Aplicatii ale teoremei impulsului pentru un tub de curent

Aplicatii ale teoremei impulsului pentru un tub de curent

1. Actiunea fluidului asupra unei conducte curbe

Se considera o conducta orizontala prin care se transporta un fluid perfect incompresibil. Fluidul are tendinta de a-si mentine starea de miscare rectilinie si uniforma, datorita inertiei sale. Ajuns intr-o portiune curba a conductei, fluidul loveste partea exterioara a curbei, asupra careia exercita o forta de impuls (figura 5.6), a carei marime poate fi determinata folosind ecuatia (5.12), proiectata pe axele Ox, Oy astfel:

unde s-a avut in vedere ca greutatea lichidului din volumul de control este verticala, deci nu se proiecteaza in planul xOy, si ca normala interioara are directia vitezei dar sens contrar. Din aceste relatii se pot exprima componentele reactiunii impulsului

(5.36)

apoi se afla rezultanta

(5.37)

Considerand cunoscute densitatea  a fluidului, diametrele d₁, d₂ ale sectiunilor transversale, viteza v₁ si presiunea p₁ in sectiunea de intrare a portiunii curbe, se determina mai intai ariile suprafetelor celor doua sectiuni, apoi se aplica ecuatia continuitatii pentru aflarea debitului Q si vitezei v₂, respectiv ecuatia energiei pentru calcularea presiunii p₂, iar in final se folosesc ecuatiile (5.36), (5.37).

2. Actiunea jeturilor libere de fluid asupra peretilor rigizi

2.1. Cazul peretelui de intindere infinita

Fie un jet liber orizontal de fluid perfect incompresibil, cu viteza si diametrul d₁, care loveste un perete plan de intindere infinita, inclinat cu unghiul  fata de orizontala (figura 5.7).

Alegand sectiunile 1 si 2 ca in figura 5.7, forta de impuls a jetului asupra peretelui se poate afla prin proiectarea ecuatiei (5.12) pe directia axei Ox astfel

unde s-a tinut seama ca jetul este liber, deci are, in orice sectiune, presiunea atmosferica p₀, iar aceasta nu creeaza forte de presiune, iar pe de alta parte s-a neglijat greutatea lichidului din volumul de control (cuprins intre sectiunile 1 si 2).

Din relatia precedenta se exprima

(5.38)

Valoarea maxima a fortei de impuls corespunde cazului in care peretele este dispus vertical.

2.2. Cazul peretelui de dimensiuni finite

Din punct de vedere practic, daca jetul de fluid isi epuizeaza energia cinetica inainte de a atinge marginile peretelui, acesta poate fi considerat de intindere infinita. In cele ce urmeaza, se admite ca peretele, de forma unui disc, are diametrul relativ mic, astfel incat jetul de fluid care-l loveste central, pe directie normala, sa-si continue drumul dupa ce paraseste peretele, pe o directie inclinata cu unghiul  fata de directia jetului incident (figura 5.8).

Proiectia teoremei impulsului (5.12) pe axa Ox are forma

din care se obtine

Daca se scrie ecuatia energiei (5.25) intre sectiunile 1 si 2, avand in vedere ca p₁ = p₂ = p₀, iar z₁ = z₂ = 0 pentru cazul cand axa orizontala a jetului incident este aleasa ca linie de referinta, rezulta ca v₂ = v₁, deci

(5.39)

2.3. Cazul peretelui de dimensiuni finite cu marginea curbata in unghi drept spre amonte

Forma marginii exterioare a peretelui obliga jetul de fluid care paraseste peretele sa-si continue drumul pe directia din care a venit, dar in sens contrar. In aceste conditii, proiectia pe axa Ox a teoremei impulsului este

deci

unde se poate demonstra ca v₂ = v₁ la fel ca in §2.2, deci

(5.40)

3. Pierderea locala de sarcina hidraulica la marirea brusca a diametrului conductei

Desi, in acest capitol, fluidele sunt considerate perfecte, deci lipsite de vascozitate, miscarea lor prin conducte poate fi asociata uneori cu disiparea unei parti din energia totala. Astfel, cresterea brusca a sectiunii transversale a conductei determina formarea unor vartejuri in aval de aceasta zona, fapt care conduce la transformarea unei parti din energia cinetica in energie termica, disipata catre mediul ambiant. In ecuatia conservarii energiei mecanice (5.25) trebuie adaugat termenul energiei disipate, exprimat sub forma de inaltime, care se numeste si pierdere locala de sarcina hidraulica.

Se aleg sectiunile 1 si 2 conform figurii 5.10, se ia ca linie de referinta axa Ox si se scriu ecuatiile impulsului si energiei astfel

(5.41)

(5.42)

unde forta de impuls este nula deoarece fluidul se deplaseaza in lungul conductei rectilinii, iar h_l este pierderea locala de sarcina hidraulica.

Conform ecuatiei continuitatii, Q = v₂ A₂, deci relatia (5.41) devine, dupa simplificare cu A₂,

iar din expresia (5.42) se obtine egalitatea

Identificand ecuatiile precedente se ajunge la expresia

(5.43)

cunoscuta sub numele de formula Borda - Carnot.