Modelul stratului limita

Modelul stratului limita

O metoda de rezolvare aproximativa a ecuatiei Navier-Stokes se bazeaza pe conceptul de strat limita introdus de savantul german Ludwig Prandtl, respectiv pe ipoteza ca domeniul de curgere poate fi impartit in subdomenii, fiecare subdomeniu fiind caracterizat de o ecuatie de miscare simplificata. Fie un corp solid in repaus aflat intr-un curent de fluid cu viteza uniforma . Datorita aderentei fluidului la suprafata solida, zona din imediata vecinatate a corpului solid este caracaterizata de un puternic gradient al vitezei, deci de forte (eforturi) apreciabile de frecare. Fortele de frecare devin practic zero la o distanta mare de corp, deoarece gradientul de viteza in curentul de fluid este practic nul. Domeniul din apropierea corpului solid in care viteza variaza de la 0 (pe suprafata corpului) la valoarea (viteza masurata pe directia normalei locale la suprafata corpului) poarta denumirea de strat limita. In afara stratului limita eforturile de frecare se pot neglija, fluidul fiind considerat ideal, respectiv fara viscozitate. In figura 11.22 se prezinta miscarea in vecinatatea unei placi plane, paralela cu viteza curentului de la infinit. Placa este considerata de latime infinita, iar miscarea fluidului este plan- paralela.

Fig. 11.22. Stratul limita pe o placa plana.

In ipoteza ca grosimea stratului limita, , este cu mult mai mica decat scara geometrica impusa curgerii de geometria corpului solid (respectiv de lungimea placii L, ), iar componenta vitezei pe directia normala placii, v , este cu mult mai mica decat viteza pe directia placii, v , ecuatiile (11.15) se reduc la expresiile20

, (11.129)

(11.130)

In (11.129) fortele masice se pot introduce in termenul presiunii sau, dupa caz, (i) se neglijeaza, datorita volumului mic de fluid din stratul limita, (ii) sunt identic nule cand directia 0x₁ este normala pe acceleratia gravitationala.

Sistemul format din (11.129) si (11.130) poarta denumirea de ecuatiile lui Prandtl pentru stratul limita plan (miscarea este presupusa laminara si permanenta).

In cazul analizat al placii plane conditiile la limita sunt

, ; . (11.131)

Aproximarea ordinului de marime al grosimii stratului limita se face considerand curentul de fluid liber (deci in lipsa gradientului de presiune) si neglijand termenul al doilea al acceleratiei convective in (11.129), respectiv se admite proportionalitatea directa

, (11.132)

sau

. (11.133)

In (11.133) s-a considerat si ; rezulta ca

. (11.134)

Deci, grosimea stratului limita laminar pe o placa plana este direct proportionala cu distanta masurata in lungul placii de la bordul de atac A (v. figura 11.22) si invers proportionala cu radical din numarul Reynolds, in care lungimea caracteristica este x₁,

. (11.135)

O rezolvare a sistemului format din ecuatiile (11.129) - (11.131) a fost data de Blasius (v. referinta ²⁰), in ipoteza

si . (11.136)

Folosind coordonata adimensionala

, (11.137)₁

echivalenta cu

, (11.137)₂

si facand ipoteza ca functia de curent (v. relatia (11.103)) are forma

(11.138)

se obtine

(11.139)

cu

(11.140)

Distributia de viteze pentru miscarea considerata este data de

, (11.141)

. (11.142)

Rezolvarea ecuatiei (11.139) cu (11.140) se poate face analitic (solutie aproximativa data de Blasius) sau numeric. In ambele cazuri, dificultatea consta in faptul ca nu este cunoscuta valoarea derivatei a doua a functiei necunoscute pe placa. Metoda prezentata este importanta deoarece ea este un exemplu prin care sistemul Navier-Stokes se reduce pentru o curgere particulara la un sistem de ecuatii cu derivate partiale mai simplu, respectiv cel format din ecuatiile (11.129) si (11.130), care la randul sau se poate transforma intr-o ecuatie diferentiala neliniara (11.139). Procedura este similara cu cea prezentata pentru miscarea axil simetrica in vecinatatea unui disc in rotatie (v. referinta ³), respectiv cu miscarea unui vortex liber in coordonate sferice. In figura 11.22, cu D s-a notat punctul de desprindere al stratului limita de pe placa plana.

Punctul de desprindere este caracterizat de conditia (efortul tangential la perete fiind nul in acest punct), dupa care urmeaza imediat punctul de stagnare si aparitia curgerilor secundare, respectiv zona unde curgerea are loc in sens invers si gradientul presiunii isi schimba sensul, (v. figura 11.22).

Formarea (dezvoltarea) stratului limita in apropierea suprafetelor solide este calitativ similara cu "stabilizarea" curgerii laminare (a profilului de viteza parabolic) la intrarea unui curent de fluid intr-o conducta circulara sau intre plane paralele (v. figura 11.23).

Fig. 11.23. Stabilizarea profilului de viteza parabolic intr-o conducta circulara. Lungimea de stabilizare l_s este functie de numarul Re (lungimea caracteristica fiind diametrul conductei d). Pe toata lungimea l_s se pastreaza un "nucleu de viteza constanta" ce variaza monoton crescator de la v_m (viteza medie in

conducta) pana la 2v_m (viteza maxima a profiluluii de viteze laminar stabilizat).

Un alt caz devenit clasic pentru studiul stratului limita este miscarea, presupusa plana, in jurul unui cilindru infinit. In aceasta miscare se pun clar in evidenta, in functie de marimea numarului Reynolds, structura curgerii in aval de punctul de desprindere al stratului limita (aparitia curgerilor secundare simetrice, aleea de vartejuri Kárman (v. figura 11.24, a), "dara hidrodinamica" si zona de stagnare (v. figura 11.24, b)), precum si fenomene ca: (i) deplasarea pe cilindru a punctului de desprindere a stratului limita, (ii) influenta rugozitatii asupra miscarii, (iii) vartejurile de capat generate de lungimea finita a cilindrului real (pentru detalii v. referintele^{20, 5}) . Curgerea in zona stratului limita si in vecinatatea corpurilor este de mare interes atat in aero- si hidrodinamica (calculul fortelor de rezistenta si portanta), cat si in problemele de transfer termic intre corpurile solide si fluide (transferul termic fiind functie de regimul curgerii in stratul limita).

			a

Fig. 11.24. Miscarea plana in jurul unui cilindru infinit (distributia de viteza amonte de cilindru se considera constanta cu viteza ); a - aparitia "aleii de vartejuri Kárman", 50 < Re < 1000 (vartejurile alterneaza simetric aval de cilindru, miscarea fiind insa periodica³); b - dara hidro(aero)-dinamica este caracteristica curgerilor la numere Re > 10⁴ (unghiul de desprindere a stratului limita variaza cu numerele

Re, rugozitatea si forma sectiunii cilindrului).