Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai

Ecuatii diferentiale lineare de ordinul intai

Au forma generala

;, (3.1)

unde sunt functii continue care depind numai de variabila independenta , ( x I I si reprezinta datele initiale.

Vom analiza cazurile particulare

i). Daca , atunci ecuatia diferentiala obtinuta

, (3.2)

se numeste ecuatia lineara si omogena asociata ecuatiei (3.1). Aceasta ecuatie constituie un caz particular de ecuatie cu variabile separabile.

Proprietatea de existenta si unicitate a solutiilor ecuatiei (3.2) afirma ca, daca functia este continua pe , atunci pentru orice punct exista si este unica functia , solutie a ecuatiei (3.2) care trece prin si are forma

( (3.3)

Prin intelegem functia care depinde de variabila independenta si care in punctul ia valoarea si notam .

Intr-adevar, cu notatia , ecuatia (3.2) devine

, (3.4)

si atunci este continua si are derivata partiala continua. Potrivit teoremei de existenta si unicitate, problema Cauchy admite o solutie unica in orice punct . Pentru a determina solutia generala a ecuatiei (3.4) distingem cazurile:

a). Daca atunci functia ( este o solutie stationara a ecuatiei (3.4).

b). Daca atunci prin separarea variabilelor din (3.4) putem scrie

, , (3.5)

apoi se determina cate o primitiva in fiecare membru al ecuatiei (3.5). Rezulta

, , (3.6)

unde s-a ales constanta de integrare sub forma . Din (3.6) obtinem solutia generala a ecuatiei lineare omogena asociata sub forma

, (3.7)

Vom observa ca, daca intr-un punct , atunci din (3.7), luand c = 0, regasim solutia stationara . Asadar, este solutie particulara a ecuatiei lineare si omogene asociate.

In consecinta, familia solutiilor (3.7) impreuna cu solutia stationara (numita solutie particulara pentru ca se poate obtine din solutia generala prin particularizarea constantei (se alege c = 0)) formeaza solutia generala a ecuatiei lineare si omogene asociate (3.2) si are forma

. (3.8)

Ecuatia diferentiala lineara omogena de ordinul intai nu are solutii singulare, ea are numai o solutie particulara , .

Observatie. Deoarece, prin calcul direct, am stabilit formula pentru solutia generala a ecuatiei (3.2), evident in ipoteza continuitatii functiei , atunci putem afirma ca problema Cauchy pentru ecuatia (3.2) are o unica solutie.

Datorita liniaritatii ecuatiei omogene , putem afirma ca multimea solutiilor maximale ale acestei ecuatii,

formeaza un spatiu vectorial. Rezultatul acesta important este dat de urmatoarea

Teorema. Solutiile maximale ale ecuatiei lineare si omogene (3.2) formeaza un spatiu vectorial de dimensiune , in care putem alege ca baza functia .

Observatie. Ecuatia diferentiala (3.1) se mai numeste ecuatie diferentiala afina (scalara) sau ecuatie diferentiala lineara si neomogena.

ii) Un caz particular interesant este acela in care si ( ).

Atunci, ecuatia diferentiala lineara neomogena poate fi scrisa sub forma

. (3.9)

Solutia ecuatiei (3.9), care verifica conditia initiala , se obtine prin cuadraturi si avem

,

sau

, .

Tinand cont ca ( ) , din ultima relatie obtinem solutia problemei Cauchy (3.1) sub forma explicita

, . (3.10)

Pentru integrarea ecuatiei diferentiale (3.1) vom folosi metoda factorului integrant. In acest scop se scrie ecuatia diferentiala lineara neomogena (3.1) sub forma normala

, (3.11)

unde sunt functii continue care depind numai de variabila independenta , definite prin .

Punctele pentru care sunt numite puncte singulare ale ecuatiei diferentiale sub forma normala. In aceste puncte singulare existenta si unicitatea solutiei nu mai este asigurata.

In continuare, prin calcul direct, vom arata ca solutia problemei Cauchy asociata ecuatiei diferentiale lineare de ordinul intai este unic determinata. Mai precis, pentru orice exista o unica functie care verifica ecuatia diferentiala sub forma normala (3.11) si conditia initiala data (adica, ,).

Privind cu atentie cazul ii) constatam ca metoda folosita la determinarea solutiei sugereaza existenta unei functii , , numita factor integrant, astfel incat dupa inmultirea ecuatiei diferentiale (3.11) cu sa o transforme intr-o ecuatie "usor integrabila"

(3.12)

Pentru aceasta vom scrie membrul stang al ecuatiei (3.12) cu ajutorul derivatei produsului . Avem

.

Evident, pentru ca aceasta egalitate sa aiba loc oricare ar fi x I I, trebuie sa se verifice conditia

, . (3.13)

Din ultima relatie (3.13), calculand in fiecare membru cate o primitiva, deducem

, ,

sau sub forma echivalenta

, (3.14)

Deoarece functia este continua , rezulta ca , , este functie continua si, cum membrul drept al relatiei (3.14) este strict pozitiv, rezulta ca . Asadar, factorul integrant are expresia

, unde , . (3.15)

Vom observa ca in calculele finale constanta nu intervine, asa ca valoarea ei poate fi aleasa egala cu 1. Avem

(3.16)

Odata cu alegerea factorului integrant sub forma (3.16), deducem ca ecuatia (3.12) poate fi scrisa sub forma

(3.17)

Luand primitivele in ambii membri ai ecuatiei (3.17), rezulta

.

Deoarece nu apare explicit in calcule putem alege . Atunci ultima relatie arata ca solutia problemei Cauchy (3.1) se poate scrie sub forma

(3.18)

Este usor de vazut ca din ecuatia (3.17), prin cuadraturi, deducem solutia generala a ecuatiei lineare neomogene (3.1) sub forma

, , (3.19)

sau, daca tinem seama de expresia factorului integrant (3.16), putem scrie solutia generala sub forma echivalenta

, (3.20)

Din expresia solutiei (3.20) observam modul sub care intra coeficientii ecuatiei diferentiale, pusa sub forma normala (3.11), in structura solutiei generale.

Urmarind rationamentul de mai sus, putem considera urmatorul algoritm folosit in obtinerea solutiei generale:

Pasul 1. Se scrie ecuatia lineara neomogena sub forma normala (canonica)

.

Pasul 2. Se determina factorul integrant .

Pasul 3. Se multiplica ecuatia neomogena cu factorul integrant , si avem

Pasul 4. Se integreaza ultima relatie si se obtine solutia generala.

Mentionam ca ecuatia lineara omogena de ordinul intai nu are solutii singulare, ea are numai o solutie particulara , .

Ecuatia diferentiala (3.1) poate avea solutii singulare de forma , unde este radacina ecuatiei .

Observatie. Pentru determinarea solutiei generale a ecuatiei diferentiale (3.1), se poate folosi metoda variatiei constantelor (sau metoda lui Lagrange[1]). In acest scop, presupunem ca ecuatia diferentiala (3.1) este scrisa sub forma normala (3.11). Structura solutiei generale sub forma (3.20) arata ca aceasta se obtine cu ajutorul solutiei generale a ecuatiei lineare omogene asociate

, (3.21)

la care se aduna o solutie particulara a ecuatiei lineare neomogene pusa sub forma normala (3.11).

Intr-adevar, fie solutia generala a ecuatiei diferentiale normale (3.11) si o solutie particulara a aceleiasi ecuatii diferentiale. Atunci functia verifica ecuatia lineara omogena (3.21), asociata ecuatiei neomogene (3.11). Asadar, daca se cunoaste o solutie particulara a ecuatiei neomogene (3.11) si solutia generala a ecuatiei omogene (3.21), atunci reprezinta solutia generala a ecuatiei neomogene (3.11).

Vom observa ca ecuatia diferentiala omogena (3.21) este cu variabile separabile si pentru , dupa separarea variabilelor, conduce la solutia generala

, . (3.22)

Pentru a determina o solutie particulara , a ecuatiei neomogene (3.11), introducem, odata cu Lagrange, functia definita prin

, , (3.23)

unde este o solutie oarecare a ecuatiei lineare neomogene (3.11), deci verifica ecuatia diferentiala neomogena sub forma normala

, . (3.24)

Din (3.23) deducem ca functia este derivabila si scriind relatia (3.23) sub forma echivalenta

, (3.25)

observam ca am considerat, de fapt, solutia generala a ecuatiei omogene (3.21).

Inlocuind expresia (3.25) in ecuatia (3.24), rezulta ca functia verifica ecuatia diferentiala

.

Din ultima ecuatie, prin integrare, deducem ca functia are expresia

(3.26)

si atunci solutia are forma

(3.27)

Reciproc, orice functie de forma (3.27) este o solutie a ecuatiei diferentiale lineare neomogene.

Metoda folosita se numeste metoda variatiei constantelor (sau metoda lui Lagrange) intrucat relatia (3.25) arata ca expresia unei solutii oarecare a ecuatiei neomogene se obtine din solutia ecuatiei omogene (3.22), inlocuind constanta c cu o functie oarecare .

Observatie. Functia , introdusa prin relatia (3.23), asa dupa cum s-a vazut, verifica ecuatia diferentiala

si atunci functia este o primitiva a functiei cunoscute . Solutia ecuatiei omogene are forma , , sau , unde este o primitiva a functiei .

Dupa cum se constata, solutia ecuatiei neomogene

, (*)

are aceeasi forma cu cea a ecuatiei omogene, numai ca functia este primitiva a functiei cunoscute . Aceasta asemanare, ca forma, a celor doua solutii l-a condus pe Lagrange la un procedeu foarte simplu de determinare a solutiei ecuatiei neomogene, procedeu cunoscut sub numele de metoda variatiei constantelor.

Daca notam cu solutia ecuatiei omogene, care in punctul ia valoarea (adica, solutia problemei Cauchy pentru ecuatia omogena), atunci putem scrie

.

Folosind aceasta notatie cat si expresia (*) deducem ca o solutie particulara a ecuatiei neomogene, care se anuleaza in , are forma

(*

unde este solutia ecuatiei omogene care in punctul ia valoarea , data de termenul liber. Relatia ( *) constituie principiul lui Duhamel pentru ecuatiile diferentiale lineare sau ecuatiile diferentiale lineare cu derivate partiale.

Observatie. Ecuatia diferentiala (3.11) se poate integra folosind metoda lui Bernoulli, care consta in schimbarea de functie , unde si sunt doua functii derivabile, deocamdata necunoscute. Substituind in ecuatia diferentiala (3.11) avem

sau .

Observam ca una din functii, de exemplu, functia se poate determina din conditia (coeficientul lui sa fie nul) si are forma . Rezulta ca trebuie sa verifice ecuatia diferentiala

sau ,

de unde obtinem

, .

Revenind la schimbarea de functie , deducem solutia generala a ecuatiei (3.11) de forma

.

Exemple

1. Sa se determine solutia generala a ecuatiei diferentiale

, .

Pasul 1. Punem ecuatia data sub forma normala, . Avem, , , .

Pasul 2. Determinam o primitiva a functiei . Avem

, .

Atunci factorul integrant are forma

, .

Pasul 3. Inmultim ecuatia diferentiala sub forma normala cu factorul integrant. Obtinem

.

sau echivalent

.

Pasul 4. Solutia generala se determina prin cuadraturi: . In final, obtinem solutia generala sub forma explicita

, , .

In figura alaturata sunt reprezentate graficele solutiilor ecuatiei, , pentru valorile particulare date constantei: .

2. Sa se determine solutia generala a ecuatiei diferentiale

.

Pasul 1. Ecuatia normala are forma . Avem, , , .

Pasul 2. Avem , , atunci factorul integrant are forma , .

Pasul 3. Inmultim ecuatia diferentiala sub forma normala cu factorul integrant si obtinem

sau echivalent .

Pasul 4. Solutia generala se obtine prin cuadraturi: . In final, obtinem solutia generala ecuatiei sub forma explicita

, , .

In figura alaturata sunt reprezentate graficele solutiilor ecuatiei, , pentru valorile particulare date constantei: .

Structura solutiei generale a ecuatiei neomogene

Observatie. Fie ecuatia . Cum este o solutie a ecuatiei omogene (3.13) si deoarece este continua si are derivata continua, deci marginita intr-o vecinatate inchisa a punctului atunci, potrivit teoremei lui Picard, probema Cauchy asociata are solutie unica pentru orice . Din unicitate rezulta ca nici o alta solutie, in afara de , nu se poate anula pe I.

Daca , atunci se separa variabilele si avem

.

Integrand ultima ecuatie obtinem

,

unde este primitiva functiei pe I. Din aceasta relatie obtinem

si deci

Deoarece este functie continua si pastreaza semnul constant, putem scrie si atunci solutia era forma

, .

Datorita liniaritatii ecuatiei omogene , putem afirma ca multimea solutiilor maximale ale acestei ecuatii,

formeaza un spatiu vectorial unidimensional cu baza , unde este primitiva functiei .

Observatie. Daca se cunosc doua solutii si ale ecuatiei lineare neomogene, atunci functia este o solutie a ecuatiei omogene asociate. Asadar, daca este solutia generala a ecuatiei lineare omogene asociate si este o solutie particulara a ecuatiei lineare neomogene, atunci orice solutie a ecuatiei lineare neomogene se obtine cu relatia

(

Observatie. Daca se cunosc doua solutii pentru ecuatia lineara neomogena, atunci diferenta lor este solutie a ecuatiei omogene; orice solutie a ecuatiei omogene se obtine prin inmultirea cu o constanta a acestei diferente si deci, se pot gasi fara cuadraturi toate solutiile ecuatiei neomogene. Aceste solutii au forma

.

Relatia (* ) arata ca orice solutie a ecuatiei neomogene se poate obtine daca se cunoaste solutia generala a ecuatiei omogene asociate si o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Asa cum s-a aratat mai inainte, solutia generala a ecuatiei omogene se obtine prin cuadraturi, aceasta fiind un caz particular de ecuatie cu variabile separabile. Daca nu putem observa o solutie particulara a ecuatiei neomogene atunci, cu metoda variatiei constantelor, folosind formulele (3.25) si (3.26), putem construi o solutie particulara a ecuatiei lineare neomogene. Asadar, solutia generala a ecuatiei neomogene este complet determinata.

Exemplu. Fie ecuatia diferentiala , care admite solutiile particulare si . Atunci:

(a). Solutia generala are forma .

(b). Functiile si se determina scriind ca si verifica ecuatia data:

atunci, , .

Observatie. Daca membrul drept al ecuatiei neomogene poate fi scris cu ajutorul unor sume finite de functii continue de forma

atunci, pentru fiecare functie , se determina cate o solutie particulara, notata cu si, folosind principiul superpozitiei efectelor (ecuatia diferentiala este lineara), atunci o solutie particulara a ecuatiei neomogene are forma

.

Intr-adevar, scriind ca este o solutie particulara a ecuatiei neomogene, avem

.

Daca scadem aceasta ecuatie din ecuatia diferentiala normala , obtinem

.

Ultima ecuatie arata ca functia este o solutie a ecuatiei omogene asociate si reciproc, daca este solutia generala a ecuatiei omogene asociate, atunci

este solutia generala a ecuatiei neomogene.

Prin urmare, datorita structurii solutiei particulare putem considera ecuatiile neomogene

,

care au, respectiv solutiile particulare si atunci suma acestor solutii particulare este o solutie particulara a ecuatiei initiale.