Limite remarcabile. Aplicatii

Limite remarcabile. Aplicatii

1 Propozitiile 1 si 2 de mai sus sunt de fapt limite remarcabile. Le ilustram cu exercitiile care urmeaza.

E1. .

E .

E3. ;.

E4. ;

2 Fie si numerele reale , . Atunci are loc egalitatea:

Intr-adevar:

Formula de mai sus se poate utiliza ca atare sau se poate utiliza rationamentul folosit.

E1. Calculati urmatoarele limite : a) ; b) .

Solutii a) . b) = .

Fie si numerele reale , . Atunci avem: .

Justificarea acestei afirmatii urmeaza metoda expusa la 2 dar este util sa fie aplicata direct (in special cazul ). Limita de mai sus elimina cazul in anumite situatii.

E1. Calculati urmatoarele limite: a) ; b) .

Solutii Suntem in primul caz de la 3 deci ambele limite sunt egale cu 0(gradul numaratoru­lui este mai mic decat gradul numitorului). Detaliem calculele cu titlu de exemplu. Astfel :

si analog .

E Calculati urmatoarele limite: a) ; b) ;

c) ; d) ; e) .

Solutii a) Suntem in cazul al doilea de la 3 deci (gradele sunt egale si limita este egala cu raportul coeficientilor termenilor cu gradul cel mai mare). De altfel avem .

b) Avem: , deci .c) Avem: si apoi Atunci: . d)

=

== . Intrucat , deducem ca . e) Avem : = . Atunci: + .

E3. Calculati urmatoarele limite: a) ; b) ;

c) ; d) ; e) .

Solutii Suntem in cazul al treilea de la 3 deci limitele sunt infinite. a) Aplicand regula amintita avem: .Intr-adevar daca efectuam calculele avem .b) . Atunci:

. c) = . Atunci avem:

. d)

; e) . Prin urmare .

Fie arbitrar alese. Avand in vedere Propozitia 2 deducem ca avem : . Intrucat nu este necesar sa studiem cazul . Aceste observatii permit eliminarea cazului in anumite situatii.

E1. Calculati urmatoarele limite: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) .

Solutii a) ; b) ; c) 0; d) ; e) Notam si pentru calculul limitei suntem in cazul de exceptie . Analizam trei cazuri: .

I) Daca atunci avem:

==0

II) Daca atunci avem: .

III) Daca atunci analizam cazurile: .

i) Daca atunci avem:

.

ii) Daca atunci avem: .

iii) Daca atunci avem:

.

In concluzie: .

f) Notam si analizam cazurile: .

I) Pentru avem : .

II) Pentru avem: .

III) Pentru avem: .

In concluzie: .

Rationamente de tipul celor utilizate la 3 pot fi utilizate pentru a elimina un caz de tipul

si in anumite situatii in care apar functii irationale.

E1. Calculati: a) ; b) ; c) .

Solutii a) ;

b) .

c) .

La 2 am aratat cum se elimina cazul intr-o situatie simpla. Ilustram cum se poate elimina acest caz in alte situatii precizand ca uneori revine la a elimina cazul .

E1. Calculati urmatoarele limite :

a) ; b) ; c) .

Solutii a)

b)

c) Utilizand formula , avem:

E Calculati : a) ; b) ; c)

Solutii a)

b)

c) Daca incercam ca la a) si b) avem care conduce la cazul de exceptie . In aceasta situatie inmultim si impartim cu conjugata :

E3. Calculati urmatoarele limite: a) ; b)

c);d);e) .

Solutii a)

b) ; c) Rationamentul de mai sus conduce la , deci la cazul de exceptie . Procedam ca mai sus:

d)

e)

E4. Calculati urmatoarele limite :

a); b)

Solutii a)

b)

E5. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ; c) ; d) (am notat cu partea fractionara a numarului real ).

Solutii a) Pentru orice numar real avem , deci. Pe de alta parte avem: din care deducem inegalitatile : deci din care deducem . Pentru calculul limitei suntem in cazul care este caz de exceptie deci trebuie eliminat. Avem: si deci .

b) Avem: din care deducem inegalitatile deci si prin urmare obtinem: , deci

c) Din deducem . Dar . Avem : , deci .

d) Avem si prin urmare . Deci , pentru orice . Atunci . Deoarece deducem ca .

E6. Determinati constantele reale a,b astfel incat sa aiba loc egalitatile:

a) ; b) ;

c) .

Solutii a) Fie . Atunci . Dar . Daca , atunci , imposibil. Deci si . Dar , deci se impune adica .

b) Fie. Atunci .

Notam si avem . Daca atunci ,ceea ce nu convine. Deci si Dar deci avem: .

c) .

Daca , atunci . Deci se impune adica si avem . Deci se impune din care avem si prin urmare .

Fie sunt doua siruri astfel incat . Avand in vedere ca si ca deducem ca, uneori, cazul se poate reduce la cazul . De asemenea daca atunci din deducem ca, uneori, cazul se reduce la cazul . Exercitiile E3, E4 si E5 de la 6 pun in evidenta astfel de situatii. In continuare dam alte exemple pentru eliminarea cazului . Vom utiliza propozitia de mai jos(numita adeseori "lema clestelui").

Propozitia 3 Daca sunt trei siruri astfel incat sunt convergente cu si , atunci si este convergent si .

E1. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ; c)

Solutii a) Avem , deci pentru calculul limitei suntem in cazul . Avem: . Dar ,. Deducem si pentru ca obtinem ca .

b) Ca si la a) avem , deci pentru calculul limitei sirului suntem in cazul . Evident . Dar deci si pentru ca deducem ca . Prin urmare avem .c) Avem , deci pentru calculul limitei sirului suntem in cazul . Dar: . Pe de alta parte: , deci si pentru ca

obtinem .

E Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ;

c) ;d) .

e) ; f) .

Solutii Sa observam ca termenul general al acestor siruri este o suma de n termeni dintre care fiecare are limita egala cu 0. Prin urmare pentru calculul limitei oricaruia dintre ei suntem in cazul de exceptie .

a) Evident avem inegalitatile . Scriind aceste inegalitati pentru obtinem:

. Adunand membru cu membru aceste inegalitati, obtinem: . Intrucat ,deducem

. b) Din inegalitatile deducem :

. Adunand membru cu membru aceste inegalitati, obtinem: . Deoarece obtinem:

. Dar , deci .

c) Din inegalitatile , prin adunare membru cu membru, deducem: , adica . Deoarece si ,avem .

d) Din inegalitatile , prin inmultire cu k, avem si deci adica

. Dar si atunci obtinem:

. Deoarece si , avem . e) Avem , deci:

Dar , deci . f) ,

deci si din deducem

.

E3. Fie arbitrar. Calculati limita sirului dat prin formula termenului general:

Solutii Din inegalitatile , valabile pentru orice , avem . Dar , deci avem . Insumand dupa k aceste inegalitati se obtine . Inmultind cu obtinem . Avem si . Atunci .

Deducem ca .

In exercitiul urmator vom utiliza afirmatiile din propozitiile care urmeaza.

Propozitia 4 Daca este un sir convergent cu, atunci : si

.

Propozitia 5 Daca , atunci .

E4. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b);c) ;d) .

Solutii Deoarece pentru calculul limitelor suntem in cazul , pe care il aducem la cazul eliminat de Propozitia 4.

a) ; b) ;

c) ; d)

In principiu pentru a elimina cazul de exceptie se utilizeaza teorema de mai jos.

Teorema Sirul dat prin este convergent si limita sa este un numar situat in intervalul .

Observatie Se noteaza .

Corolar Fie doua siruri astfel incat . Atunci:

.

E1. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ; c) ; d) .

Solutii a) deoarece .

b) deoarece .

c) .

d) .

E Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ; c) ; d) .

Solutii a) Avem:

.

b) .

c) Avem:

d) Avem:

E3. Calculati limitele sirurilor date prin formula termenului general:

a) ; b) ;

c) ; d) .

Solutii a) Calculam suma:

.

Deci avem : .

b) . Deoarece:

avem :

si prin urmare .

c) .

d) Calculam suma:

si .

Exercitiul de mai jos este important pentru eliminarea cazului .

E1. Aratati ca .

Solutie Pentru notam. Evident . Atunci: si deci , adica din care deducem . Asadar si pentru ca , avem . Dar si obtinem din care deducem .

Observatie Avem evident si ceea ce justifica afirmatia ca E1 este un mod de a elimina cazul .

E Calculati .

Solutie Cum , deci pentru calculul limitei suntem in cazul .

Avem si pentru ca deducem .

E3. Calculati unde este fixat.

Solutie Evident este o generalizare a exercitiului precedent si procedam analog.

. Deoarece : , deducem .

Alte exemple de eliminare a cazului sunt date de exercitiul urmator.

E4. Sa se calculeze: a);b);c);

d) ; e) .

Solutii a) si, deoarece , deducem

; b) Fie . Atunci . Deducem ca:

si, cum , deducem .

c) Fie . Atunci: . Dar

, deci ;

d) . Din deducem .

e) Notam . Atunci , din care deducem . Intrucat , deducem ca .

Cazul apare mai rar in calculul limitelor de siruri intrucat daca

, atunci . Pentru ca: deducem ca trebuie sa eliminam un caz de forma . De asemenea , ceea ce arata ca acest caz se poate reduce la cazul .

E1. Calculati: a) ; b) ; c) ; d) .

Solutie Vom folosi rezultatele obtinute la E1 si E4 din 9.

a) ; b) ;

c) ; d)

( vezi 9, exercitiul E4.b).