MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV

MODELAREA COMPORTARII IN FUNCTIONARE A INSTALATIILOR TEHNOLOGICE CU AJUTORUL LANTURILOR MARKOV

1. Sistemul de ecuatii asociat unui proces stocastic de tip Markov

Conceptele centrale ale modelarii markoviene sunt cele de stare si tranzitie. Un sistem tehnic sau un element component se poate afla la un moment dat in una din urmatoarele stari: functionare, avarie, rezerva etc.

Starea unui sistem se poate modifica in timp, sistemul evoluand de la a stare la alta. Asemenea modificari ale starilor unui sistem se numesc tranzitii.

Procesul stochastic este determinat de o familie de variabile aleatoare si corespunde ca model matematic unui proces empiric a carui dezvoltare in viitor este guvernata de legi probabilistice.

Procesul Markov este un proces aleatoriu definit de o familie de variabile aleatoare.

Cunoasterea starilor sistemului la momentele succesive (t_1, t_{2, ..} t_n,), anterioare momentului (t), prin preluarea si prelucrarea unor informatii care privesc starile anterioare, contribuie la cunoasterea sistemului la momentul (t).

Lantul Markov, este un proces Markov definit de variabilele definit de variabilele , _.

Cunoasterea starilor sistemului la momentele consecutive anterioare lui t, prin preluarea si prelucrarea unor informatii care privesc starile anterioare, contribuie la cunoasterea starii la momentul t, prin furnizarea unor informatii colectate din starile anterioare insa cuprinse toate in starea cea mai recenta, respectiv starea corespunzatoare momentului t_n.

Procesul Markov este un proces aleatoriu definit de o familie de variabile aleatoare.

Lantul Markov este un proces Markov, definit de variabilele aleatoare care pot lua numai valori apartinand unui sir infinit sau finit, in mod conventional putandu-se considera pentru sir infinit sirul numerelor naturale sau in caz finit sirul 1,2,3N.

Caracteristica procesului de a putea evolua intr-un sir finit sau infinit de stari ne conduce la lanturi Markov cu un numar finit de stari sau la lanturi Markov cu un numar infinit de stari.

Un proces stochastic este denumit proces Markov multiplu de ordin i daca satisface pentru orice sir finit de valori ale parametrului t conditia aleatoare depinde numai de ultimule i variabile anterioare:

Fiabilitatea elementului simplu reparabil

Pentru exemplificare se va studia cazul unui singur element pe care il consideram ca evolueaza din starea de functionare in starea de defect si invers (fig.1).

Fig. 1. Evolutia unui element din starea de functionare in starea de defect si invers

Se fac urmatoarele precizari:

- defectarea elementului considerat este un eveniment al carui probabilitate de realizare intr-un interval Δt este , respectiv:

- repararea, respectiv readucerea in starea initiala este un eveniment a carui probabilitate in intervalul Δt este , respectiv:

- probabilitatea ramanerii in stare de functionare:

- probabilitatea ramanerii in stare de reparare:

In acest context se va urmari evolutia elementului in intervalul infinitezimal de timp Δt, considerand:

- probabilitatea ca elementul sa fie in stare de functionare la timpul t este ;

- probabilitatea ca elementul sa defect la timpul t este ;

- intensitatea de defectare este λ;

- intensitatea de reparare este μ.

Sistemul se afla in stare de functionare la momentul cu probabilitatea absoluta . Aceasta stare se poate obtine din urmatoarele tranzitii de la (t) la :

- din starea 0 de functionare [probabilitatea ] tot in starea de functionare 0 [probabilitatea ];

- din starea 1 de nefunctionare [probabilitatea ] in starea de functionare 0 [probabilitatea ];

Conform relatiei (9.21) rezulta daca se are in vedere evolutia elementului in intervalul de timp Δt, adica sa determinam probabilitatea absoluta se poate scrie:

Sistemul se afla in stare de nefunctionare la momentul cu probabilitatea absoluta (membrul drept al relatiei (21). Aceasta stare se poate obtine din urmatoarele tranzitii de la (t) la :

- din starea 0 de functionare [probabilitatea ] in starea de nefunctionare 1 [probabilitatea ];

- din starea 1 de nefunctionare [probabilitatea ] tot in starea de functionare 1[probabilitatea ];

Conform relatiei (9.21) rezulta daca se are in vedere evolutia elementului in intervalul de timp dt, adica sa determinam probabilitatea absoluta se poate scrie:

Rezulta sistemul de ecuatii:

Grupand termenii acestui sistem si impartind cu Δt se obtine:

Punand conditia se obtine sistemul de ecuatii diferentiale atasat unui proces Markov finit, omogen, cu timp continuu:

Sistemul de ecuatii obtinut poate fi scris sub forma matriciala:

sau sub forma generalizata:

unde reprezinta probabilitatile absolute iar q_ij reprezinta matricea de tranzitie ale carei elemente satisfac relatiile:

Matricea de tranzitie este o matrice patratica, singulara, ai carei termeni sunt intensitati de tranzitie si are urmatoarele proprietati:

- matricea contine termeni pozitivi sau nuli pentru i≠ j si reprezinta probabilitati;

- suma termenilor fiecarei coloane este egal cu zero.

Prin urmare sistemul de ecuatii diferentiale atasat unui proces Markov finit, simplu, cu timp continuu.

Pentru rezolvarea sistemului de ecuatii diferentiale, pentru calculele ingineresti putem sa ne limitam la un sistem de ecuatii algebrice in . Algebrizarea poate fi realizata considerand ca la probabilitatile absolute tind sa devina independente de starea initiala si pot fi considerate constante, ceea ce conduce la iar sistemul de ecuatii diferentiale devine:

Produsul matricei patratice si a matricei coloana conduce la rezolvarea unui sistem algebric compatibil nedeterminat, nedeterminare ce se ridica prin introducerea ecuatiei suplimentare , provenita din , fiind probabilitatea absoluta de stare, conditie care rezulta si din considerarea unui camp complet de evenimente.

Prin urmare, pentru un element simplu, sistemului de ecuatii diferentiale trebuie sa i se adauge ecuatia mentionata. Rezulta:

Conditiile initiale sunt:

sau:

dupa cum sistemul s-a aflat initial in starea 0 sau in starea 1.

Pentru rezolvarea sistemului (14) se poate utiliza transformata Laplace ale carei proprietati mai importante sunt:

Utilizand transformata Laplace in rezolvarea sistemului se obtine (s-au utilizat conditiile initiale (15):

Avand in vedere conditiile initiale se poate scrie:

Solutiile (in operational) ale sistemului sunt:

Efectuand trecerea in domeniul real rezulta solutiile:

Particularizand prin trecere la limita pentru se obtin probabilitatile absolute, independente de timp:

Trecand la limita ecuatiile sistemului algebric de ecuatii diferentiale rezulta ca

si verifica sistemul algebric:

In cazul in care exista mai mult de doua stari, probabilitatile absolute de stare verifica sistemul:

3. Calculul indicatorilor de fiabilitate ai elementului simplu reparabil

a) Analiza tranzitiilor dintre stari

Graficul tranzitiilor pentru un element simplu reparabil, daca notam cu "0" starea de functionare si cu "1" starea de defect este aratata in fig. 1.

b) Scrierea matricei intensitatilor de tranzitie

Matricea este o matrice patrata cu dimensiunea data de numarul starilor:

c) Scrierea ecuatiei matriceale si rezolvarea ei

respectiv:

din care rezulta ecuatiile:

Solutiile sistemului sunt:

c) calculul indicatorilor de fiabilitate:

- Probabilitatea de succes si refuz

- Timpul mediu total probabil de succes:

- Timpul mediu total probabil de refuz:

- Numarul mediu probabil de avarii:

- Timpul mediu de functionare:

Timpul mediu de reparare: