Sisteme de reglare automata

1.Studiul elementelor de intarziere de ordinul 1.

1.1. Deducerea analitica a raspunsului indicial prin rezolvarea ecuatiei diferentiale

Semnalul impuls unitar (functia delta sau functia Dirac)

Este un impuls idealizat de latime foarte mica si de arie unitara.

Masura lui δ(t) => A=1

L[δ(t)] = = =1

Raspunsul SLN (element), a lui δ(t), in conditii initiale nule se numeste raspuns unitar sau functie pondere [w(t)]

δ(t) =

Relatii simetrice:

w(t) =

Utilizarea functiei pondere:

Cunoscand pe [w(t)] si utilizand integrala de convolutie reala se determina raspunsul sistemului pentru orice referinta r(t).

;

1.2. Deducerea analitica a raspunsului indicial in baza F.D.T si respectiv a functiei pondere(integrala de convolutie reala)

Ecuatia:

T + y(t) = r(t)

T + y = r ; r = 1(t); y(0) = 0

Functia de transfer:

TsY(s) + 1 = R(s)

G(s) =

G(s) =

Din teorema valorii finale:

y = y(t) = Y(s) = [s*R(s)*G(s)] = [s**G(s)] = G(0) = 1

y = 1

ε = y - r(t) = 1 - 1 = 0;

ε = 0

Prin rezolvarea directa a ecuatiei diferentiale

Ecuatia diferentiala:

T(t)+ y(t) = r(t); r(t) = 1(t), y(0) = 0

Ecuatia caracteristica:

=> Tp + 1 = 0

Radacina ecuatiei caracteristica :

p = -

Solutia ecuatiei omogene:

y(t) = C*e=C*e; t≥0

Valoarea de regim stationar:

y= constant -> y=1

Solutia complexa:

y(t) = y(t) + y = 1 + C*e; t≥0

Calculul C:

y(0) = 1 +C = 0 =>C=-1

y(t) = h(t) = 1- e; t≥0

ε = 0

tr ≈ 3T

y(t) = k(1 - e); t≥0

1.3. Intocmirea schemelor de modelare in Simulink.

1.3.1. Schema de modelare in baza ecuatiei diferentiale.

1.3.2. Schema de modelare in baza functiei de transfer.

1.4. Calculul raspunsului indicial si a functiei pondere in Matlab

%secvente Matlab

t=0:0.1:30

num=[1]

den=[5 1]

ys=step(num,den,t);

v=t;

df1=diff(v)./diff(t);

df2=0.95*df1;

td=t(2:length(t));

plot(t,ys,'-r',td,df1,'-b',td,df2,'-g');grid

title('raspuns indicial')

xlabel('t(sec)')

ylabel('h(t)')

gtext('g(s)=1/(5s+1)');

[x,y]=ginput

%Calculul functiei pondere

%ptr el aperiodic de ord 1 cu f.d.t.

%G(s)=1/(5s+1)

t=0:0.1:30

num=[1]

den=[5 1]

yi=impulse(num,den,t);

plot(t,yi,'-r');grid

title('functia pondere')

xlabel('t(sec)')

ylabel('w(t)')

gtext('G(s)=1/(5s+1)');

[x,y]=ginput

1.5. Determinarea performantelor in raport cu referinta treapta unitara pentru K=1 si T=1.5(s), utilizand una din variantele 1.3.1., 1.3.2. sau 1.4.

Performante de regim stationar:

(valoare de regim stationar)

(eroare stationara, sistem astatic)

Performante de regim tranzitoriu:

(timp de raspuns, timp de reglare)

(suprareglaj)

(grad de amortizare)

1.6. Calculul caracteristicilor de frecventa U(ω), V(ω), A(ω), φ(ω), U(ω)/V(ω) pentru K=1 si T=1.5(s)

Ecuatia:

1.5+y(t)=r(t), unde r(t)=1(t)

1.5+1=r

Aplicam transformata directa Laplace in conditii initiale nule:

1.5sY(s)+Y(s)=R(s)

Deducem functia de transfer:

1.5sY(s)+Y(s)=R(s)

1.5s+=1

(1.5s+1)=1

G(s)=

Facem schimbarea de variabila s=jω:

W(jω)====- j U(ω)=

W(jω)=A(ω)e=U(ω)+jV(ω)  V(ω)=-

A(ω)===

φ(ω)=arctg=arctg(-5ω)=-arctg(5ω)

1.7. Calculul caracteristicilor logaritmice de frecventa A(ω)[db] si φ(ω)[db], cu program in MATLAB (K=10, T=5(s))

» %Calculul caracteristicilor logaritmice

» %G(s)=10/(5s+1)

» %Secvente matlab

» w=logspace(-100,10,100)

» num=[10]

» den=[5 1]

» [mag,phase,w]=bode(tf(num,den));

» subplot(211)

» semilogx(w,20*log10(mag)); grid

» xlabel('omega')

» ylabel('Adb(omega)')

» title('Amplitudinea functie de frecventa')

» gtext('Amplitudinea')

» subplot(212)

» semilogx(w,phase); grid

» xlabel('omega')

» ylabel('fi(grade)')

» title('Faza functie de frecventa')

» gtext('Faza')

2. Studiul sistemului liniar neted invariant de ordin 2.

2.1. Deducerea analitica a raspunsului indicial si a performantelor pentru ξ=0, 0<ξ<1, ξ=1, ξ>1

Ecuatia diferentiala:

a+a+ay=br; r(t)=1(t); y(0)=(0)=0

Coeficientii a, i= depind de parametrii sistemului. Intereseaza influenta parametrilor asupra raspunsului.

Pentru a simplifica analiza se introduc 2 coeficienti:

factorul de amortizare: ξ

pulsatia naturala a sistemului neamortizat: ω

Se aduce ecuatia diferentiala la forma:

+2 ξ ω+ ωy=k ωr

++y=r

ω=; ω=

=*=k ω; k= - coeficientul de amplificare a sistemului

2 ξ ω=; ξ==; ξ≥0

Valoarea de regim stationar:

y= constant -> y=k=constant

Eroarea stationara:

ε=1- y=1-k≠0; ε=0; k=1

+2 ξ ω+ ωy=k ωr ;

y(t)=y(t)+ y; in care y=1

y(t)=?

Ecuatia diferentiala omogena:

+2 ξ ω+ ωy=0;

Ecuatia caracteristica:

;

p+2 ξ ωp+ ω=0;

Radacinile ecuatiei caracteristice:

p= - ξ ω±j ω; j=

p= - ξ ω+ j ω;

p= - ξ ω- j ω;

Solutia ecuatiei omogene:

y(t)=Ce+Ce

Raspunsul:

y(t) = y+ y(t)=1+ Ce+Ce; t≥0;

C=?; C=? => din conditiile initiale.

y(0)=1+ C +C=0 C=;

y(0)= p C+ p C=0 C=

y(t)=1-e+e; t≥0;

Raspunsul y(t) depinde de p, p care depinde de coeficientul ecuatiei diferentiale ξ, ω, care depinde de valorile a, i=.

a.      ξ=0 - raspunsul este la limita de stabilitate: p= ±j ω

y(t)= 1-cos ωt

T=1(s);

ω=2πf==2π;

Pentru ξ=0 axa imaginilor in planul radacinilor este axa limitei de stabilitate.

b.     0< ξ<1 - raspuns oscilant: p= - ξ ω±j ω - pereche de radacini complexe conjugate cu axa reala negativa.

φ - variabila suplimentara care simplifica scrierea solutiei.

sinφ=; cos φ= ξ

tgφ=

y(t)= y+y(t)=1-sin(ωt+arctg); t≥0;

Eroarea stationarii:

ε = 0

Suprareglajul:

σ=y-y= y-1;

y=?

=0 -> t=k k=0 -> t=0 -> y(0)=0

k=1 -> t=

y(t)=1+e=1+σ; σ=e; σ=f(ξ);

Gradul de amortizare:

ψ=1-=1-=1-e

Timp de raspuns:

t≈

c.      ξ=1 - raspuns aperiodic critic: p=p=-ω(radacini multiple reale negative)

y(t)=1-(1+ω )e, t≥0

d.     ξ>1 - raspunsul supraarmotizat: radacini reale negative simple

e.     

2.2. Intocmirea schemelor de modelare in SIMULINK

2.2.1. Schema de modelare in baza ecuatiei diferentiale

2.2.2 Schema de modelare in baza functiei de transfer

2.2.3. Schema de modelare in baza varabilelor de stare

2.3. Calculul functiei pondere, cu program in MATLAB pentru ξ=0,5 si ω=2π

Ecuatia:

+2 ξ ω+ ωy=k ωr, k=1, r=1(t), (0)=y(0)=0

» %Functia pondere

» %G(S)=(2*pi)^2/(s^2+2*0,5*2*pi+(2*pi)^2)

» %Secvente Mathlab

» t=0:0.1:10

» num=[(2*pi)^2]

» den=[1 2*0.5*2*pi (2*pi)^2]

» yi=impulse(num,den,t)

» plot(t,yi,'-b'); grid

» title('Functia pondere')

» xlabel('t[sec]')

» ylabel('w(t)')

» gtext('G(s)=(2*pi)^2/(s^2+2*0.5*2*pi*s+(2*pi)^2')

» [x,y]=ginput

2.4. Calculul raspunsului indicial, cu program in MATLABpentru ξ=0,5 si ω=2π

» %Calculul raspunsului indicial

» %G(s)=(2*pi)^2/(s^2+2*0.5*2*pi*s+(2*pi)^2)

» %Secvente Matlab

» t=0:0.1:10

» num=[(2*pi)^2]

» den=[1 2*0.5*2*pi (2*pi)^2]

» ys=step(num,den,t);

» yst=1;

» y=t;

» df1=diff(y)/diff(t);

» df2=0.95*df1;

» df3=1.05*df1;

» td=t(2:length(t));

» plot(t,ys,'-m',td,df1,'-b',td,df2,'-g',td,df3,'-y'); grid

» xlabel('timpul[s]')

» ylabel('h(t)')

» title('Raspunsul indicial')

» gtext('G(s)=(2*pi)^2/(s^2+2*0.5*2*pi*s+(2*pi)^2)')

» [x,y]=ginput

2.5. Determinarea performantelor in raport cu referinta treapta unitara pentru T=1(s); ωn =2π/Tn=2 π; ξ=0,25; 0,707;1; 3; utilizand una din variantele 2.2.1.,2.2.2., 2.2.4. .

a) Pentru ξ=0,25 (oscilant amortizat):

:

Performante de regim stationar:

(valoare de regim stationar)

(eroare stationara, sistem astatic)

Performante de regim tranzitoriu:

(timp de raspuns, timp de reglare)

(suprareglaj)

(grad de amortizare)

b) Pentru ξ=0,707 (oscilant amortizat):

Performante de regim stationar:

(valoare de regim stationar)

(eroare stationara, sistem astatic)

Performante de regim tranzitoriu:

(timp de raspuns, timp de reglare)

(suprareglaj)

(grad de amortizare)

c) Pentru ξ=1 (aperiodic):

Performante de regim stationar:

(valoare de regim stationar)

(eroare stationara, sistem astatic)

Performante de regim tranzitoriu:

(timp de raspuns, timp de reglare)

(suprareglaj)

(grad de amortizare)

d) Pentru ξ=3.0 (supraamortizat):

Performante de regim stationar:

(valoare de regim stationar)

(eroare stationara, sistem astatic)

Performante de regim tranzitoriu:

(timp de raspuns, timp de reglare)

(suprareglaj)

(grad de amortizare)

2.6. Calculul caracteristicilor logaritmice de frecventa unde U(ω), V(ω), A(ω), φ(ω), U(ω)/V(ω) pentru T=1(s) si ξ=0,707.

Ecuatia:

+2ξω+ω=k ωr(t)

unde:

k=1

ω==2π

r=1(t)

(0)=y(0)=0

Aplicam transformata directa Laplace:

sY(s)+ 2ξωsY(s)+ ωY(s)= ωR(s)

Deducem functia de transfer:

sY(s)+ 2ξωsY(s)+ ωY(s)= ωR(s)

s+2ξωs+ ω= ω

G(s)=

Facem substitutia s=jω:

W(jω)= ===

= ω-j ω

W(jω)=A(ω)e=U(ω)+jV(ω)

U(ω)= ω=4π

V(ω)=- ω=-4π

A(ω)==

φ(ω)=arctg=arctg(-)=-arctg