Actiunea fluidelor vascoase asupra corpurilor solide

Actiunea fluidelor vascoase asupra corpurilor solide

Folosind (4.8)₁ si (11.1), expresia tensiunii intr-un fluid newtonian capata forma

. (11.110)

Fie S o suprafata in repaus la care fludul vascos adera, v = 0 pe S (v. figura 11.19); din (2.27)₁ si (2.27)₃ se obtin urmatoarele conditii cinematice pe S

, (11.111)

, (11.112)

unde este vectorul vartej.

Fig. 11.19.  Distributia de viteze in vecinatatea unei suprafete la care fluidul  vascos adera.

Din (11.112) si (11.110) rezulta expresia tensiunii pe o suprafata in repaus la care fluidul adera,

, (11.113)

relatia (11.113) fiind echivalenta cu

, (11.114)

unde reprezinta derivata vitezei dupa directia normalei in punctul respectiv .

Forta cu care fluidul actioneaza asupra unui corp are deci expresia

. (11.115)

Tensiunea t pe suprafata corpului se poate descompune intr-o componenta normala , egala cu presiunea pn pentru un fluid newtonian incompresibil, si o componenta tangentiala , direct proportionala cu viscozitatea (v. figurile 11.20 si 4.3). In concluzie, daca se cunoaste distributia de presiuni si vartej pe suprafata corpului se poate determina, folosind (11.113) si (11.115), actiunea fluidului in miscare asupra corpurilor si suprafetelor solide cu care vine in contact.

Fig. 11. 20. Actiunea unui curent de fluid cu viteza asupra unui corp solid

Se considera un corp solid aflat intr-un curent de fluid infinit in camp gravitational, viteza fluidului neperturbat de prezenta corpului solid fiind (directia vitezei determinand directia axei Ox₁). Opusul proiectiei fortei R pe directia axei 0x₁, respectiv

(11.116)

poarta denumirea de forta de rezistenta la inaintare; A (denumita si "aria maestra") reprezinta aria maxima obtinuta prin sectionarea corpului cu un plan perpendicular pe

In (11.116) C_x reprezinta coeficientul de rezistenta la inaintare, acesta fiind functie de numarul Reynolds caracteristic curgerii, de forma geometrica a corpului si de geometria locala a suprafetei corpului, respectiv rugozitatea suprafetei (pentru detalii vezi Ionescu ). Coeficientul de rezistenta la inaintare reprezinta o caracteristica importanta a corpurilor hidro- si aerodinamice (pale de masini hidraulice, profile aerodinamice etc.). In majoritatea cazurilor, C_x se detemina experimental sau numeric (prin integrarea directa a ecuatiei Navier-Stokes si obtinerea distributiei de eforturi pe suprafata corpului).

Un caz clasic de calcul analitic al coeficientului C_x este miscarea in aproximatia Stokes (Re << 1) in jurul unei sfere aflata intr-un curent de fluid infinit, miscarea fiind considerata cu simetrie axiala (v. figura 11.21).

In aceasta ipoteza, expresiile functiei de curent, a distributiei de viteze si vartej in jurul sferei sunt urmatoarele (v. referinta ⁷):

; (11.117)

, (11.118)

, (11.119)

; (11.120)

pe sfera distributia de presiuni fiind data de

. (11.121)

Deoarece , tensiunea (11.113) pe suprafata sferei are expresia

; (11.122)

din (11.115) rezultand

cu .

Fig. 11. 21. Geometria miscarii in jurul unei sfere

Datorita simetriei corpului, prima integrala din (11.123) este nula, deci

(11.124)

respectiv

. (11.125)

Din (11.125) si (11.116), cu , se obtine expresia coeficientului de rezitenta la inaintare

, (11.126)

unde , cu d = 2R diametrul sferei.

Expresia (11.125) este valabila la numere Reynolds foarte mici, Re << 1. La numere Reynolds mici, Re < 2, Oseen a obtinut expresia (v. referinta⁷)

. (11.127)

Caderea unei sfere intr-un fluid vascos este o problema indelung studiata in mecanica fluidelor datorita aplicatiilor practice, de exemplu, masurarea viscozitatii cu viscozimetrul Höppler. In acest caz, bila cu diametrul d cade liber intr-un tub cu diametrul D, plin cu fluidul a carui viscozitate dorim sa o calculam. Din echilibrul fortelor de rezisntenta la inaintare F_x, fortei de greutate G si fortei arhimedice, prin masurarea vitezei de cadere a bilei in fluidul vascos w denumita si marime hidraulica, cu in (11.125) se obtine valoarea coeficientului de viscozitate . Evident, in acest caz miscarea bilei nu se face intr-un spatiu infinit; in general se admite ca expresia fortei de rezistenta la inaintare are expresia

, (11.128) unde functia , daca si Re << 1, se determina experimental sau numeric19 (expresia fortei de rezistenta la inaintare devine mult mai complicata daca miscarea sferei nu este simetrica in tubul cu diametrul D).