CONUL DE FRECARE

1. FRECAREA SI LEGILE EI

Legile si proprietatile fortei de frecare sunt enuntate intr-o forma aproximativa in manualele de liceu. In cele ce urmeaza prezentam o exprimare mai nuantata a lor:

1. Forta de frecare la alunecare NU depinde de ARIA suprafetei de contact.

2. Forta de frecare la alunecare este direct proportionala cu FORTA DE APASARE NORMALA.

3. Forta de frecare la alunecare depinde de NATURA si de RUGOZITATEA (gradul de prelucrare) suprafetelor aflate in contact.

4. Forta de frecare la alunecare este mai mare decat forta de frecare la rostogolire.

5. Forta de frecare este orientata in sens opus miscarii; in caz de repaus relativ, ea este orientata in sens opus TENDINTEI INSTANTANEE DE MISCARE.

In cele ce urmeaza ne vom ocupa de cateva chestiuni interpretative legate de frecare.

A doua din legile enuntate mai sus se intalneste in manuale sub urmatorul enunt matematic:

( 1.1 ) F_f = m N.

Precizam de la inceput ca relatia anterioara este corecta dar INCOMPLETA. Sa o analizam mai in detaliu, pornind de la urmatoarea situatie:

Deoarece corpul se poate misca NUMAI PE ORIZONTALA, forta de apasare normala este egala cu greutatea:

( 1.2 ) N = G, deci NUMERIC:

( 1.3 ) N = 100 N.

Inlocuind aceasta valoare in relatia ( 1.1 ) gasim:

( 1.4 ) F_f = 10 N.

Sa presupunem ca actionam asupra corpului cu o forta F = 1 N paralela cu suprafata de contact (vezi fig. 1.1). Ca efect (al principiului actiunilor reciproce) asupra corpului actioneaza o forta de frecare orientata IN SENS OPUS fortei F (vezi fig. 1.2 in care NU am reprezentat fortele normale pe suprafata de contact dintre corpuri).

Conform relatiei ( 1.4 ) aceasta este de 10 N. Rezultanta dintre forta F si cea de frecare are valoarea de 9 N fiind orientata in sens opus fortei F.

Aceasta AR insemna ca, sub actiunea celor doua forte, corpul incepe sa se miste

ACCELERAT IN SENSUL FORTEI DE FRECARE !!

Fig. 1.1 Fig. 1.2

Sa gasim care a fost greseala din precedentul rationament.

Vom porni de la faptul cunoscut conform caruia frecarea este o forta DE REACTIUNE ( reactiunea asperitatilor microscopice ale suprafetelor de contact la forta de tractiune).

Pornind de la aceasta observatie, este evident ca, daca ACTIUNEA este de 1 N si reactiunea va fi tot de 1 N !!

Daca actiunea va fi de 2, 3, 4, ,10 ( N ), reactiunile corespunzatoare vor avea aceleasi valori (de 2, 3, 4, ,10). Aceasta egalitate se va respecta pana cand actiunea ajunge la 10 N. Am ajuns, pentru FORTA DE TRACTIUNE la valoarea limita pentru care corpul isi mai pastreaza starea initiala de miscare (repaus relativ).

Marind valoarea fortei de tractiune, apare situatia de rupere a contactului intre asperitatile suprafetelor aflate in contact. Aceasta inseamna ca forta de frecare NU POATE LUA VALORI MAI MARI decat o valoare MAXIMA, caracteristica fiecarei PERECHI de corpuri aflate in contact.

Rezulta ca, utilizand relatia ( 1.1 ) vom calcula valoarea maxima a fortei de frecare, ea putand lua valori DE LA ZERO pana la aceasta VALOARE MAXIMA. Aceasta constatare ne permite sa reformulam exprimarea matematica a acestei legi a frecarii:

( 1.5 )

Pentru a cuprinde atat cazurile de repaus relativ, cat si cele de miscare relativa, vom utiliza urmatoarea exprimare:

, in care produsul ( mN ) reprezinta valoarea MAXIMA a fortei de frecare. Aceasta valoare se atinge in cazul LIMITA de repaus al corpului pe suprafata de sprijin.

b)     in caz de miscare relativa:

F_f = m N.

In cele ce urmeaza, ne vom ocupa de cea de-a cincea lege enuntata mai sus.

Sunt numeroase cazurile in care, pentru studiul unui fenomen fizic este necesara precizarea SENSULUI in care este orientata forta de frecare. Dificultati apar in situatiile in care corpul studiat se afla IN REPAUS fata de suprafata pe care este asezat, dat fiind ca la nivelul la care sunt expuse fenomenele fizice in acele lucrari accesibile majoritatii elevilor se trateaza de obicei cazul miscarii relative.

Tinand seama de faptul ca FRECAREA ESTE O FORTA DE REACTIUNE, dificultatea semnalata se poate depasi utilizand urmatorul rationament:

- ne imaginam ca NU ar exista frecare.

daca in aceasta situatie, sub actiunea fortelor aplicate, corpul s-ar misca accelerat intr-un ANUMIT sens, acesta reprezinta sensul TENDINTEI INSTANTANEE DE MISCARE.

- deci frecarea va fi orientata IN SENS OPUS sensului acceleratiei.

- daca sub actiunea fortelor aplicate corpul isi va pastra starea de miscare, frecarea va fi nula.

Vom exemplifica o astfel de situatie prin urmatoarea:

PROBLEMA

SOLUTIE

Prima constatare este ca greutatea plata-

nului fara mase marcate este mai mica decat gre-

utatea lui m₁:

G₁ = m₁g = 9,80 N M

G₂ = m₂g = 0,98 N

Aceasta inseamna ca, lasat liber, sistemul

se va misca in sensul coborarii lui m₁.

Consideram ca, printr-un mijloc oarecare m₁

putem mari in mod continuu masa corpurilor ase-  m₂

zate pe platan. Apare evident faptul ca, o data cu fig. 1.3

marirea masei (m₁ + m_x), acceleratia sistemului

scade. Pentru o valoare totala (m₁ + m_min) a masei atarnate de acest capat al firului, acceleratia sistemului atinge valoarea ZERO. Este situatia LIMITA de echilibru.

Se pune intrebarea:

- in acest caz in ce sens este orientata forta de frecare ?

Pentru a raspunde la aceasta, ne imaginam ca nu exista frecare. In acest caz, sistemul s-ar misca in sensul URCARII platanului. Acesta este sensul TENDINTEI INSTANTANEE DE MISCARE.

Deoarece forta de frecare reprezinta reactiunea asperitatilor suprafetei de sprijin, rezulta ca ea va fi orientata in sens opus tendintei de miscare a sistemului.

Situatia aflata in discutie este reprezentata in figura 1.4

Considerand ca SENS POZITIV sensul tendintei instantanee de miscare vom scrie, conform principiului inertiei ca:

( 1.6 ) M

si scalar, cu proiectiile fortelor:

( 1.7 ) G₁ G₂ G_X F_f = 0 de unde: m₁

( 1.8 ) G_X = G₁ G₂ F_f in care: fig.1.4 m₁ + m_min

( 1.9 ) G_X = g m_min; G₁ = m₁g; G₂ = m₂g; F_f = mMg.

Inlocuind expresiile ( 1.9 ) in ( 1.8 ), dupa efectuarea calculelor se obtine pentru masa minima valoarea:

( 1.10 ) m_min = 0,50 kg.

Rationand analog, atunci cand pe platan se afla masa maxima pentru care sistemul studiat mai poate ramane in repaus, obtinem valoarea MAXIMA pentru corpul m_x:

( 1.11 ) m_max = 1,30 kg.

Coreland rezultatele furnizate de relatiile ( 1.10 ) si ( 1.11 ) scriem ca, pentru ca sistemul considerat sa poata indeplini conditiile cerute de textul problemei, masa asezata pe platan trebuie sa apartina intervalului inchis:

( 1.12 ) m_x [ 0,50; 1,30 ] kg.

Pentru fixarea acestor deprinderi de analiza a unor fenomene legate de frecare, vom mai studia o:

PROBLEMA

SOLUTIE:

Deoarece NU cunoastem sensul in care se va misca sistemul, (ceea ce ne-ar permite sa tinem seama de frecare), vom determina mai intai proiectiile fortelor aplicate pe directia posibilitatii de miscare permisa de legaturi.

Este vorba de componenta tangentiala a greutatii corpului M:

( 1.13 ) G_t = Mg sin (a) = 9,8 N

si de greutatea lui m₁, greutate care, pentru cele doua cazuri are valorile:

( 1.14 ) G₁ = 5,88 N respectiv:

( 1,15 ) G₂ = 11,76 N.

In primul caz G_t> G₁, deci TENDINTA INSTANTANEE DE MISCARE va fi IN JOS PE PLANUL INCLINAT. Aceasta inseamna ca forta de frecare va fi orientata IN SUS PE PLANUL INCLINAT. Este situatia reprezentata in fig. 1.6 unde NU am figurat perechea de forte ACTIUNE REACTIUNE (normale pe suprafata de contact).

Pentru a gasi acceleratia sistemului de corpuri fata de un observator exterior (S.R.I. exterior) utilizam METODA IZOLARII CORPURILOR.

Aceasta consta in urmatoarele:

- ne imaginam ca taiem fiecare fir, inlocuind actiunea firelor asupra corpurilor cu cate o forta atat de mare si astfel orientata incat starea de miscare a fiecarui corp sa NU se modifice in urma taierii (mintale) a firelor.

Sa izolam fiecare corp. Pentru corpul M am reprezentat in fig. 1.6 fortele care actioneaza asupra lui, tinand seama ca fiecare este orientata in sus pe planul inclinat. Conform principiului fundamental al dinamicii, vom scrie:

( 1.16 ) Ma₁ = Mg sin(a) - mMg cos (a) T₁

Izoland corpul m₁ (vezi fig.1.7) explicitam (scalar) principiul fundamental al dinamicii sub forma:

( 1.17 ) m₁a₁ = T₁ m₁g.

(+)

(+)

 

fig.1.6  fig 1.7

Cu ultimele doua relatii putem forma un sistem de ecuatii care, rezolvate in raport cu necunoscutele a si T₁ ne conduc la rezultatele numerice.

SOLUTIE:

Deoarece NU cunoastem sensul in care se va misca sistemul, (ceea ce ne-ar permite sa tinem seama de frecare), vom determina mai intai proiectiile fortelor aplicate pe directia posibilitatii de miscare permisa de legaturi.

Este vorba de componenta tangentiala a greutatii corpului M:

( 1.13 ) G_t = Mg sin (a) = 9,8 N

si de greutatea lui m₁, greutate care, pentru cele doua cazuri are valorile:

( 1.14 ) G₁ = 5,88 N respectiv:

( 1,15 ) G₂ = 11,76 N.

In primul caz G_t> G₁, deci TENDINTA INSTANTANEE DE MISCARE va fi IN JOS PE PLANUL INCLINAT. Aceasta inseamna ca forta de frecare va fi orientata IN SUS PE PLANUL INCLINAT. Este situatia reprezentata in fig. 1.6 unde NU am figurat perechea de forte ACTIUNE REACTIUNE (normale pe suprafata de contact).

Pentru a gasi acceleratia sistemului de corpuri fata de un observator exterior (S.R.I. exterior) utilizam METODA IZOLARII CORPURILOR.

Aceasta consta in urmatoarele:

- ne imaginam ca taiem fiecare fir, inlocuind actiunea firelor asupra corpurilor cu cate o forta atat de mare si astfel orientata incat starea de miscare a fiecarui corp sa NU se modifice in urma taierii (mintale) a firelor.

Sa izolam fiecare corp. Pentru corpul M am reprezentat in fig. 1.6 fortele care actioneaza asupra lui, tinand seama ca fiecare este orientata in sus pe planul inclinat. Conform principiului fundamental al dinamicii, vom scrie:

( 1.16 ) Ma₁ = Mg sin(a) - mMg cos (a) T₁

Izoland corpul m₁ (vezi fig.1.7) explicitam (scalar) principiul fundamental al dinamicii sub forma:

( 1.17 ) m₁a₁ = T₁ m₁g.

(+)

(+)

 

fig.1.6  fig 1.7

Cu ultimele doua relatii putem forma un sistem de ecuatii care, rezolvate in raport cu necunoscutele a si T₁ ne conduc la solutia numerica a problemei.

2. UNGHIUL DE FRECARE

Fie un corp asezat pe un plan inclinat, plan a carei inclinare fata de orizontala poate fi modificata:

( 2.1 ) a [ 0 ; 90⁰ ]

Sa ne imaginam ca marim foarte incet inclinarea planului. Ca efect, creste componenta tangentiala a greutatii. Tinand seama de cele expuse mai sus, anume ca forta de frecare este o forta DE REACTIUNE, este evident faptul ca si aceasta va creste de la zero, fiind in fiecare moment EGALA CU GREUTATEA TANGENTIALA.

De asemenea, am precizat ca frecarea nu poate creste oricat, ci numai pana la valoarea maxima data de relatia ( 1.5 ).

Rezulta ca exista o valoare maxima a unghiului format de planul inclinat, unghi pentru care corpul studiat MAI POATE ramane in repaus pe planul inclinat.

Acest unghi il numim UNGHI DE FRECARE (notat cu simbolul ). Aceasta situatie este reprezentata in fig. 2.1.

Conditia LIMITA de echilibru se exprima prin conditia:

( 2.2 ) G_t = F_f in care:

( 2.3 ) G_t = mg sin() si

( 2.4 ) F_f = mg cos(). fig.2.1

Inlocuind ultimele doua relatii in ( 2.2 ), dupa efectuarea unor calcule elementare se gaseste:

( 2.5 ) m = tg().

In multe probleme (a caror rezolvare necesita cunoasterea coeficientului de frecare) se precizeaza valoarea unghiului de frecare. Ultima relatie ne permite cunoasterea lui m atunci cand se cunoaste (si reciproc).

3. CONUL DE FRECARE

Metodele 'clasice' de rezolvare a problemelor in care intervine frecarea sunt, de cele mai multe ori greoaie, deoarece proiectarea fortelor pe axele unui sistem de coordonate convenabil ales ne conduce la rezolvarea unui sistem de ecuatii, rezolvare care uneori necesita calcule destul de laborioase.

In cele ce urmeaza vom prezenta si exemplifica o metoda care, evitand aceste dificultati de calcul, permite uneori SCRIEREA DIRECTA A REZULTATULUI

Pentru aceasta, trebuie sa definim ceea ce, in literatura de specialitate se numeste 'conul de frecare

Precizam ca in rationamentele (si figurile) urmatoare vom reprezenta doar fortele ACTIVE, nu si reactiunile.

PRECIZARE: forta de frecare este - dupa cum am aratat mai sus - o forta de reacti-une!

Fie un corp asezat pe o suprafata orizontala. Asupra lui actioneaza forta egala cu forta de frecare MAXIMA posibila in conditiile date.

Ea se considera cuprinsa intr-un plan paralel cu suprafata de contact dintre corp si suprafata de sprijin.

Rezultanta dintre greutatea corpuluisi aceasta forta , formeaza cu NORMALA la suprafata de contact unghiul b

In cele ce urmeaza ne propunem sa demonstram ca acest unghi este egal cu unghiul de frecare . Pentru aceasta vom exprima functia tangenta a unghiului b

( 3.1 )

in care, deoarece forta F are valoarea MAXIMA pentru care NU se schimba starea de miscare a corpului studiat:

( 3.2 ) F = mG

Inlocuind ( 3.2 ) in ( 3.1 ) si apoi tinand seama de relatia ( 2.5 ) rezulta ca:

( 3.3 ) b = .

b

fig.3.1 fig.3.2

Sa ne imaginam ce se intampla daca forta SE ROTESTE in jurul punctului sau de aplicatie intr-un plan PARALEL CU SUPRAFATA DE CONTACT dintre corpul studiat si suprafata de sprijin.

Rezultanta dintre aceasta forta si greutatea corpului se va roti in jurul normalei la suprafata de contact, descriind suprafata unui con.

Acesta se numeste : CONUL DE FRECARE

Analiza figurii 3.2 ne permite sa formulam urmatoarele:

Proprietati ale conului de frecare

4. APLICATII

In cele ce urmeaza ne propunem sa aplicam acest model la rezolvarea unor probleme in care intervin forte de frecare.

La cateva probleme vom prezenta si o metoda 'clasica' de rezolvare cu scopul de a facilita comparatia intre cele doua metode.

METODA I

Conform principiului inertiei, corpul se misca UNIFORM daca suma vectoriala a fortelor care actioneaza asupra lui este NULA.

In cazul aflat in studiu, fortele aplicate sunt (vezi fig. 4.1):

- greutatea proprie ,

- reactiunea normala ,

- forta activa si

- forta de frecare

Consideram corpul ca fiind punctiform

si un sistem de axe de coordonate cu originea

in punctul in care se afla corpul. Axele acestuia

sunt orientate dupa cum urmeaza:

- axa OX pe directia de deplasare a cor-

pului si

- axa OX pe directia normalei la supra- fig.4.1.1

fata de contact.

Descompunem forta in doua componente orientate de-a lungul celor doua axe considerate:

( 4.1.1 )

forte ale caror module se pot calcula cu ajutorul relatiilor:

( 4.1.2 ) Fx = F cos (b) respectiv:

( 4.1.3 ) F_y = F sin(b

Deoarece pentru valoarea fortei de frecare la alunecare in caz de miscare relativa putem scrie:

( 4.1.4 ) R = mN,

in care N reprezinta modulul fortei de apasare normala, forta care, conform fig. 4.1.1 satisface egalitatea:

( 4.1.5 ) N = G - F_y ,

rezulta, pentru forta de frecare:

( 4.1.6 ) R = m ( G - F_y ) ,

si explicit, cu notatia ( 4.1.3 ) gasim:

( 4.1.7 ) R = m [G - F sin (b

Miscarea uniforma fiind conditionata de indeplinirea egalitatii:

( 4.1.8 ) F_x = R,

procedam la inlocuirea in ( 4.1.8 ) a egalitatilor ( 4.1.2 ) si ( 4.1.7 ) pentru a obtine:

( 4.1.9 ) F cos(b m [G - F sin (b

relatie din care se poate explicita modulul fortei . Tinand seama de relatia ( 2.5 ) in care exprimam functia tg(b) ca fiind raportul dintre sin(b) si cos (b), dupa efectuarea unor calcule elementare obtinem:

( 4.1.10 ) .

In aceasta relatie numaratorul este o marime CONSTANTA. Singura marime VARIABILA este unghiul b (care apare in expresia de la numitor . Rezulta ca fractia atinge un MINIM daca numitorul este MAXIM. Deoarece numitorul este o functie armonica, valoarea acestui maxim este egala cu unitatea:

( 4.1.11 ) cos (b-) = 1,

si aceasta are loc daca:

( 4.1.12 ) b = j

Interpretarea fizica a acestei egalitati este urmatoarea.

Forta MINIMA care deplaseaza UNIFORM corpul, trebuie sa formeze cu orizontala un unghi egal cu unghiul de frecare.

METODA II

In fig. 4.1.2 am reprezentat greutatea a corpului asezat pe suprafata de sprijin precum si conul de frecare. Acesta are axa de simetrie normala pe suprafata de contact.

Conform celor expuse mai sus, pentru

a deplasa UNIFORM corpul, rezultanta din-

tre greutatea si forta aplicata din exteri- b

or sub unghiul b trebuie sa cada pe generatoa-

rea conului de frecare

Vom determina GRAFIC rezultanta a-

cestor doua forte utilizand regula triunghiului:

deplasam vectorul forta paralel cu el insusi

pana cand punctul lui de aplicatie coincide cu

varful vectorului greutate. b

Atunci, vectorul care are originea in

punctul de aplicatie al greutatii si extremita-

tea in varful fortei aplicate, este vectorul forta

TOTALA. Pentru cazul studiat, acest vector

trebuie sa fie orientat pe directia generatoarei fig. 4.1.2

conului de frecare

Reamintim ca in cadrul acestui model studiem numai fortele active NU si reactiunile.

Exista o infinitate de vectori care unesc varful greutatii cu panza conului de frecare. Dintre acestia, valoarea MINIMA o are vectorul care este NORMAL pe suprafata interioara a conului (vezi fig. 4.1.2).

Unghiul format de acest vector, cu un plan orizontal care include punctul lui de aplicatie, este unghiul b cautat. Studiul geometric al figurii 4.1.2 pune in evidenta perpendicularitatea laturilor unghiurilor b si , deci solutia problemei este:

( 4.1.13 ) b = j.

Am ajuns la acelasi rezultat ca si in cazul primei metode, dar FARA A FI NECESARE CALCULE !!! Mai este necesara comparatia intre cele doua metode?

METODA - l

Utilizand relatia cunoscuta pentru acceleratia cu care un corp lasat liber pe un plan inclinat coboara pe acesta:

( 4.2.1 ) a_c = g [ sin(a) - cos(a) ],

dupa inlocuirea numerica in care exprimam pe m ca fiind tg(), obtinem pentru acceleratie o valoare NEGATIVA :

( 4.2.2 ) a_c = 0,57 m/s².

Interpretarea fizica a semnului minus AR FI aceea ca, de fapt, corpul URCA PE PLA-NUL INCLINAT.

Deoarece un asemenea fenomen NU poate avea loc de la sine, rezulta ca in conditiile problemei corpul nu isi poate schimba starea de miscare, (va ramane in repaus relativ pe plan).

Aceasta situatie apare deoarece componenta tangentiala a greutatii este mai mica decat forta de frecare MAXIMA corespunzatoare situatiei date.

La acelasi rezultat se poate ajunge, mai simplu, cu:

METODA - 2

Am reprezentat in fig. 4.2.1 greutatea

a corpului si conul de frecare cu axa de

simetrie NORMALA PE SUPRAFATA DE

CONTACT. Deoarece, conform textului pro-  a

blemei: > a, greutatea corpului cade IN

INTERIORUL conului de frecare. Aceasta a

inseamna ca, in general, corpul se va misca

incetinit pana la oprire. In cazul particular in

care initial corpul era in repaus (cazul proble-

mei studiate), el va ramane nemiscat pe pla-

nul inclinat.

fig. 4.2.1

Corpul studiat se va misca accelerat daca rezultanta dintre greutatea proprie si forta aplicata (constanta in modul) cade IN EXTERIORUL conului de frecare.

Mai mult decat atat, acceleratia va fi

cu atat mai mare in modul, cu cat aceasta

rezultanta va iesi mai mult din panza conu-

lui (in exterior). Utilizand regula triunghiu-

lui pentru compunerea celor doua forte apli-  j

cate, extremitatea vectorului se gaseste

pe circumferinta unui cerc ce are centrul in

varful greutatii. Acest vector va iesi cel mai

mult din con, daca este perpendicular pe o a

generatoare.

In acest caz, unghiul format de cu

orizontala va fi: fig.4.3.1

( 4.3.1 ) a =

Vom considera caramida ca fiind un punct material, punct in care plasam varful conului de frecare. Axa de simetrie a conului, (in general - normala pe suprafata de contact) este orizontala - in cazul problemei aflata in studiu.

Conditia limita de echilibru a corpului pe perete se indeplineste atunci cand rezultanta dintre greutatea proprie a caramizii si forta de apasare normala pe perete este orientata pe directia generatoarei conului de frecare.

Deoarece, in acest caz:

( 4.4.1 ) ,

rezulta ca:

si numeric:

( 4.4.3 ) . fig.4.4.1

Fie rezultanta dintre si . Pentru

ca lada sa se miste uniform, rezultanta trebu-

ie sa fie orientata dupa generatoarea conului de

frecare ( vezi fig. 4.5.1 ). Pentru ca lada sa urce

uniform planul inclinat, vectorul trebuie sa fie b

orientat dupa acea generatoare a conului de fre- a

care ce este CEA MAI DEPARTATA de gre-

utate.

Cea mai mica forta ce, impreuna cu gre-

utatea, da o rezultanta care indeplineste aceasta a

conditie, este aceea care este normala pe panza

conului

Ea formeaza cu orizontala unghiul (a + ).

Dar, conform textului, ea este inclinata cu

unghiul b fata de planul inclinat, formand cu ori-

zontala unghiul a + b. Rezulta ca:

( 4.5.1 ) a + b = a + , de unde

( 4.5.2 ) b = j = 15⁰. fig.4.5.1

Deoarece < a, daca planul inclinat

este in repaus fata de un S.R.I. exterior, cole-

tul va aluneca accelerat catre baza planului.

Aceasta ne permite sa afirmam ca,

pentru a asigura conditia de nealunecare pe

plan, acesta din urma trebuie sa se miste acce-

lerat spre stanga figurii 4.6.1.

Ca efect, fata de un S.R.N. solidar cu

planul, asupra coletului, in afara de greutatea

proprie , mai actioneaza, pe directia orizon-

tala, forta de inertie (ca forta aplicata). Din 

analiza figurii 4.6.1 rezulta ca exista DOUA

valori - limita ale fortei de inertie, valori pen-

tru care rezultanta:

( 4.6.1 ) fig. 4.6.1

este orientata pe directiile generatoarelor conului de frecare aflate in plan vertical. Le vom nota cu respectiv cu .

In cele doua cazuri, rezultanta formeaza cu verticala unghiurile (a - j), respectiv (a j). Putem scrie ca:

( 4.6.2 ) .

Explicitand F si G ca fiind:

( 4.2.3 ) F = ma, respectiv G = mg, dupa inlocuirea in ( 4.6.2 ) si simplificarea cu

masa coletului, se obtine:

( 4.6.4 ) ,

ceea ce, dupa inlocuiri si calcule numerice ne conduce la valorile:

( 4.6.5 ) , respectiv:

( 4.6.6 ) .

Deci, pentru a asigura conditia de nealunecare a coletului pe planul inclinat, acesta din urma trebuie sa se miste accelerat cu o acceleratie care satisface dubla inegalitate:

( 4.6.7 )

Un rationament analog celui din problema anterioara ne conduce la afirmatia ca acceleratia centripeta a automobilului trebuie sa satisfaca dubla inegalitate:

( 4.7.1 )

in care, pentru acceleratia centripeta consideram expresia cunoscuta:

( 4.7.2 ) . Cu acestea, pentru viteza maxima:

( 4.7.3 ) ,

de unde:

( 4.7.4 ) a + j = 25,02⁰ = 25⁰01'27'' 25⁰.

Aceasta ne permite sa calculam unghiul de frecare:

( 4.7.5 ) j = 10⁰.

Pentru a determina viteza minima posibila cu care se poate ataca virajul, consideram prima inegalitate din ( 4.7.1 ):

( 4.7.6 ) , de unde:

( 4.7.7 ) ,

ceea ce ne conduce la urmatoarea valoare numerica:

( 4.7.8 ) V_min = 9,26 m/s = 33,34 Km/h.

Pe o sosea cu suprafata orizontala ( fig. 4.8.1 ) vitezei maxime posibile V₀ fata de un S.R.N. solidar cu corpul ii corespunde o forta centrifuga de inertie care, impreuna cu greutatea automobilului trebuie sa dea o rezultanta inclinata cel mult cu unghiul j fata de verticala. Deci:

( 4.8.1 )

In cazul unei sosele suprainaltate, conditia de nealunecare laterala la viteza maxima se exprima prin:

( 4.8.2 ) ,

de unde, pentru viteza maxima in aceste conditii:

( 4.8.3 )

Impartind membru cu membru relatia ( 4.8.3 )

la ( 4.8.1 ) se gaseste:

( 4.8.4 ) fig. 4.8.1

In cele ce urmeaza va propunem cateva probleme care, pe langa metode clasice, admit rezolvari-fulger, utilizand notiunea de con de frecare,

1. Pe suprafata interioara a unui trunchi de con, situat cu baza mica in jos, se roteste un mobil cu viteza constanta, traiectoria lui fiind un cerc aflat in plan orizontal. Pentru o anumita valoare a vitezei tangentiale a corpului, acesta este la limita de alunecare catre baza mica (in jos). Daca viteza mobilului se dubleaza, acesta se va afla la limita de alunecare catre baza mare (in sus). Sa se determine valoarea coeficientului de frecare dintre corp si suprafata interioara a corpului, daca unghiul format de generatoare cu baza mica a trunchiului de con este de 135⁰.

R > μ = 1/3.