Functii diferentiabile

Functii diferentiabile

1. Definitie. Fie spatii vectoriale normate finit dimensionale si , multime deschisa si . Functia se numeste diferentiabila in punctul , daca exista a.i.

. (1)

Aplicatia lineara si continua , daca exista, este unic determinata, se noteaza cu

. (2)

si se citeste " derivata lui in punctul sau diferentiala lui in punctul ".

2.Lema. Fie doua spatii vectoriale normate de dimensiune finita si , multime deschisa si functia . Afirmatiile urmatoare sunt echivalente:

Functia este diferentiabila in .

Exista si functie continua in , a.i. sa aiba loc relatia

. (3)

Demonstratie. "". Deoarece este diferentiabila in punctul , vom nota cu si definim functia

. (4)

Este evident ca este continua in si .

"". trivial.

Egalitatea (3) poate fi scrisa sub urmatoarea forma

. (5)

Intr-adevar, din definitia functiei deducem ca in vecinatatea (adica, este posibil ca pentru orice sa determinam a.i. sa avem ), avem

.

3. Observatie. Notam cu "cresterea functiei " si cu "cresterea argumentului in jurul punctului ". Atunci relatia (5) se scrie sub forma

. (5')

Forma lineara din partea dreapta a relatiei (5'), care reprezinta aproximarea lineara a cresterii lui , se numeste diferentiala lui in punctul si uneori, se noteaza cu :

(6)

sau, daca notam cu , atunci formula (6) se scrie sub forma clasica

(6')

4. Definitie. Fie doua spatii vectoriale normate finit dimensionale si , multime deschisa. Functia se numeste diferentiabila pe daca este diferentiabila in orice punct si avem definita prin si se citeste "derivata lui in punctul ". Deci , .

Functia daca si numai daca este diferentiabila (derivabila) in orice punct din si continua pe .

5. Observatie. Daca este diferentiabila pe , atunci ia valori in .

Deci si deoarece se identifica izometric cu , atunci putem considera pe ca o functie definita astfel .

Exercitiul 1. Fie doua spatii vectoriale normate de dimensiune finita, multime deschisa si functia . Daca este diferentiabila in punctul , atunci este continua in .

R. Intr-adevar, daca functia este diferentiabila in punctul , atunci exista o intreaga vecinatate , inclusa in , a.i. sa se verifica formula (2) oricare ar fi . Trecand la norma avem

,

de unde rezulta continuitatea lui in punctul .

6. Teorema. (Operatii cu functii derivabile).

Fie , spatii euclidiene finit dimensionale (spatii Banach) si , multime deschisa, si .

(1). Daca si sunt diferentiabile in atunci functia este diferentiabila in si avem .

(2). Daca este diferentiabila in si atunci functia este diferentiabila in si avem .

(3). Daca , functie lineara atunci diferentiabila in orice punct si avem .

(4). Daca si sunt diferentiabile in atunci functia este diferentiabila in si avem .

Demonstratie. Vom observa ca proprietatile (1) si (2) arata ca derivata este un operator (o aplicatie) linear, adica si .

(1). Scriem ca sunt functii diferentiabile in : exista aplicatiile lineara si continue si functiile continue in , a.i.

unde .

unde .

Adunand cele doua relatii si folosind notatiile , si , deducem ca functia este diferentiabila in .

(2). Din faptul ca este functie diferentiabila in rezulta existenta aplicatiei lineare si continue si a functiei continua in , a.i.

unde .

Inmultind aceasta relatie cu , deducem ca este diferentiabila in , si are derivata .

(3). Din faptul ca este aplicatie lineara putem scrie

si luand si , rezulta afirmatia din enunt.

(4). Datorita ipotezei putem scrie

si.

Daca adunam prima relatie inmultita cu cu a doua relatie inmultita cu si vom tine seama de expresia lui , obtinem

,

unde

si .

Relatia obtinuta arata ca este diferentiabila in ( aplicatie lineara si este vector fixat iar aplicatie lineara si vector fixat.

7. Observatie. Orice functie diferentiabila in , unde si sunt spatii vectoriale finit dimensionale, este continua in .

8. Teorema. (Diferetiala functiilor compuse).

Fie , si spatii euclidiene (spatii Banach) si multimile deschise , , , si . Daca functia este diferentiabila in si este diferentiabila in , atunci functia compusa este diferentiabila in si avem

.

Demonstratie. Conform ipotezei, functiei compuse , ii asociem aplicatia lineara , .

Interpretam faptul ca este diferentiabila in : exista aplicatia lineara si continua si functia continua in , a.i.

unde .

Interpretam faptul ca este diferentiabila in : exista aplicatia lineara si continua si functia continua in , a.i.

unde .

Deoarece pentru orice avem , inlocuind in relatia valorile si obtinem

.

Daca notam si folosim atunci putem scrie

,

sau, pentru orice avem

,

unde . Avem

,

si ,

De aici deducem ca in relatia de mai sus ultima paranteza tinde la zero, cand si deci,

este diferentiabila in si .

Derivate partiale

Vom considera cazurile particulare cand si .

Definitie. Fie o multime deschisa si functia , si fie punctul . Daca exista si este finita limita

, (7)

atunci aplicatia se numeste derivata partiala a lui in raport cu , calculata in punctul .

Uneori, derivata partiala se va nota cu sau cu .

Spunem ca functia are derivata partiala in raport cu in daca este derivabila partial in raport cu in orice punct din .

Daca admite derivate partiale in raport cu in orice punct , atunci functia care in fiecare punct are valoarea se va nota cu si se numeste derivata partiala a lui in raport cu variabila . Daca este derivabila in raport cu variabila in orice punct din , atunci notam cu

sau , pentru orice , (8)

derivatele partiale de ordinul al doilea ale in raport cu variabilele si .

In cazul particular, cand si , notatia din formula (2) este interpretata ca in urmatoarea

10. Teorema. Fie , multime deschisa, si . Daca functia este diferentiabila in punctul atunci:

exista toate derivatele partiale ;

(2). ;

(3). , ;

(4). ,

unde s-a notat .

11. Teorema (Criteriul lui Schwarz). Fie , , multime deschisa. Daca se verifica conditiile:

(1). Functia admite derivate partiale mixte de ordinul al doilea si intr-o vecinatate ;

(2). Derivatele si sunt functii continue in punctul .

Atunci are loc egalitatea .

Demonstratie. Fie punctul , oarecare, dar fixat, a.i. . Definim expresia

.

Fara a restrange generalitatea, putem presupune . Definim functia , prin relatia

.

Atunci, functia este derivabila pe intervalul si au loc relatiile:

si .

Asadar, functia satisface teorema lui Lagrange pe intervalul si deci, exista a.i. sa avem . Folosind relatiile de mai sus, deducem ca se poate scrie sub forma

. (9)

Fie acum si functia , definita prin . Deoarece exista in , rezulta ca functia este derivabila pe si avem .

Aplicand teorema lui Lagrange pe intervalul atunci exista a.i. sa avem

. (10)

Comparand ultima relatie (10) cu relatia (9), deducem

. (11)

Analog, cu ajutorul functiei , deducem ca exista a.i.

. (12)

Fie functia . Procedand ca mai sus, rezulta ca exista a.i.

. (13)

Din (11) si (13) deducem egalitatea

unde si . (14)

Din modul cum s-a construit egalitatea (14), rezulta ca pentru fiecare punct exista doua numere si cuprinse intre si si doua numere si cuprinse intre si a.i.

.

Folosind continuitatea prin siruri a functiilor si in punctul , daca si , cand , deducem egalitatea derivatelor mixte de ordinul al doilea in .

12. Observatie. Daca derivatele partiale mixte de ordinul al doilea si exista si sunt continue pe atunci ele sunt egale pe , adica .

In cazul mai general, cand , putem enunta

13. Criteriul lui Schwarz.. Fie , multime deschisa si . Daca se verifica conditiile:

1). Functia admite derivate partiale mixte de ordinul al doilea si intr-o vecinatate ;

2). Derivatele si sunt functii continue in punctul .

Atunci are loc egalitatea

si .

14. Observatie. O teorema asemanatoare criteriului lui Schwarz ramane valabila si pentru derivatele partiale de ordin superior; daca mai multe derivate partiale mixte, in care variabilele in raport cu care se efectueaza derivarea intervin de acelasi numar de ori, exista si sunt continue pe atunci ele sunt egale pe .

De exemplu, daca derivatele partiale mixte de ordinul al treilea si exista si sunt continue pe atunci are loc egalitatea

.

15. Teorema.(Criteriul lui Young). Fie , multime deschisa si . Daca exista derivatele partiale si acestea sunt functii diferentiabile in , atunci exista toate derivatele partiale de ordinul al doilea in , iar derivatele partiale mixte sunt egale ,

si .

Diferentiala functiilor compuse de doua variabile

Vom analiza cazul functiilor de doua variabile. Fie si doua multimi deschise din plan si functiile , si , . Fie functia reala , . Atunci, putem considera functia compusa

,

definita pentru orice , cu valori reale.

Figura 1. Compunerea functiilor de doua variabile.

16. Propozitie. Daca functiile si , sunt diferentiabile pe , iar functia este diferentiabila pe , atunci functia compusa este diferentiabila pe si avem

. (15)

Demonstratie. Intr-adevar, din formula diferentialei putem scrie

si daca inlocuim derivatele partiale si cu expresiile

,

atunci se obtine relatia cautata.

17. Observatie. Diferentialele functiilor si conserva forma prin operatia de compunere a functiilor, in schimb, existenta derivatelor partiale ale acestor functii poate sa nu fie conservata prin aceasta operatie.

De exemplu, fie functiile

si functia

.

Alegem si punctul corespunzator . Functiile si sunt difrentiabile pe si deci in punctul , iar functia are derivate partiale in (dar nu este diferentiabila in acest punct):

.

Functia compusa , definita prin expresia

pentru ,

nu are derivate partiale in origine, deoarece functia

, nu are limita cand .

Analog, functia , nu are limita cand .

Asadar, functia compusa nu are derivate partiale in .

Pentru a arata ca diferentialele functiilor si au aceeasi forma, sa desfacem parantezele in formula (15), dand factor comun pe si . Avem

. (16)

si deoarece avem

si,

rezulta ca se scrie formal cu ajutorul relatiei

. (17)

Pe de alta parte avem

. (18)

Comparand relatiile (17) si (18) deducem ca diferentiabilele functiilor si au aceeasi forma si aceasta constitue invarianta diferentialei intai fata de operatia de compunere a functiilor.

Desigur, aceasta invarianta a diferentialei este formala (comparativ cu invarianta diferentiabilitatii fata de compunerea functiilor).

Intr-adevar, relatia (17) se scrie

,

de unde, observam ca in aceasta formula si sunt in fapt diferentialele functiilor si , definite pentru orice . Pe de alta parte, relatia (18) se scrie complet prin formula

,

in care si sunt diferentialele variabilelor .

O alta proprietate de invarianta prin operatia de compunere a functiilor este existenta si continuitatea derivatelor partiale. Acest rezultat este dat de urmatoarea

18. Propozitie. Daca functiile si , au derivate partiale continue in orice , iar functia are derivate partiale continue pe , atunci functia compusa

,

are derivate partiale continue pe .

Demonstratie. Deoarece functiile , si au derivate partiale continue, atunci aceste functii sunt diferentiabile (si implicit continue). Asadar, functia compusa este diferentiabila si are derivatele partiale definite de formulele:

; (19)

Functiile care apar in membrul drept al acestor relatii sunt continue, prin ipoteza, cum sunt derivatele partiale ale functiilor si sau reprezentand compunere de functii continue. Deci, derivatele partiale si sunt functii continue pe .

Exercitiul 2. Aratati ca functia , unde este de clasa pe un anumit domeniu , verifica ecuatia diferentiala .

Indicatie. Consideram functia si functia compusa . Atunci

.

Calculam derivatele partiale ale functiei . Avem

;

.

Exercitiul 3. Aratati ca fiecare din functiile , respectiv , unde este de clasa pe un anumit domeniu , verifica ecuatia diferentiala

.

Solutie. Derivam functia ca produs dintre functiile respectiv si functia compusa , unde : in primul caz, avem

;

.

1 Definitie. Fie si doua spatii vectoriale finit dimensionale si o multime deschisa si . Functia este de doua ori diferentiabila in punctul daca sunt verificate conditiile:

(1). functia este diferentiabila pe o vecinatate deschisa , .

(2). aplicatia derivata este diferentiabila in .

In aceste conditii, avem si se va numi derivata a doua a lui in (se mai foloseste notatia ) si avem , adica este aplicatie bilineara: .

Functia este de doua ori diferentiabila pe daca este de doua ori diferentiabila in orice punct .

Are loc diagrama:

20. Propozitie. Daca functiile si , sunt diferentiabile de doua ori intr-o vecinatate a punctul , iar functia este de doua ori diferentiabila intr-o vecinatate a punctului corespunzator , atunci functia compusa

este diferentiabila de doua ori in punctul si avem

, (20)

unde derivatele partiale ale functiei sunt calculate in , iar diferentialele functiilor si sunt calculate in punctul .

Demonsteratie. Deoarece functiile si sunt diferentiabile de doua ori intr-o vecinatate , atunci exista si si acestea sunt diferentiabile in . Functia compusa are derivate partiale de ordinul intai si au loc relatiile (19). In membrul drept al relatiilor (19) apar numai functii diferentiabile. Atunci, functiile compuse

si ,

sunt diferentiabile in si deci functiile si sunt diferentiabile in , ceea ce arata ca functia compusa este de doua ori diferentiabila in . Asadar, functia compusa are toate derivatele partiale de ordinul al doilea si, potrivit criteriului lui Young, derivatele partiale mixte sunt egale in .

Atunci, putem scrie

.

Folosind relatiile:

si ;

;

,

deducem relatia (20).

21. Observatie. Formula (20) se scrie, formal, cu ajutorul operatorului de derivare astfel:

. (21)

22. Observatie. Deoarece este diferentiabila de doua ori intr-o vecinatate a punctului corespunzator , ea are derivatele partiale si diferentiabile pe . Daca functia este diferentiabila de doua ori numai in , atunci deducem ca functia compusa are derivate partiale de ordinul intai numai in , deci nu este de doua ori diferentiabila.

23. Observatie. Formula diferentialei de ordinul al doilea a functiei compuse se poate obtine din egalitatea

, (22)

in care substituim formulele derivatelor partiale de ordinul al doilea ale functiei compuse, definite prin:

(23)

24. Observatie. Comparand formula (20) cu diferentiala de ordinul al doilea al functiei ,

, (24)

observam ca si difera prin termenul ; astfel, putem vorbi de noninvarianta diferentialei de ordinul al doilea.

Matricea lui Jacobi[1]. Derivatele partiale pentru functii compuse.

25. Definitie. Fie si o multime deschisa, si functia , , despre care presupunem ca este diferentiabila in . Notam cu aplicatia lineara si continua (retinem ca este bine definit, intrucat poate fi definit in orice punct din ). Matricea asociata lui (relativ la bazele canonice din si ) se numeste matricea Jacobi (matricea jacobiana) asociata functiei in punctul sau diferentiala lui in punctul si se noteaza cu , sau cu

. (25)

26. Observatie. A determina aplicatia lineara si continua revine la calculul matricei jacobiene relativ la bazele canonice din si .

Fie vectorul . Atunci, ca mai inainte, notam cu , matricea coloana care contine componentele lui . Din definitia matricei jacobiene rezulta ca putem scrie

. (26)

27. Corolar. Fie si multimi deschise, , si punctul . Consideram functiile . Daca functia este diferentiabila in punctul si functia este diferentiabila in punctul , atunci functia compusa este diferentiabila in si avem

. (27)

Demonstratie. Vom observa ca aplicatiile lineare si exista si are loc compunerea . Functia este o aplicatie lineara si continua. Atunci, matricea jacobiana asociata functiei in punctul , notata , este egala cu produsul matricelor si .

28. Propozitie. Fie , multime deschisa, si . Notam cu si , . Atunci proprietatile urmatoare sunt echivalente:

functia este diferentiabila in punctul (respectiv );

functiile coordonate sunt diferentiabile in (respectiv ).

2 Corolar. (Derivatele partiale pentru functii compuse). Fie multimile deschise si si compunerea functiilor . Daca este diferentiabila in si este diferentiabila in atunci functia este diferentiabila in si avem

,, (28)

unde si .

Demonstratie. In formula (28) derivatele partiale sunt considerate ca numere si deci in locul aplicatiei lineare luam si atunci in (28) derivatele partiale se inmultesc. Sa observam ca din modul cum sunt definite functiile si , ele au cate o singura componenta si deci matricile jacobiene asociate au o singura linie. Scriind dezvoltat relatia avem

, (29)

de unde, se deduce relatia (8).

30. Observatie. Fie . Daca exista derivatele partiale si intr-un punct, nu rezulta ca este continua si diferentiabila in acel punct. Dar daca aceste derivate partiale exista si sunt continue intr-o vecinatate a punctului repectiv, atunci este diferentiabila in acel punct.

De exemplu, functia , nu este continua in origine si in consecinta, nu este diferentiabila in origine, desi are derivatele partiale egale cu zero in origine.

Exercitiul 4. Fie functia , unde , definita prin

.

(1). Scrieti functiile coordonate ale lui . (R. ).

(2). Determinati derivatele partiale de ordinul intai ale functiilor coordonate.

R.

.

(3). Scrieti matricea lui Jacobi asociata functiei in punctul .

R. .

Exercitiul 5. Fie functia , definita prin formula , si functia , definita prin .

(1). Determinati functia compusa , .

(2). Aratati ca functia compusa este diferentiabila in ; calculati .

Solutie.(1). Fie si functiile coordonate ale lui .

Atunci, punand si obtinem functia compusa . Deci, putem scrie,

, oricare ar fi .

(2). Functia este diferentiabila in orice punct ( este functie elementara). In particular, functia este diferentiabila in punctul si, dupa un calcul simplu, obtinem

,

unde .

Altfel. Observam ca functia este diferentiabila in punctul si functia este diferentiabila in punctul si, potrivit corolarului 1, avem

Functii omogene. Teorema lui Euler pentru functii omogene. Teorema lui Lagrange.

31. Definitie. Multimea se numeste con deschis in avand varful in originea daca si numai daca , atunci si , pentru orice .

Din definitie, observam ca multimea este un con avand varful in originea , daca odata cu orice punct din multimea atunci intreaga semidreapta care uneste punctul cu originea este continuta in .

Fie un con deschis cu varful in . Functia se numeste omogena de grad , daca si numai daca

, si . (30)

sau echivalent,

, si .

32. Observatie. Functia omogena este definita in tot conul cu exceptia varfului conului.

Exemple:1).Functia , unde , este omogena de gradul .

2). Functia si , este omogena de grad .

3). Functia , este omogena de grad .

33. Teorema (Teorema lui Euler pentru functii omogene). Fie un con deschis cu varful in . Daca functia este omogena de grad si diferentiabila in punctul (evident ) atunci are loc relatia

. (31)

Demonstratie. Fie functia , definita prin . Atunci este derivabila pe si folosind formula de derivare a functiilor compuse avem

, .

Alegand , obtinem . Pe de alta parte, daca tinem seama ca este omogena de grad , prin derivarea functiei obtinem:

.

Daca functia este omogena de grad si diferentiabila in orice punct , , atunci are loc relatia

. (32)

Relatia (32) ne permite sa demonstram urmatoarea

34. Teorema (Reciproca teoremei lui Euler). Fie un con deschis cu varful in . Daca functia este diferentiabila in orice punct , si verifica (32),

,

atunci este o functie omogena de grad pe .

Demonstratie. Fie , un punct oarecare din conul . Atunci si functia , definita prin , este derivabila pentru orice . Avem

, ,

deci este constanta pe . Asadar, , adica

, ,

care arata ca este omogena pe .

35. Teorema cresterilor finite. Fie si functia . Daca este continua pe si diferentiabila pe , atunci exista astfel incat

. (33)

Demonstratie. Fie , , unde functii reale de variabila reala definite prin , sunt functiile coordonate ale lui . Din ipoteza deducem ca aceste functii sunt continue pe si derivabile pe . In consecinta, functia , definita prin

, , unde ,

satisface conditiile teoremei lui Lagrange pe . Asadar, exista a.i.

Pe de alta parte, avem: si

.

Inlocuind aceste relatii in formula lui Lagrange, dupa simplificarea cu , obtinem (33).

36. Lema. Fie un interval deschis, un spatiu vectorial normat,, diferentiabila in si . Atunci

.

Demonstratie. Din definitia diferentialei, avem . Deoarece atunci si deci, .

37. Teorema cresterilor finite. Fie , un interval inchis al axei reale, un spatiu vectorial normat si functiile si . Presupunem ca sunt verificate conditiile:

(1). functiile sunt continue pe ;

(2). functiile sunt diferentiabile pe ;

(3). ;

Atunci are loc inegalitatea

. (34)

38. Corolar. Fie , spatiu vectorial normat si functia . Daca este continua pe , diferentiabila pe si , unde , atunci

. (35)

Demonstratie. Alegem functia , definita prin . Atunci, din ipoteza, rezulta ca si din teorema cresterilor finite, obtinem (35).

3 Corolar. Fie spatii vectoriale normat, o multime deschisa si convexa si functia diferentiabila pe . Atunci, oricare ar fi , are loc inegalitatea:

. (36)

Demonstratie. Fie , unde este multime convexa. Atunci contine segmentul

.

Consideram functia , si functia compusa . Atunci este diferentiabila pe si avem . Folosind observatia de mai jos obtinem:

, unde .

Potrivit corolarului 38, avem , de unde se obtine inegalitatea (36).

40. Observatie. Fie , aplicatii lineare si continue. Atunci .