Transformari de axe ale sistemului bifazat

Transformari de axe ale sistemului bifazat

Schimbarea de axe ale unui fazor spatial, descompus in componente dupa axa reala si imaginara, conduce la trasnformari de axe in sistemul bifazat de marimi. Este indicat ca aceasta transformare sa se faca matriceal.

Consideram axele d si q ale sistemului bifazat suprapuse peste axele reale respectiv imaginare ale planului complex corespunzator.

Proiectam fazorul spatial (fig. 1.8) mai intai pe directiile d_1, q_1. Obtinem astfel fazorul spatial x scris in planul ₁ astfel:

. (1.38)

Acelasi fazor raportat la planul complex ₂ va avea expresia:

. (1.39)

Expresiile (1.38) si (1.39) pot fi scrise matriceal conform relatiei (1.20) astfel:

si . (1.40)

Componenta homopolara x₀ a sistemului trifazat este o marime scalara - rel. 1.15 - si nu depinde de sistemul de axe (nu se reprezinta in planul complex).

Schimbarea sistemului de axe este echivalenta cu schimbarea de variabila; se trece deci de la la . Din fig. 1.8, prin relatii geometrice, se obtin compo-nentele bifazate astfel:

.

Deoarece componenta homopolara se pastreaza prin schimbarea sistemului de axe, pe baza relatiilor de mai sus se poate scrie relatia de recurenta sub forma matriceala:

. (1.41)

Notand :

. (1.42)

Trecand de la sistemul de axe ₁ la ₂, unghiul  al matricei de transformare (1.42) se va masura de la axa reala a sistemului ₁ spre axa reala a sistemului ₂.

Pentru transformarea inversa de la ₂ la ₁, unghiul  al matricei [D()] va fi acelasi dar cu semn schimbat. In acest caz:

.

Se obtine deci:

. (1.43)

Matematic, expresia (1.43) se obtine din relatia (1.41), inmultind la stanga cu inversa matricii [D]:

,

. (1.44)

Din relatiile (1.43) si (1.44) se observa urmatoarea proprietate a matricei de transformare:

, (1.45)

unde este matricea transpusa a lui .

In cazul unei schimbari de variabile succesive, matricea de transformare se aplica de doua ori succesiv, adica:

. (1.46)

Se vede ca diferentele de unghiuri ₁ si ₂ se aduna. Daca, de exemplu, ₁ = ₂ - ₁ si ₂ = ₃ - ₂ trecerea de la sistemul ₁ la sistemul ₃ se face cu matricea [D(₃)] = [D(₁ + ₂)] = [D(₃ - ₁)] in care ₃ este ₃ - ₁.

Matricea D[()] este un operator de rotire cu unghiul  al sistemului de axe la care se raporteaza fazorul spatial, adica la care se proiecteaza fazorul spatial pentru a obtine componentele d - q

Conform expresiilor (1.40) componenta homopolara a unei matrice in sistemul bifazat nu este o componenta a fazorului spatial aferent.

Daca se defineste scrierea restransa a matricei , continand numai componentele d - q ale fazorului spatial, adica:

, (1.47)

atunci operatorul de rotire prezinta proprietatea:

, (1.48)

unde:

. (1.49)

Relatia (1.48) exprima proprietatea unui vector a carui derivata are o componenta rotita inainte cu 90⁰.