Inductanta in regim sinusoidal

Fie o sursa de t. e. m. sinusoidala care alimenteaza o inductanta L (vezi fig. 1).

Vom nota t. e. m. sinusoidala generata de sursa cu u(t) si caderea de potential (tensiunea) pe inductanta cu u_L(t).

u_L(t)

L

u(t)

Fig. 1

Conform legii a II-a a lui Kirchhoff, de-a lungul ochiului de circuit studiat, suma algebrica a variatiilor de potential (a tensiunilor la bornele elementelor de circuit) este egala cu zero.

In cazul studiat, t. e. m. generata de sursa cade numai pe inductanta L. Deci, conform legii mentionate:

in care:

.

Dupa cum se cunoaste, tensiunea autoindusa la bornele inductantei se poate exprima ca fiind:

.

Cautam expresia instantanee a intensitatii curentului de forma:

,

in care, pentru intensitatea curentului am notat cu I valoarea efectiva, cu ω pulsatia si cu φ faza initiala. Marimile care se cer a fi determinate sunt: valoarea efectiva a intensitatii curentului si faza initiala a acestuia.

Viteza de variatie a curentului este:

.

Inlocuind (5) in (3), apoi (2) si (3) in (1), obtinem detalierea legii a II-a a lui Kirchhoff pentru circuitul studiat ca fiind:

.

Prin identificarea coeficientilor functiilor armonice de timp din cei doi membri gasim:

, de unde, pentru valoarea efectiva a intensitatii:

, in care am notat factorul de proportionalitate dintre tensiune si intensitate cu

.

Aceasta marime, analoga rezistentei ohmice din legea Ohm, caracterizeaza proprietatea inductantei DE A REACTIONA in regim alternativ, numindu-se REACTANTA INDUCTIVA. Dupa cum se deduce din (8), unitatea de masura a reactantei inductive coincide cu cea a rezistentei ohmice:

Mai avem de determinat faza initiala φ a intensitatii curentului. Pentru aceasta vom identifica fazele functiilor armonice din relatia (6). Dupa simplificarea coeficientilor, operatie permisa in baza egalitatii (7), obtinem:

.

Deoarece in ultima relatie nu avem aceeasi functie armonica in cei doi membri, vom cauta sa transformam membrul drept. Deoarece functia cosinus este o functie PARA, putem transforma (9) in:

.

Transformand functia armonica din membrul drept in cofunctia corespunzatoare:

, de unde:

.

Acum putem proceda la identificarea fazelor, ceea ce se traduce, matematic, in egalitatea:

, de unde, pentru faza initiala a intensitatii curentului (fata de tensiune, aceasta din urma considerata ca fiind marime de referinta):

.

Explicitand (4) prin inlocuirea intensitatii efective (8) si a fazei initiale (16), deducem ca:

Daca

,

atunci:

, sau:

Cele de mai sus reprezinta justificarea urmatoarelor afirmatii referitoare la efectele unei inductante in regim alternativ:

a)     in regim sinusoidal, o inductanta (bobina ideala) defazeaza curentul IN URMA tensiunii cu un sfert de perioada (cu /2 radiani).

b)     in regim sinusoidal, o inductanta (bobina ideala) introduce o reactanta inductiva X_L definita de (9).

Relatiile (17), (18) si (19) constituie reprezentarea ANALITICA a semnalelor tensiune, respectiv intensitate pentru circuitul studiat.