Caracterizarea matematica a imaginilor numerice

1 Reprezentare

Exista diferite modalitati de a interpreta din punct de vedere matematic o imagine numerica. Astfel, imaginea poate fi considerata o secventa bidimensionala (2D) discreta, definita pe o grila de format M N, cu elementul general f(x,y), x = 0,1,.,N-1, y = 0,1,.,M-1. Alternativ, imaginea poate fi reprezentata ca o matrice F, de format M N

	(2.2)

Un element al imaginii, f(x,y) sau f_m,n este denumit curent pixel (de la termenii din limba engleza "picture" plus "element"). Intr-o imagine monocromatica, pixelul este un scalar, reprezentand luminozitatea sau nivelul de gri. La imaginile color, pixelul devine un vector,

	(2.3)

reprezentand componentele tricromatice ce definesc culoarea. De asemenea, imaginea color poate fi reprezentata cu ajutorul a trei matrici R,G si B, a trei secvente 2D, sau a unei matrice 3D de format M N 3. Imaginile multispectrale furnizate de satelitii de teledetectie contin mai mult decat trei componente, uzual 10-15.

Uneori este mai convenabil sa reprezentam imaginea unidimensional, ca un vector lung, f, obtinut de exemplu prin concatenarea coloanelor imaginii. Un element al imaginii poate fi referit in acest caz printr-un singur indice, de exmplu f_k.

Vecinatati

Vecinatatile V₄ si V₈ ale unui pixel p sunt definite grafic in Figura 1.5. Prima contine numai vecinii orizontali si verticali, in timp ce a doua ii include si pe cei diagonali. Considerente legate de analiza topologica a imaginilor bitonale (cuantizate pe un singur bit) impun utilizarea ambelor definitii. Doi pixeli situati reciproc in vecinatatea V₄ a celuilalt se numesc 4-conecsi sau 4-adiacenti. Doi pixeli situati reciproc in vecinatatea V₈ a celuilalt se numesc 8-conecsi sau 8-adiacenti.

Distante

Distanta euclidiana intre doi pixeli, de coordonate p = (x_p,y_p) si q = (x_q,y_q) se calculeaza cu ajutorul ecuatiei:

	(2.4)

Alte tipuri de distanta folosite in prelucrarea numerica a imaginilor sunt distanta d₄ ("block city distance"):

	(2.5)

si d₈ ("chessboard distance"):

	(2.6)

Cercurile de raza unitara, definind cele mai mici vecinatati in imaginile digitale sunt ilustrate in Fig. 2.6.

Fig. 2.6. Vecinatatile unui pixel. a) Vecinatatea V₄; b) Vecinatatea V₈;

2 Caracteristici statistice

Prelucrarea imaginii poate fi adaptata automat la specificul fiecarei imagini folosind caracteristici statistice ale acesteia. Astfel, distributia nivelurilor de gri poate fi utila pentru recuantizare sau pentru transformarea scarii de gri in vederea redarii optimale pe ecran sau la prin imprimare. Probabilitatea de aparitie e fiecarui nivel de gri se poate calcula folosind ecuatia:

(2.7)

unde p_i este probabilitatea de aparitie a nivelului z_i, n_i este numarul de pixeli cu nivelul z_i si N_pix este numarul total de pixeli din imagine. Frecvent distributia nivelurilor de gri este vizualizata cu ajutorul histogramei nivelurilor de gri:

	(2.8)

Histograma normalizata corespunde ecuatiei (2.7), cu coloanele reprezentand probabilitatile de aparitie ale fiecarui nivel de gri. Un exemplu de imagine cu histograma asociata se gaseste in Figura 2.7. Pe axa orizontala a histogramei este reprezentat nivelul de gri. Pe axa verticala inaltimea fiecarei coloane este proportionala cu numarul de pixeli care au nivelul de gri corespunzator. Factorul de proportionalitate a fost ales astfel incat inaltimea maxima a coloanei sa fie de 128 de pixeli in imaginea histogramei. Procedeul utilizat se numeste scalare a histogramei.

Fig. 1.6. Imaginea "boats" (stanga) si histograma ei (dreapta).

Pentru imagini color sau multispectrale, putem construi cate o histograma pentru fiecare componenta tricromatica. Alternativ, cele trei histograme pot fi concentrate intr-una singura, tridimensionala, a carei vizualizere nu este insa o sarcina simpla. Cel  mai frecvent histogramele se calculeaza global, adica pentru intreaga imagine, insa exista si aplicatii care fac apel la histograme locale, calculate pe subblocuri precizate ale imaginii.

Media si dispersia nivelului de gri in imagine se numara printre caracteristicile statistice cele mai simple si frecvent utilizate in prelucrare. Media de gri a unei imagini f se poate calcula cu ajutorul ecuatiei:

	(2.9)

Media patratica a nivelului de gri are o definitie asemanatoare:

	(2.10)

Dispersia nivelului de gri este:

	(2.11)

Daca dispersia se evalueaza regional, pentru un numar de pixeli relativ scazut, N_pix din ultima ecuatie, se inlocuieste cu N_pix-1. In caz contrar, se poate demonstra ca estimatorul dispersiei este unul deplasat.