LUCRARE DE LABORATOR

REFACEREA SEMNALELOR

Schema de principiu a unui sistem de decizii binare:

Sursa de mesaje = sursa de informatie binara care genereaza simbolurile : 0, cu probabilitatea P₀ si 1, cu probabilitatea P₁.

Pentru transmisie, celor doua simboluri li se asociaza doua forme de unda distincte s₀(t) si s₁(t).

Semnalele purtatoare de informatie s₀(t) si s₁(t) sunt transmise pe canale afectate de zgomot aditiv (gaussian) z(t).

Observatorul de la receptie nu stie ce semnal a fost transmis s₀(t) sau s₁(t), insa stie ca s-a transmis cu siguranta unul dintre acestea si cunoaste atat statistica zgomotului z(t) cat si formele de unda s₀(t) si s₁(t), P₀ si P₁, precum si intervalul de timp de emisie [0,T].

Cazuri de receptionare:

Intrerupatorul I se inchide la momente de timp discrete, t₁, t₂, ..t_N. in intervalul [0,T].

Intrerupatorul I sta inchis pe toata durata [0,T].

Observarea la momente de timp discrete a unor variabile aleatoare :

unde:

P_z1.z_N= densitatea de probabilitate asociata grupului de variabile aleatoare (z₁..z_N)

= dispersia zgomotului z(t)

Observatorul receptioneaza deci grupul de numere reprezentand valorile masurate ale variabilei aleatoare (r₁..r_N) si ia decizia ca s-a transmis s₀(t) sau s₁(t).

Probabilitatea de eroare este data de:

unde:

H_i = ipoteza ca s-a transmis s_i(t)

D_i=decizia prin care se accepta H_i

C_ij=costul in cazul in care semnalul transmis s_j(t) este interpretat s_i(t)

In general C₀₀=C₁₁=0.

Un criteriu de decizie de interes teoretic si practic este cel care duce la un cost mediu minim (criteriul Bayes). Daca intr-o masurare particulara observatiile facute sunt (r₁..r_n), receptorul Bayes:

accepta H₀ daca:

accepta H₁ in caz contrar

Þ     

Observatii continue

Observatii de tipul:

Ipoteza: Zgomotul este alb, adica are densitatea spectrala de putere q(f):

Relatia de decizie care conduce la un cost mediu minim este:

(1)

unde:

r(t)= semnalul receptionat intr-o singura inregistrare facuta in intervalul [0,T]

E_i = energia semnalului s_i(t)

E_s = energia semnalului diferenta, s(t)

Rezulta ca in luarea deciziilor cf. Criteriului Bayes (1) nu intereseaza forma de unda r(t) a semnalului receptionat, ci doar coeficientul r₁.

Putem scrie:

(2)

Pentru o masurare particulara, n₁ si r₁ sunt valori bine precizate. Privite pe ansamblul masuratorilor, n₁ si r₁ din (2) sunt variabile aleatoare.

Dat fiind tipul de zgomot considerat (gaussina, alb, de valoare medie nula), n₁ este o variaila aleatoare gaussiana cu urmatoarea expresie a densitatii de probabilitate:

Sursa de informatie si zgomotul fiind statistic independente, densitatea de probabilitate conditionata asociate variabilei aleatoare r₁ sunt;

unde s_i1 sunt notatiile din relatia (2).

Problema

Sursa emite semnalele s₀(t) si s₁(t) din fig. 1 cu probabilitati egale. Transmiterea se face pe un canal cu zgmot aditiv, gaussian, alb, de valoare medie statistica nula si densitate spectrala de putere data . Observatorul receptioneaza in intervalul [0,T] semnalul transmis perturbat de zgomot si ia decizii conform criteriului Bayes. Se presupun costuri egale C₀₁=C₁₀.

a)     Observatorul inregistreaza semnalul r(t). Ce decizie ia?

b)     Sa se implementeze receptorul.

fig.1

a)     Sistemul de transmisie din fig. 1 - pentru I inchis in intervalul [0,T]:

Receptorul ia decizii cf. relatiei (1). Rezulta:

K=1, lnK=0,

unde:

Pentru inregistrarea particulara r(t), observatorul evalueaza coeficientul r₁:

si ia decizia D₀ (accepta ipoteza H₀).

b)     Pentru implementarea receptorului, se transcrie relatia de decizie sub forma: