88)

Deci =max pentru = si

(4.89)

Daca se revine la ecuatia (4.57) si se inlocuieste conform (4.71) si (4.72), se obtine:

(4.90)

Inmultind ambii membri ai ecuatiei (4.90) cu si apoi integrand de la () la , rezulta:

(4.91)

(4.92)

(4.93)

(4.94)