SISTEME CU NUMAR FINIT DE VALORI PENTRU MARIMEA DE COMANDA

SISTEME CU NUMAR FINIT DE VALORI PENTRU MARIMEA DE COMANDA

Sisteme de reglare bipozitionala cu caracteristica de tip histerezis

Elemente de comanda bipozitionala

Sunt elemente care au la intrare o marime analogica, de exemplu ε,

ε[,]

iar la iesire o marime , de exemplu x, ce poate lua numai doua valori,

x

unde valorile X1, X2 pot reprezenta etichete (on, off), simboluri logice (0 , 1), numere (23, 45 ) sau valori ale unor marimi fizice.Pot exprima valoarea de adevar a unor propozitii exprimate prin variabilele logice (T, F), starea unor contacte electrice (0 ,1), sau alte caracteristici fizice sau abstracte.Elementele bipozitionale pot fi realizate in mod explicit prin dispozitive fizice, programe de calculator sau pot fi rezultatul unor reprezentari matematice echivalente ale unor fenomene fizice sau abstracte.

Exista doua categorii de elemente bipozitionale:

1. Elemente bipozitionale fara histerezis

Elemente bipozitionale cu histerezis

Elemente bipozitionale fara histerezis

Dependenta intrare-iesire este o functie bine definita, reprezentata ca in Fig.1.

Un element bipozitional fara histerezis este un element nedinamic, adica fara memorie sau de tip scalor.

Implementarea numerica inseamna o simpla conditie IF.

Elemente bipozitionale cu histerezis

Dependenta intrare-iesire este neunivoca asa cum se vede in Fig. Restabilirea univocitatii intrare-iesire se face prin introducerea unei variabile de stare care poate lua doua valori: etichetate cumva, de exemplu (on, off) sau pot fi chiar valorile(X1,X2).

Ecuatia de evolutie a iesiriii este o ecuatie functionala de forma,

Prin  x() se intelege limita la stanga in punctul t. Cu alte cuvinte, daca intrarea la momentul t este ε(t) atunci se pastreaza valoarea anterioara a iesirii x. Daca se obtine elementul bipozitional fara histerezis.

Un program de implementare a unui element bipozitional cu histerezis poate fi de forma,

Daca initializare 

Citeste E1, E2, XI, X2, X 

Astfel, la fiecare pas:

Citeste E

Daca E < E1, X=X1

Daca E >= E2, X=X2

Scrie X

Se observa ca daca ε(t) E [E1,E2) nu se face nici-o actualizare si se mentine valoarea anterioara a iesirii. Pentru demararea procedurii in etapa de initializare trebuie data valoarea initiala a iesirii, deci sistemul este dinamic de ordinul intai deoarece este suficienta o singura informatie initiala.

Exista nenumarate dispozitive si fenomene fizice descrise prin relatii intrare-iesire de tip element bipozitional cu histerezis.

In sistemele de reglare a temperaturii asa numitele 'termostate' , cu bimetal sau cu lichid, sunt prin excelenta astfel de elemente.

Analiza comportarii prin reprezentarea traiectoriilor in spatiul starilor

Ca orice sistem liniar pe portiuni si sistemul de reglare bipozitionala poate fi analizat prin reprezentarea traiectoriilor in spatiul starilor sau fazelor, pe scurt prin portretul de faza considerand ca perturbatiile au valori constante.

Pentru sisteme pana la ordinul doi acest mod de analiza este eficient si util. Pentru ordine mai mari, procedura devine greoaie sau chiar imposibil de manipulat.

In cazul de fata, procesul condus este de ordinul intai cu timp mort astfel ca, pentru fiecare structra, determinata de valorile marimii de comanda u(t), traiectoriile de faza in planul () sunt segmente de dreapta.

Apar tranzitii de la o traiectorie la alta care inseamna salturi bruste in derivata erorii asa cum era de asteptat deoarece raspunsul este o functie continua dar cu frangeri de panta in punctele de comutare.

In Fig.14. este schitat portretul de faza al sistemului de reglare.

Se observa ca in regim permanent evolutia este data de cicluri limita stabile.

Sub6

3. Sisteme de reglare tripozitionala cu caracteristica de tip histerezis

3.1. Elemente de comanda tripozitionala

Sunt elemente care au la intrare o marime analogica, de exemplu w,

iar la iesire o marime, de exemplu x, ce poate lua numai trei valori,

unde valorile X1, X2, X3 pot reprezenta etichete (up, down, rest), simboluri in logica ternara(-l, 0 , 1), numere(23,45, 87 ) sau valori ale unor marimi fizice.

Elemente tripozitionale fara histerezis

Dependenta intrare-iesire este o functie bine definita, reprezentata ca in Fig.3.1.

Un element tripozitional fara histerezis este un element nedinamic, adica fara memorie sau de tip scalor.

Elemente tripozitionale cu histerezis

Dependenta intrare-iesire in care,

w1 < w2 < w3 < w4, este neunivoca asa cum se vede in Fig.3.

Restabilirea univocitatii intrare-iesire se face prin introducerea unei variabile de stare care poate lua trei valori, etichetate cumva, de exemplu (up, down, rest) sau pot fi chiar valorile ( X1 ,X2, X3).

Ecuatia de evolutie a iesirii, este o ecuatie functionala de forma,

daca functia w(t) este o functie continua in timp.

Prin x(t) se intelege limita la stanga in punctul t. Cu alte cuvinte, daca intrarea la momentul t este w(t) [w1, w2) atunci se pastreaza valoarea anterioara a iesirii x care poate fi X1 sau X Daca insa w(t) [w3,w4) se pastreaza valoarea anterioara a iesirii care poate fi X2 sau X3.

Continuitatea functiei w(t) face ca trecerea valorii w dintr-un interval de neunivocitate in altul sa se faca prin intervalul [w2, w3) in care se seteaza in mod univoc valoarea X

Daca functia w(t) este discontinua, ecuatia de evolutie trebuie scrisa sub forma de mai jos in care s-a definit,

o valoare ce separa intervalele de neunivocitate,

In caz contrar,este posibil rezultatul eronat in carr,de exemplu,daca w(t)[w3,w4),si x(t)=X3,iar w(t)[w1,w2) ce ar face ca,pastrand valoarea anterioara a iesirii sa se aloce x(t)=X3,inacceptabil.

Daca w1=w2 sau w3=w4 ramura respective este fara histerezis iar daca au loc ambele egalitati,caracteristica tripozitionala este fara histerezis.

Daca X1=X2 sau X2=X3 se obtine o caracteristica bipozitionala cu histerezis.

Sub7

5. Realizarea cu amplificatoare operationale a legilor bipozitionale si tripozitionale

5.1. Realizarea unei caracteristici bipozitionala cu histerezis, descrescatoare

Se foloseste o structura cu amplificator operational (AO) prevazut cu un circuit de reactie pe intrarea neinversoare, ca in Fig.5.1.a., reprezentand de fapt un trigger de tip Smitth clasic.

Tensiunea u1 aplicata la borna inversoare apare ca marime de intrare iar tensiunea u2 aplicata la borna neinversoare asigura ajustarea limitelor de comutare , prin care se realizeaza caracteristica descrescatoare din Fig.5.1.b.

Valorile Ymin, Ymax, reprezinta tensiunile de saturatie inferioara si superioara a AO si depind de tensiunile de alimentare.

Elementul bipozitjonal realizat, privit ca obiect orientat intrare-iesire, este reprezentat prin schema bloc echivalenta din Fig.5,l.c. in care se evidentiaza rolul tensiunilor u1 ,u2 in raport cu iesirea y.

Dependenta intrare-iesire este descrisa prin trei ecuatii algebrice obtinute prin aplicarea teoremelor lui Kirckoff in circuitul de mai sus, cu notatiile din Fig.5.1.a.,

din care se deduce tensiunea la intrarea AO,

Presupunem ca circuitul se afla in starea y = Y astfel ca obtinem:

Aceasta stare se mentine atata timp cat

Circuitul va comuta de la y = Y, spre valoarea y=Y atunci cand, datorita modificarii tensiunii de intrare u1 sau a tensiunii de ajustare u2, tensiunea la intrarea AO, va fi zero, adica

In acest moment y = Y si ecuatia devine

Starea y = Y se mentine atata timp cat

In mod simetric, circuitul va comuta de la y = Y spre valoarea y = atunci cand, datorita modificarii tensiunii de intrare u1 sau a tensiunii de ajustare u2 , tensiunea la intrarea AO, va fi zero, adica

Se observa ca cele doua valori ale tensiunii u1 la care circuitul comuta sunt diferite, u1' <u1'' ceea-ce inseamna de fapt aparitia fenomenului de histerezis.

Se definesc, valoarea mediana v, ce poate fi interpretata ca si valoare prescrisa intr-un sislem de reglare, daca circuitul este folosit in acest scop, si latimea laterala δ a zonei de histerezis.

Rezultatele finale, prezentate grupat sunt:

Se observa ca parametrii caracteristicii cu histerezis, u1' , u1'' depind de tensiunile Y, Y si de raportul λ al rezistentelor R4 si R3 .

In proiectare, pentru un raport dorit λ , se aleg acele valori R3 , R4 care satisfac anumite cerinte ale cornportarii circuitului electronic.

5. Realizarea unei caracteristici bipozitionale cu histerezis, crescatoare

In acest caz se foloseste o aceeasi structura cu amplificator operational (AO) prevazut cu un circuit de reactie pe intrarea neinversoare, ca in Fig.5.a., identica cu cea anterioara numai ca tensiunea u2 aplicata la borna neinversoare, apare ca marime de intrare iar tensiunea u1, aplicata la borna inversoare, asigura ajustarea limitelor de comutare , prin care se realizeaza caracteristica crescatoare din Fig.5.b.

Elementul bipozitional realizat, privit ca obiect orientat intrare-iesire, este reprezentat prin schema bloc echivalenta din Fig,5.c. in care se evidentiaza rolul tensiunilor u1 ,u2 in raport cu iesirea y.

Ecuatiile electrice sunt identice iar procedura de rezolvare a sistemului de ecuatii este asemanatoare.

Se obtin urmatoarele rezultate:

5.3. Modalitati de realizare a elementului de comparatie in sistemele de reglare cu caracteristici bipozitionale

Regulatoarele industriale in care caracteristicile bipozitionale sunt realizate cu amplificatoare operationale, prezinta la iesire starea unor contacte electrice atasate unui releu electromagnetic comandat de catre circuitul cu AO printr-un tranzistor de putere ca in figurile de mai jos.

Se conecteaza si o dioda pentru evitarea efectului tensiunilor de autoinductie la blocarea tranzistorului de putere.

Astfel de regulatoare se numesc regulatoare bipozitonale sau de tip on-off. Regulatoarele universale pot avea o facilitate de functionare bipozitionala.Si acestea vor fi referite in continuare pe scurt regulatoare bipozitionale.

Din punct de vedere al realizarii elementului de comparatie se deosebesc:

1. Regulatoare in care elementul de comparatie este realizat in mod explicit.

O astfel de structura este prezentata in Fig.5.

Regulatoare in care elementul de comparatie este implicit, rezultand din interpretarea caracteristicii bipozitionala,

O astfel de structura este prezentata in Fig.5.3.