Vectori

Vectori

Marimile fizice sunt de trei tipuri: scalare, vectoriale si tensoriale.

Marimile vectoriale sunt definite prin: valoare numerica (modul), punct de aplicatie, directie (suport) si sens. Vectorii sunt reprezentati sub forma unor segmente de dreapta orientate, clasificandu-se in vectori legati, vectori alunecatori si vectori liberi. Vectorii legati sau ficsi sunt determinati prin toate elementele mentionate: modul, punct de aplicatie, directie si sens; ex: viteza si acceleratia punctului material. Vectorii alunecatori sunt definiti prin directie, sens si modul, iar punctul de aplicatie se poate deplasa pe suport; ex: fortele aplicate corpului solid rigid. Vectorii liberi sunt determinati prin directie, sens si modul, iar punctul de aplicatie se poate deplasa in orice punct din spatiu; ex: momentul cuplului de forte.

Egalitatea vectorilor. Vectorii care reprezinta marimi de aceeasi natura sunt egali cand sunt definiti prin aceleasi elemente. Vectorii care au aceeasi marime, sens si directie sunt echipolenti.

Adunarea vectorilor. Pentru vectorii liberi si (Fig. 1.3.a) vectorul suma se determina cu regula paralelogramului: in originea O a vectorului se construieste un vector echipolent cu ; vectorul suma (numit si vector rezultant sau rezultanta vectorilor si ) este diagonala paralelogramului construit pe vectorii si (Fig. 1.3.b), avand originea in O. Marimea vectorului poate fi calculata cu teorema lui Pitagora generalizata:

Vectorul suma al vectorilor liberi si mai poate fi determinat cu regula triunghiului: desenand in varful lui un vector echipolent cu , vectorul inchide triunghiul astfel format, avand originea in O si varful in varful lui , iar sensul de la originea lui spre varful lui (Fig. 1.3.c).

Se observa ca prin schimbarea ordinei de insumare nu se modifica rezultatul, deci adunarea vectorilor este comutativa: . Adunarea vectorilor este si o operatie asociativa, astfel ca, pentru trei vectori , si , vectorul rezultant poate fi calculat fie prin insumarea celui de-al treilea cu suma primilor doi (Fig. 1.3.d), fie prin insumarea celui dintai cu suma ultimilor doi (Fig. 1.3.e), ceea ce se scrie: .

Adunarea mai multor vectori se poate face prin generalizarea regulii triunghiului, stabilindu-se regula conturului poligonal. Aceasta consta in construirea unui contur poligonal prin asezarea succesiva a vectorilor echipolenti termenilor adunarii, cu originile in varfurilor vectorilor precedenti. Vectorul suma inchide conturul poligonului astfel construit si are originea comuna cu a primului vector: (Fig. 1.3.f).

Fig. 1.3. Adunarea vectorilor

Scaderea vectorilor se efectueaza prin intermediul adunarii. Pentru doi vectori liberi si , vectorul diferenta se poate scrie . Astfel, vectorul devine suma vectorilor si - (Fig. 1.4).

- 0

 

Fig. 1.4. Scaderea vectorilor

Inmultirea unui vector cu un scalar. Daca α este un scalar, atunci produsul α este un vector a carui marime este egala cu produsul dintre α si valoarea absoluta a vectorului . Vectorul α are acelasi sens cu vectorul daca α este pozitiv, iar sensul este opus daca α este negativ.

Produsul scalar a doi vectori si este rezultatul inmultirii modulelor acestora si a cosinusul unghiului format de directiile lor:

Produsul scalar este comutativ: si distributiv fata de adunarea vectorilor: . Pentru vectorii paraleli de aceleasi sens: cos=1, deci ; pentru vectorii paraleli cu sensuri contrare cos= -1, deci ; produsul scalar a doi vectori perpendiculari este nul deoarece cos=0.

Produsul vectorial a doi vectori si este un vector notat . Marimea produsului vectorial este egala cu aria suprafetei plane definita de cei doi vectori: (Fig. 1.5). Vectorul are originea in punctul de concurenta a celor doi vectori si , directia perpendiculara pe planul format de acestia si sensul stabilit cu regula burghiului sau regula mainii drepte .

Produsul vectorial nu este comutativ: , dar este distributiv fata de adunarea vectorilor: .

Fig.1.5. Produsul vectorial

Versorii si componentele ortogonale ale unui vector. Versorul directiei unui vector este un vector , unde a (scrisa si ) este marimea vectorului . Acesta este adimensional, are marimea egala cu unitatea si are aceeasi directie cu vectorul .

Considerand ca originea vectorului coincide cu originea unui sistem de axe triortogonal drept (cartezian) Oxyz, pentru care versorii acestor axe sunt , , , regula paralelogramului permite descompunerea vectorului in trei componente reciproc ortogonale, scrise , , , astfel incat:

.

Fig. 1.6. Componentele ortogonale ale unui vector in sistemul cartezian Oxyz

Pentru un vector de pozitie al unui punct material cu coordonatele x, y, z, relatia anterioara devine:

Proiectiile vectorului pe axele Ox, Oy si Oz, marimile scalare , , , pot fi scrise in functie de unghiurile α, β, γ, pe care le face vectorul cu fiecare dintre aceste axe, astfel:

, , .

Aceste cosinusuri sunt numite cosinusurile directoare ale vectorului , iar intre ele exista relatia:

.

Marimea vectorului este data de expresia: (Fig. 1.6).

Intr-un sistem de coordonate sferice polare (r, θ, φ), marimile , , se pot scrie astfel:

unde θ reprezinta unghiul azimut, 0 ≤ θ < 2π, iar φ unghiul polar, 0 ≤ φ ≤ π (Fig. 1.7).

Fig. 1.7. Componentele ortogonale ale unui vector in sistemul de coordonate sferice (r, θ, φ)

Diferentiala unui vector. In analiza matematica, diferentiala descrie o schimbare infinitezimala a unei variabile. In fizica, variatia unei marimi este notata in general cu , sau, atunci cand aceasta variatie tinde spre infinitul mic, cu .

Daca marimea depinde de o singura variabila, t, diferentiala sa este: .

Daca marimea depinde de variabilele x, y, z, atunci diferentiala sa se scrie:

.

Pentru un vector de pozitie , , , , deci: .

Derivata unui vector. Daca un vector depinde de un parametru oarecare, derivata vectorului in functie de este:

,

iar pentru doi vectori variabili si , functii de parametrul :

.

Derivata produsului dintre un scalar si un vector , functii de acelasi parametru , este: .

Derivata produsului scalar:

.

Derivata produsului vectorial:

.

Integrala unui vector. Daca pentru un camp vectorial caracterizat prin marimea se poate scrie integrala curbilinie , exprimand vectorul in functie de componentele sale ortogonale astfel:

,

si avand in vedere relatia , se obtine:

.

Operatori. Gradientul se aplica unei marimi scalare iar rezultatul este un vector:

.

Divergenta de aplica unui vector si rezultatul este o marime scalara:

div .

Rotorul se aplica unui vector si rezultatul este un vector:

rot .