Aproximatia Stokes; miscari 2-D si 3-D

Aproximatia Stokes; miscari 2-D si 3-D

Aproximatia Stokes a ecuatiei Navier-Stokes se obtine din (11.3) prin neglijarea fortelor masice de inertie, ceea ce este echivalent cu ipoteza Re 0 (v. relatia (7.1)).

Miscarile plane sunt miscari bidimensionale (respectiv miscari 2-D), independente de axa Ox₃, axa considerata perpendiculara pe planul in care are loc miscarea, x₃ = constant (v. figura 11.12). Intr-o astfel de miscare, ecuatiile (11.6) devin

, (11.100)

, (11.101)

,

unde campul de presiune (in care se poate include si forta masica) si cele doua componente ale vitezei nu depind decat de coordonatele x₁ si x₂, cu v₃ = 0.

Un alt caz apropiat miscarii 2-D este miscarea plan-paralela, curgerea fiind caracterizata de campul de viteze v₁(x₃) si v₂(x₃), x₃ definind directia normala planului in care are loc miscarea (v. §11.4).

Revenind la miscarea plana si folosind definitia functiei de curent

,

rezulta imediat ca singura componenta a rotorului vitezei (ce este indreptata pe directia axei Ox₃) are expresia

, (11.104)

ecuatia de continuitate (11.102) fiind satisfacuta identic.

Fig. 11.12. Miscarea plana a unui curent de fluid in jurul unui corp.

Relatiile (11.100) si (11.101) capata astfel expresiile

, (11.105)

, (11.106)

ceea ce este echivalent cu relatia

. (11.107)

Adoptand un formalism similar se pot studia si miscarile axial simetrice.

Deci, intr-o miscare plana, permanenta si izocora, ecuatia de miscare a unui fluid Newtonian in aproximatia Stokes se reduce la faptul ca functia de curent este biarmonica in domeniul curgerii, presiunea si vartejul fiind armonic conjugate.

Folosind aceeasi metodologie, se obtine expresia completa a ecuatia Navier-Stokes (11.4) pentru miscarea plana in care unica necunoscuta este functia de curent , respectiv

(11.108)

Relatiile (11.105) si (11.106) reprezinta conditiile Cauchy-Riemann pentru ca functia complexa

(11.109)

sa fie olomorfa (aici reprezinta coordonata din planul complex).

In consecinta, miscarea analizata se poate studia cu ajutorul functiilor complexe.12

Solutii analitice exacte pentru ecuatia (11.107) se pot obtine daca domeniul plan in care are loc curgerea permite formularea unor conditii la limita corespunzatoare pentru linia de curent. Ca exemple de miscari ce se preteaza la o astfel de rezolvare putem remarca: (i) miscarea generata de rotatia unui cilindru infinit in apropierea unui plan13 si (ii) miscarea generata de translatia unui piston intr-un canal plan.

Un tip de miscare ce se poate considera similar miscarii plane, respectiv plan-paralele, este miscarea ce are loc intre doua plane foarte apropiate, axa x fiind perpendiculara pe aceste plane (v. figura 11.13).

Fig. 11.13 Miscarea Hele-Shaw intre doua plane paralele; distanta h dintre cele doua plane este cu mult mai mica decat dimensiunile caracteristice pe directiile Ox si Ox , componenta vitezei v₃ fiind

identic nula.

Intr-o astfel de miscare, denumita miscarea Hele-Shaw sau miscarea pseudo-paralela15, cinematica miscarii este descrisa de urmatoarele componente ale vitezei:

(11.110)

Pentru domenii complexe ale curgerii, miscarile plane, axiale simetrice sau in cazul general miscarile tridimensionale (3-D) sunt solutionate numeric. O astfel de rezolvare, avand la baza metoda diferentelor finite aplicata ecuatiei (11.108) pentru miscarea permanenta in jurul diferitelor corpuri aflate intr-un canal plan, este prezentata in Dumitrescu si Cazacu16. In prezent exista numeroase coduri numerice ce permit rezolvarea completa 3-D a ecuatiei Navier-Stokes avand la baza metode numerice dintre cele mai diverse (diferente finite, element finit, volum finit, analiza spectrala).

Dintre codurile numerice comerciale cele mai folosite se remarca FLUENT, FIDAP, POLYFLOW, PDFLEX. In figura 11.14 se prezinta solutia numerica a ecuatiei Navier - Stokes pentru miscarea plana stationara in jurul unui profil "T", comparativ cu vizualizarile obtinute experimental (codul FLUENT,   Re = 40). In figura 11.15 este reprezentata solutia numerica pentru curgerea plana intr-o bifurcatie (codul POLYFLOW, Re = 1000). In prezent in cadrul laboratorului REOROM din UPB se desfasoara un program de investigare experimentala a curgerii fluidelor viscoelastice in bifurcatii, cu aplicatii in domeniul bio-medical (v. figura 11.16). Asa cum se poate observa, rezultatele experimentale si cele numerice sunt calitativ similare.

Analizand structura curgerilor laminare plane si axial simetrice in geometrii complexe, respectiv spectrul curgerii (distributia linilor de curent in campul curgerii), se observa existenta unor zone de recirculare ("separare") a curentului de fluid numite si curgeri "secundare 2-D" (v. figurile 11.14 si Curgerile secundare 2-D apar la schimbarea directiei sau sectiunii curgerii principale, respectiv amonte sau aval de corpurile ce se afla in curentul de fluid, la numere Reynolds mai mari decat o valoare Re_cr1 determinata de geometria locala a curgerii.

Miscarea isi pastreaza insa caracterul laminar pana la atingerea numarului Reynolds critic Re_crt, Re_crt > Re_cr1, corespunzator aparitiei miscarii turbulente. Aparitia unei suprafete de separare in domeniul curgerii nu este numai "preludiul" miscarii turbulente. In unele cazuri curgerile secundare 2-D anticipeaza aparitia miscarilor laminare 3-D in configuratii plane sau axial simetrice. Dintre exemplele "clasice" se mentioneza: (i) curgerea la o largire brusca de sectiune (v. figura 11.17) si (ii) curgerea intr-o conducta cilindrica curba (v. figura 11.18).

a b

Fig. 11.14. Distributia linilor de curent in jurul unui profil "T": a - simulare numerica; b - experiment (simularile numerice au fost realizate folosind codul FLUENT la T. U. Darmstadt, pe aceasta cale autorul multumeste Prof. K. Hutter pentru asistenta acordata; experimentele s-au realizat in cadrul Laboratorului de strat limita si turbulenta din UPB, sub indrumarea Prof. V.

Panaitescu, cu sprijinul dr. ing. Daniela Nistoran si dr. ing. E. Brujan).

a