Rezistenta barelor incovoiate

REZISTENTA BARELOR INCOVOIATE

1.          EFORTURI UNITARE PE SECTIUNEA TRANSVERSALA. FORMULA LUI NAVIER

Studiul geometric. Pentru a evidentia modul de deformare, pe suprafetele laterale ale unei bare drepte cu sectiune dreptunghiulara se traseaza un sistem de linii longitudinale (paralele cu axa) si transversale (perpendiculare pe axa) (fig. 3.30.a). In regim de solicitare (fig.3.30.b) liniile longitudinale se curbeaza in liniile transversale se curbeaza in liniile transversale se rotesc, ramanand - in spiritul ipotezei lui Bernoulli - drepte si normale pe cele longitudinale.

Cu privire la cele doua tipuri de deformatii (liniare si unghiulare) se constata:

- lipsa deformatiilor unghiulare (g = 0), caci unghiurile retelei nu se modifica;

- prezenta unor deformatii liniare pe directia axei barei.

In zonele cu incovoiere pozitiva (cazul din figura) fibrele longitudinale de la partea inferioara se alungesc, iar cele de la partea superioara se scurteaza. Se intuieste prezenta unui plan de fibre (fibre neutre) care se curbeaza fara

Fig.3.30

a-si modifica lungimea; intersectia dintre acest plan si planul sectiunii transversale se numeste axa neutra.

Doua sectiuni aflate la distanta elementara dz se rotesc cu unghiul elementar d (fig.3.31.a); pe desen s-au pus in evidenta fibra neutra AB cu lungimea neschimbata (AB = dz) si raza de curbura a fibrei neutre (OA = OB = ).

Variatia de lungime a unei fibre oarecare (MNN’) aflata la cota y’ fata de firbra neutra este pusa in evidenta in fig. 3.31.b prin segmentul NN’. Din asemanarea triunghiurilor OAB si BNN’ rezulta:

sau

;

primul raport (dintre alungirea fibrei si lungimea ei initiala) este deformatia specifica e si relatia de asemanare devine:

e = >’;                  (3.13)

deformatiile specifice e, nule in dreptul axei neutre, variaza liniar pe inaltimea sectiunii transversale (fig. 3.32.a).

fig. 3.31

Studiul fizic consemneaza conditia de elasticitate liniara (legea lui Hooke) acceptata in Rezistenta materialelor:

= Ee



Sinteza studiu geometric - studiu fizic. Daca g = 0,  = 0. Pe sectiunea transversala, interactiunea este masurata numai prin eforturi unitare normale t. Introducand relatia (3.13) in legea lui Hooke, rezulta:

 = E y’; (3.14)

ca si deformatiile specifice e, eforturile unitare normale t, nule in dreptul axei neutre, variaza liniar pe inaltimea sectiunii transversale (fig.3.32.b si 3.32.c). Axa neutra imparte sectiunea in doua zone: una comprimata si alta intinsa (fig.3.32.d).

Studiul static consemneaza echivalenta dintre cele doua moduri de exprimare a interactiunii: prin eforturi

a - diagrama de distributie a deformatiilor specifice e

b - diagrama de distributie a eforturilor unitare normale

c - masura interactiunii: prin eforturi unitare normale si prin momentul incovoietor M

d - sectiunea transversala si axa neutra

Fig.3.32

sectionale (Mx 0; N = 0) si prin eforturi unitare (   ) (fig.3.33):

Fig.3.33

N = S_A td_A = 0;                             (3.15)

Mx = S_A td_A . y (3.16)

Sinteza studiu geometric - studiu fizic - studiu static. Cu (3.24), prima relatie de contravalenta devine

N = E . S_A y’d_A

adica

S_A y’d_A = 0

Integrala reprezinta un moment static (al suprafetei sectiunii transversale fata de axa neutra a sectiunii); din faptul ca e nul, rezulta ca axa neutra trece prin centrul de greutate al suprafetei sectiunii; ea coincide cu axa x, motiv pentru care y si y’ masoara aceeasi distanta.

Cu (3.14) a doua relatie de echivalenta devine:

Mx = E S_A y²dA

sau

Mx = E S_A Ix, (3.17)

unde Ix reprezinta momentul de inertie ale suprafetei sectiunii in raport cu axa x. Revenind la relatia (3.14), din care rezulta

E

(3.17) devine

Mx =

t = (3.18)

Expresia (3.18) cunoscuta sub numele de formula lui Navier precizeaza marimea efortului unitar normal t intr-un punct M situat la distanta y fata de axa neutra (fig.3.34).

Fig. 3.34

2. EFORTURI UNITARE MAXIME

Valorile maxime ale eforturilor unitare se dezvolta in fibrele extreme (cele mai departate de axa neutra). Daca Ymax este distanta de la fibra extrema la axa neutra rezulta

t_max = Y_max

t_max =

unde la numitor apare expresia modulului de rezistenta Wx al suprafetei sectiunii in raport cu axa netura x (2.9). Cu aceasta observatie,

t_max =                       (3.19)

Marimea efortului unitar maxim deprinde de doi parametri:

- momentul incovoietor M, parametrul global al interactiunii din sectiune, masura solicitarii;

- modulul de rezistenta W, parametrul geometriei sectiunii transversale.

3. Trei forme ale interactiunii sectionale

Rezultanta fortelor interioare de legatura de pe zona intinsa, Fi, si comprimata, Fc, sunt doua forte egale si de sens contrar (fig.3.35); ele formeaza un cuplu al carui

Fig. 3.35

moment este echivalent cu momentul incovoietor M. Momentul incovoietor M, cuplul fortelor Fc si Fi (rezultantele fortelor interioare de legatura) si sistemul de forta interioare de legatura cu distributie continua (a caror masura sunt eforturile unitare normale s) reprezinta trei forme ale aceleasi interactiuni.

4. Proiectarea de rezistenta a sectiunii barelor incovoiate

4.1.         Conditii de rezistenta. Verificare; dimensionare; capacitate portanta

Conditii de rezistenta impusa de metoda de calcul a rezistentelor admisibile (1.1) devine

s_a (3.20)

Relatia contine trei parametri; ei corespund celor trei factori care intervin in procesul proiectarii sectiunii barelor incovoietoare:

- solicitarea, exprimata prin momentul incovoietor M;

- materialul , exprimat prin rezisnteta sa admisibila s_a

- geometria suprafetei sectiunii transversale, exprimata prin modulul de rezistenta W, determinat in raport cu axa neutra (axa principala centrala de inertie ce coincide cu suportul vectorului moment).

Dupa felul in care acestia intervin (ca parametri cunoscuti sau necunoscuti), proiectarea imbraca trei aspecte; verificarea rezistentei sectiunii, dimensionarea sectiunii si determinarea capacitatii portante a sectiunii.

Cele trei aspecte ale proiectarii sectiunii sunt sintetic in tabelul

Tabelul

La materialele cu rezistente admisibile diferite la intindere si la compresiune (de ex. fonta) sunt necesare doua verificari: una in zona intinsa, alta in zona comprimata a sectiunii.

In problemele de dimensionare dimensiunile sectiunii se aleg astfel, incat

W_ef W_nec,              (3.21)

unde W_ef este modulul de rezistenta efectiv (al sectiunii propuse prin proiectare). Pentru bare cu sectiune circulara,

W_nec

de unde rezulta diametrul. Pentru bare cu sectiunea dreptunghiulara,

W_nec;

relatia contine doua necunoscute - b si h; determinarea lor se face propunand fie una din ele, fie cu anumit raport (orientativ) intre ele. Pentru barele cu sectiuni stadardizate care se confectioneaza intr-un numar limitat de tipuri (cazul profilelor laminate din otel, sau al majoritatii grinzilor din lemn cu sectiune dreptunghiulara), sectiunea rezulta direct prin compararea valorii W_nec cu valoarea W_ef din tabelele de caracteristici ale fiecarui tip de sectiune. Pentru sectiuni de alte forme, dimensionarea se face prin incercari, verificand relatia (3.2) pentru diferite sectiuni propuse.

Capacitatea portanta a unei sectiuni se masoara prin momentul incovoietor (numit moment capabil, Mcap), caruia ii corespunde un efort unitar maxim egal cu rezistenta admisibila. Rezistenta barei in sectiunea analizata este asigurata daca momentul incovoietor M generat de incarcare nu depaseste momentul capabil: M M_cap.

Verificarea si dimensionarea cu momentul incovoietor maxim.

4.2. Criterii de conformare. Sectiuni rationale; randamentul sectiunii.

Criteriul de rezistenta W_nec = M/s_a aplicat la dimensionarea sectiunii ofera o infinitate de solutii. El poate fi satisfacut de sectiuni cu forme si arii diferite; urmand reducerea consumului de material se prefera formele cu arie minima. Pe de alta parte, la arii egale, forme diferite asigura capacitati diferite; forma rationala va corespunde capacitatii maxime.

Capacitatea sectiunii (exprimata ca moment al cuplului rezultantelor fortelor interioare de legatura) este proportionala cu valoarea - egala - a celor doua rezultante (Fc = Fi) si cu bratul lor de parghie  Z (fig.3.36).

A. Cresterea capacitatii sectiunii prin cresterea valorii rezultantelor fortelor interioare de legatura

Suprafata sectiunii nu este solicitata uniform. Cu cat o parte cat mai mare din suprafata sectiunii se va afla in zonele cele mai solicitate (cu eforturi unitare mari), cu atat rezultanta fortelor interioare de legatura (ca suma a produselor dintre efortul unitar si elementul de arie) va fi mai mare.

Pentru o sectiune dreptunghiulara cu aria A,

Fc = Fi = s_a Fc = Fi = s

Pentru o sectiune fictiva, ideala, cu aceeasi arie, cu suprafata concentrata in mod simetric la cele doua extremitati (acolo unde toate eforturile unitare ating rezistenta admisibila ) (fig.3.37.b), rezultanta va fi dubla;

Fc = Fi = s_a

Fig.3.36

Fig.3.37

B. Cresterea capacitatii sectiunii prin cresterea bratului de parghie.

Este evident ca bratul creste odata cu cresterea inaltimii sectiunii.

Dar cresterea inaltimii h este limitata de diferite considerente (functionale, estetice, etc.). La inaltimea constanta, bratul creste (ca si rezultantele fortelor interioare de legatura) tot prin indepartarea materialului axa neutra.

Pentru sectiunile de forma dreptunghiulara, indiferent de proportiile lor,

Z = h (3.22)

Bratul de parghie maxim, z = h, corespunde sectiunii ideale cu suprafata concentrata la cele doua extremitati.

Iata acum, pentru cele doua tipuri de sectiune luate ca repere in exemplele precedente, valoarea capacitatii portante, Mcap, ca produs intre rezultantele fortelor interioare de legatura si bratul de parghie:

- pentru sectiunea dreptunghiulara,

M_cap = s_a . h = s_a

- pentru sectiunea ideala,

M_cap = s_a . h = s_a

Daca sectiunile au aceeasi arie, aceeasi inaltime si sunt alcatuite din aceleasi material, capacitatea sectiunii ideale este de trei ori mai mare decat capacitatea sectiunii de forma dreptunghiulara.

O sectiune nationala tinde, prin conformarea ei, catre forma ideala descrisa mai sus. Aceasta forma constituie reperul sectiunilor de tip I sau U ale parapetelor laminate sau ale grinzilor din otel “cu sectiune compusa”, confectionate prin sudare sau solidarizarea cu nituri (fig.3.38).

Fig.3.38

Este de semnalat si tipul de grinda metalica “expandata”, realizata prin sudarea, in poziaie decalata, a doua jumatati de inima taiate dupa o linie poligonala (fig.3.39).

Fig.3.39

Caracteristica geometrica a suprafetei sectiunii care determina nemijlocit capacitatea portanta este modelul de rezistenta W:

N _cap = W s_a

capacitatea este direct proportionala cu modulul de rezistenta.

In legatura cu sectiunea ideala se defineste modulul de rezistenta ideal:

W_ideal =

W_ideal =

Raportul dintre modulul de rezistenta W al unei sectiuni de forma data si modulul de rezistenta ideal reflecta raportul dintre capacitatile portante ale celor doua sectiuni si se numeste randament al sectiunii:

r = (3.23)

Randamentul sectiunii dreptunghiulare este doar 1/3. Randamentul sectiunii profilelor laminate de tip I si U este aproape 2/3, deci dublu.