Grafica pe calculator - Transformari spatiale si plane, Sisteme de coordonate, Transformari 3D

Grafica pe calculator Transformari spatiale si plane, Sisteme de coordonate, Transformari 3D

Transformari spatiale si plane

o       Transformari 3D: modifica efectiv corpul si schimba pozitia acestuia

o       Transformari proiective: creeaza imaginea corpului

o       Transformari 2D: modifica imaginea obtinuta si schimba pozitia ei pe ecran

Sisteme de coordonate

In diverse aplicatii (robotica, proiectare asistata, simulatoare) precizarea pozitiei unor puncte in spatiu se face printr-un triplet de coordonate impuse de natura aplicatiei si care nu sunt intotdeauna carteziene.

Sisteme de coordonate utilizate:

• Cartezian
• Cilindric
• Sferic

Rutinele grafice folosesc in general precizarea pozitiei in coordonate carteziene, fiind necesara folosirea relatiilor de transformare intre diferitele sisteme de coordonate.

Coordonate carteziene: pozitia unui punct este determinata prin precizarea distantelor x, y, z fata de originea sistemului de coordonate

Coordonate cilindrice: pozitia punctului se specifica prin cota z, raza r si unghiul intr-un plan perpendicular pe axa z

Coordonate sferice: pozitia punctului se specifica prin precizarea razei (distanta de la punct la originea sistemului de coordonate) si a unghiurilor de latitudine si longitudine (planele in care se masoara unghiurile sunt perpendiculare intre ele)

Transformari 3D

Manipularea si modificarea obiectelor 3D se pot reduce, in limitele unor erori prestabilite, la transformarea coordonatelor unui sistem de puncte geometrice.

Transformarile globale 3D:

• Translatia
• Rotatia
• Scalarea
• Simetria
• Etc.

Translatia

Specificarea deplasarilor pe directia fiecarei axe de coordonate

Specificarea directiei de deplasare si a valorii deplasarii

Specificarea punctului din spatiu in care este transpus punctul din sistem prin translatia data

Coordonatele in care se deplaseaza punctul sunt:

• X2 = x1 + dx
• Y2 = y1 + dy
• Z2 = z1 + dz

Rotatia

Rotatia oarecare a unui sistem de puncte se poate descompune in cel mult 3 rotatii, cate una dupa fiecare axa.

In fiecare din cele 3 plane se face urmatoarea transformare:

Notam cu r distanta de la punct la originea sistemului de coordonate. Coordonatele punctului sunt x=r cos a si y= r sin a, unde a este unghiul dintre linia ce uneste punctul de origine si orizontala, in sens trigonometric.

Dupa rotatie, coordonatele sunt x=r cos(a+b) si y=r sin(a+b) unde b este unghiul cu care se roteste punctul in acel plan.

De regula rotatia se face fata de un punct in plan si fata de o axa in spatiu.

Scalarea

Modificarea coordonatelor prin inmultirea cu factori de scara afecteaza distantele dintre puncte

De regula se foloseste scalarea uniforma, caz in care se foloseste acelasi factor de scara pe toate directiile.

Coordonatele se calculeaza astfel:

• X2 = x1 fs
• Y2 = y1 fs
• Z2 = z1 fs
  unde fs este factorul de scara

Simetrii

Cel mai des utilizate sunt simetriile fata de planele sistemului de referinta, fata de axe si fata de origine.

In cazul simetriei fata de planul xOy coordonatele noului punct se calculeaza astfel:

• X2 = x1
• Y2 = y1
• Z2 = -z1

Similar se procedaza si pentru simetrii fata de celelalte plane.

Simetria unei drepte in plan, fata de o axa:

Proiectii

Proiectiile sunt transformari prin care se duc puncte din spatii cu n dimensiuni in spatii cu mai putine dimensiuni.

Pentru afisarea modelelor 3D pe ecran (si pentru tiparirea acestora pe hartie) se proiecteaza corpurile tridimensionale in plan.

Se folosesc in special 2 tipuri de proiectii:

• Proiectia paralela - centrul de proiectie se afla la infinit
• Proiectia perspectiva - centrul de proiectie este precizat

Proiectia se realizeaza ducand drepte din fiecare punct prin centrul de proiectie si retinand intersectiile acestora cu ecranul pe care se realizeaza proiectia.