Fig. 4. Vizualizarea vartejurilor Taylor intre cilindri coaxiali (cilindrul interior se roteste cu viteza constanta, cilindrul exterior este in repaus;

vizualizari efectuate in cadrul laboratorului REOROM din UPB)

Expresiile vitezelor (11) si (12) se introduc in ecuatiile de miscare si continuitate (11.25) si (11.26). Aceste ecuatii, devenite dupa liniarizare ecuatii diferentiale, se rezolva avand ca necunoscute componentele vitezei de perturbatie , ce se presupun reprezentate in acest caz de serii Bessel (v. referinta²). In final problema se reduce la aflarea coeficientilor seriilor Bessel care verifica conditiile la limita impuse, respectiv pulsatiile de viteza sunt nule la frontierele solide. Solutiile nenule obtinute, ce implica calculul valorilor proprii ai unui determinant, sunt date sub forma unor functii dependente de geometria curgerii (R si ), de viteza de rotatie a cilindrului interior, marimile caracteristice perturbatiei k si s (v. relatia (12)) si de proprietatile fluidului. In limita , relatia rezultanta se poate pune sub forma dependentei numarului Taylor de marimile asociate perturbatiei, respectiv

(13)

unde este numarul de unda caracteristic.

In cazul in care s este strict negativ (sau are partea reala negativa, in cazul in care s este complex) perturbatiile sunt amortizate si miscarea este asimptotic stabila. Pentru s > 0 miscarea este instabila, perturbatiile fiind amplificate in timp. Pentru s = 0 perturbatia se conserva fara insa sa se amplifice (v. §7.3), deci s = 0 reprezinta limita de stabilitate (stabilitate neutrala). Miscarea asociata acestui caz, denumita si primul mod de instabilitate, poarta denumirea de vartejuri Taylor. Vartejurile Taylor reprezinta practic o curgere secundara 3-D, perpendiculara pe distributia de tip Couette (v. figurile 4 si 5). Lungimea de unda caracteristica vartejurilor Taylor este

, ; (14)

unde este dimensiunea pe verticala a unei perechi de vartejuri Taylor (v. figura 5). Pentru s = 0 reprezentarea relatiei (13) este schitata in figura 6. Valoarea minima a numarului Ta la care miscarea devine instabila, (deci valoarea lui Ta la care se instaleaza vartejurile Taylor) se obtine in cazul analizat pentru , ceea ce corespunde dimensiunii . Odata cu cresterea lui , respectiv al raportului dintre razele celor doi cilindrii, numarul Taylor critic creste, ajungand la pentru (a = 3,1631), (v. referinta²). Vartejurile Taylor reprezinta primul mod de manifestare a instabilitatii hidrodinamice asociate miscarii de rotatie intre cilindri concentrici. Prin cresterea vitezei de rotatie, pana la instalarea turbulentei dezvoltate, se obtin o succesiune de moduri de manifestare a instabilitatii.[4]

Studiul de stabilitate prezentat a fost extins si la alte suprafete de rotatie concentrice aflate in miscare relativa (spatiul dintre corpuri fiind cu mult mai mic decat raza corpurilor): sfere, conuri, discuri[5] (rezultatele nu difera calitativ de cele obtinute in cazul cilindrilor coaxiali).

In cazul in care miscarea are loc pe surafete curbe si curgerea fluidului este decelerata - de exemplu oprirea brusca a rotatiei unui cilindru circular (v. §11.3.2) - pot aparea in fluid structuri topologic similare cu vartejurile Taylor, acestea purtand insa numele de vartejuri Görtler⁵.

Fig. 5. Perechea vartejurilor Taylor formate intre cilindri concentrici; curgerea secundara 3-D este suprapusa peste miscarea de

baza (curgerea principala).

Fig. 6. Diagrama de stabilitate a miscarii de rotatie intre cilindri coaxiali pentru s = 0. Minimul curbei determina valoare

numarului Taylor critic (valoare la care apar vartejurile Taylor).

Stabilitatea miscarii plan-paralele

Studiul stabilitatii miscarii fluidelor vascoase este o problema deosebit de complexa, chiar si in ipoteza micilor perturbatii. Aceasta ipoteza implica valabilitatea relatiei (1), deci atat campul vitezei de baza (curgerea neperturbata) cat si viteza perturbata (obtinuta prin suprapunerea aditiva a perturbatiei peste curgerea de baza) sunt solutii ale ecuatiei de miscare Navier-Stokes. Sistemele de ecuatii astfel rezultate, completate cu conditiile la limita pentru curgerea de baza si perturbatii, sunt insa insuficiente pentru caracterizarea miscarii de baza ca stabile (sau instabile). Se impun astfel conditii restrictive suplimentare asupra perturbatiilor, de exemplu postularea unor relatii de tipul (5) in care functia de timp este o exponentiala ce multiplica functia dependenta de spatiu. In acest caz se obtine asa numita teorie a stabilitatii liniare, procedura ce s-a aplicat cu succes la studiul tranzitiei de la miscarea laminara la cea turbulenta, dar in configuratii relativ simple ale curgerii de baza (miscarea Taylor analizata in paragraful precedent fiind un astfel de exemplu, pentru detalii a se consulta Georgescu precum si monografia de Constantinescu ).

Un alt exemplu de aplicare a procedurii mentionate este investigarea stabilitatii unei miscari de baza presupus plan-paralele (v. §11.5).

Se considera o miscare de baza plan-paralela de forma

(15)

vitezele de perturbatie (5) avand forma

(16)

cu j = 1, 2 (in cazul general perturbatia este tridimensionala chiar daca miscarea de baza este plana); unde este numarul de unda (valoare reala), iar reprezinta pulsatia asociata perturbatiei (valoare reala sau complexa).

Avand in vedere (1) si introducand (15) si (16) in ecuatiile (11.5) se obtine

(17)

, (18)

, (19)

unde s-a neglijat termenul neliniar perturbatia corespunzatoare presiunii s-a considerat de forma si s-a folosit notatia

Eliminand presiunea din (18) si (19) se obtine ecuatia

. (20)

Prin introducerea functiei de curent

(21)

in (20) si adimensionalizare rezulta

. (22)

Relatia (22) poarta denumirea de ecuatia Orr-Sommerfeld, ecuatie diferentiala de ordinul patru ce are ca necunoscuta amplitudinea functiei de curent atasata perturbatiei (conditiile la limita corespund ipotezei ca pulsatiile si derivatele lor sunt nule la limita domeniului).

Gasirea unor solutii nenule pentru (22) implica rezolvarea unei probleme de valori proprii, identica in principiu cu cea corespunzatoare miscarii Taylor studiate in paragraful precedent. Se obtine astfel o dependenta de tipul

(23)

similara cu (13).

Conditia c_i in (23) defineste curba de stabilitate neutrala (respectiv, limita de stabilitate), dependenta separand zona de stabilitate de cea de instabilitate (v. figura 7). Valoarea minima a numarului Re ce apartine curbei este numarul Re_cr de la care miscarea de baza (unidimensionala si unidirectionala, in acest caz) isi pierde stabilitatea.

Exista numeroase studii dedicate rezolvarii ecuatiei (22) pentru miscarile intre plane paralele considerate infinite (v. §11.2.1). Valorile critice la care miscarea plana isi pierde stabilitatea difera insa atat in functie de metoda de rezolvare folosita^{7, [8]}, cat si de conditiile suplimentare ce se pot impune evolutiei perturbatiilor sau energiei acestora, respectiv de forma distributiei vitezei de baza. Se obtin astfel valori pentru numarul Reynolds critic al miscarii plane Couette in jur de 300, iar pentru miscarea plana Poiseuille in jur de 5500 - 5800 (viteza medie si distanta dintre plane fiind dimensiunile caracteristice). Asa cum era de asteptat, valorile experimentale obtinute difera de cele calculate, fiind in general mai mici decat cele calculate teoretic, de exemplu Re_cr 1100 pentru miscarea plana de tip Poiseuille. In cazul miscarii Poiseuille axial-simetrice, respectiv miscarea Hagen-Poiseuille (v. §11.2.2), diferenta dintre valorile calculate si cele obtinute experimental este mai mare decat in cazul plan, respectiv Re_cr 10.000 (teoretic) fata de Re_cr 2300 (experimental, v. referinta⁸).

Aceste diferente se datoreaza in principal dificultatii modelarii experimentale a unei curgeri ce are loc pe linii paralele; in realitate miscarea de baza este o miscare complexa si nu plan paralela. Studiul teoretic al stabilitatii unei miscari complexe 3-D este deosebit de dificil deoarece neliniaritatile din ecuatia de miscare nu mai pot fi neglijate.

Fig. 7. Curba de stabilitate neutrala asociata miscarii plan-paralele.

O alta cauza a neconcordantei dintre teorie si experiment este generata de forma impusa perturbatiilor, respectiv de limitarea introdusa de teoria stabilitatii liniare (in care viteza de perturbatie este produsul dintre o functie necunoscuta de spatiu si o functie exponentiala de timp). Pentru simplificarea calculelor, expresiile postulate (5), (16) sunt functii cu variabile separabile, ceea ce determina in final obtinerea unor ecuatii diferentiale (si nu cu derivate partiale!) pentru amplitudinea marimilor perturbatorii.

Studiul stabilitatii miscarilor plan-paralele are mai mult o importanta conceptuala (calitativa) decat aplicativa (cantitativa). Investigarea stabilitatii liniare a miscarilor de baza simple este insa o etapa obligatorie din punct de vedere metodologic, premergatoare studiilor de stabilitate a miscarilor complexe de interes practic. Astfel, din analiza stabilitatii miscarilor plane se pot obtine informatii calitative valoroase ce se pot extinde si in cazul miscarilor complexe. De exemplu, in ipoteza unui numar Reynolds mare (Re pentru un fluid nevascos) din (22) se observa ca termenul

, (23)

respectiv curbura functiei v (x₂) joaca un rol important in apreciarea stabilitatii curgerii de baza (pentru detalii vezi teoremele Rayleigh si Fjørtoft9). Rayleigh a sezizat ca existenta unui punct de inflexiune in distributia de viteze plana (fluidul fiind presupus fara viscozitate) este o conditie necesara pentru ca miscarea sa nu fie stabila. Conditia necesara pierderii stabilitatii curgerii de baza in conformitate cu teorema lui Fjørtoft este redusa la inegalitatea

, (24)

unde v_s reprezinta valoarea vitezei in punctul de inflexiune.

Aceste rezultate se pot extrapola si la curgeri complexe: daca o distributie de viteza aproximativ plana (de exemplu, o miscare in apropierea peretelui) prezinta un punct de inflexiune, deci isi schimba concavitatea, atunci curgerea este susceptibila sa-si piarda stabilitatea in zona respectiva.

Remarci finale

Studiul stabilitatii curgerilor reale este un domeniu dificil si fascinant. Dificultatea prezenta nu rezida atat in complexitatea ecuatiilor ce trebuie rezolvate, cat mai ales in formularea ipotezelor legate de reprezentarea perturbatiilor. Datorita multiplelor conexiuni ce pot lua nastere intre perturbatii si miscarea de baza (intre pulsatii si curgerea de baza laminara), problema stabilitatii devine practic irezolvabila daca abordarea ramane limitata la mecanica fluidelor clasica. Lipsa unui model teoretic complet al curgerii si reologiei fluidelor reale face din calculul stabilitatii miscarilor de interes practic piatra de incercare a cercetarilor din domeniul hidrodinamicii aplicate. Evident stabilitatea curgerii este conceptual legata de stabilitatea si evolutia sistemelor dinamice, deci un obiect de studiu multidisciplinar prin definitie, in care similitudinile calitative dintre diferite domenii stiintifice si social-umane ii ofera o fascinatie aparte. Astfel, cei tentati sa cerceteze stabilitatea curgerii vor face cunostinta cu teoria fractalilor10, reprezentarea structurilor disipative , termodinamica proceselor ireversibile si bineinteles sinergetica .

Fig. 8. Din punct de vedere calitativ structura unui brocoli (sau a unei conopide) este independenta de scara observatiei. Similar, macro-turbulenta (vestitele spirale stelare sau campurile devastate de furtuni pe Jupiter) se regaseste calitativ in turbulenta provocata de ingustarea unei conducte sau in

microvartejurile de dimensiunea micronilor.

---