Determinarea coordonatelor retelei de sprijin - Principiul intersectiei

Determinarea coordonatelor retelei de sprijin - Principiul intersectiei

Principiul intersectiei.

Metoda intersectiei are ca scop determinarea coordonatelor unor puncte, altele decat cele din reteua de triangulatie, in scopul apropierii de punctele de detaliu care servesc la intocmirea hartilor sau planurilor; ea consta in utilizarea coordonatelor si determinarilor unghiulare efectuate cu ajutorul punctelor de coordonate cunoscute aflate in zona, (numite 'puncte vechi') in vederea determinarii pozitiei planimetrice a altor puncte din zona (numite 'puncte noi'). Prin utilizarea acestei metode, distanta intre puncte se micsoreaza la circa 0,5 - 1,5 km. Deoarece aceasta apropiere nu este suficienta, din punctele determinate prin intersectii, reteaua se indeseste in continuare prin drumuiri.

Principiul intersectiei inainte.

Considerind existente minim doua puncte de coordonate cunoscute, deci puncte vechi, intre care exista vizibilitate in teren si un punct materializat si semnalizat in teren, ale carui coordonate dorim sa le determinam. Pentru rezolvarea problemei (figura 6.9) se stationeaza punctele vechi si in urma determinarilor unghiulare efectuate in teren, se calculeaza unghiurile in plan orizontal dintre directiile determinate de punctele vechi si directiile determinate de un punct vechi si punctul nou ce se doreste a fi determinat. Coordonatele punctelor fiind X_A, Y_A, X_B, Y_B pentru punctele vechi, respectiv X_P, Y_P pentru punctul nou, se poate scrie ca

[6.1]

respectiv functia tangenta aplicata celor doua orientari din punctele vechi catre punctul nou :

[6.2]

Se constata ca din acest sistem de doua ecuatii cu necunoscutele X_P, Y_P, tg_AP, tg_BP numai aparent nu poate fi rezolvat. Tinand cont de relatia [6.1], putem scrie ca

[6.3]

in care __AB + 200^g. Cu valorile astfel cunoscute ale orientarilor, sistemul [6.2] devine:

x_P - x_A = (y_P - y_A) . tg_AP  x_P = x_A + (y_P - y_A) . tg_AP [6.4]

x_P - x_B = (y_P - y_B) . tg_BP  x_P = x_B + (y_P - y_B) . tg_BP [6.5]

Egaland relatiile [6.4] si [6.5] functie de y_P, rezulta

[6.6]

valoarea lui x_P urmand a se calcula cu relatiile [6.4] si [6.5]. Cele doua valori pentru x_P trebuie sa fie riguros egale, acest fapt constituind un element de control al corectitudinii calculelor.

Deoarece functia tangenta are o reprezentare asimptotica, se poate intampla ca in anumite situatii (orientari apropiate de 0^g si 200^g ), valoarea functiei sa tinda la infinit; in aceasta situatie, pentru calcule, se va utiliza formula cotangentei, relatiile folosinte fiind:

y_P - y_A = (x_P - x_A) . ctg_AP  y_P = y_A + (x_P - x_A) . ctg_AP [6.7]

y_P - y_B = (x_P - x_B) . ctg_BP  y_P = y_B + (x_P - x_B) . ctg_BP [6.8]

respectiv :

[6.9]

Daca pentru rezolvarea matematica a problemei sunt suficiente doua puncte de coordonate cunoscute, din punct de vedere topografic se impune existenta unui al treilea punct de coordonate conoscute astfel ca punctul nou P sa fie determinat din cel putin doua combinatii de puncte vechi. Acest lucru se impune pentru a exista posibilitatea verificarii corectitudinii determinarii punctului P. Deoarece fiecare combinatie folosita produce un set de coordonate x_P, y_P, coordonatele finale ale punctului P vor fi reprezentate de media aritmetica a valorilor rezultate din combinatiile utilizate. Pentru a putea fi utilizate la determinarea coordonatelor unor puncte noi prin intersectie unghiulara inainte, punctele vechi trebuie sa permita stationarea lor cu teodolitul.

Principiul intersectiei inapoi.

Spre deosebire de intersectia inainte, la care se stationeaza punctele vechi, vizand puncte noi, aceasta metoda se deosebeste prin aceea ca se stationeaza puncte noi din care se vizeaza puncte vechi. Matematic, problema este rezolvabila prin vizarea a trei puncte vechi dintr-un punct nou (figura 6.10). Din punct de vedere topografic insa, problema se rezolva prin vizarea a minimum patru puncte vechi dintr-un punct nou.

Stationand punctul P cu teodolitul, se vizeaza punctele vechi A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) si C(x_C, y_C). Se pot scrie ecuatiile asemanatoare cu cele de la intersectia inainte, in care necunoscutele vor fi coordonatele punctului nou P(x_P, y_P) si orientarile din punctul nou spre punctele vechi. Se constituie astfel un sistem de trei ecuatii cu cinci necunoscute.

[6.10]

Nedeterminarea care apare se elimina daca se noteaza unghiurile facute de directia catre unul din puncte, succesiv, cu directiile catre celelalte puncte. Directiile PA si PB formeaza intre ele unghiul , iar directiile PA si PC formeaza unghiul . Ducand paralele la AP prin B si C, putem scrie ca

_BP = _AP +  

_CP = _AP +  

Dupa acest artificiu, se constata ca se obtine un sistem de trei ecuatii, in care necunoscutele sunt coordonatele punctului nou, x_P, y_P si orientarea _AP,aleasa ca fiind de referinta. Rezolvand sistemul prin metoda substitutiei, se ajunge la expresia orientarii _AP, de forma :

[6.13]

La fel ca in cazul intersectiei unghiulare inainte, deoarece functia tangenta tinde la infinit pentru valori ale unghiului apropiate de 100^g respectiv 300^g, se poate folosi o relatie functie de cotangenta

[6.14]

Marimea orientarii initiale devenind cunoscuta, se rezolva relatiile [6.11] si [6.12], problema fiind adusa la cazul intersectiei inainte. 

Un caz aparte de intersectie este cel in care se stationeaza un punct vechi din care se vizeaza un punct nou. In continuare se vizeaza din punctul nou puncte vechi, inclusiv cel din care s-au facut initial determinarile, iar metoda poarta denumirea de intersectie laterala. Se rezolva ca o intersectie inainte, deoarece vizele se pot acum orienta.