CALCULUL DE REZISTENTA AL ANGRENAJELOR CILINDRICE

CALCULUL DE REZISTENTA AL ANGRENAJELOR CILINDRICE

Calculele de rezistenta au ca scop preintampinarea aparitiei principalelor forme de deteriorare ale angrenajelor: deteriorarea flancurilor active prin oboseala de contact (pitting) si ruperea dintilor prin oboseala datorita solicitarii de incovoiere.

Evitarea deteriorarii flancurilor active prin oboseala de contact (pitting) impune efectuarea unui calcul de rezistenta la solicitarea de presiune de contact, iar evitarea ruperii dintilor prin oboseala datorita solicitarii de incovoiere impune efectuarea unui calcul de rezistenta la aceasta solicitare.

1 CALCULUL DE REZISTENTA LA SOLICITAREA

DE PRESIUNE DE CONTACT

Calculul la solicitarea de presiune de contact se efectueaza pe baza modelului lui Hertz, de determinare a tensiunilor de contact maxime, pe baza teoriei elasticitatii, pentru doua corpuri apasate static unul asupra celuilalt de catre o sarcina normala, prin asimilarea celor doi dinti in contact, in sectiune normala (fig.1), cu doi cilindri cu razele egale cu razele de curbura ale dintilor in punctul de contact considerat.

Corelarea modelului hertzian de calcul, cu situatia reala, a dintilor in angrenare, se face prin corectarea tensiunilor admisibile utilizate in calculul angrenajelor la presiune de contact, dupa cum urmeaza:

contactul hertzian nu presupune miscare relativa intre cilindrii in contact, in timp ce contactul real dintre dintii rotilor dintate este caracterizat prin miscare relativa; pentru corectarea modelului de calcul se introduce factorul de viteza, Z_V, in calculul tensiunii admisibile;

cei doi cilindri ai modelului hertzian sunt considerati perfect netezi, in timp ce flancurile active ale dintilor rotilor au o anumita rugozitate, dependenta de tipul prelucrarii aplicate rotilor; corectarea modelului de calcul se face prin introducerea factorului de rugozitate, Z_R, in relatia de calcul a tensiunii admisibile;

modelul hertzian presupune contactul direct intre cilindri, spre deosebire de situatia reala a dintilor in angrenare, cand intre flancuri exista pelicula de lubrifiant; modelul se corecteaza prin introducerea in relatia tensiunii admisibile la solicitarea de presiune de contact a factorului de lubrificatie, Z_L.

Trebuie mentionat si faptul ca spre deosebire de contactul hertzian care este analizat pentru cazul sarcinilor statice, contactul real dintre dintii rotilor este caracterizat de sarcini variabile specifice functionarii angrenajelor. Aceasta diferentiere este evidentiata in calcul prin multiplicarea sarcinii nominala, F_n0, cu factorii dinamici exterior, K_A, si intern, K_V.

Forta normala, F_n, care incarca un dinte, se poate considera uniform distribuita pe lungimea l_k a liniei de contact, intrucat sarcina nominala F_n0 a fost multiplicata cu factorul de distributie neuniforma a sarcinii pe lungimea de contact, K_Hb

Celelalte ipoteze care stau la baza analizei modelului hertzian sunt acceptate si in calculul rotilor dintate:

materialul este omogen si izotrop;

deformatia materialului este elastica, fiind valabila legea lui Hooke;

sarcina este normala, neglijandu-se fortele tangentiale si de frecare;

dimensiunile suprafetei de contact sunt mici in raport cu razele de curbura ale suprafetelor in contact.

Conform modelului hertzian corectat, ca urmarea a deformatiilor elastice din zona de contact a flancurilor celo doua roti, sarcina se transmite de la un dinte la cel conjugat, nu prin contact liniar, ci printr-o suprafata de latime 2b (fig.1); ca urmare, tensiunile normale care apar sunt distribuite eliptic pe latimea de contact. Valoarea maxima a acestei tensiuni este data de relatia lui Hertz:

, (1)

unde

, (2)

reprezinta factorul de elasticitate a materialului, dependent de modulele de elasticitate ale materialelor rotilor, E_{1, 2}, si de coeficientii de contractie transversala, n

Curbura redusa a suprafetelor, 1/r, se determina in functie de razele de curbura ale suprafetelor de contact, r , determinate in sectiunea normala, in care actioneaza forta normala, F_n:

. (3)

Calculul danturii la solicitarea de presiune de contact, care consta in determinarea tensiunii maxime de contact si compararea sa cu valorile admisibile, se va efectua, in continuare, pentru angrenajul cilindric cu dantura inclinata. In final, se vor obtine si relatiile de calcul pentru tensiunile maxime la solicitarea de presiune de contact pentru angrenajul cilindric cu dantura dreapta, considerandu-se ca acesta reprezinta o particularizare a cazului general, al angrenajului cilindric cu dantura inclinata.

Fig.2

In cazul angrenajului cilindric cu dantura inclinata, linia de contact a dintilor (fig.2) este inclinata in raport cu generatoarea comuna a cilindrilor de rostogolire; punctele liniei de contact se afla in pozitii diferite pe arcul de angrenare, datorita intrarii treptate a dintilor in contact. Ca urmare, razele de curbura caracteristice diverselor puncte de contact sunt diferite si ca atare, expresia tensiunii maxime de presiune de contact, pentru acest caz, devine:

, (4)

unde

, (5)

reprezinta factorul de corectie a tensiunii maxime care tine seama de inclinarea liniei de contact a dintilor in raport cu axa rotilor si de influenta acestei inclinari asupra variatiei razelor de curbura ale profilelor in contact, pe lungimea liniei de contact.

Forta normala care incarca o pereche de dinti in angrenare, F_n, se determina pe baza relatiei (7.20)

F_n = F_n0 K_A K_V K_Hb K_Ha , (6)

in care sarcina nominala F_n0 se poate exprima cu ajutorul relatiei (7.27); evaluand componenta tangentiala a fortei normale in raport cu diametrul de divizare, d₁, rezulta:

, (7)

cu

. (8)

Lungimea liniei de contact, l_k, a unei perechi de dinti aflata in angrenare se determina in raport cu latimea rotii dintate (fig.2):

. (9)

Curbura redusa a suprafetelor dintilor depinde de punctul de contact considerat, pentru care se echivaleaza dintii cu cei doi cilindri. Daca se considera cazul danturii drepte, se poate observa (fig.3) ca pentru contactul dintilor intr-un punct oarecare, X, al segmentului real de angrenare BD, razele de curbura ale profilelor sunt date de relatiile:

, (10)

de unde

Fig.3

. (11)

Raza de curbura redusa corespunzatoarea punctului de contact X se poate determina cu relatia:

. (12)

Reprezentarea razei de curbura reduse (12) pentru diverse puncte ale segmentului real de angrenare evidentiaza (fig.3, b) variatia in limite relativ restranse a marimii acesteia, in special, in zona angrenarii unipare, unde sarcina se transmite printr-o singura pereche de dinti.

Variatia tensinii de contact pe lungimea segmentului real de angrenare, pentru angrenajul cilindric cu dantura dreapta (fig.4, a) sau inclinata (fig.4, b-pentru un unghi de inclinare a danturii b = 10^o) are loc in limite relativ apropiate de valorile tensiunilor determinate pentru contactul dintilor in polul angrenarii. Din analiza variatiei tensiunilor pe lungimea segmentului real de angrenare corespunzatoare angrenajului cu dantura inclinata (fig.4, b), se remarca uniformizarea incarcarii si a tensiunilor prin intrarea treptata a dintilor in angrenare. Ca urmare, atat pentru angrenajele cilindrice cu dantura dreapta cat si pentru cele cu dantura inclinata, este justificata determinarea tensiunilor
de contact pentru cazul in care dintii se afla in pol.

Flancul dintelui inclinat este generat de o dreapta inclinata cu unghiul b_b fata de generatoarea cilindrului de baza (fig.5), orice punct al acestuia fiind caracterizat prin doua raze de curbura, r_n in plan normal n-n, respectiv r_t in planul frontal t-t. Relatia de legatura intre cele doua raze de curbura este de forma:

. (13)

Pentru determinarea curburii reduse, se determina razele de curbura in plan frontal (fig.1), corespunzatoare contactului dintilor in polul angrenarii. Considerand si relatiile de legatura intre diametrele cercurilor de baza si cele de divizare (vezi cap.3), se obtine:

(14)

Pe baza relatiilor (3) si (13), curbura redusa devine:

. (15)

Inlocuind in relatia (4) marimile definite prin relatiile (6), (7), (9) si (15), tensiunea de contact devine:

, (16)

unde s-a notat prin

, (17)

factorul de forma a dintelui pentru calculul la solicitarea de presiune de contact.

In relatia (16), componenta tangentiala a fortei normale, F_t1, poate fi exprimata in functie de momentul de torsiune, T₁, precizat, de obicei, ca data initiala, rezultand:

. (18)

Valoarea tensiunii admisibile, s_HP, cu care se face compararea tensiunilor maxime de contact (16) sau (18) se determina pe baza relatiei (6.4).

In vederea dimensionarii angrenajului, se foloseste relatia tensiunii maxime de contact (18), in care a fost inlocuita latimea danturii prin marimea,

b = y_dd₁,  (19)

unde y_d reprezinta coeficientul de latime a danturii.

Dimensionarea angrenajului din conditia de rezistenta la solicitarea de presiune de contact consta in determinarea diametrului de divizare al rotii mici, , cu ajutorul relatiei:

. (20)

Relatiile (16), (18) si (20) au fost stabilite pentru angrenaje cilindrice cu dantura inclinata, dar sunt valabile si pentru angrenaje cilindrice cu dantura dreapta, pentru care se vor adopta parametri caracteristici unui unghi b

In cazul angrenajului roata-cremaliera, relatiile raman valabile, daca se va considera ca numarul de dinti ai cremalierei, z₂ , ceea ce implica u . Ca urmare, pentru verificarea unui angrenaj roata-cremaliera se va folosi relatia:

, (21)

iar pentru dimensionarea rotii cilindrice, relatia:

. (22)

2 CALCULUL ANGRENAJELOR CILINDRICE

LA SOLICITAREA DE INCOVOIERE

Pentru calculul la solicitarea de incovoiere, dintii rotilor sunt considerati ca grinzi incastrate in corpul rotii, cu contur profilat. Calculul trebuie efectuat in sectiunea minima a dintelui, care corespunde sectiunii sale din plan normal. In aceasta sectiune actioneaza forta normala care incarca dintele, F_n. Pentru un calcul acoperitor, se va considera situatia cea mai defavorabila a incarcarii dintelui, situatie in care forta normala concentrata se aplica pe varful dintelui (fig.6).

Fig.6

Forta normala, F_n, se va descompune, in doua componente, dupa directia axei dintelui si perpendicular pe aceasta, a caror actiune asupra dintelui va fi analizata in continuare. Componenta tangentiala, F_ta, produce incovoierea sectiunii de la baza dintelui, distributia tensiunii de incovoiere, s_i, pe sectiunea dintelui fiind liniara. Componenta radiala, F_ra, solicita aceeasi sectiune la compresiune. Marimea tensiunilor de compresiune, s_c, este relativ mica comparativ cu cea a tensiunilor de incovoiere (s_c < s_i), ceea ce justifica neglijarea in calculele ulterioare a actiunii componentei radiale a fortei normale pe dinte. Concentratorul de tensiune reprezentat de trecerea de la zona danturata la corpul rotii determina modificarea distributiei liniare a tensiunilor rezultante, intr-o distributie dupa o curba oarecare, dependenta de raza de racordare de la baza dintelui. De aceea, tensiunile maxime de incovoiere apar la baza dintelui, in zona intersectiei dintre profilul dintelui si tangenta la acesta, care formeaza cu axa dintelui un unghi de 30^o, pe acea parte a dintelui solicitata de tensiuni pozitive.

Calculul danturii se va efectua luand in considerare numai tensiunea de incovoiere, corectata cu factorul de concentrare relativa a sarcinii, Y_sa, care evidentiaza starea complexa de solicitare de la baza dintelui si influenta concentratorului de tensiune de la baza dintelui asupra tensiunii maxime:

. (23)

Momentul de incovoiere, M_i, care apare in sectiunea periculoasa de la piciorul dintelui, este creat de componenta tangentiala, F_ta, a fortei normale pe dinte, F_n, care actioneaza asupra dintelui la bratul h_Fan si ca urmare are relatia:

M_i = F_ta h_Fan, (24)

unde

F_ta = F_n cosa_an (25)

cu forta normala pe dinte determinata cu ajutorul relatiei (7.20), particularizata pentru solicitarea de incovoiere:

F_n = F_n0 K_A K_V K_Fb K_Fa Y_e (26)

Dupa inlocuirea relatiei sarcinii nominale, F_n0, conform (7.25), in relatia (26), expresia fortei normale pe dinte devine:

F_n = K_A K_V K_Fb K_Fa Y_e (27)

Dupa cum s-a aratat anterior, modelul de calcul adoptat considera ca forta normala pe dinte, F_n, actioneaza concentrat pe varful dintelui. Acest model de calcul corespunde intrarii si iesirii dintelui din angrenare, in cazul angrenajului cilindric cu dantura dreapta. Intrucat, in cazul danturii inclinate, un astfel de model se indeparteaza mult fata de situatia reala, tensiunea de incovoiere se va corecta prin multiplicare cu factorul de inclinare a liniei de contact, Y_b, definit prin relatia:

, (28)

unde e_b reprezinta gradul de acoperire suplimentar al angrenajului cu dantura inclinata, iar b - unghiul de inclinare a danturii. Se observa ca, pentru dantura dreapta, Y_b

Pentru calculul modulului de rezistenta axial, W_z, se aproximeaza sectiunea de la baza dintelui cu o sectiune dreptunghiulara (fig.7, b), de lungime egala cu lungimea dintelui, l, unde (fig.7, d)

(29)

Fig.7

si latime s_Fn.

Tensiunea maxima la piciorul dintelui, calculata diferentiat pentru cele doua roti ale angrenajului, este:

. (30)

Dupa inlocuirea in relatia (30), a componentei tangentiale a fortei normale cu marimea data de relatia (27) si a lungimii dintelui conform relatiei (29) si introducerea factorului de forma a danturii, Y_{Fan1, 2}, unde:

, (31)

se obtine, pentru tensiunea maxima la incovoiere, relatia de calcul:

. (32)

Valorile tensiunilor maxime de incovoiere se compara cu cele admisibile corespunzatoare materialelor celor doua roti. Intre tensiunile maxime care apar la piciorul dintilor rotii 1 si 2 exista relatia:

. (33)

Relatia de verificare (32) poate fi exprimata si in functie de momentul de torsiune care actioneaza asupra rotii 1. Considerandu-se relatia (8) si inlocuindu-se valoarea modulului normal (m_n = d₁cosb/z₁), pentru tensiunea maxima de incovoiere se obtine:

. (34)

Pentru dimensionarea angrenajului din conditia de rezistenta la solicitarea de incovoiere, se urmareste determinarea diametrului de divizare al rotii 1, considerand b₁ = b₂ = b si folosindu-se substitutia (19). Relatia de calcul a acestui diametru este:

, (35)

unde s-a notat prin

= max (36)

Relatiile de verificare (32) si (34) si cea de dimensionare (35) sunt valabile si pentru angrenajele cilindrice cu dantura dreapta, considerandu-se b = 0, m_n = m si Y_b = 1. Astfel, verificarea angrenajelor cilindrice cu dantura dreapta la incovoiere, poate fi efectuate cu una dntre urmatoarele relatii:

, (37)

sau

, (38)

iar dimensionarea cu relatia:

. (39)

Relatiile (32), (34), (35) si respectiv (37), (38), (39) pot fi utilizate si pentru verificarea sau dimensionarea angrenajelor roata-cremaliera cu dantura inclinata, respectiv dreapta, adoptandu-se factorii de corectie adecvati (z₂