Ecuatii diferentiale de ordinal intai

Ecuatii diferentiale de ordinal intai

Fie un interval marginit sau nemarginit al axei reale si domeniul deschis , . Consideram functia , , de clasa si notam cu , derivata functiei pe .

Fiind data functia , apartinand unei anumite clase de regularitate pe (de exemplu, ), spunem ca relatia (functionala)

, (1.1)

defineste o ecuatie diferentiala de ordinal intai sub forma implicita.

Definitie Se numeste solutie, pe intervalul , a ecuatiei diferentiale (1.1) o functie , de clasa care verifica conditiile

(1.2)

In multe situatii, in locul ecuatiei diferentiale implicite (1.1), se poate considera ecuatia diferentiala explicitata in raport cu derivata . Fie functia , in general continua pe . Atunci consideram ecuatia diferentiala de ordinal intai sub forma normala (forma standard)

, (1.3)

Definitie Fiind data functia , spunem ca functia , se numeste solutie, pe , a ecuatiei diferentiale sub forma normala (1.3), daca este derivabila pe intervalul si verifica conditiile

(1.4)

Este evident ca prima conditie (1.4) arata ca graficul functiei , este inclus in produsul cartezian . Asadar, datorita conditiei (1.4)₁ retinem incluziunea de multimi

,

In consecinta, identitatea (1.4)₂ este bine definita in toate punctele si asa cum vom vedea, in toate punctele multimii .

Observatia Ecuatia diferentiala scrisa sub forma normala (1.3) arata ca in structura acesteia, pe de o parte, intra variabila independenta cat si variabila dependenta , care adesea este numita functie necunoscuta, iar pe de alta parte functia , numita camp vectorial (camp de vectori). Daca variabila dependenta (functia necunoscuta) depinde de o singura variabila spunem ca relatia (1.3), respectiv (1.1), defineste o ecuatie diferentiala ordinara. In cazul cand functia necunoscuta depinde de mai multe variabile independente ecuatia se numeste ecuatie diferentiala cu derivate partiale.

Ordinul unei ecuatii diferentiale este dat de ordinul cel mai mare "" de derivare al variabilei dependente care intra in expresia ecuatiei diferentiale.

Observatia Folosind diferite notatii pentru derivata variabilei dependente , atunci ecuatia diferentiala sub forma normala (1.3) poate fi scrisa sub formele echivalente

sau sau , (1.3')

iar, cand in locul variabilei independente folosim variabila temporala , vom scrie

sau sau . (1.3')

Observatia Daca, referitor la o baza aleasa in , se da un sistem de coordonate pe , atunci functiile , si , pot fi scrise unic pe componente prin formulele

, respectiv .

In acest caz, dupa identificari, ecuatia diferentiala normala (1.3), se scrie cu ajutorul unui sistem de ecuatii diferentiale de ordinal intai, pentru componentele , considerate ca variabile dependente (functii necunoscute), sub forma echivalenta

(1.5)

iar functia derivabila , solutie a acestui system, are forma

.