Reducerea formei patratice la expresia canonica

Reducerea formei patratice la expresia canonica

TEOREMA 1.6.5.(Metoda lui Gauss). O forma patratica P : E R se poate scrie totdeauna sub forma canonica printr-o schimbare convenabila a bazei spatiului.

Demonstratie. Fie o forma patratica

P

in care este baza a spatiului E. Punem in evidenta toti termenii care il contin pe si anume in care formam patratul perfect () obtinand

si din care trebuie sa scadem pe

Deci P x) se scrie

P P ,

unde P () este o forma patratica care nu-l contine pe .

Procedeul se continua si pentru P . Dupa astfel de operatii obtinem

P ,

unde :

B noua baza(care, eventual, se determina usor folosind schimbarile de coordonate)

ceilalti coeficienti si coordonate , i = 2, ,n, se determina din aproape in aproape.

Observatia 1. Procedeul folosit nu este unic; aici am inceput cu , dar putem incepe cu oricare si sa le separam.

Observatia 1. Daca , si P nu este identic nula, atunci exista cel putin un element , pentru . Prin transformarea de coordonate

, expresia formei patratice devine

P ,

in care cel putin unul din elementele , , este nenul ( deoarece ).

Presupunand , procedeul se continua cu expresia (10).

TEOREMA 1.6.6. (Metoda lui Jacobi) Fie E spatiu vectorial real, P : E R o forma patratica, F forma biliniara simetrica asociata, o baza in E,

M (F ; ),

P M (F ; BB).

Daca toti determinantii

M(F ;BB)

numiti determinanti minori principali ai matricei M(F ; BB) sunt nenuli, atunci exista o baza

,

obtinuta din B prin matricea de trecere triunghiulara

,

in care P are forma canonica

P , cu .

Demonstratie. In baza

P ( F ; , cu F

Vom demonstra ca se poate determina o transformare triunghiulara de forma (12) astfel ca 0, pentru . Deoarece F = F , este suficient ca

F , , cu ,

sau, folosind transformarea (12), F cu

F , cu

F

Adaugam, pentru simplificarea calculelor, conditiile

F .

Cu dezvoltarile

F F F F

,

pentru ca sunt scalari si sunt dati, iar sunt necunoscuti, relatiile (15) si (16) se scriu in sistemul (17),

pentru . Prin ipoteza D_i 0, deci acest sistem va determina in mod unic co-

ordonatele ale vectorului in baza B.

De exemplu, (din rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare si omogene).

In baza astfel obtinuta, forma patratica va avea forma canonica

P ,

cu coeficientii

F ,

care trebuie determinati. Pentru aceasta facem dezvoltarea

F F F ,

si, tinand seama de (15) si (16), rezulta

.

Cu dedus din sistemul (17) rezulta

, .

Pentru , avem

F F .

Pe de alta parte,

F F F

si rezulta

.

Deci in baza _, determinata prin procedeul de mai sus, forma patratica are forma canonica (13) .

Observatia 1. Teorema lui Jacobi permite sa se construiasca o baza pentru re-ducerea formei patratice la forma canonica si sa se calculeze coeficientii formei canonice. Acesti coeficienti arata numarul termenilor negativi cat si ai celor pozitivi.

TEOREMA 1. (Metoda valorilor proprii si a vectorilor proprii). Daca

P  : E R este o forma patratica, atunci exista o baza B = (u₁, u₂, , u_n) a lui E fata de care expresia canonica a formei este

P ,

unde sunt valorile proprii ale matricei formei, fiecare valoare proprie fiind scrisa de atatea ori cat este multiplicitatea sa, iar , i = 1, , n, sunt coordonatele lui in aceasta baza.

Demonstratie. Deoarece matricea formei P   este o matrice simetrica reala, ea admite numai valori proprii reale si se poate diagonaliza. Atunci baza cautata B este formata din vectorii proprii ortonormati ai matricei formei M(F ;). In baza B obtinem expresia canonica a formei P si anume, daca M(B, B ) este matricea de trecere de la B la B , prin schimbarea [] = M (B, B ) [] , avem

P ( F ;.