Evidentiem nevoile sociale din educatie - Referate profesionale unice

Acasa » scoala » fizica
PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGATURI

PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGATURI

Un punct material liber are trei grade de libertate in spatiu, adica trei posibilitati de deplasare, dupa cele trei directii reciproc perpendiculare ale unui sistem cartezian fix. Daca un astfel de punct se gaseste in echilibru, are nevoie de trei conditii scalare pentru a-i stabilii pozitia, adica de cele 3 ecuatii de echilibru (relatiile 1.18).

Dar punctului material i se pot impune conditii restrictive, de natura geometrica, care sa-i ingradeasca libertatea, adica sa-i reduca numarul gradelor de libertate, aceste conditii se numesc legaturi. Ele pot obliga punctul material sa ramana pe o suprafata curba sau sa fie complet imobilizat. Daca un punct material este obligat sa ramana pe o suprafata inseamna ca are numai doua grade de libertate, daca este obligat sa ramana pe o curba are un singur grad de libertate, iar daca este complet imobilizat nu mai are nici un grad de libertate.

Din punct de vedere mecanic, existenta unei legaturi, cum ar fi contactul dintre un punct material si o suprafata de exemplu, face ca atat punctul material considerat cat si corpul de care este legat sa-si transmita reciproc niste forte, denumite forte de legatura. Spre exemplificare, un corp asezat pe o masa plana orizontala continua sa ramana in echilubru cu toate ca asupra lui actioneaza forta de greutate proprie. Starea de repaus a punctului se explica prin existenta unei forte egale si de sens opus greutatii proprii, exercitata de catre masa asupra punctului material, conform celei de-a treia legi a mecanicii, adica reactiunea masei asupra punctului material este egala cu actiunea - aici greutatea sa proprie - si de sens contrar cu aceasta.

Generalizarea acestei observatii practice a condus la formularea urmatoarei axiome a legaturilor:

Orice legatura mecanica poate fi suprimata si inlocuita cu o forta, denumita forta de legatura sau reactiune de legatura astfel incat corpul sa fie considerat ca liber si sa poata fi tratat ca atare.

Conditia necesata si suficienta ca un punct material supus la legatura sa fie in echilibru este ca rezultanta fortelor efectiv aplicate, precum si a reactiunii de legatura sa fie nula:

. (1.21)

In cazul cel mai general, ecuatia vectoriala (1.21) conduce la trei ecuatii scalare de echilibru :

. (1.22)

Din ecuatia vectoriala (1.21) se observa ca rezultanta fortelor exterioare efectiv aplicate si reactiunea de legatura trebuie sa fie egale si direct opuse.

Legaturile punctului material pot fi cu frecare, cazul tuturor legaturilor reale din natura si, legaturi fara frecare, sau legaturi ideale, in care se presupun ca legaturile sunt perfect lucioase, sau perfect lubrefiate si ca atare nu pot da nastere fortelor de frecare.

In realitate astfel de legaturi nu exista.

Pentru inceput se vor studia legaturile ideale posibile ale punctului material,rezemarea pe o suprafata, rezemarea pe o curba, legatura prin fir si legatura prin bara.

1. Rezemarea pe o suprafata

Se considera un punct material actionat de un sistem oarecare de forte. Daca suprafata pe care este asazat punctul material este perfect neteda, nu exista frecare, atunci rezultantafortele exterioare efectiv aplicate trebuie sa fie dirijata dupa normala la suprafata in punctul geometric de contact pentru ca echilibrul sa fie posibil.

Reactiunea de legatura trebuie sa fie o forta egala si de sens opus vectorului rezultant, conform ecuatiei vectoriale (1.21), si dirijata dinspre suprafata spre punctul material A aflat in echilibru (fig. 1.9). Componentele tangentiale ale vectorului rezultant nu pot exista intrucat in absenta frecarii nu exista reactiuni de legatura care sa se opuna eventualelor componente tangentiale ale vectorului rezultant si, in acest caz echilibrul punctului material nu ar mai fi posibil.

Fig. 1.9

Deci, rezemarea unui punct material pe o suprafata introduce o singura necunoscuta in probleme si anume modulul reactiunii normale N. Ecuatia vectoriala de echilubru in acest caz devine :

, (1.23)

Daca suprafata este data prin ecuatia fata de un sistem de referinta Oxyz, atunci ecuatia de echilibru vectoriala (1.23), devine :

, (1.24)

iar ecuatile scalare de echilibru:

. (1.25)

2. Rezemarea pe o curba

Fig. 1.10

Reazemul unui punct material pe o curba introduce doua necunoscute in probleme, deoarece acesta legatura inlatura doua din gradele de libertate ale punctului material, acestuia ramanandu-i unul singur si anume deplasarea de-a lungul curbei.

Pentru ca punctul material considerat sa fie in repaus pe curba, inseamna ca rezultanta fortelor exterioare efectiv aplicate, , nu trebuie sa aiba vreo componenta dupa tangenta la curba, deoarece, neexistand frecare, nu exista reactiune de legatura in aceasta directie pentru a se opune tendintei de miscare data de vreo componenta eventuala. Si in acest caz reactiunea de legatura este o forta normala la curba (fig. 1.10) insa directia ei fata de planul osculator al curbei nu este cunoscuta.

Rezultanta trebuie sa se gaseasca in planul normal pe o curba in punctul geometric de contact A. Cele doua necunoscute introduse de catre reactiunea de legatura , sunt fie modulul N si directia data de unghiul fata de o directie arbitrara, fie componentele reactiunii fata de doua directii arbitrare si continute in planul , in mod obisnuit perpendiculare intre ele.

Ecuatia vectoriala de echilibru in acest ultim caz devine:

sau (1.26)

Daca curba de rezeam C este data de ecuatiile si =0, care reprezinta ecuatiile a doua suprafete fata de sistemul Oxyz, ce prin intersectie dau curba cautata, atunci planul normal la curba este determinat de normalele la celel doua suprafete luate fiecare separat, in punctul considerat, iar ecuatia de echilibru devine:

, (1.27)

care proiecteata pe axele de coordonate, conduce la:

. (1.28)

3. Legatura prin fir

Fig. 1.11

Daca lungimea firului se considerata constanta (firul se presupune inextensibil) inseamna ca punctul material se poate misca pe suprafata interioara a unei sfere cu raza egala cu lungimea firului (fig. 1.11). Legatura prin fir este echivalenta cu legatura de reazem pe suprafata interioara a unei sfere, fiind o legatura unilaterala deoarece firul nu poate prelua decat sarcini de intindere, deci firul introduce o singura necunoscuta in probleme, tensiunea din fir , directia fiind cea a firului intins, iar sensul spre interiorul sferei generate de punctul A. Ecuatia de echilibru vectoriala este identica cu (1.23), adica:

. (1.29)

4. Legatura prin bara rigida

Fig. 1.12

Este asemanatoare cu legatura prin fir, reactiunea de legatura va fi dirijata dupa axa barei (fig. 1.12), cu singura observatie ca bara poate prelua si sarcini de compresiune nu numai de intindere ca la fir. Deci, legatura prin bara rigida introduce o singura necunoscuta in probleme, marimea solicitarii barei S, sensul sau rezultand din rezolvarea in final a ecuatiilor de echilibru.

Aplicatia 1.2

Fig. 1.13

O bila mica de masa 0,5 kg se reazema pe suprafata interioara a unei semisfere perfect lucioase de raza si este legata de un fir care trece peste un mic scripete in B, iar la celalalt capat este legata o sarcina Q, de masa (fig. 1.13). Se cere sa se determine unghiul pentru pozitia de echilibru si reactiunea suprafetei sferei asupra bilei.

R: Rezolvarea acestei probleme, ca de altfel a oricarei probleme de echilibru de punct material supus la legaturi comporta cateva etape importante si anume:

Se elibereaza punctul material A de legaturi inlocuind legaturile prin forte de legatura pe o schita separata (fig. 1.13 b). In cazul problemei de fata punctul A se reazema pe suprafata interioara a unei sfere; aceasta legatura se inlocuieste cu reactiunea de legatura de reazem, normala pe suprafata comuna de contact - dirijata dupa directia razei la sfera in A - si dinspre punct spre centrul O al sferei. De asemenea punctul A este legat si de firul AB, care prin inlaturare necesita introducerea tensiunii ,dirijata de-a lungul firului AB, marimea acestei forte fiind egala cu cea a greutatii sarcinii Q, care atarna la celalalt capat al firului. Se introduce si singura forta efectiv aplicata punctului A, si anume greutatea proprie . Alte forte nu mai actioneaza asupra punctului material A, asa ca sub actiunea celor trei forte , si , poate fi tratat ca fiind liber. Diagrama fortelor aplicate asupra punctului A din fig. 1.13 b poarta numele de diagrama eliberarii de legaturi sau diagrama de corp liber.

Se alege un sistem de referinta arbitrar, dar cat mai adecvat problemei concrete de rezolvat, precizandu-se si pozitia fortelor fata de axele sistemului pentru usurinta scrierii ecuatiilor de echilibru. In acest caz s-a considerat sistemul A xy, iar unghiurile fortelor cu acest sistem, dupa cum se observa din conditiile geometrice ( este isoscel), sunt intre si Ax si intre si Ay.