Transformarea tabelelor de adevar in expresii booleene

Transformarea tabelelor de adevar in expresii booleene

Procesul de proiectare al circuitelor digitale incepe adesea cu un tabel de adevar. Acest tabel descrie modul de functionare al circuitului, pe scurt, ce functii trebuie acesta sa indeplineasca. Partea de proiectare consta in mare parte in determinarea tipului de circuit ce va realiza functia propusa in acest tabel de adevar. Desii exista unii oameni care pot determina circuitul final prin simpla privire a tabelului de adevar, pentru noi ceilalti exista o serie metode foarte utile. Se va dovedi ca algebra booleana este de un real folos in aceasta situatie.

Incinerarea deseurilor toxice - exemplu

Pentru ilustrarea acestor metode, cel mai indicat este sa incepem cu o problema de proiectare practica. Sa presupunem ca trebuie sa proiectam un circuit de detectare a flacarii unui incinerator de deseuri toxice. Astfel de tehnici de ardere sunt folosite de obicei pentru neutralizarea deseurilor medicale, ce pot fi infectate cu virusi sau bacterii periculoase:

Atata timp cat flacara este mentinuta in incinerator, injectarea deseurilor toxice pentru neutralizare este sigura. Daca in schimb flacara se stinge, aceasta alimentare a incineratorului se poate dovedi periculoasa. Evacuarea va contine deseurile toxice ne-neutralizate, reprezentand un pericol de sanatate pentru persoanele aflate in apropiere. Avem nevoie prin urmare de un sistem de detectare a prezentei flacarii. Injectarea deseurilor va fi permisa doar atunci cand sistemul de detectare ne asigura de prezenta flacarii.

Utilizarea senzorilor redundanti

Exista mai multe metode de detectare a flacarii: optic (detectarea luminii), termic (detectarea temperaturii inalte) si conductie electrica (detectarea particulelor ionizate). Fiecare din aceste metode prezinta avantaje si dezavantaje. Sa presupunem ca, datorita pericolului ridicat al trecerii deseurilor intacte prin evacuarea sistemului, s-a decis ca sistemul de detectare sa fie redundant (senzori multiplii). Astfel ca, defectare unuia dintre senzori sa nu duca la o situatie nedorita. Fiecare senzor este echipat cu un contact normal-deschis (deschis - lipsa flacara, inchis - flacara detectata) necesar activarii intrarilor unui sistem logic:

Scopul nostru acum, este sa proiectam circuitul logic astfel incat acesta sa deschida valva de admisie doar daca exista flacara (detectata de senzori). Prima data trebuie sa vedem comportamentul acestui sistem de control. Dorim ca valva sa se deschida in cazul in care doar unul din cei trei senzori detecteaza flacara? Probabil ca nu. Altfel, nu ar mai avea niciun rost sa folosim trei senzori in loc de unul singur. Ceea ce ne dorim de la sistemul logic, este ca acesta sa deschida valva de admisie doar in cazul in care toti cei trei senzori detecteaza flacara. In acest caz, tabelul de adevar arata astfel:

Aceasta functionalitate poate fi asigurata folosind o poarta SI cu trei intrari: iesirea circuitului este 1 doar daca intrarea A SI intrarea B SI intrarea C este 1:

Daca folosim in schimb relee electromecanice, putem crea aceasta functie SI prin conectarea celor trei contacte in serie. Sau pur si simplu conectam cei trei senzori in serie, astfel incat, singura modalitate prin care se poate deschide valva de admisie, este daca toti cei trei senzori indica prezenta flacarii:

Desi aceasta strategie maximizeaza siguranta sistemului, este totusi foarte sensibila la defect. In cazul in care unul din cei trei senzori se defecteaza, indicand lipsa flacarii din incinerator, intregul sistem se va opri. Asta chiar daca ceilalti doi senzori functioneaza si indica prezenta flacarii. Aceasta oprire "gratuita" a incineratorului duce la pierderi de productie si de combustibil (mentinerea unei flacari ce nu este folosita pentru incinerarea materialului toxic).

Va trebui sa reproiectam sistemul, astfel incat, un astfel de defect sa nu duca la inchiderea intregului sistem. Bazandu-ne pe doi senzori in detectarea prezentei flacarii, sistemul isi pastreaza si in acest caz redundanta. O astfel de strategie implica un circuit logic cu trei intrari, a carui iesire este 1 in cazul in care cel putin doua din cele trei intrari sunt 1. Tabelul de adevar arata astfel:

Suma-de-produse

In aceasta situatie nu este foarte clar ce tip de circuit logic ar satisface tabelul de adevar. O metoda simpla de realizarea a unui astfel de circuit consta in utilizarea unei forme booleene standard, denumita suma-de-produse. Ca si exemplu, o astfel de expresie ar putea arata astfel: ABC + BC + DF, suma produselor ABC, BC si DF.

Astfel de expresii sunt relativ usor de realizat cu ajutorul tabelelor de adevar. Trebuie doar sa gasim acele randuri din tabel unde iesirea este 1, si sa scriem apoi un produs boolean a carui rezultat sa fie 1, cunoscand conditiile de intrare. De exemplu, sa luam al patrulea rand din tabelul de adevar de mai sus. Iesirea acestuia este 1 (ceea ce cautam), iar intrarile sunt A = 0, B = 1 si C = 1. Produsul acestor trei variabile este unu daca expresia arata astfel: A'BC.

Sa completam si celelalte randuri care au o iesire de 1, cu produsul termenilor:

Insumam toate aceste patru expresii, pentru a crea o singura expresie booleana ce descrie in intregime tabelul de adevar:

Realizarea circuitului logic

Dupa ce am obtinut expresia booleana sub forma de suma-de-produse, putem trece la realizarea circuitului logic bazat pe aceasta expresie, fie cu porti logice:

Fie cu relee electromecanice:

Simplificarea expresiei booleene

Din pacate, ambele variante sunt destul de complexe. Din fericire insa, putem simplifica expresia initiala folosind regulile simplificarii booleene:

Ca si rezultat al simplificarii, putem acum construi un circuit logic mult simplificat, dar care indeplineste exact aceiasi functie logica, fie cu porti logice:

Fie cu relee electromecanice: