Analiza Matematica - Functii

Analiza Matematica - Functii

Domeniul de definitie - cazuri speciale: , , ln (f(x)) ,tg (f(x)), ctg(f(x)), arcsin(f(x)), arccos(f(x))- Se pun conditiile de existenta

Continuitate - functiile elementare si combinatiile lor sunt in general continue. Cazuri speciale: modul, definitii cu acolada, puncre in care functia nu e definita, etc.

f(x) continua in = f( adica = f(

Derivabilitate F(x) derivabila in x₀

Limite - Cazurile de nedeterminare: ,

Daca limita obtinuta prin inlocuire da un caz de nedeterminare se calculeaza limita cu L'Hospital pentru cazurile sau . In celelalte cazuri prin impartiri, dat factor comun sau logaritmari se cauta sa se ajunga la unul din cele 2 cazuri. Teorema lui L'Hospital: =

Asimptote. Orizontale : dreapta y= asiptota orizontala la sau la - daca si e finit

Verticale Se calculeaza doar in punctele in care functia nu e definita sau la capetele intervalelor pe care functia e definita. x= asimptota verticala daca =

Oblice Daca functia are asimptota orizontala la + sau -nu mai poate aveasi asimptota oblica. Daca m se noteaza =n iar dreapta y=mx+n este asimptota oblica la

Injectivitate O functie strict monotona este injectiva. Deci f'(x) 0 sau f'(x) 0 pe un interval inseamna f injectiva pe acel interval.

Tangenta la grafic Tangenta in punctul (X₀ , f(X₀)) la graficul functiei f(x) are ecuatia y- f(x₀)=f'(x₀ )(x- x₀ )

Monotonie Puncte de extrem. Se calculeaza f'(x) si se afla radacinile ecuatiei f'(x) 0. Apoi se calculeaza valoarea f(x) in punctele in care f'(x) 0 si se deseneaza tabelul. f'(x) 0 inseamna f(x) crescatoare, f'(x) 0 inseamna f(x) descrescatoare, punctele in care f'(x) 0 sunt puncte de extrem iar valoarea maximului sau minimului este data de valoarea f(x) in acele puncte.

Radacinile functiei f(x). O radacina a ecuatiei f(x) =0 este cuprinsa intre 2 radacini ale derivatei sau intre si o radacina a derivatei dar doar daca f(x) isi schimba semnul intre acestea. Astfel in tabelul de mai sus se calculeaza valorile si valorile f(X_i). Cate schimbari de semn apar atatea radacini reale sunt

Convexitate Daca f'' (x)0 pe un interval atunci f(x) e convexa (tine apa ) pe interval

Daca f'' (x)0 pe un interval atunci f(x) e concava (nu tine apa ) pe interval. Punctele in care f'' (x) =0 sunt puncte de inflexiune .

Rezolvarea inegaliatii f(x)g(x) pe intervalul [a,b]. Se noteaza h(x)= f(x)-g(x). Se studiaza monotonia h(x) pe [a,b]. Daca h(x) pe[a,b] si h(a)0 atunci h(x) 0 pe[a,b]. Daca h(x) pe[a,b] si h(b) atunci h(x) 0 pe[a,b].

Teorema lui Lagrange f(b) - f(a)= f'(c) (b-a) unde c (a,b)