Ecuatia Vlasov. Ecuatia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck

Ecuatia Vlasov. Ecuatia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck

Pentru includerea ciocnirilor binare ecuatia Hartree-Fock dependenta de timp poate fi cuplata cu o ecuatie Master. Ecuatia Master ia in considerare probabilitatile de ocupare, , pentru starile uniparticula n_i. Ea se scrie, in general, astfel

, (III.31)

unde w_nm este probabilitatea de tranzitie din starea n in starea m, iar w_mn este probabilitatea de tranzitie din starea m in starea n.

În unele teorii, se propune inlocuirea probabilitatii de tranzitie P_n(t), cu o functie Wigner, . Proprietatile fundamentale ale functiei Wigner sunt:

, (III.32)

. (III.33)

Prin folosirea ecuatiei Boltzmann (III.29) si a aproximatiei Born

, (III.34)

se obtine definirea termenului de ciocnire din relatia (III.30).

În expresia aproximatiei Born data de relatia (III.34), este masa redusa a sistemului, iar este sectiunea eficace diferentiala pentru interactia considerata.

Daca se considera derivata totala a functiei Wigner dependente de timp, , si se pune conditia:

se obtine ecuatia Vlasov:

, (III.35)

unde .

Daca se ia in considerare expresia termenului de ciocnire care se obtine din ecuatia Boltzmann si aproximatia Born, pentru o functie de tip Wigner, anume:

, (III.36)

si se pune conditia urmatoare pentru derivata totala a functiei:

se obtine ecuatia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck ecuatia VUU):

(III.37)

În relatiile de mai sus s-au considerat ciocniri binare. Pentru starea initiala impulsul total este , iar pentru starea finala este ; s-au folosit si urmatoarele relatii de legatura: .

Pentru rezolvarea efectiva a ecuatiei Vlasov-Uenling-Uhlenbeck sunt necesari unii parametrii de intrare. Principalii parametrii de intrare sunt potentialul de interactie si sectiunea eficace diferentiala pentru ciocniri nucleon-nucleon. De obicei se considera aparoximatia impulsului extinsa si, de aceea, se folosesc sectiunile eficace pentru ciocnirile nucleonilor liberi [61,62,64,67].

Trebuie mentionat aici faptul ca distributia Fermi-Dirac, definita prin relatia:

, (III.38)

este o solutie a ecuatiei Vlasov, dar si solutie de echilibru a termenului de ciocnire. Tartarile sunt diferite in functie de forma aleasa pentru potentialul U.

Descrierea ciocnirilor nucleare relativiste se poate face folosind ecuatia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck in forma nerelativista sau in forma relativista. Tratarile sunt legate de teoria Bruckner a materiei nucleare

Asa cum s-a mentionat anterior, tartarile sunt diferite in functie de forma aleasa pentru potentialul U. Un potential folosit in multe modele este potentialul Skyrme

Se considera ca interactia poate fi descrisa printr-un potential general care include interactia de 2 corpuri si interactia de 3 corpuri, de forma urmatoare:

. (III.39)

Acest potential general poate sa conduca la forme diferite ale potentialului rezultatnt U care apare in ecuatia Vlasov-Uenling-Uhlenbeck. Cele mai folosite pentru descrierea ciocnirilor nucleare relativiste sunt de formele de mai jos:

, (III.40)

. (III.41)

Cele doua forme de potential rezultant amintesc de potentialele folosite in unele modele clasice si sunt asociate unor tipuri de ecuatii de stare pentru materia nucleara formata in ciocniri nucleu-nucleu la energii intermediare si inalte. Ele permit introducerea compresibilitatii materiei nucleare in stare fundamentala.

Fie un potential rezultant de o forma similara cu formele considerate in relatiile (III.40) si (III.41) si fie H hamiltonianul de interactie corespunzator. Legatura dintre cele doua marimi este data de o relatie de forma: .

În astfel de modele parametrii de intrare principali sunt: energia de legatura pe nucleon, E_leg, energia Fermi, E_F, si coeficientul de compresibilitate a materiei nucleare, K. Energia de legatura este determinata de forma hamiltonianului de interactie, H, si de densitatea nucleara, r. Între ele exista relatia: .

Fie un potential rezultant de forma (III.40) si o energie de legatura exprimata printr-o relatie de forma:

, (III.42)

cu urmatoarele valori ale parametrilor initiali: E_leg = -16 MeV, E_F = 23 MeV. Pentru coeficeintul de comprtesibilitate - ales, de asemenea, ca parametru de intrare - se ia valorea K = 380 MeV.

Se poate impune conditia de saturare, definita prin relatia urmatoare:

, (III.43)

unde k_F este numarul de unda asociat energiei Fermi.

Conditia de saturare este echivalenta cu conditia de presiune nula, definita prin relatia de mai jos:

. (III.44)

Cele doua relatii anterioare permit obtinerea coeficientului de ocmpresibilitate, K:

. (III.45)

Avand in vedere valoarea aleasa ca parametru de intrare pentru coeficientul de compresibilitate, K=380 MeV, se obtine o ecuatie de stare "tare" ("hard") care conduce la urmatoarele valorii ale coeficientilor a si b din expresia potentialului rezultant U: a = -124, b = 70.5.

În cazul in care s-ar fi ales un potential rezultant de tipul celui din relatia (III.41), datorita tipului de dependenta de densitatea nucleara pentru coeficientul de compresibilitate a materiei nucleare in starea fundamentala se alege valoare K = 200 MeV, iar ecuatia de stare asociata este o ecuatie de stare "moale" ("soft"). Valorile coeficientilor a si b din expresia potentialului rezultant U sunt, in acest caz, urmatoarele: a = -356, b = 303.

Rezultatele obtinute - in ambele variante - sunt similare cu cele obtinute cu unele variante de modele clasice si, mai ales, cu cele obtinute cu modelele de cascada intranucleara modele care vor fi discutate in capitolul urmator al cursului.