Instalatia si procesul neliniar

In introducerea acestei lucrari am amintit pe scurt partile compenente ale instalatie si faptul ca procesul ce sta in spatele ei este neliniar. In aceast capitol voi relua cele doua subiecte incercand sa le detaliez pe fiecare in parte.

1 Descrierea instalatiei

Instalatia studiata este compusa dintr-un feon montat la capatul inferior al unui tub perforat. In acest tub este introdusa o minge de plastic care isi poate modifica pozitia pe verticala in functie de intesitatea curentului de aer produs de motorul feonului. Domeniul in care aceasta minge se poate deplasa este de aproximativ un metru. Debitul de aer se poate controla in functie de tensiunea aplicata motorolui feonului. Acesta se comanda cu o tensiune cotiunua reglabila in intervalul de 1,5 - 6,5 volti.

Pozitia curenta a bilei este furnizata de un traductor de proximitate cu radiatii infrarosii montat in partea superioara a tubului de plastic. Traductorul este un dispozitiv optoelectronic produs de firma Sharp (GP2Y0A02YK). Acesta face citiri continue si raporteaza distanta analogic. Interfata are 3 fire (alimentare, masa si iesire analogica) si are nevoie de un conector JST care se livreaza cu senzorul. Are un domeniu de detectie situat intre 20 si 150 cm, un timp de raspuns mediu de 39 ms si functioneaza cu un curent de 33 mA. Pentru o buna functioanare, acest traductor trebuie alimentat cu o tensiune continua, V_CC situata in domeniul dde 4,5 - 5,5 V, producand o tensiune de iesire V₀ cuprinsa in intervalul 0,5 - 2,5 V. Aceasta tensiune de iesire variaza in functie de distanta fata de tarductor la care se afla obiectul investigat.

Tabelul 1 Caracteristici de functionare

Tabelul 2 Caracteristici electro-optice

Figura 1 Traductorul de pozitie Sharp GP2Y0A02YK

Figura 2 Diagrama bloc a senzorului

Principalele dezavantaje ale acestui traductor sunt : caratcteristica statica neliniara a tensiunii de iesire in functie de distanata la care se afla obiectul investigat precum si de faptul ca informatia utila (tensiunea de iesire) este foarte sensibila la vibratiile produse de motorul feonului precum si de variatia pozitie bilei de plastic ce pluteste pe curentii de aer. De aceea s-a impus necesitatea filtrarii acestei tensiuni.

Fig. 3 Tensiunea de iesire in raport cu distanta pana la opbiectul detectat

Din acest sumar al componentelor, se pot desprinde elementele prinicipale ale acestui sistem de automatizare:

• Elementul de executie: - feonul care reproduce comanda elaborata de la automatul programabil (comanda in cazul nostru - tensiune continua) si care actioneaza prin organul de reglare (existent in proces) asupra fluxului de energie (in cazul nostru a debitului de aer pe care pluteste mingea de plastic).
• Traductorul: - traductorul de distanta cu infrarosii Sharp GP2Y0A02YK
• Marimea de comanda: - tensiunea aplicata motorului de feon;
• Marimea de iesire a procesului: - tensiunea data de traductor.

Fig. 4 Instalatia tehnologica

2 Procesul neliniar

Dupa ce s-au stabilit marimile de proces se trece la stabilirea unei dependente a iesirii in functie de comanda sistemului, adica incercarea trasarii unei caracteristici statice. Caracteristica statica reprezinta dependenta marimilor de iesire ale proceselor de marimile de care actioneaza la intrarea acestora in regim stationar, adica in regimul in care derivatele in raport cu timpul ale acestor marimi sunt nule. Pentru un proces cu o iesire si o intrare caracteristica statica se poate exprima printr-o relatie de forma:

Daca procesul este considerat liniar, atunci caracteristica statica poate fi reprezentata sub forma ecuatiei unei drepte:

in care coeficinetii a_o si a₁ sunt constante.

Se porneste cu stabilirea unei comenzi initiale pentru care bila de plastic sa pluteasca la o distanta minima, distanta sesizabila de traductorul de proximitate. Se obtine o tensiune minima aplicata motorului de feon de 1,5 V. La aceasta comanda initiala se noteaza iesirea minima a procesului si anume y₀ = 0,6 V. Se trece la pasul urmator, marind comanda cu increment de 0,1V si se citeste noua valoare ce o furnizeaza senzorul. Se considera valorea maxima a comenzii o tensiune de 6,5 V pentru care se obtine o tensiune de iesire de 2,3 V. Se reprezinta aceste valori pe un grafic si astfel se obtine carcateristica statica a procesului. Dupa cum se observa si din grafic aceasta caracteristica nu este liniara (Fig 4).

Conducerea unui astfel de proces puternic neliniar se poate realiza prin divizarea acestuia in mai multe subprocese care pot fi considerate liniare si reglarea lor ca un tot unitar.

In functie de forma graficului evolutiei iesirii in raport cu comanda, se pot stabili mai multe zone de functionare a procesului. O zona de functionare reprezinta un interval pe care evolutia procesului poate sa fie aproximata ca fiind liniara. Astfel, o inflexiune in caracateristica mai sus amintita este interpretata ca o "granita" intre doua zone. Pentru o mai buna intelegere a acestui procedeu se poate considera ca fiecare din subprocesele in care este divizat procesul initial reprezinta o zona de functionare. Asadar, desi avem un singur proces de reglat, vom regla practic subprocesele care il compun. Problema care trebuie rezolvata acum este de a regla corespunzator toate subprocesele fara socuri de comanda in momentul comutarii de la un proces la altul, astfel incat ansamblul sa functioneze ca si cum ar fi condus de un singur regulator pe intreg domeniul de evolutie.

Fig. 5 Caracteristica statica neliniara a procesului

3 Identificarea proceselor

Cunoasterea cat mai exacta a functionarii proceselor tehnologice, atat in regim stationar cat si in regim tranzitoriu, constituie o etapa esentiala in proiectarea si realizarea sistemelor automate. Determinarea algoritmului de reglare sau de conducere automata in cazul unor procese complexe necesita cunoasterea cat mai exacta a caracteristicilor instalatiilor tehnologice, a influentei diverselor marimi de intrare si perturbatoare asupra iesirii acestora. Gradul de complexitate al dispozitivelor de automatizare este determinat de cantitatea de informatie apriorica cunoscuta despre proces si, evident, de criteriile de performanta impuse sistemului automat. In cazul unor procese simple, la care se poate usor stabili o relatie functionala intre iesirea si intrarea acestora precum si intre iesire si marimile perturbatoare, algoritmul de reglarea se poate determina in concordanta cu aceste relatii si cu respectarea criteriilor de performanta ce asigura buna desfasurare a proceselor.

Forma cea mai evoluata de exprimare a caracteristicilor functionale ale unui proces, forma care include atat aspecte calitative cat si cantitative, o constituie modelul matematic al acesteia.

Ansamblul de metode si procedee prin care se urmareste obtinerea unor modele matematice cat mai reprezentative pentru procesele investigate constituie un domeniu al automaticii si poarta denumirea de idetificarea proceselor.

Vom prezenta in continuare diferite metode de evaluare a unui model matematic de comanda prin tehnici de identificare recursiva. Avand la dispozitie o colectie de date experimentale, putem evalua o structura si calcula parametrii modelului, care exprima comportamentul procesului identificat. Sunt tratate cele mai reprezentative metode si anume metoda Gradientului si metoda celor mai mici patrate pentru identificarea in bucla deschisa si inchisa. Sunt date aici ideile de baza ale principiului de adaptare parametrica pentru un algoritm de identificare recursiva.

Apoi, este dezvoltat suportul teoretic pentru diferitele metode propuse, performantele si limitele lor, precum si mijloacele statistice de validare ale modelelor identificate.

3.1 Tehnici recursive, principiul adaptarii parametrice

Posibilitatile recente oferite de calculul numeric permit dezvoltarea si implementarea algoritmilor de estimare automata a parametrilor modelelor discrete ale proceselor. Identificarea modelelor parametrice prin tehnici recursive de prelucrare a unor date experimentale, ofera numeroase avantaje raportat la alte proceduri de identificare cunoscute.

Algoritmi de identificare performanti, avand o formulare recursiva adaptata calcului numeric au fost dezvoltati in ultima perioada.

Faptul ca aceste metode de identificare pot sa opereze cu semnale foarte slabe de excitatie constitue o calitate apreciata in practica, ceea ce permite si extensia lor la proceduri de identificare in bucla inchisa. Principiul de estimare a parametrilor modelului discret este ilustrat in figura 6

Fig.6 Principiul de adaptare parametrica pentru estimarea modelului

Un model parametric esantionat este implantat pe un calculator. Diferenta intre iesirea procesului la momentul t, y(t) si iesirea prezisa prin modelul , numita eroare de predictie, este folosita de algoritmul de adaptare parametrica, care la fiecare moment de esantionare va modifica parametrii modelului pentru a minimiza aceasta eroare. Intrarea u(t) folosita in operatiunea de identificare ca semnal de proba, este in general o secventa binara pseudoaleatoare de un nivel scazut, generata de calculator (succesiune de impulsuri rectangulare de durata variabila aleatoriu). O data modelul identificat, o validare obiectiva poate fi facuta prin teste statistice efectuate asupra erorii de predictie e(t) si iesirii prezise . Testul de validare permite pentru un proces dat, sa se aleaga cel mai bun algoritm, respectiv cel mai bun model ca structura pentru estimarea parametrilor.

In sfarsit, calculand si reprezentind grafic raspunsul in timp si raspunsul frecvential al modelului discret, se poate reveni usor la reprezentarea si studiul comportamentului modelului echivalent continuu.

Aceasta abordare moderna de identificare elimina toate defectele metodelor clasice si ofera in plus alte posibilitati noi, cum ar fi: urmarirea variatiilor parametriilor procesului in timp real permitand o reajustare a algoritmilor de reglare in timpul functionarii sistemului, identificarea modelelor de perturbatie, validarea rezultatelor operatiunii de identificare, etc.

Unul dintre elementele cheie pentru punerea in aplicare a acestei abordari pentru identificarea modelelor proceselor, este algoritmul de adaptare parametrica (AAP), care ajusteaza parametrii modelului de predictie plecand de la informatiile primite din proces, la fiecare pas de esantionare. Acest algoritm are o structura recursiva, adica noua valoare a parametrilor se obtine din valoarea precedenta la care se adauga un termen de corectie care va depinde de ultimele masuratori.

Se calculeaza in esenta in mod repetitiv, vectorul estimatiilor ale carui componente sunt deci parametrii modelului necunoscut, care trebuie sa fie identificati. Algoritmul de adaptare parametrica are structura urmatoare:

Vectorul care contine marimile masurate la intrarea si iesirea procesului, se numeste vectorul observatiilor.

Reamintim ca exista algoritmi nerecursivi de identificare parametrica, care trateaza in bloc fisierele de date I/O obtinute pe o perioada de timp. Raportat la aceste tehnici, identificarea recursiva ofera avantajele urmatoare: obtinerea unei estimari a modelului pe masura ce procesul evolueaza, o compresie importanta de date, deoarece algoritmii recursivi nu trateaza in fiecare moment decat o pereche I/O, necesitatea unei memorii si a unei puteri de calcul sensibil mai reduse, posibilitatea realizarii unei identificari in bucla inchisa, posibilitatea de evaluare a parametrilor sistemelor variabile in timp.

Paragraful urmator este dedicat prezentarii algoritmilor de identificare bazati pe mecanismul de adaptare parametrica.

3.2 Algoritm de identificare de tip gradient

Algoritmul de adaptare parametrica functioneaza in acest caz, bazat pe calculul gradientului unui criteriu patratic, exprimat in functie de eroarea de predictie si are ca obiectiv minimizarea acestui criteriu.

Consideram un proces cu parametri necunoscuti. Modelul discretizat al procesului, in reprezentare polinomiala, se scrie:

tIN (1)

cu:

A(q^-1)=1+a₁q^-1+ .. +a_nA q^-nA

B(q^-1)=b₁q^-1+ .. +b_nB q^-nB

care este redat si sub forma:

(2)

unde:

(3)

este vectorul parametriilor procesului si

(4)

este vectorul masuratorilor (observatiilor).

Modelul de predictie ajustabil a priori este dat de expresia:

tIN, (5)

unde:

(6)

este vectorul estimatiilor modelului.

Definim o eroare de predictie a priori,

(7)

si o eroare de predictie a posteriori,

(8)

Cautam un algoritm de adaptare parametrica recursiv si cu memorie. Structura unui asemenea algoritm este urmatoarea:

(9)

Termenul de corectie f(*) depinde doar de informatiile disponibile cel mult la momentul t+1 (ultima masuratoare y(t+1), parametrii si eventual de un numar finit de informatii la momentele t, t-1, t-2,.t-n). Trebuie minimalizata la fiecare pas, functia criteriu J, dupa relatia:

(10)

Solutia se obtine printr-o procedura iterativa de tip gradient.

Algoritmul de adaptare parametrica corespunzator va avea forma:

(11)

unde F=aI a > 0, este amplificarea de adaptare matriciala (I - matrice diagonala unitara) si este gradientul criteriului din ecuatia (10) raportat la

Din ecuatia (10), se obtine :

(12)

Avem:

(13)

si deci:

(14)

Introducand ecuatia (14) in ecuatia (12), algoritmul de adaptare parametrica din (11) devine:

(15)

Doua alegeri sunt posibile pentru F:

F aI a>0;.

sau,

F>0 (matrice pozitiv definita).

Algoritmul de adaptare parametrica dat in ecuatia (15) prezinta riscuri de oscilatie daca amplificarea de adaptare (respectiv a) este mare. Pentru a evita aceasta problema de instabilitate, folosim aceeasi abordare a gradientului, dar consideram un algoritm care foloseste un criteriu exprimat in functie de eroarea de predictie a posteriori:

(16)

Obtinem deci:

(17)

Din ecuatiile (5) si (8) avem:

(18)

si respectiv,

(19)

Din ecuatiile (19) si (17), algoritmul de adaptare parametrica exprimat prin relatia (11) devine:

(20)

Acest algoritm depinde de , care este o functie de . Pentru a putea justifica noua valoare de performanta a acestui algoritm, trebuie exprimat in functie de

Ecuatia (18) se poate rescrie:

(21)

Primii doi termeni ai membrului drept corespund lui si din ecuatia (20), avem:

ceea ce permite rescrierea ecuatiei (21) sub forma :

(22)

din care obtinem relatia dorita intre si

(23)

si algoritmul ecuatiei (20) devine:

(24)

Acesta este un algoritm stabil pentru o matrice de amplificare F pozitiv- definita.

Impartirea prin ca in (20), introduce un efect de normare, care are ca rezultat imediat reducerea sensibilitatii algoritmului fata de eroarea si vectorul

3.3 Algoritm de identificare de tipul celor mai mici patrate, Recursiv (CMMPR)

Folosind algoritmul gradientului, minimizam la fiecare pas patratul erorii de predictie, adica ne deplasam dupa cea mai rapida directie de descrestere a criteriului J din (16) cu un pas dependent de F. Minimizarea luila fiecare pas, nu presupune neaparat minimizarea unui criteriu de forma:

(25)

intr-un interval de timp de t pasi.

In vecinatatea solutiei optime, daca amplificarea algoritmului (lungimea pasului de avans) nu este convenabila, putem avea oscilatii in jurul punctului de minim. Pe de alta parte, pentru a avea o viteza buna de convergenta, atunci cand algoritmul lucreaza in faza initiala de cautare, departe de optim, ar fi de preferat sa avem o amplificare mare de adaptare. Algoritmul celor mai mici patrate recursiv asigura in fapt un profil de variatie a amplificarii de adaptare, astfel incat pe masura ce algoritmul de minimizare avanseaza, amplificarea (pasul de avans) scade in mod progresiv.

Consideram aceleasi ecuatii pentru proces, modelul de predictie si erorile de predictie folosite in algoritmul gradientului.

Scopul este de a gasi un algoritm recursiv de forma ecuatiei (9), folosind o matrice a amplificarii de adaptare F, ajustabila. Acest tip de algoritm minimizeaza criteriul de mai jos:

(26)

Intr-o prima etapa, este vorba despre estimarea vectorului parametrilor la momentul t, pentru a minimiza suma patratelor abaterilor intre proces si modelul de predictie intr-un interval de timp corespunzator unui numar de t masuratori. Valoarea lui care minimizeaza criteriul (26) se obtine cautand valoarea care anuleaza , astfel:

(27)

Din ecuatia (27) se obtine:

(28)

Multiplicand la stanga cei doi termeni ai acestei ecuatii cu cantitatea , rezulta:

(29)

sau:

(30)

Acest algoritm de estimare nu este recursiv. Pentru a obtine o varianta recursiva, consideram si estimatia

(31)

(32)

Incercam o exprimare in functie de

(33)

Din ecuatia (3.31), avem:

Tinand cont de ecuatiile (3.29) si (3.31), ecuatia (3.34) se poate scrie:

(35)

Multiplicand la stanga cu F (t+1), rezulta:

tIN^* (36)

Algoritmul de estimare CMMPR din ecuatia (36) are o forma similara algoritmului gradientului dat in ecuatia (15), cu diferenta ca matricea de amplificare F este acum variabila in timp, pentru faptul ca ea depinde de masuratori (corecteaza automat directia gradientului si lungimea pasului de avans). Ramane de gasit o formula recursiva pentru F(t+1) plecand de la formula recursiva pentru F^-1(t+1) data in ecuatia (32). Aceasta se obtine folosind lema de inversiune matriciala cunoscuta, care pentru o matrice F patratica, de dimensiune (nxn) si un vector de dimensiune n, conduce la relatia:

(37)

Obtinem din ecuatiile (32) si (37), rezultatul:

tIN^* (38)

si regrupand relatiile obtinute anterior, dam o prima formulare a algoritmului de adaptare parametrica AAP pentru metoda celor mai mici patrate recursiva CMMPR:

tIN; (39)

tIN; (40)

(41)

O forma echivalenta de exprimare a acestui algoritm se obtine introducand expresia lui F(t+1) data ecuatia (40), in ecuatia (39). Obtinem astfel:

(42)

Dar, din ecuatiile (7) si (8) avem:

(43)

adica relatia intre eroarea de predictie a posteriori si eroarea de predictie a priori. Folosind aceasta relatie in ecuatia (42) obtinem o exprimare finala a algoritmului de adaptare parametrica in conformitate cu metoda celor mai mici patrate recursiva:

, tIN; (44)

(45)

, tIN^* (46)

(47)

In practica, demaram algoritmul la t=0, punand:

, 0<d<<1, (48)

O valoare tipica pentru d este d=0.001 (si deci amplificarea initiala, GI = 1000). Putem sa constatam pe expresia [F(t+1)]^-1 data de ecuatia (32), ca amplificarea de adaptare F, in acest caz, descreste in timp. O analiza riguroasa (pornind de la teoria de stabilitate a algoritmului) demonstreaza ca pentru toate initializarile cu matricea F(0) definite pozitiv, (F(0)>0),

Algoritmul celor mai mici patrate recursiv CMMPR, este deci un algoritm de identificare cu amplificare de adaptare descrescatoare (pas de avans descrescator, ceea ce ii confera stabilitate in procesul de minimizare). Aceasta observatie se vede foarte clar daca consideram estimarea unui singur parametru. In acest caz F(t+1) si sunt scalari, iar relatia (46) devine:

Algoritmul celor mai mici patrate recursiv acorda de fapt din ce in ce mai putina greutate noilor erori de predictie, deci noilor masuratori.

In consecinta, acest tip de variatie descrescatoare a amplificarii de adaptare nu va conveni pentru estimarea parametrilor variabili in timp. Trebuie sa fie considerate astfel si alte profile de variatie pentru amplificarea de adaptare.

3.4 Validarea modelelor

Vom discuta despre validarea modelelor identificate cu ajutorul metodelor de identificare de tipul CMMCR, bazate pe "albirea" erorii de predictie.

Daca urmatoarele conditii sunt verificate:

Structura "model+perturbatie" aleasa este corecta, adica reprezentativa pentru procesul de identificat;

Metoda de identificare este potrivita pentru structura propusa;

Gradele polinoamelor A(q^-1), B(q^-1), C(q^-1) si valoarea lui d (intarzierea pura) au fost corect specificate,

atunci eroarea de predictietinde asimtotic spre un zgomot alb, ceea ce implica:

Ideea de baza pentru testul de albire a erorii de predictie este urmatoarea; in mod normal, modelul identificat trebuie sa reproduca iesirea ideala (fara perturbatii) a procesului.

Cum iesirea masurata a procesului real este suma intre iesirea ideala si perturbatia de tip zgomot alb, atunci eroarea de predictie care este diferenta intre iesirea perturbata a procesului si iesirea modelului, ramane egala cu perturbatia, deci eroarea va fi intotdeauna un zgomot alb.

Metoda de validare pune in practica acest principiu. Aceasta contine mai multe etape:

Construirea unui fisier I/O pentru modelul identificat (folosind aceeasi secventa ca pentru proces).

Construirea unui fisier de erori de predictie pentru modelul identificat (minim 100 de date).

Test de "albire" pentru secventa de erori de predictie.

Fie secventa centrata a erorilor de predictie reziduale (valorile centrate = valorile masurate - valorile medii). Calculam :

I=1,2,.,i_max,

unde i_max=max(n_A,n_B+d) si RN(i) sunt estimatiile functiei de autocorelatie (normate).

Daca secventele erorilor de predictie reziduale sunt perfect albite (situatie teoretica) si numarul de esantioane este destul de mare, atunci obtinem RN(0)=1; RN(i)=0.

In situatia reala aceste conditii teoretice nu sunt satisfacute, adica RN(i) nu sunt nule, deoarece pe de o parte, contine erori reziduale de structura (efecte nelineare, zgomot negausian), si pe de alta parte, numarul de esantioane este finit. Trebuie de asemenea sa amintim ca se cauta identificarea unor modele simple, cu putini parametrii (realizari minimale).

Recomandam varianta criteriului practic de validare (test extensiv asupra aplicatiilor practice), cu conditiile:

unde N este numarul de esantioane considerate.

Acest test a fost definit tinand cont ca pentru o secventa de zgomot alb, RN(i), () tinde asimtotic spre o distributie gausiana cu valorile medii nule si o dispersie

Intervalul de incredere considerat in acest caz corespunde nivelului de semnificatie de 3% pentru testul ipotetic de distributie gausiana.

De fapt, daca RN(i) se supune unei distributii gausiene (0,), exista numai o probabilitate de 1,5% careia RN(i) ii este superioara la sau careia RN(i) ii este inferioara la -. In consecinta daca o valoare calculata de RN(i) este la exteriorul intervalului de incredere, ipoteza ca si sunt independente trebuie sa fie indepartata, adica nu este o secventa de zgomot alb.

• Pentru simplificare se poate considera ca o valoare numerica practica pentru criteriul de validare, valoarea:

|RN(i)|≤0.15.

• Un criteriu de validare bine verificat, indica posibilitatea simplificarii modelului.
• La o complexitate egala a modelelor, alegem modelul dat prin metoda care conduce la |RN(i)| cele mai mici.

Trebuie notat de asemenea ca o validare completa a modelului, dupa validarea facuta utilizand secventa de I/O de la identificare, se face utilizand o secventa de I/O achizitionata din proces, diferita de cea care a servit pentru identificare.

Exista un alt aspect al validarii care trebuie considerat. Daca nivelul erorilor de predictie reziduala este foarte slab raportat la nivelul de iesire (de exemplu, mai mult de 60 dB), testul de validare al albirii erorii reziduale pierde din semnificatia sa. Aceasta pe de o parte, pentru ca nivelul de zgomot este atat de mic incat efectul asupra CMMCR este neglijabil si pe de alta parte, pentru ca zgomotul rezidual poate sa contina in acest caz o componenta semnificativa care nu este gausiana (de exemplu zgomotul provocat de propagarea erorii de rotunjire).

Aceasta situatie apare, de exemplu la identificarea pornind de la fisiere de date I/O utilizate in simulari ale modelelor fara zgomot.