Modelul matematic al elementului rezistiv din microfire a divizorului de tensiune inalta

Modelul matematic al elementului reZistiv din microfire a diviZorului de tensiune InaltA

Rezumat. S-a propus modelul matematic al elementului rezistiv al divizorului de tensiune inalta din microfire reprezentat ca o linie lunga cu capacitate longitudinala. S-au formulat conditiile de continuitate a curentului si tensiunii la frontierele de divizare a portiunilor pentru care se considera ca parametrii lineici au valori constante. S-a propus schema in diferente finite si s-a analizat stabilitatea ei. Aceasta schema este neevidenta si pentru obtinerea solutiei numerice s-a propus pentru utilizare metoda interatiilor multiple prin disparalelizarea procedurii de calcul, precum si algoritmul procedurii iteratiilor multiple reiesind din ipoteza, ca in punctele de ruptura sunt cunoscute valorile solutiei - valorile functiei cautate.

Cuvinte-cheie: divizor de tensiune inalta, microfire rezistive, model matematic.

Mathematical model of a resistive element made from a microwire of a high-voltage divider of a voltage

V.Berzan (Institute of Power Engineering of ASM)

Abstract. It is proposed the mathematical model of a resistive element of a high-voltage voltage divider made from a microwire. The model is presented as a long line with longitudinal running capacity. There are formulated conditions of continuity for a current and voltage on borders of sections with various values of running parameters which are constant within the limits of this section. It is proposed the scheme in final differences and the analysis of its stability is executed as well. This scheme refers to a class of implicit schemes and for getting the numerical decision it is recommended to use a method of repeated iteration with multisequencing of procedures of the numerical calculation. It is offered the algorithms of repeated iteration on the assumption of that in points of discontinuity of the solution values of this solution are known.

Key words: high-voltage divider, microwire, mathematical model.

в пределах этого участка принимают постоянные значения. Предложена схема в конечных разностях и выполнен анализ ее стабильности. Эта схема относится к классу неявных и для получения численного решения рекомендовано использовать метод многократной итерации с распараллеливание процедуры численного счета, предложен алгоритм многократной итерации исходя из предположения, что в точках разрыва решения известны значения этого решения.

Introducere

In prezent masurarea, evidenta si distribuirea energiei se realizeaza cu ajutorul transformatoarelor de masurare inductive sau capacitive. Neajunsul lor consta in gabaritele mari si masa mare, precum si eroarea ridicata de masurare, ceea ce conduce la aparitia dezechilibrului dintre fluxurile de putere si dintre energia electrica livrata si achizitionata. De exemplu, in domeniul transportului electric feroviar si urban masurarea si evidenta energiei electrice se realizeaza cu eroare in limitele de 1-5 %.

Tendinte moderne de dezvoltare a echipamentului energetic de masurare sunt orientate spre: majorarea preciziei convertoarelor de masurare inductive si capacitiv-rezistive de tensiune inalta, cresterii preciziei si rapiditatii de reactie a echipamentului, sporirii numarului de marimi electrice si a parametrilor retelelor electrice ce se masoara in timp real, micsorarii masei si gabaritelor echipamentului de masurare.

Analiza realizarilor pe plan mondial indica, ca solutionarea complexa si in plin volum a sarcinilor enumerate nu este posibila la utilizarea convertoarelor inductive si capacitiv-rezistive.

O solutie de perspectiva privind problema abordata o constituie construirea echipamentului energetic de masurare pe baza conductelor din microfire rezistive cu izolatie din sticla. Acest echipament este cunoscut sub titlul de divizoare de masurare din microfire rezistive (DMMR).In Republica Moldova este acumulata o bogata experienta in domeniul de cercetare si elaborare a microconductelor turnate cu izolatie din sticla, in cercetarea si elaborarea elementelor, traductoarelor si aparatelor pe baza conductoarelor din microfire rezistive (CMR) [1-7].

Convertizoarele rezistive de masurare a tensiunilor inalte sunt realizate constructiv ca lanturi de elemente rezistive elementare cu scopul obtinerii valorilor necesare a rezistentei si a coeficientului de divizare a tensiunii pentru alimentarea circuitelor de intrare a componentelor electronice ce proceseaza si prelucreaza informatia. De obicei aceste echipamente sunt individuale si neportabile, si la utilizarea in calitate de divizoare de tensiune inalta in sistemul energetic pot fi influentate puternic de perturbatiile electromagnetice din statiile de transformare a tensiunilor si in centralele electrice, inclusiv conditionate de sarcini neliniare. Investigatiile experimentale orientate spre ridicarea indicilor de performanta a divizoarelor rezistive de tensiune inalta utilizate pentru masurarea tensiunilor alternative in conditii reale de exploatare sunt destul de costisitoare. Din aceste considerente simularea matematica a regimului de functionare in baza utilizarii modelelor matematice adecvate realizarii constructive a divizorului [8,9] se prezinta ca o solutie buna privind ridicarea indicilor lui de calitate si elaborare a metodelor de verificare metrologica.

Scopul acestei lucrari consta in elaborarea modelului matematic al DMMR apt sa descrie veridic procesele intr-o banda larga de frecventa; inclusiv si cele conditionate de tensiunile temporare si de impuls.

2.Particularitatea realizarii constructive a divizorului de tensiune inalta

Divizoarele rezistive de masurare a tensiunilor inalte sunt realizate constructiv in forma de coloane formate din elemente rezistive unitare. Elementele unitare rezistive dupa realizarea constructiva sunt similare cu bobinele de inductanta si/sau cu infasurarile transformatoarelor de putere. O astfel de realizare constructiva ca a bobinei de inductanta asigura rigiditatea electrica suficienta a izolatiei dintre doua spire vecine, precum si incadrarea in cerintele ce se refera la valoarea rezistentelor bratelor divizorului. Cea mai simpla constructie a elementului rezistiv din microfire o prezinta bobinarea intr-un strat cu un microfir rezistiv a unei carcase cilindrice din material izolator. In Fig.1 este prezentata schematic varianta de realizare constructiva a elementului elementar rezistiv al divizorului.

In scop de protectie coloana rezistentelor unitare se amplaseaza intr-o cuva din material cu electroconductivitate potentialul caruia este egal cu potentialului pamantului. Ca rezultat apar scurgeri de curent prin capacitatile noi formate. Scurgerile de curent sunt conditionate si de imperfectiunea izolatiei - componenta curentului de electroconductivitate de asemenea nu este egala cu zero. Vom mentiona, ca stratul rezistiv poseda inductivitate, iar intre spirele lui de asemenea apare o capacitate nedorita. In afara de valoarea lineica a rezistentei longitudinale toti parametrii mentionati influenteaza asupra repartitiei tensiunii in rezistenta unitara si sunt surse de erori la transmiterea conversia tensiunii inalte in tensiunea masurata la iesire din divizor.

Fig.1. Schema realizarii constructive a elementului unitar a divizorului rezistiv din microfire.

Marimile enumerate se pot prezenta prin valori lineice a elementului unitar rezistiv a divizorului: capacitatea lineica , inductivitatea lineica , electroconductivitatea , rezistenta longitudinala si capacitatea longitudinala a spirelor vecine . Definirea in asa mod a unor marimi specifice realizarii date constructive ne permite sa examinam rezistenta unitara ca o linie lunga cu parametri distribuiti, cu capacitate longitudinala si la intocmirea modelului sa utilizam schema echivalenta, care este propusa pentru descrierea bobinelor transformatoarelor de putere si a liniilor lungi [8,9].

Schema echivalenta si modelul matematic al rezistorului unitar din microfire

In cazul realizarii constructive a partii active a elementului unitar rezistiv prezentata in Fg.1. este veridica urmatoarea schema echivalenta, care include si capacitatea longitudinala (Fig.2)

Fig.2. Schema echivalenta a portiunii elementului rezistiv

Ecuatiile integralo-diferentiale pentru schema echivalenta (Fig.2) sunt urmatoarele:

(1)

,

unde - capacitatea longitudinala, care revine la o unitate de lungime a infasurarii rezistorului; - parametrii distribuiti ai infasurarii rezistorului unitar.

Conditiile initiale sunt nule:

sau

Vom lansa ipoteza ca examinam o linie lunga la capatul careia poate fi regimul de scurtcircuit (SC), sau regimul de mers in gol (MG) si conditiile de limita in sectiunile de frontiera sunt urmatoarele:

(SC) sau (MG) (2)

In caz ca la capatul liniei este conectata o rezistenta sunt , sau in caz general o impedanta aceasta ne permite sa formulam urmatoarele conditii de limita marginale:

.  (3)

Domeniul de variatie a argumentului xI[0,l] se divizeaza in Q segmente, in interiorul carora coeficientii au valori constante. In sectiunile frontierelor de contactare a segmentelor x=x_k, k=1, 2, .Q-1 sunt valabile conditiile de continuitate a solutiei:

[u]=[i₁]= [i₂]=0. (4)

Din sistemul de ecuatii (1) vom obtine expresia functiei u(x,t).

Din ecuatia trei a sistemului (1) avem:

(5)

Substituim curentul i₂ din sistemul initial de ecuatii

(6)

Din prima ecuatie a sistemului (6) obtinem:

si din ecuatia a doua obtinem relatia integro-diferentiala pentru functia u(x,t)

(7)

Dupa derivarea functiei (7) obtinem urmatoarea relatie:

(8)

si cu ajutorul (7) ne eliberam in relatia (8) de componenta prezentata de integral. Dupa o modificare a ecuatiei (8), obtinem expresia:

(9)

Schema numerica de calcul in diferente finite si stabilitatea ei

Vom suprapune pe portiunea o retea uniforma cu pasul pe fiecare segment [X_k-1 ,X_k], unde h_k=(X_k-X_k-1)/N_k pentru k=1, 2, ,Q.

Nodurile retelei le vom nota astfel:

. .

Pentru fiecare portiune [X_k-1, X_k] vom aproxima in diferente finite ecuatia (9):

, (10)

pentru

Vom utiliza la aproximare indici intregi si semiintregi pentru coeficientii, carora in interiorul portiunilor [X_k-1, X_k] le atribuim valori constante. Coeficientii vor fi diferiti pentru o valoare fixa i, pentru i=0 sau i=N_k.

Vom cerceta stabilitatea schemei ce este descrisa e relatia (10). Daca in schema canonica in diferente cu trei nivele este valabila egalitatea:

,

in acest caz se indeplineste inegalitatea operationala

Pentru aceste conditii schema numerica de calcul pentru modelul liniei lungi cu capacitate longitudinala va fi stabila.

Pentru schemade calcul (10) acesti operatori se descriu de relatiile:

Valoarea pozitiva a coeficientului B, reiese din inegalitatea:

Autocorelarea coeficientului R, reiese din simetria functiei biliniare (R_o u, Z):

Autocorelarea si valoarea pozitiva a coeficientului A se poate demonstra prin urmatoarele transformari. Daca este valabila relatia:

reiese, ca coeficientul A are proprietati de simetrie si deci,

Sa verificam veridicitatea conditiei

Fie ca este valabila relatia:

Deoarece este valabila relatia

unde si

si deci reiese ca

(11)

Fie ca valoarea minimala a relatiei (11) se realizeaza pentru conditia k=m. In acest caz obtinem inegalitatea:

.

In baza inegalitatii obtinute formulam conditia de stabilitate a schemei numerice de calcul:

(12)

sau

unde

Pentru a pastra valoarea maximala a numarului lui Kurant in interiorul portiunilor [X_k-1, X_k], k=1, 2, , Q, pasii h_k se determina in asa mod, ca produsul h_kA(h_k) sa nu depinda de portiunea respectiva. Vom descrie un posibil algoritm de determinare a valorilor pasilor h_k.

Alegem portiunea divizata pe line unde avem cea mai mare valoare a vitezei de propagare a undei, sau cel mai mic interval de timp t_k:

,

unde - viteza undei la propogarea pe portiunea k a liniei. Vom nota aceasta portiune cu indicele m si vom calcula valoarea pasului h_m:

pentru (13)

Pasul de divizare a timpului se determina din relatia (12).

Pentru portiunea selectata pasul de divizare a timpului este egal t=h_mA(h_m). Trebuie de mentionat ca si in interiorul altor segmente de asemenea este de dorit indeplinirea conditiei t=h_kA(h_k). In acest caz pasul h_k se calculeaza tinand cont de relatia h_kA(h_k)=h_mA(h_m).

Deoarece variabila t deja este cunoscuta, iar h_kA(h_k)=t si din (12), obtinem urmatoarele relatii:

Daca vom determina valorile pasilor h_k conform algoritmului propus, atunci aceasta este echivalent conditiei, ca in formula (11) valoarea minimala se obtine pentru orice k.

Valorile calculate ale pasilor h_k de obicei nu vor corespunde unui numar intreg pentru spatiul portiunilor [X_k-1, X_k]. De aceea, este necesara recalcularea pasilor h_k si t dupa coordonatele spatiale si de timp pentru a obtine coicidenta plasei de calcul cu frontierile de divizare a liniei. La recalculare determinam numarul intreg de divizare pe portinile N_k:

si, prin urmare, calculam valoarea pasilor pentru variabila spatiala

.

Conform valorii precizate h_k, determinam pasul de divizare a timpului: si in calitate de valoare finala a variabilei t, selectam pasul minimal din subspatiu k, deci, .

Acest t, desigur va fi mai mic decat valoarea maximala admisa, conform conditiei Kurant, dar cu cat este mai mare numarul de pasi initiali N_m (13), cu atat mai mult numarul Kurant se apropie de unitate.

Algoritmul de rezolvare a sistemului de ecuatii in diferente finite

Schema in diferente finite (10) este de tip neevident si de aceea, pentru obtinerea solutiei este utila utilizarea metodei multiplelor interatii.

Deoarece coeficientii pe parcursul liniei au valori constante doar in interiorul portiunilor selectate, cea mai comoda este metoda multiplelor interatii prin desparalelizarea procedurii de calcul.

Calcularea fiecarui interval al timpului se efectueaza in baza relatiilor:

(14)

Fie ca initial, in punctele cu rupturi ne sunt cunoscute valorile solutiei U⁰, U¹,,U^Q. In acest caz, daca utilizam procedeul de rezolvare prin metoda simpla de multiple interatii pentru sistemul de ecuatii (14), de exemplu de Q ori, se poate obtine solutia cautata. Dar intial valorile U⁰, U¹,,U^Q nu sunt cunoscute. De aceea, se propune de utilizat procedura de rezolvare prin metoda multiplelor iteratii a trei probleme de tipul (14) pentru doua functii fundamentale j j si a functiei din partea dreapta F

Functiile j j sunt solutii a ecuatiei cu partea dreapta nula pentru conditiile de limita sau Functia F este solutia ecuatiei ( ) cu partea dreapta egala cu valoarea functiei pentru conditiile de limita nule. Toate trei functii nu necesita cunoasterea valorilor reale u_i in punctele de ruptura deci a valorilor u⁰, u¹,, u^Q. In baza acestei proceduri obtinem Q ori solutiile pentru cele trei tipuri de probleme I, II si III formulate anterior. Deoarece coeficientii in interiorul portiunilor de divizare a liniei au valori constante, reiese ca valorile marimilor si nu depind de indicele i, deci in acest caz operam cu tipul de iteratie multipla cu coeficienti constanti. De exemplu, vom ilustra metoda in baza obtinerii solutiei pentru problema I:

Obtinind valorile tuturor functiilor , se poate determina solutia (daca cunoastem valorile u⁰, u¹,, u^Q).

(1

Pentru determinarea valorii u^k trebuie sa formulam ecuatiile (1 ) pentru conditiile in nodurile de racordare i=N_k. Atunci, relatia (14) pentru nodul i=N_k se transforma in expresia:

Vom introduce in relatia obtinuta formula (15):

In relatia obtinuta s-a tinut cont, ca . Grupand coeficientii pe langa variabilele necunoscute U^k-1, u^k , u^{k+1 ,} obtinem relatia:

(16)

unde k=1, 2, .., Q-1;

si in acest caz V₁=f(t); iar V₂=0.

Rezolvand acest sistem de ecuatii cu metoda de multiple iteratii, obtinem valorile u^k, iar din (15) valorile marimilor

Vom transcrie in forma de (14) schema in diferente finite (10):

Daca derivata se descrie pentru interiorul portiunii [X_k-1 ,X_k], atunci coeficientul k_i-1/2 este o constanta si plasa este uniforma:

.

In sistemele de ecuatii I, II, III coeficientii si pasii plasei de calcul vor avea valori constante; care se determina din relatiile:

Pentru sistemul de ecuatii (16) derivata trebuie descifrata, tinand cont de diferentele valorilor diferitor pasi h_k, h_k+1 si de valorile coeficientilor. Derivata in nodul i=N_k se descrie de relatia:

unde

Coeficientii de pe langa functiile fundamentale se calculeaza din relatiile:

In ecuatiile cu strih sunt notate valorile coeficientilor R, L, G, C in punctele de ruptura a solutiilor i=N_k. Aceste valori se pot determina ca valori de limita din stanga si dreapta punctului de ruptura, dar este mai util de folosit media aritmetica, deci:

Pentru realizarea algoritmului de calcul vom deduce formula iteratiilor multiple pentru sistemul de ecuatii (14).

Vom transcrie sistemul de ecuatii (14) in forma urmatoare:

(17)

Solutia o cautam ca functia si atunci este valabila relatia Substituim in (17) valoarea

,

simplificam relatia si determinam valoarea variabilei

Egaland coeficientii de pe langa necunoscute, obtinem formulele pentru calcularea valorilor coeficientilor a_i si b_i

Din conditia de limita obtinem, ca

Deci, se poate propune urmatorul algoritm de calcul pentru determinarea valorilor coeficientilor si a functiei necunoscute:

1)

Rezultate ale testarii modelului matematic

In calitate de problema test s-a selectatat modelarea procesului de propagare a undei in linia lunga fara pierderi si cu pierderi la aplicarea la intrare a unui semnal sinusoidal pentru regimuri marginale la capatul ei. S-a simulat in baza modelului elaborat si a algoritmului de organizare a procedurii de calcul numeric propus simularea matematica a procesului de propagare pentru cazul (R=G=0) la prezentarea capacitatii lineica longitudinala in sistemul de unitati relative si valoarea acesteia s-a determinat din relatia . Lungimea liniei este egala cu m, iar parametrii lineici au valorile H/m si H/m. Calculele s-au efectuat pentru trei valori ale capacitatii longitudinale pe parcursul timpului egal cu durata sumara a trei propagari a semnalului in circuitul examinat.

Conditiile marginale de limita sunt urmatoarele:

u(0,t)=sin (5pt) pentru 0<t<0,2;

u(0,t)=0 pentru t<0,2;

u(0,t)=0 pentru t>0.

Pentru cazul nu se depisteaza deformarea impulsului initial avem o coincidenta absoluta cu repartitia spatiala a tensiunii obtinuta in baza metodei caracteristicilor pentru linia ideala (fig.3). Procesul devine mult mai complex in cazul cand capacitatea longitudinala difera de zero (fig.4). In acest caz are loc dispersia energiei impulsului in linia lunga si atenuarea amplitudinii lui. La masuratori aceasta se sesizeaza ca o eroare de amplitudine conditionata de fenomenul de disipare (pierderi) de energie, care fizic pentru conditiile formulate nu exista.

In caz ca linia are pierderi procesul tranzitoriu devine si mai complex. Astfel pentru valorile si pierderi in linie conditionate de rezistenta activa longitudinala Om/m, conductivitatea activa a izolatiei =2,62*10^-9 Sm/m se observa modificari foarte esentiale ale caracteristicilor procesului (fig.5). In acest caz atat capacitatea longitudinala, cat si parametrii de disipare actioneaza in aceiasi directii modificand valoarea amplitudinii tensiunii. Cu scopul observarii acestor modificari in linia cu pierderi punctul de observatie sa deplasat la mijlocul liniei, deoarece in regim de SC avem din conditiile marginale de limita pentru orice . In baza rezultatelor obtinute se poate constata, ca modelul matematic propus este robust si poate fi utilizat pentru simularea proceselor in circuitele cu capacitate longitudinala si parametrii distribuiti.

Fig.5. Influenta capacitatii 10^-4 si parametrilor de disipare Om/m, 2,62*10^-9 S/m asupra caracterului procesului ondulatoriu in punctul x=0,5l al liniei lungi la solicitarea ei cu un impuls sinusoidal

Coincidenta datelor calculelor propagarii semnalului sinusoidal, obtinute cu schemele numerice evidente si neevidente, este o confirmare a robustetii metodei propuse si algoritmului numeric pentru calcularea proceselor tranzitorii in structurile cu capacitate longitudinala distribuita cum sunt divizoarele de tensiune inalta din microfire.

Calculele efectuate indica, ca capacitatea k si pierderile in linie influenteaza in acelasi mod asupra dinamicii procesului ondulatoriu.

Concluzii

1. S-a propus modelul matematic in forma de line lunga cu capacitate longitudinala a rezistorului din microfire realizat in forma unei bobine cu spirele amplasate pe o carcasa din material izolant, care contine multe spire. S-au formulat conditiile de continuitate a curentului si tensiunii la frontierele de divizare a portiunilor pentru care se considera ca parametrii lineici au valori constante.

2. S-a propus schema in diferente finite si s-a analzat sabilitatea ei. S-a demonstrat ca la majorarea numarului de ochiuri a plasei de calcul, valoarea pasului de divizare spatiala tinde spre valoarea numarului lui Kurant.

3. Schema in diferente finite pentru circuitul cu capacitate longitudinala este neevidenta si pentru obtinerea solutiei numerice s-a propus pentru utilizare metoda iteratiilor multiple prin disparalelizare a procdurii de calcul. S-a propus algoritmul procedurii iteratiilor multiple reiesind din ipoteza, ca in punctele de ruptura sunt cunoscute valorile solutiei- valorile functiei cautate. Coeficientii si pasul retelei se definesc drept marimi constante in modelul matematic elaborat.

4.Rezultatele testarilor modelului matematic propus indica, ca capacitatea k si pierderile in aceasta linie influenteaza in acelasi mod asupra dinamicii procesului ondulatoriu. Modelul matematic si algoritmul de obtinere a solutiei numerice sunt robuste pentru calcularea proceselor tranzitorii in structurile cu capacitate longitudinala distribuita cum sunt divizoarele de tensiune inalta din microfire.

Lucrarea a fost realizata in cadrul Programului de stat "Ingineria si tehnologiile electronice in relansarea economiei", nr. 08.808.05.04A, conducator acad. Dumitru Ghitu, la indeplinirea lucrarilor de cercetare - dezvoltare 'Convertoare rezistive electronice si echipament de masurare a tensiunilor 6,3 -25 kV de curent alternativ".

Bibliografia

3. Данилюк И.Я. Колпакович Ю.И. Гришанов И.И. Устройство поверки высоковольтного прецизионного делителя напряжения. А.с.1647418 (CCCР), Бюллетень изобретений, 1991, N 17.
4. E.Badinter,V.Vasiltchuc, Iu.Colpacovitch. Calibratore de rezistenta si curent Al 5-lea SIMPOZION NATIONAL DE METROLOGIE, Bucuresti, 5-6 mai, 1994, p.84-85.
5. Daniliuc I., Colpacovici I. Procedeu de acordare a divizoarelor de tensiune. Brevet de inventie nr. MD 820 C2, BOPI nr.8/97.
6. Колпакович Ю., Кожокару Д., Данилюк И. Автономная поверка высоковольтных делителей напряжения в реальных условиях эксплуатации. Academia de Stiinte a Republicii Moldova. Centrul de Metrologie si Automatizare a cercetarilor stiintifice. Contributii in metrologie, certificare, informatizare si inovare. Chisinau, 2003, p.50-55.
7. Бадинтер Е.,Васильчук В.,Колпакович Ю.,Кожокару Д. Метрологическое обеспечение измерений сопротивления, напряжения и тока. Academia de Stiinte a Republicii Moldova. Centrul de Metrologie si Automatizare a cercetarilor stiintifice. Contributii in metrologie, certificare, informatizare si inovare. Chisinau, 2003, p.56-62.
8. АНМ, 2006 г. - 264
9. Rimschi V., Berzan V., Tirsu M., Uzun M., Rimschi S. Solutii precise ale ecuatiilor telegrafistilor. Acad.de St. a Moldovei, Institutul de Energetica.- Ch.: Tipografia  Acad.de St. a Moldovei, 2007. 88p.