Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice

Ecuatiile trigonometrice sunt ecuatii in care necunoscuta figureaza in argumente ale functiilor trigonometrice. Daca necunoscuta se afla in ecuatie si altfel decat sub semnul unei functii trigonometrice , de exemplu , atunci aceste ecuatii se numesc mixte. In cele ce urmeaza voi prezenta cateva tipuri de ecuatii trigonometrice simple ,alegand exemple pe care le voi rezolva, din variantele de bacalaureat de anul acesta.Incep acest articol, prin trecerea in revista a tuturor subiectelor legate de aceasta tema din variantele de bacalaureat M1,subiectul I.

Sa se rezolve in multimea ecuatiile:

a). ; b). c). d). .

2. Sa se rezolve in multimea ecuatiile:

a).; b). c). .

3. Sa se rezolve in multimea ecuatiile: a) ; b). ;

4. Sa se rezolve ecuatiile in :

a). ; b). ; c). ; d). ;

e). ; f). ; g). ; h). ;

i). ; j). ; k). .

5. Sa se rezolve in multimea ecuatiile:  a) ; b). .

6. Sa se rezolve in ecuatiile: a) ; b). .

7. Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia .

8. Sa se rezolve in intervalul ecuatia .

9. Numerele reale x si y verifica egalitatea . Sa se arate ca .

Ecuatii trigonometrice fundamentale

Ecuatiile cuprinse sub aceasta titulatura sunt :

1) , . Daca ,ecuatia nu are solutii, iar daca ,multimea S de solutii a ecuatiei este :

.

2) , . Daca ,ecuatia nu are solutii, iar daca ,multimea S de solutii a ecuatiei este:

.

3) , .Solutiile acestei ecuatii sunt date de multimea .

4) , .Solutiile acestei ecuatii sunt date de multimea

Daca intervin mai multe functii trigonometrice , dar care au acelasi argument , de exemplu , atunci exprimam ambele functii trigonometrice prin alte functii, de exemplu :

Daca intervine numai o functie trigonometrica , dar cu argumente diferite , atunci cu ajutorul formulelor trigonometrice de adunare transformam functiile astfel ca sa avem in expresie un argument unic.

Exemplul 1 Diferite functii trigonometrice ale aceluiasi argument ( vezi ex. 3,b) :

Exprimam si in functie de , pentru , si se obtine

, .Cum , alegem doar .Prin rezolvarea ecuatiei cu ajutorul acestor formule in care folosim excludem solutia caci nu este definita pentru aceste valori.Totusi este o solutie a ecuatiei respective.Deci .

Observatie: Intrucat numarul , nu exista daca , , rezulta ca eventualele solutii de aceasta forma se pierd; prin urmare , in  final, trebuie verificate in ecuatie si numerele respective .

Ecuatii care contin functii de acelasi nume

1) , ; 3) , .

2) , ; ,

4). , .

, .

Exemplul 2. Aceeasi functie trigonometrica cu argumente diferite:

,

In rezolvarea acestei ecuatii se foloseste formula de transformare a sumei in produs: ;ecuatia devine sau . Multimea de solutii a ecuatiei este ,iar multimea de solutii a ecuatiei este . Deci multimea solutiilor ecuatiei este .

Exemplul 3. Diferite functii trigonometrice cu argumente diferite( vezi ex. 4, h):

Utilizand formula obtinem sau .Multimea de solutii a ecuatiei este ,iar multimea de solutii a ecuatiei este .Deci multimea solutiilor ecuatiei este .

Ecuatiile liniare in sinx si cosx sunt de forma , unde a, b, c  sunt numere reale, (alte cazuri conduc la ecuatii usor de analizat).

Distingem urmatoarele metode de rezolvare :

a) Metoda unghiului auxiliar . Se imparte ecuatia prin "a" si se obtine; se noteaza , deci , ; dupa cateva calcule se ajunge la ecuatia elementara .

b) Metoda substitutiei . Cu ajutorul  formulelor obtinem o ecuatie de gradul al doilea cu necunoscuta .

Exemplul 4. (vezi ex.2 ,b).

Rezolv ecuatia utilizand metoda unghiului auxiliar ; se imparte ecuatia prin si se obtine

.

Cum , alegem si .Deci .

Exemplul 5. , (vezi ex. 4, j).

Aceasta ecuatie se rezolva usor cu ajutorul cofunctiei , observandu-se ca .Ecuatia devine .

Multimea solutiilor ecuatiei este